小学数学第八章　§8.3　8.3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积

§8.3简单几何体的表面积与体积8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积学习目标1.掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的计算公式.2.理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积.3.体会和理解棱台的表面积与体积公式的推导过程.一、棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积问题1我们知道，空间几何体的表面积是几何体表面的面积，是围成多面体的各个面的面积之和，长方体、三棱锥、四棱台的侧面展开图是什么样子的？知识梳理棱柱、棱锥、棱台的表面积多面体表面积棱柱S棱柱表=

棱锥S棱锥表=

棱台S棱台表=

结论多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和例1现有一个底面是菱形的直四棱柱(侧棱与底面垂直)，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积和表面积.反思感悟多面体的侧面积等于各个侧面的面积之和，表面积等于侧面积与底面积之和，所以审题时，务必要注意求侧面积还是求表面积，在求解时需要注意各个面的形状，并选择合适的面积公式进行计算.跟踪训练1已知正四棱台上底面边长为2，下底面边长为4，高为3，求该正四棱台的侧棱长和侧面积.二、棱柱、棱锥、棱台的体积几何体体积说明棱柱V棱柱=ShS为棱柱的，

h为棱柱的

棱锥V棱锥=13S为棱锥的，

h为棱锥的

棱台V棱台=13h(S'+S'S+SS'，S分别为棱台的，h为棱台的

问题2观察棱柱、棱锥、棱台的体积公式，它们之间有什么关系？例2(1)已知高为3的三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为1的正三角形，如图所示，则三棱锥B1-ABC的体积为()A.14 B.12 C.36 (2)(2022·新高考全国Ⅰ)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为140.0km2；水位为海拔157.5m时，相应水面的面积为180.0km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为(7≈2.65)()A.1.0×109m3 B.1.2×109m3C.1.4×109m3 D.1.6×109m3反思感悟求解正棱台的体积时，注意棱台的五个基本量(上、下底面的边长、高、斜高、侧棱长).常用两种解题思路：一是把基本量转化到直角梯形中解决问题；二是把正棱台还原成正棱锥，利用正棱锥的有关知识及相似性来解决问题.跟踪训练2如图，已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E为AA1的中点，F为CC1上一点，则三棱锥A1-D1EF的体积为.三、简单组合体的表面积和体积例3一个造桥用的钢筋混凝土预制件的尺寸如图所示(单位：米)，浇制一个这样的预制件需要多少立方米混凝土(钢筋体积略去不计，精确到0.01立方米)？反思感悟(1)求组合体的表面积和体积，首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应该怎样求，然后再根据公式求出各面的面积，最后再相加或相减.求体积时也要先弄清组成，求出各简单几何体的体积，然后再相加或相减.(2)常见的几何体体积求法.跟踪训练3如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，截去三棱锥A1-ABD，求剩余的几何体A1B1C1D1-DBC的表面积和体积.1.知识清单：(1)棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积.(2)棱柱、棱锥、棱台的体积.(3)棱柱、棱锥、棱台体积公式之间的关系.(4)简单组合体的表面积与体积.2.方法归纳：公式法、等体积法、割补法.3.常见误区：平面图形与立体图形的切换不清楚.1.已知各面均为等边三角形的四面体的棱长为2，则它的表面积是()A.23 B.43C.4 D.62.底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为2，体对角线长为6，则这个棱柱的侧面积是()A.2 B.4C.6 D.83.如图，ABC-A'B'C'是体积为1的三棱柱，则四棱锥C-AA'B'B的体积是()A.13 B.C.23 D.4.已知在正三棱台ABC-A1B1C1中，A1B1=2，AB=4，侧棱AA1=2，则该棱台的体积为.

答案精析问题1长方体、三棱锥、四棱台的侧面展开图如图所示.知识梳理S棱柱侧+2S底S棱锥侧+S底S棱台侧+S上底+S下底例1解如图，设底面对角线AC=a，BD=b，交点为O，对角线A1C=15，B1D=9，∴a2+52=152，b2+52=92，∴a2=200，b2=56.即AC=102，BD=214.∵该直四棱柱的底面是菱形，∴AB2=AC22+BD22=a2+b2∴该直四棱柱的侧面积S侧=4×8×5=160.该直四棱柱的底面积S底=12AC·BD=207该直四棱柱的表面积S表=160+2×207=160+407.跟踪训练1解如图，作B1H⊥底面ABCD，B1Q⊥BC，垂足分别为H，Q，连接HQ.由题可知，HQ=BQ=1，B1H=3，所以B1Q=32+1所以侧棱长B1B=(10)2侧面积S=4×12×(2+4)×10=1210知识梳理底面积高底面积高上、下底面面积高问题2例2(1)D(2)C[如图，由已知得该棱台的高为157.5-148.5=9(m)，所以该棱台的体积V=13×9×(140+140×180+180)×106=60×(16+37)×106≈60×(16+3×2.65)×106=1.437×109≈1.4×109(m3).跟踪训练2112a例3解将预制件看成由一个长方体挖去一个底面为等腰梯形的四棱柱后剩下的几何体.S底=0.6×1.1-12×(0.5+0.3)×0.3=0.54(平方米)V=S底·h=0.54×24.8≈13.39(立方米).故浇制一个这样的预制件需要约13.39立方米混凝土.跟踪训练3解由图可知△A1BD是边长为2a的等边三角形，其面