核心素养导向下初中数学七年级上册“销售中的盈亏问题”建模教学设计与实施

核心素养导向下初中数学七年级上册“销售中的盈亏问题”建模教学设计与实施

  一、课标、教材与学情深度析解

  （一）课标依据与核心素养映射

  本节课内容隶属于《义务教育数学课程标准（2022年版）》中“数与代数”领域“方程与不等式”主题。课标明确要求：“能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型。”这直接指向了模型观念这一核心素养的建立。本节课的“销售问题”是现实生活中极具代表性的数学模型应用场景，其教学实施过程应成为培养学生模型观念的典型范例。具体而言，学生经历从复杂的销售情境中抽象出进价、售价、利润、利润率等关键数学量，并建立这些量之间等式关系（即一元一次方程）的过程，这正是“数学建模”的缩影。同时，在分析数量关系、寻找等量关系、规范化解方程及检验解的合理性的全过程中，学生的抽象能力、运算能力、推理能力及应用意识将得到综合锻炼与提升。因此，本节课不仅是解方程技能的巩固，更是将数学与现实世界深刻联结，落实核心素养培育的关键节点。

  （二）教材内容的立体化解析

  在人教版七年级上册第三章“一元一次方程”的编排体系中，“实际问题与一元一次方程”共安排多个课时，分别涉及行程、工程、配套、销售、积分等问题。“销售问题”作为其中一类，因其与日常生活联系紧密，商业逻辑清晰，是培养学生应用意识的绝佳载体。教材通常以简单的“盈亏”判断例题引入，但其内涵远不止于此。从学科本质看，“销售问题”的核心是揭示商业活动中基本的数量关系：利润=售价-进价，利润率=(利润/进价)×100%。这两个关系式是构建所有销售问题方程的基石。然而，高水平的教学需引导学生看到这些关系式在不同情境下的变式与应用，例如折扣销售（售价=标价×折扣率）、涉及成本与营收的盈亏平衡分析等。教材内容为“骨骼”，教师需为其注入“血肉”，将静态的公式转化为动态的、可迁移的数学建模思维工具。同时，应挖掘其与后续函数、不等式及初中阶段简单线性规划思想的潜在联系，为学生构建连贯的知识图谱。

  （三）学情分析与教学起点精准定位

  七年级学生正处于从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键期。他们在知识层面已掌握一元一次方程的解法，并能处理一些简单的应用题（如和差倍分问题）。在经验层面，学生普遍具有购物经验，对“打折”、“便宜了”、“亏本了”等生活语言有感性认识，但尚未将其与精确的数学概念（进价、售价、利润、利润率）及严密的数学关系建立有效关联。常见的学习障碍包括：1.难以从生活化的销售描述中准确识别并标注出核心的数学量；2.容易混淆利润、利润率与售价、折扣率之间的计算关系；3.列出方程后，忽略对方程解的实际意义进行解释和检验，即模型验证环节薄弱。

  因此，本节课的教学起点应定位于：激活学生的生活经验，引导其将模糊的感性认识升华为清晰的数学概念；通过结构化、序列化的问题探究，帮助学生在具体情境中自主建构并牢固掌握销售问题中的基本等量关系；强化“设未知数、找等量关系、列方程、解方程、检验作答”的规范化建模流程，特别突出“检验”的双重含义（数学检验与合理性检验）。教学应设计足够的认知冲突和思维阶梯，让学生体验从“凭感觉判断”到“用数据说话”，再到“依模型决策”的思维飞跃。

  二、学习目标与重难点

  （一）学习目标

  1.知识与技能目标：能准确说出销售问题中进价（成本）、标价、售价、利润、利润率、折扣等术语的数学含义；熟练运用“利润=售价-进价”、“利润率=(利润/进价)×100%”、“售价=标价×折扣率”等基本关系式；能根据具体销售情境，选择恰当的未知数，依据基本关系式或其变形找出等量关系，列出一元一次方程并求解，最后对解的合理性做出判断和解释。

  2.过程与方法目标：经历从现实销售情境中抽象出数学问题、建立数学模型、求解并验证模型的全过程，体会数学建模的基本思想与方法。通过小组合作探究不同复杂程度的销售情境，发展分析问题、提取信息、转化数量关系的能力。在解决实际问题的过程中，进一步巩固和熟练掌握解一元一次方程的一般步骤。

  3.情感、态度与价值观目标：感受数学与商业活动、日常生活的紧密联系，认识到数学的工具价值和理性精神。在探究活动中培养严谨、细致的科学态度和合作交流的意识。通过解决盈亏决策问题，初步形成基于数据分析进行理性判断与决策的意识，反对盲从和冲动消费。

