人教版八年级下册数学期末动点压轴题训练(带答案)

人教版八年级下册数学期末动点压轴题

训练(带答案)

1.如图，平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点是线段上一动点(不与点重

合)，过点作于点.

(1)当点是中点时，求的面积；

(2)连接，若平分，求此时点的坐标；

(3)平分，在轴上有一动点，横坐标为，过点作直线轴，与线段有交点，求的取值范围;

(4)平分，为轴上动点，为等腰三角形，求坐标.

2.如图，直线11:y=kx+b与y轴交于点B(0,3),直线12:y=-2x-1交y轴于点A,

交直线11于点P(-1,I).

y

⑴求Ab和f的值;

(2)求"WP的面积；

(3)过动点D(a,0)作x轴的垂线与直线132,分别交于M、N两点，且MNV4.

①求。的取值范围；

②当aAMP的面积是AAMB的面积的时，求MN的长度.

3.在平面直角坐标系中，坐标轴上的三个点A(a,0),B(0,b),C(c,())(a<(),b>0)满足|c・

l|+(a+b)2=0,F为射线BC上的一个动点.

(l)c的值为，/ABO的度数为

⑵如图(a),若AF_LBC,且交OB于点E,求证:OE=OC.

(3)如图(b),若点F运动到BC的延长线上，且NFB0=2NFA0,0在AF的垂直平分

线上，求aABF的面积.

4.已知，长方形OABC在平面直角坐标系内的位置如图所示，点O为坐标原点，点A

的坐标为(10.0),点B的坐标为(10,8).

备用图

(1)直接写出点C的坐标为:C()：

(2)已知Q(5.n)在直线AC；求n的值;

(3)若动点P从A点出发，沿折线AO-OC的路径以每秒2个单位长度的速度运动，到

达C处停止.求AOP、的面积S与点P的运动时间t(秒)的函数关系式.

5.在4ABC中,，，点D是直线AB上一动点，以CD为边，在它右侧作等边4CDE.

(1)如图1,当E在边AC上时，直接判断线段DE,EA的数最关系：

⑵如图2,在点D运动的同时，过点A作，过点C作，两线交于点F,判断四边形

AECF形状，并说明理由；

(3)若，当四边形AECF为正方形时，直接写出AD的值.

6.已知在平面宜角坐标系中，点，动点P在x轴正半轴上，作矩形OABP,点C为PB

中点，AABC沿AC折叠后得到aADC,直线CD与矩形OABP一边交于点E.

(1)如图，当点E与原点O重合时,

①求证:.

②求OP长.

⑵当，求点P坐标.

7.如图(I),在平面直角坐标系中点，满足，点C为线段OB上一个动点，以CA为

腰作等腰直角，且.

(1)求点A.B的坐标及的面积；

(2)试判断CDQC.BC间的数量关系，并说明理由；

(3)如图(2),若点C为线段0B延长线上一个动点，则(2)中的结论是否成立，并说

明理由.

8.如图，在平面直角坐标系中，直线交y轴于A点，与直线BC相交于点B(-2,m),直

线BC与y轴交于点C(0,一2),与x轴交于点D；

(I)求△ABC的面积；

⑵过点A作BC的平行线交x轴于点E.求点E的坐标；

(3)在(2)的条件下，点P是直线AB上一动点且在x轴的上方,Q为直角坐标平面内

一点，如果以点D、E、P、Q为顶点的平行四边形的面积等于AABC面积，请求出点

P的坐标，并直接写出点Q的坐标.

9.如图，已知aABC中，ZB=90°,AB=8cm,BC=6cm,P.Q是aABC边上的两个

动点，其中点P从点A开始沿A-B方向运动，且速度为每秒1cm,点Q从点B开始

沿B-C-A方向运动，且速度为每秒2cm,它们同时出发，设出发的时间为t秒.

备用图

(1)出发2秒后，求PQ的长：

(2)从出发几秒钟后，APQB第一次能形成等腰三角形？

(3)当点Q运动到CA上时，求能使4BCQ是等腰三角形时点Q的运动时间.

10.如图1,四边形形ABCD是一个边长为2的正方形，点E是AB边上的一个动点

(点E与点A,B不重合)，连接CE,过点B作BF_LCE于点G,交AD于点F.

