《椭圆的简单几何性质》课件

3.1.2椭圆的简单几何性质第三章内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习课标阐释思维脉络1.掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质.(数学抽象)2.能利用椭圆的简单性质求标准方程.(数学运算)3.能运用椭圆的简单几何性质分析和解决问题.(逻辑推理)课前篇自主预习[激趣诱思]地球围绕太阳公转的轨道是一个椭圆,太阳处在这个椭圆的一个焦点上.在椭圆轨道上有一个近日点和一个远日点,在近日点时地球距离太阳14710万千米,在远日点时地球距离太阳15210万千米.事实上,很多天体或飞行器的运行轨道都是椭圆.如“神舟九号”飞船,于2012年6月16日搭载3名航天员发射升空,之后进入近地点高度200千米、远地点高度329.8千米的椭圆形轨道,然后进行了5次变轨,两天后与“天宫一号”空间实验器自动交会对接成功,这是中国首次实现载人空间交会对接任务.[知识点拨]椭圆的简单几何性质

名师点析

1.椭圆的范围给出了椭圆上的点的横坐标、纵坐标的取值范围,在求解一些存在性、判断性问题中有着重要的应用,也可用于求最大(小)值、求轨迹等问题时的检验等.2.利用方程研究曲线对称性的方法如下:(1)若把曲线方程中的x换成-x,方程不变,则曲线关于y轴对称;(2)若把曲线方程中的y换成-y,方程不变,则曲线关于x轴对称;(3)若同时把曲线方程中的x换成-x,y换成-y,方程不变,则曲线关于原点对称.3.因为离心率

,所以离心率反映了椭圆的扁圆程度.离心率越大,椭圆越扁;离心率越小,椭圆越接近于圆.微思考在椭圆的性质中,哪些是与位置无关的?哪些是与位置有关的?提示

与位置无关的,如长轴长、短轴长、焦距;与位置有关的,如顶点坐标、焦点坐标等.微练习1已知椭圆,则其顶点坐标分别为

,焦点坐标为

,长轴长等于

,短轴长等于

,焦距等于

.若点P(m,n)为该椭圆上任意一点,则m的取值范围是

.

微练习2椭圆x2+4y2=1的离心率等于(

)答案

A课堂篇探究学习探究一根据椭圆的标准方程研究其几何性质例1求椭圆9x2+16y2=144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标.延伸探究

本例中若把椭圆方程改为“9x2+16y2=1”,求其长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标.反思感悟

确定椭圆几何性质的基本步骤(1)化标准,把椭圆方程化成标准形式;(2)定位置,根据标准方程中x2,y2对应分母的大小来确定焦点位置;(3)求参数,写出a,b的值,并求出c的值;(4)写性质,按要求写出椭圆的简单几何性质.变式训练1已知椭圆C1:,设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等,且椭圆C2的焦点在y轴上.(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率;(2)写出椭圆C2的方程,并研究其性质.探究二根据椭圆的几何性质求其标准方程例2根据下列条件求椭圆的标准方程:(1)椭圆过点(3,0),离心率e=;(2)在x轴上的一个焦点,与短轴两个端点的连线互相垂直,且焦距为8.思路分析(1)焦点位置不确定,应分类讨论;(2)结合图形求出a,b,c的值代入.反思感悟

利用待定系数法求椭圆标准方程的关注点(1)基本思路是“选标准,定参数”,即先明确焦点的位置或分类讨论.一般步骤是:①求出a2,b2的值;②确定焦点所在的坐标轴;③写出标准方程.(2)在求解a2,b2时常用方程(组)思想,通常由已知条件与关系式a2=b2+c2,e=等构造方程(组)加以求解.变式训练2已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,且经过点A(2,0),求椭圆的标准方程.探究三求椭圆的离心率的值(或取值范围)例3(1)如图所示,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,椭圆上点M的横坐标等于右焦点的横坐标,其纵坐标等于短半轴长的,则椭圆的离心率为(

)(方法2)设A(0,b),B(a,0),F(-c,0),设△FAB的外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.答案

(1)A

(2)A反思感悟

求椭圆离心率及取值范围的两种方法

(2)方程法:若a,c的值不可求,则可根据条件建立a,b,c的关系式,借助于a2=b2+c2,转化为关于a,c的齐次方程或不等式,再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂,得到关于e的方程或不等式,即可求得e的值或取值范围.求离心率的取值范围时,应根据题意建立a,c的不等式,结合e∈(0,1)确定离心率的取值范围.(2)如图所示,设直线y=2x与椭圆的一个交点为P,则点P横坐标为c,连接PF1,PF2,则|PF1|=2c.因为△PF1F2为直角三角形,|F1F2|=2c,要点笔记注意特殊线段在解题中的应用

素养形成一题多变——求椭圆的离心率

答案

D变式训练1若将本例中“PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°”改为“∠PF2F1=75°,∠PF1F2=45°”,求椭圆C的离心率.变式训练2若将本例中“PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°”改为“椭圆C上存在点P,使∠F1PF2为钝角”,求椭圆C的离心率的取值范围.

当堂检测1.椭圆6x2+y2=6的长轴的顶点坐标是(

)答案

D答案

A3.椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的2倍,则m的值为(

)答案

C知识点1

由椭圆的标准方程探究其几何性质

4年1考

ABD

C

BA.长轴长相等

B.焦距相等

C.离心率相等

D.短轴长相等

AA.35

B.30

C.25

D.20

AB

【解析】

A√B√CD续表

B

1图1图2图3

知识点2

由椭圆的简单几何性质求其方程

4年6考

A

BCD

D

D

知识点3

椭圆的实际应用14.[广东韶关高三期中]韶州大桥是一座独塔双索面钢砼混合梁斜拉桥，具有桩深、塔高、梁重、跨大的特点，它打通了曲江区、浈江区、武江区交通道路的瓶颈，成为连接曲江区与芙

(

)

D

15.（多选）1970年4月24日，中国发射了第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此中国开创了人造卫星的新篇章.如