  （二）教学重点与难点

  教学重点：理解并掌握销售问题中的基本数量关系；能够根据实际问题，正确找出等量关系并建立一元一次方程模型。

  教学难点：从复杂的、多信息的销售情境中，准确辨析各数量（尤其是进价、售价、利润、利润率）的对应关系，特别是当问题涉及折扣、盈亏比较或条件间接给出时，如何灵活转化并建立等量关系。对方程解的合理性进行符合现实背景的解释与判断。

  三、教学理念与策略

  秉持“以学生为中心，以素养为导向”的教学理念，本节课将采用“情境-问题-建模-应用-拓展”的教学主线。具体策略如下：

  1.创设真实性、冲突性情境：利用短视频、购物小票、商家促销海报等真实素材创设情境，引发学生的认知兴趣和冲突，使其感受到学习的必要性。

  2.实施探究式、合作式学习：设计由浅入深、层层递进的问题串，引导学生通过独立思考、小组讨论、全班分享等方式，自主探究和建构销售问题的核心数量关系。教师扮演引导者、促进者和资源提供者的角色。

  3.强化模型思想的渗透与流程的规范化：将每一个问题的解决都明确纳入“审题-设元-找关系-列方程-解方程-检验-作答”的完整建模流程框架下，通过反复实践，内化这一科学的思维模式。

  4.注重跨学科联系与价值引领：适当融入简单的经济常识（如成本控制、定价策略），联系语文阅读理解（从文字中提取关键信息），体现数学作为基础学科的工具性。在问题设计中渗透理性消费、诚信经营等价值观。

  5.运用信息技术助力理解：利用交互式课件动态展示数量关系的变化，或使用在线协作工具进行小组观点共享与实时反馈，提高课堂效率和互动深度。

  四、教学准备

  教师准备：1.制作多媒体课件，包含情境导入视频、典型例题、探究活动指导、变式练习、课堂小结思维导图等。2.设计并打印《销售问题探究学习单》，包含不同梯度的探究任务和小组合作记录区。3.准备实物教具：模拟商品标签、折扣牌、简易销售海报等。4.预设课堂提问的关键问题及学生可能出现的错误类型与应对策略。

  学生准备：复习一元一次方程的解法；回忆一次购物经历，思考商家是如何定价、打折的；准备课堂练习本和文具。

  五、教学过程实施

  （一）情境激疑，初探概念（预计用时：8分钟）

  师生活动：

  1.播放一段精心剪辑的短视频，内容包含：超市结账、服装店“清仓大甩卖”、网店“双十一”促销广告片段。视频最后定格在一张简单的购物小票和一句商家的宣传语：“本店所有商品，一律八折销售，欢迎选购！”

  2.教师提问：“视频中涉及到哪些商业活动？这张小票上包含了哪些信息？‘八折’是什么意思？商家宣称‘亏本甩卖’，我们如何判断他是不是真的亏本？”引导学生自由发言，用生活化语言描述。

  3.教师在黑板上记录学生提到的关键词，如：原价、现价、打折、便宜了、成本、赚了、赔了等。然后，话锋一转：“同学们的语言很生活化，但在数学里，我们需要用更精确的语言来描述这些商业行为。今天，我们就来学习如何用数学的眼光透视销售，用方程的工具来‘算账’。”

  4.概念明晰：教师引导学生，将生活词汇与数学术语一一对应。明确：“原价”通常指标价，“现价”指售价，“便宜了的钱”可能对应利润或让利额（需根据语境判断），“成本”就是进价，“赚了”意味着有利润，“赔了”意味着亏损（即利润为负）。重点讲解“折扣”：几折就是十分之几，也就是百分之几十，例如八折即80%或0.8。给出标准关系式：售价=标价×折扣率。

  5.核心关系初次建构：提出一个简单问题：“如果一个书包进价是50元，以80元卖出，商家赚了多少钱？利润率是多少？（利润率指利润占进价的百分比）”学生口答。教师板书核心公式：利润=售价-进价；利润率=(利润/进价)×100%。并强调利润率计算的基础是进价，而非售价。

  设计意图：通过真实、动态的情境迅速吸引学生注意力，激活其已有生活经验。通过对比生活语言与数学术语，引导学生认识到数学的精确性和工具性，自然引出本课核心概念与关系式，为后续建模扫清概念障碍。简单的计算让学生即时应用公式，获得初步成功体验。