DCDCDC

⑴求证：AABF^ABCE；

(2)如图2,当点E运动到AB中点时,

①求BG的长；

②连接DG,求证：DC=DG.

11.如图，在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，点A.BC的坐标分别为(0,6)、(-

8,0)、(-3,0),,将沿着射线AC翻折，点B落到y轴上点D处.

(2)动点P以每秒I个单位长度的速度从点B出发沿着线段BO向终点O运动，运动时

间为I秒，请用含有(的式子表示的面积，并直接写出］的取值范围；

(3)在(2)的条件卜;动点M以每秒2个单位长度的速度从点A出发沿着线段AO向

终点O运动，动点N以每秒a个单位长度的速度从点O出发沿着x轴正方向运动，点

P、M、N同时出发，点M停止时，点P、N也停止运动，当时，求a的值.

12.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴、y轴于点A和B,已知

点C的坐标为(-3,0).若点P是x轴上的一个动点.

(1)求直线8c的函数解析式：

(2)过点P作y轴的平行线交AB于点M,交BC于点N,当点P恰好是MN的中点时，

求出P点坐标.

(3)若以点B、P、C为顶点的ABPC为等腰三角形时•，请直接写出所有符合条件的P点

坐标.

13.如图所示，菱形的顶点在轴上，点在点的左侧，点在轴的正半轴上.点的坐标为.动

点从点出发，以每秒个单位长度的速度，按照的顺序在菱形的边上匀速运动一周，设运

动时间为秒.

(1)①点4的坐标:

②求菱形A8CD的面积：

(2)当时，问线段上是否存在点，使得最小，如果存在，求出最小值；如果不存在，请说

明理由.

14.如图，z^ABC中，ZC=90°,AC=8cm,BC=6cm,若动点P从点C开始，按C-

A-B-C的路径运动，目速度为每秒1cm,设运动的时间为t秒.

(1)当t=秒时,CP把AABC的面积分成相等的两部分，此时CP=

(2)当t为何值时，AABP为等腰三角形.

⑶若点P在线段AC上运动，点Q是线段AB上的动点，求PB+PQ的最小值.

15.已知等边AABC中.AB=8,点D为边BC上一动点，以AD为边作等边AADE,

且点E与点D在直线AC的两侧，过点E作EF//BC,EF与AB.AC分别相交于点F、G.

⑴求证：四边形BCEF是平行四边形；

(2)设BD=,FG=,求关于的函数解析式，并写出定义域;

⑶当AD的长为7时，求线段FG的长.

16.如图，在平面直角坐标系中，点D的横坐标为4,直线：经过点D,与x轴、y轴分

别交于A.B两点，直线：经过点、点D两点.

(1)求直线的函数表达式；

(2)求"g)的面积；

(3)点P为线段AD上一动点，连接CP.

①求CP的最小值；

②当为等腰三角形时，直接写出点P的坐标.

17.如图，在矩形ABCD中,E是BC上一动点，将aABE沿AE折置后得到aAFE,点

F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G,AB=3,AD=4.

图3

(1)如图I,当NDAG=30°时，求BE的长;

(2)如图2,当点E是BC的中点时，求线段GC的长;

(3)如图3,点E在运动过程中，当4CFE的周长最小时，直接写出BE的长.

18.如图1,点A在y轴上，点B.点C在x轴上，点D在第一象限，且AABC与4

ADC均为等边三角形，点B坐标为(-3,0),点E为线段BC上一动点，点F为直线

DC上一动点，且NEAF=60°,连接EF.

(1)填空：写出点A.点D的坐标，点A；点口；

(2)试判断4AEF的形状，并给予证明；

(3)直接写出E/7长度的最小值以及此时点尸的坐标；

(4)将条件改为“点E为CB延长线上一点”，其他条件不变，4AEF的形状是否发生

变化？在图2中画全图形(不必证明)，直接写出当点E坐标为(-5,0)时,EF的

长度以及此时点F的坐标.

19.如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx过点B(m,6),过点B分别作x轴和y

轴的垂线，垂足分别为点A,C,/AOB=30。.动点P从点O出发，以每秒2个单位

长度的速度向点B运动，动点Q从点B出发.以每秒个单位长度的速度向点C运

动.点P,Q同时开始运动，当点P到达点B时，点HQ同时停止运动，设运动时间为t

秒.

(备用图)

⑴求，〃与A的值：

(2)设4PQB的面积为S,求S与I的关系式;

(3)若以点P.Q.B为顶点的三角形是等腰三角形，请求出t的值.(温擎提示：在直角三

角形中,30。的角所对的直角边等于斜边的一半)

20.如图，在平面直角坐标系中,OA=OB=6,OD=1,点C为线段AB的中点.

y

(i)直接写出点c的坐标为:

⑵点P是x轴上的动点，当PB+PC的值最小时，求此时点P的坐标；

(3)在平面内是否存在点F,使得以A、C、D、F为顶点的四边形为平行四边形？若存

在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由.

参考答案:

1.

(1)

直线交轴于点，交轴于点,

点是中点,

124

•・S“c=-xACxPC=——；

.近225

(2)

又，，

GO

••・哈。｝

⑶

,C//=^C<P=6

AP5

319

的取值范围

(4)

设点，过点作轴丁点,

则，

同理可得:，，

当时，即,解得或舍去;

当时，同理可得；

当时，同理可得或，

故点的坐标为或或或.

2.

解：•・•点P(-l,t)在直线直线12上,

.\t=-2X(-I)-1=1,

BPP(-I,1),

把B.P的坐标代入可得，

解得，

.*.t=1,k=2,b=3；

(2)

解：：直线y=-2x-1交y轴于点A,

/.A(0,-I),

VP(-1,1),B((),3),

(3)

解:①・・・MN〃y轴，

・・・M、N的横坐标为a,

设M、N的纵坐标分别为ym和yn,由(1)可知直线11的函数表达式为y=2x+3,

.*.ym=2a+3,yn=-2a-1,

当MN在点P左侧时，此时a<-1,

则有MN=yn-ym=-2a-I-(2a+3)=-4a-4,

VMN<4,

・・.-4a-4<4,解得a>-2,

・•・此时-2V.V-1：

当MN在点P的右侧时，此时a>-1,

则有MN=ym-yn=2a+3-(-2a-1)=4a+4,

VMN<4,

A4a+4<4,解得aVO.

••・此时・IVaVO；

当a=-1时，也符合题意，

综上可知当-2VaVO时,MN<4；

②由(2)可知SZ\APB=2.

由题意可知点M只能在y轴的左侧，

当点M在线段BP上时，过点M作MC±y轴于点C,如图1

VSAAPM=SAAMB.

ASAABM=SAAPB=,

••・AB・MC=,即2MC=,

解得MC=,

・••点M的横坐标为B|Ja=-,

84

.•・A/N=44+4=—+4=一；

33

当点M在线段BP的延长线上时，过点M作MDly轴于点D,如图2,

VSAAPM=,

.\SAABM=2SAAPB=4,

・・.AB・MD=4,即2MD=4,

解得MD=2,

工点M的横坐标为-2,

AMN=-4a-4=8-4=4(不合题意舍去)，

综上可知MN的长度为.

3.

解：・・・|c-l|+(a+b)2=0,

/.c=1,a=-b,

/.OA=OB,

，NABO=45°,

故答案为：1,45。.

(2)

证明：・・・AF_LBC,

/.ZAOE=ZBFE=90°,

VZAEO=ZBEE

AZOBC=ZOAE,

在AAOE和aBOC中，

.,.△AOE^ABOC(AAS).

：,OE=OCx

⑶

设NFAO=x,则NFBO=2/FAO=2x,

•••0在AF的垂直平分线上，

.\AO=OF.

.\ZOAF=ZOFA=x,

,ZGOF=ZOAF+ZOFA=2x,

•・•NFBO=2NFAO=2x,OB=OA=OF,

AZ0FC=Z0BF=2x,

・•・ZBCO=ZCOF+ZOFB=4x,

•.•/OBC+NOCB=90°,

.\6x=90°,解得x=15。，

AZOBC=ZGOF=2x=30°,

"(1,0),

・・・OC=1,

・.,NBOC=90",ZOBC=30°,

ABC=2OC-2,,

AOA=OF=OB=,

同理可得：，

JSAABF=SAACB+SAACF=XACXFG+XACXOB=X(+l)(+)=.