  （二）典例探究，建构模型（预计用时：20分钟）

  师生活动：

  1.呈现基础探究问题（学习单任务一）：某商店将一款牛仔裤的进价提高40%后标价，又以八折优惠卖出，结果每件仍获利15元。这种牛仔裤每件的进价是多少元？

  2.教师引导学生按照建模流程进行：

  审题与设元：学生默读题目，圈画关键词。教师提问：“题目中涉及哪些量？（进价、标价、折扣、售价、利润）哪个量是未知的？（进价）我们通常设什么为未知数？”学生回答：设进价为x元。教师板书：“设：每件牛仔裤的进价为x元。”

  分析数量关系与寻找等量关系：这是最关键的一步。教师不直接给出关系，而是通过问题串引导学生自主构建：

  *“进价是x元，提高40%后标价，如何用含x的式子表示标价？”（标价=x×(1+40%)=1.4x）

  *“八折销售，售价如何表示？”（售价=标价×0.8=1.4x×0.8=1.12x）

  *“利润如何表示？”（利润=售价-进价=1.12x-x=0.12x）

  *“题目中给出的等量关系是什么？”（结果每件仍获利15元，即利润=15元）

  至此，等量关系浮现：0.12x=15。

  列方程与解方程：学生独立列出方程1.12x-x=15或0.12x=15，并求解。教师巡视，关注解方程的规范性。请一名学生板演。

  检验与作答：板演学生解出x=125。教师追问：“x=125是方程的解，但它符合题意吗？我们需要检验什么？”引导学生进行双重检验：一是数学检验（代入原方程，左边=0.12×125=15，右边=15，等式成立）；二是实际意义检验（进价125元，计算标价175元，售价140元，利润15元，符合题目所有条件）。最后规范作答。

  3.模型反思与梳理：解决此题后，教师引导学生回顾整个过程，并板书完整的建模流程框架图。强调在销售问题中，通过“进价→标价→售价→利润”的链条，利用已知关系式逐步用未知数表示各个量，最后根据题目给出的具体等量关系（常是关于利润、利润率或售价的语句）列出方程。

  4.变式探究（学习单任务二，小组合作）：将问题改为：“…结果每件的利润率是12%，求进价。”或“…结果每件亏损了5元，求进价。”小组讨论：等量关系发生了什么变化？如何列方程？派代表分享思路。重点辨析“利润率12%”即“利润/进价=12%”，“亏损5元”即“利润=-5元”。让学生体会不同表述下，如何回归核心公式进行转化。

  设计意图：通过一个典型例题，完整、细致地展示数学建模的全过程，将隐性的思维显性化、步骤化。教师通过启发式提问引导学生自己“走通”思维路径，而非直接灌输。变式探究通过小组合作，让学生在变化中把握不变的核心关系，加深对模型本质的理解，并初步培养思维的灵活性。

  （三）综合应用，突破难点（预计用时：12分钟）

  师生活动：

  1.呈现综合应用问题（学习单任务三）：某文具店老板同时以120元的价格卖出两件不同的文具，其中一件盈利20%，另一件亏损20%。请问在这次买卖中，老板总的盈亏情况如何？

  2.此问题复杂性增加，涉及两笔独立的交易，且盈亏比较的对象是“总的”情况。学生极易感到困惑。教师引导学生将复杂问题分解：

  “问题问的是总盈亏，我们需要知道什么？”（需要知道两件文具各自的进价，然后计算总成本和总收入进行比较）

  “对于盈利20%的那件，售价120元，盈利20%，它的进价怎么求？等量关系是什么？”引导学生分析：盈利20%意味着利润率=20%，即(售价-进价)/进价=0.2。设进价为a元，则(120-a)/a=0.2。解出a。

  “对于亏损20%的那件，售价120元，亏损20%，如何理解？等量关系又是什么？”亏损20%意味着利润率为-20%，即(售价-进价)/进价=-0.2。设进价为b元，则(120-b)/b=-0.2。解出b。

  3.学生分组计算两件文具的进价a和b。教师巡视，特别注意学生在处理亏损方程时符号是否准确。

  4.计算结果：a=100元，b=150元。总进价（成本）=100+150=250元。总收入（售价和）=120+120=240元。总利润=240-250=-10元。

  5.教师引导深度思考：“为什么每件都卖120元，一件赚20%，一件亏20%，最终总体却亏了10元？”学生讨论后得出直观感受：亏损那件商品的进价更高，亏损的绝对值更大。教师借此强调：不能仅凭表面的售价和利润率百分比去直觉判断，必须通过精确计算进价来定量分析。这正体现了数学理性思维的价值。

  6.进一步拓展思考：“如果想要总体上不亏不赚（保本），在售价不变的情况下，两件商品的进价应满足什么关系？”引导学生建立方程：设盈利商品进价为x，亏损商品进价为y，则120+120=x+y，即x+y=240。这与单个商品的利润率条件共同构成方程组（为后续学习埋下伏笔），让学生初步感受更复杂模型的存在。