4.

⑴

•・•四边形人8co是矩形

.\AB=0C,AO=BC

VA(10,0),B(10,8)

•♦•OC=OB=8

・••点C的坐标为(0,8)

故答案为：0,8

(2)

设直线AC的解析式为y=k.^b

把点A(10,0)(0,8)代入得,

”+〃=0

[b=S

解得.

4

・•・直线AC的解析式为,V=--x+8

把点Q(5,n)代入得，

4

n=一一x5+8=4；

5

(3)

①当时，

过点Q作QD1OA于点D,如图，

：.QD=4

AS=-(10-2r)x4=20-4r；

2

②当时,OP=AP-AO=2t-10

过点Q作QE1OC于点E,如图,

y

o\1

VQ(5,4)

・・・QE=5

AS=^(2/-10)x5=5/-25

综上，

5

(1)

:.ZL4=30°

•・•△CDE为等边三角形

/."EC=60。

、:NOEC是.外角

/.ZDEC=ZA+Z4DE

/.ZADE=30°=ZA

DE=EA

故答案为相等.

VAF//CE,CF//AE

・•・四边形AEC户是平行四边形

「ZACB=90°

：.OC=OB=OA

ZABC=60°

•••△8C0为等边三角形

•••△CDE是等边三角形

，/DCB=NOCE=60°-4DCO

：・OC=BCCD=CE

/.公BC*AOCE

工ZEOC=ZB=60°

，"<74=60。

又,二

Z.△OCWAOAE(SAS)

：,CE=EA

，平行四边形AEC厂是菱形

(3)

当点D在AB延长线上时，作于H,当四边形AECF为正方形时,

,/ZDCE=60°

・•・ZDCfi=15n

•・•ZABC=60°

NCDH=45。

••叱2指

•oC=------

3

/.AC=43BC=2y/2

：,CH=-AC=yf2

2

，AH=6AH=指

,/ACDE为等边三角形

:,CH=DH=近

:.AD='6

当点D在AB上时作于H,

同理可得是等腰直角三角形,

贝ljAQ=AH-五

综上.或.

6.

解：①矩形OABP中，，

沿AC折叠后得到,

当点E与原点0重合时,

在和中,

NOPC=乙4。。=90。

/COP=ZOAD

OP=AD

.^OCP^^AOD(AAS)；

②;点C为PB的中点,

由①知：,

在中，由勾股定理得

即O尸长为百;

(2)

解：当，

则.

沿AC折叠后得到，

设,

则,

在中,,

在中,

在中,

即，

解得，

此时，点P的坐标为；

若点E在0A上，点D在第一象限，过点E作于F点，如下图,

则,

・•・四边形EFPO是矩形,，

在和中,

在中,

此时，点P的坐标为.

若点E在0A上，点D在第二象限时，过点C作于F点，如下图,

则.

VZFAB=ZB=ZAFC=90°,

・•・四边形AFCB是矩形，

.\AB=CF,

在和中,

在中，

即，

点P的坐标为.

综上所述，点P坐标或或.

7.

(1)

(2)

结论：.

⑶

中的结论仍然成立

理由：连接,

图2

8.

(1)

解：将点，代入得,

解得，

*

当时,,

(2)

解：设直线的解析式为，

将B点坐标代入得，解得，

・••直线的解析式为，

故设过点且平行于的直线辞析式为,

将A点坐标代入得，

・.・过点且平行于的直线解析式为，

当时,，

(3)

解：由(2)可得，以点D.E、P、Q为顶点的平行四边形分两种情况求解:

①当是平行四边形的边长时，则点Q在x轴上方，设，

♦*

••，

解得，

*

••，

••

•9，

・•・G(-5,2)；

同理,

*

••，

②当是平行四边形的对角线时，则点Q在x轴下方，设，

同理，

*

••，

•・•的中点坐标为，

・••的中点坐标为，

，2(3-2)；

综上所述，点坐标为，的点坐标为或或.

9.

如图所示：

BPA

BQ=2X2=4cm,

BP=AB-AP=8-2Xl=6cm,

•・•/B=90°

PQ=1BQ，+BP?=次+6?=2V13cm；

(2)

当APQB笫一次形成等腰三角形时，BQ=BP.

VBQ=2t,BP=8-t,

A2t=8-t,

解得：t=;

(3)

ZB=90°,AB=8cm,BC=6cm,

ACcm,

①当CQ=BQ吐如图

则NC=NCBQ,

VZABC=90°,

AZCBQ+ZABQ=90°

VZA+ZC=90°,

AZA-ZABQ,

ABQ=AQ.

/.CQ=AQ=5cm,

ABC+CQ=11cm,

：.t=11+2=5.5秒；

②当CQ=BC时,如图2,

c

图2

则BC+CQ=12cm,

：.t=12+2=6秒;

③当BC=BQ时，如图3,过B点作BE±AC于点E,

图3

则BE二cm,

/.CE=cm,

ACQ=2CE=7.2cm,

BC+CQ=13.2cm,

：.t=13.2:2:6.6秒；

综上可知，当t为5.5秒或6秒或6.6秒吐4BCQ为等腰三角形.

10.

(1)

证明：・・・BFJ_CE,

/.ZCGB=90°,

/.ZGCB+ZCBG=90°,

丁四边形ABCD是正方形，

.,.ZCBE=90°=ZA.BC=AB,

.\ZFBA+ZCBG=9O0,

，NGCB=NFBA,

在AABF和ABCE中,

•・.△ABm/XBCE(ASA)；

⑵

解:①由题意可知AB=CD=BC=2,

♦・•点E是AB的中点,

EA=EB=AB=1,

ACE=,

在RtACEB中,

BG-CE=CB-EB,

.R「_CBEB_20

..nl/------------------------

CE5

②证明：如图，过点D作DH_LCE十H,

由①可得CG=,

VZDCE+ZBCE=90°,ZCBF+ZBCE=90°,

，NDCE=ZCBF,

VCD=BC,ZCHD=ZCGB=90°,

.,.△CHD^ABGC(AAS),

，CH=BG=,

/.GH=CG-CH==CH.

•・・CH=GH,DH±CE,

：・DC=DG；

11.

(1)

解：•・•AD是由AB折叠得到,

*

••9

・•・0(0,-4)；

(2)

,当时，

当时,，

综上所述，的面积是，(),

或，().

(3)

♦*

♦,

由题意可知:，八

*

••一

・•・，解得,，解得，

Aa的值是7.

(1)

解：•・•一次函数的图象分别交x轴,y轴于点A和B,

・••点A(一,0),点B(0,-1),

设宜线8c的解析式)，=心十%

代入B(0,-1),C(-3,0).

解得，

・•・直线BC的函数解析式.

(2)

①设点P(m,0),则点M(m,),点N(m,)

依题意可得PM=PN

/.-2/7/-1-0=

解得：

••・点P(-,0)

(3)

设尸(匹0),而3(0,-1),C(-3,0),

\PC2=(X+3)2,P/52=X2+L^C2=32+12=10,

当时，

\(X+3)2=X2+L

解得：

当PB=BC,

\x2+l=)0,

解得:

当时，不合题意舍去,

当时，

\(x+3『=10,

\X)=-3+\/10,x2=-3->/10,

\P(-3+W,0)或夕(・3•痴,0).

综上：点P(3,0)或(,0)或(,0)或

13.

(1)

①•二

•・•四边形是菱形,

*

••，

・••点B的坐标，

故答案为：

②•・•在菱形中,,

・•・菱形的面积二.

(2)

如图所示：

当时,，

在菱形中，点关于的对称点为,

连接交于点.连接.

在'中,

・•・的最小值为.

14.

(1)

解：在直角三角形ACB中，由勾股定理得AB=,

VCPJE1AABC的面积分成相等的两部分，

・・・P为AB的中点,CP=.

••・运动的路径长为AC+AP=8+5=13.

运动的时间为13+1=13(秒)

所以t=13；CP=5.

(2)

解：AABP为等腰三角形，点P只能在AC上且PA=PB,

设CP=t,贝ijAP=BP=8-t,

在Rt^BCP中，BC2+CP2=BP2,即62+t2=(8-t)2.

解得,t=,

.••当t=时，Z\ABP为等腰三角形；

(3)

作点B关于AC的对称点,过点作AB的垂线段，交AC于点P,交AB于点Q连

接AB',

则垂线段B，Q即为所求的PB+PQ的最小值，

VSAABB/=XBB'XAC=X12X8=48,SAABBf=XABXB'Q,

・・・B'Q=,即PB+PQ最小值为.