  设计意图：本环节选择了一道经典且易错的综合题，旨在挑战学生的思维定势，突破从单一交易到复合交易、从求单一量到判断整体状况的难点。通过分解问题、分别建模、汇总分析的过程，培养学生处理复杂问题的策略。最后的深度思考与拓展，将问题引向更深层次，激发学有余力学生的探究欲望，体现了分层教学思想。

  （四）迁移巩固，分层练习（预计用时：8分钟）

  师生活动：

  1.基础巩固题（全体学生必做）：一件服装的标价为200元，若以六折销售，仍可获利20%，则这件服装的进价是多少元？（考查折扣、利润率与进价的综合，需逆向运用关系链）

  2.能力提升题（大部分学生尝试做）：某书店推出会员优惠活动：购书一律打九折，办理会员卡需付20元工本费。请问购买多少元书时，办理会员卡与不办理付费一样多？购买多少元书时，办理会员卡更合算？（此题为销售问题与方案选择问题的初步结合，涉及建立方程和不等式思想的萌芽）

  3.学生独立完成练习，教师巡视，进行个别指导。完成后，通过投影展示不同学生的解题过程，组织学生互评，重点聚焦于等量关系的寻找和未知数的设法是否优化。

  设计意图：通过分层练习，满足不同层次学生的学习需求。基础题巩固本节课的核心建模技能；提升题引入简单的决策情境，将方程模型的应用范围扩大，初步接触最优化的思想，为后续学习做好铺垫。及时的反馈与互评有助于学生查漏补缺，规范解题过程。

  （五）课堂小结，升华认知（预计用时：5分钟）

  师生活动：

  1.知识网络构建：教师不直接总结，而是提问：“通过本节课的学习，你对‘销售问题’有了哪些新的认识？你认为解决这类问题的‘钥匙’是什么？”引导学生从知识点、方法、思想三个层面进行回顾。学生发言后，教师利用课件动态呈现思维导图式的课堂小结：

  核心概念：进价、标价、售价、利润、利润率、折扣。

  核心关系：利润=售价-进价；利润率=利润/进价×100%；售价=标价×折扣率。

  核心方法：数学建模五步法（审、设、找、列、解、验、答）。

  核心思想：从现实生活抽象数学问题（建模），用数学工具（方程）解决问题，回归现实进行解释与应用（用模）。

  2.情感价值升华：教师最后总结：“同学们，今天我们不仅学会了用方程计算商品的进价、利润，更掌握了一种理性分析商业活动乃至更多现实问题的方法。数学让我们不再被‘跳楼价’、‘亏本清仓’这样的宣传语轻易迷惑，能够用自己的智慧和计算做出更明智的判断。希望你们都能成为生活中的‘理性小管家’、‘智慧小买家’。”

  设计意图：变教师总结为学生自主建构知识网络，深化对知识内在联系的理解。思维导图式的总结直观、系统。最后的升华将数学学习与生活智慧、理性精神相连，落实情感态度价值观目标，使课堂收尾富有余味。

  （六）布置作业，拓展延伸

  1.必做题：教科书对应章节的练习题；完成《学习单》上的自我检测部分。

  2.选做题（二选一）：

  （1）调研作业：请到你家附近的一家商店（或查阅一个网店），记录一种商品的标价和促销方式（如打折、满减）。假设你作为店主，为该商品设定一个你认为合理的进价，然后计算一下按当前促销方式，卖出一件能赚多少利润？利润率是多少？并尝试分析这个促销策略是否有效。

  （2）创意设计作业：请你扮演一名店主，为自己想销售的一件“虚拟商品”（如一本你自己写的书、一个创意手工等）设计一个销售方案。方案需包含：设定进价、标价、拟采用的促销方式（如折扣、买赠等），并计算在促销下，每售出一件的利润和利润率。写一段话向你的“顾客”说明你的定价和促销是合理的。

  3.预习作业：浏览下一节课内容（积分问题或行程问题），尝试找出其中涉及的数量关系，并与销售问题进行对比。

  设计意图：作业设计体现巩固性、实践性与开放性。必做题夯实基础；选做题将数学与生活实践、跨学科创作深度融合，赋予学生角色（调研员、店主），激发其主动性和创造力，深刻体会数学的应用价值。预习作业建立课时间联系。

  六、板书设计（预设）

  左侧为概念与关系区，中部为建模流程与例题区，右侧为要点提示区。

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  销售中的盈亏问题

  一、核心概念

  进价（成本）标价售价

  利润=售价-进价

  利润率=(利