15.

(1)

•••△ABC是等边三角形

/.AB=AC

ZBAC=/ABC=ZACB=60°,

•••△AOE是等边三角形

：,AD=AE

JZDA£=60°,

ABAC-ADAC=ZDAE-ZDAC即/BAD=ZCAE

:・AABD^AACE(SAS)

:.BD=EC

・•・ZACE=ZB=60°

：./BCE=ZACB+ZACE=120°,

J.N8+N8CE=180。，

：.AB//EC

'JEF!IBC

，四边形BCE/是平行四边形

(2)

*：EFIIBC

・•・ZCGE=ZACfi=60°

・•・NCGE=ZACE=a)。

；.GE=EC

/.GE=EC=BD=x

FG=FE-GE

Ay=8-x(0<x<8)

⑶

作AH_LBC,垂足为H

AH2+BH2=AB2

，A?72+42=82

，AH=4>/3

在中,

AH2+DH2=AD2

即，解得或;

•••FG=8-x

・・・FG的长为3或5

16.

(1)

将代入得:

・••点D的坐标为.

将，代入得

k+b=O

4k+b=6

k=2

解得

h=-2

・•・直线的表达式为.

⑵

过点D作轴于点E,

DE=6

将y=。代入y=x+2得x=2

*

••，

，AC=3

*

•••

(3)

①由题可知：当时,CP的值最小，

由(2)可知,

丁点E坐标为，

JAE=AO+OE=2+4=6

在中，.

•*-AD=\IAE2+DE2=V62+62=6X/2

,:S*CD=；ADCP=9

•••

②;点P在直线y=x+2上，

・•・设点P(x,x+2),

VA(-2,0),C(I,0)

*

(a)当时，即,则:

2(X+2)2=9

解得，

当时，；当时，；

・•.点。的坐标为(土座,拽)或(土土巨，-迪)

2222

(b)当时,即，则：

(X-1)2+(X+2)2=9

解得,x=l或x=・2(舍去)

当时，；

，点。的坐标为(13)

(c)当时,即,则:

2(x+2)2=(X-1)2+(X+2)2

解得，

••.片|

工点P的坐标为(，)

综上，点P的坐标为：()或()或()或(，)

17

(1)

解：：四边形ABCD是矩形，

AZBAD=90°,

VZDAG=30°,

・・・NB4G=60。

由折叠知，ZBAE=ZBAG=30°,

在Rt^BAE中，NBAE=30°,AB=3,

:・BE=&

(2)

解:如图4,连接GE,

04

IE是BC的中点,

.*.BE=EC,

VAABE沿AE折叠后得到aAFE,

・・・BE=EF,

AEF=EC,

•・•在矩形ABCD中，

/.ZC=90°,

/.ZEFG=90°,

;在RtAGFE和RtAGCE中，

EG=EG

'EF=EC

ARtAGFE^RtAGCE(HL).

：,GF=GC；

设GC=x，则AG=3+x,DG=3-x,

在RtZ\ADG中,42+(3-x)2=(3+x)2,

解得x=.

(3)

解：如图1,由折叠知，NAFE=NB=90°,EF=BE,

・•・EF+CE=BE+CE=BC=AD=4,

・••当CF最小时，ACEF的周长最小，

VCF>AC-AF,

・•・当点A,F,C在同一条直线上时,CF最小，

由折叠知,AF=AB=3,

在RlAABC中,AB=3,BC=AD=4,

:.AC=5,

.\CF=AC-AF=2,

在RtACEF中,EF2+CF2=CE2,

.\BE2+CF2=(4-BE)2,

ABE2+22=(4-BE)2,

/.BE=.

18.

解：⑴・••△ABC是等边三角形，AO_LBC,

A0B=0C,ZBA0=ZCA0=30°,

•・•点B坐标为(-3,0):

.\0B=0C=3,

AAB=6,

/.0A3,

AA(0,3),

VAABC和4ADC都是等边三角形，

AAD=AC=AB=6,ZACB=ZACD=ZD=60°,

.\ZD+ZBCD=180°,

.,.AD//BC,

AD(