高中数学-242 求函数零点近似解的一种计算方法-二分法教学设计学情分析教材分析课后反思

教学设计

【课标要求】

1.根据具体函数的图象，能够借助计算渊用二分法求相应方程的近似解：

2.了解二分法是求方程近似解的常用方法。

【教学目标】

1.知识与技能：

掌握应用二分法求方程近似解的原理与步骤，会用二分法求方程的近似解.

2.过程与方法：

体会“猜价格”游戏的原理，从而获得函数零点的近似值的一种方法：理解二分法的基本思想,

渗透算法思想.

3.情感、态度及价值观：

通过创设情境调动学生参与课堂的热情，在二分法步骤的探索、发现过程中，获得成功的体

验，锻炼克服困难的意志，建立学习数学的自信心.

【学情分析】

学生已学过函数的概念、性质及基本初等函数（I）,对函数有一定的认识，对函数思

想也有一定的体会，同时又在初中学过方程有关知识，因此为本节课学习奠定了知识基础；

另一方面，作为高一学生.，抽象思维能力、分析和解决问题能力比初中时有很大的提升，为

学习本节内容又准备了能力基础。

【教学重难点】

重点：1.零点存在定理的内容及应用

2.二分法的定义及需要的条件

3.应用二分法求函数零点近似解的步骤

难点：1.零点存在定理中“至少有一个”的理解

2.极限思想及二分法何时结束

【课前准备】

1.利用一节课的时间看基础知识，初步完成学案课堂探究案题目。

2.学生利用闲暇时间阅读有关二分法的相关书籍，或者观看相关影视节目，比如《幸

运52》。

3.找一名同学当“猜价格”游戏的主持人。

【教学过程】

一、复习旧知

［教师］计算下面四个函数的零点：

1.函数y=x-2的零点是

2.函数、=/用的零点是

3.函数、=/+一？x・2的零点是

4.函数y=lnx+2x-6的零点是

问题1.第3、4题你会求零点吗？

［设计意图］回顾零点的求法，强调零点是数，不是点：第3、4题用我们现

有的知识不会求，那就需要找新的办法求解。

二、创设情景，激发兴趣

［教师］大家知道中央电视台有一档收视率很高的节目叫“幸运52”，其中有一

个环节，是让选手猜商品的价格，规则是给出商品的价格范围，主持人根据实际

价格和选手报价给出提示：“高了”、"低了''、“正确”。你怎样用最少的次数才

对？下面有请几个同学来演示一下竞猜的情景。

［设计意图］这个选手猜商品价格的方法实际上是采用“二分法''去猜，所以能

很快的猜出商品的价格。通过这样的方式导入课题，一方面可以激发学生学习的

兴趣和热情，另一方面也是让学生领会编程算法思想：二分法。为下面教学活动

的开展做好铺垫。

三、引导探究、获得新知

问题2.,卜.面哪种猜法好，你能找出里面蕴含的道理吗？

［学生］第二种方法好。

［教师］这种方法就是我们今天要学习的二分法。

二分法：每次取中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小

区间的方法叫二分法。常用于查找线路：电线、水管、气管等管道线路故障。

问题3.如果要猜对价格需要哪些提示？

［学生1］要有误差范围

［学生2］要有价格区间

［学生3］要有提示“高了”、“低了”

［教师］这也是二分法求零点的要求：1.初始区间

2.提示是高了，还是低了，找到下一个区间

3.误差范围

问题4.函数、=/+/"x・2的零点什么？如果用二分法应求什么？

［学生］先求初始区间，

问题5.如何求函数的初始区间？

问题6.尸f(x)的图像是不间断的(连续)，如果f⑴>0,f(2)<0,则尸f(x)

在(1,2)上有零点吗？有几个？观察下图

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问题7.你能得到一般性的结论吗？

［设计意图］通过老师的引导，由学生比较顺利的得出零点存在定理。便于

学生的记忆。

零点存在定理：

如果函数尸f(x)在区间［a,b］上的图象是连续不断的一条曲线，并且有

f(a)f(b)〈O,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点。

零点的分类：

若零点的左右函数值符号相反，该零点叫变号零点；

若零点的左右函数值符号相同，该零点叫不变号零点。

问题8二分法下次取［a,b］的中点c,若f(c)〉O,则函数的零点在哪个区间？说

明二分法只能求什么零点？

［设计意图］由数形结合体会二分法并不是求所有的零点，有其局限性。

问题9在上面的定理中，若f(a)f(b)>0,则函数在［a,b］中有零点吗？

［设计意图］进一步理解定理的内容，f(a)f(b)>0是使函数在［a,b］中有零

点的充分条件，并非充要条件。

四、典例探究

例1及练习

学生活动：由学生分析问题，并总结这几个题的规律，有问题老师补充。

师生得到如下规律：

1.二分法只能求变号零点；

2.尸f(x)图像连续

(1)若f(a)f(b)<0,则f(x)在(a,b)上肯定有零点；

(2)若f(a)f(b)<0,且在(a,b)上单调呢?

(3)若f(a)f(b)>0,(a,b)上零点不能确定。

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例2求函数"x・2的一个正实数零点(精确度为0,1)。

学生活动：根据以下问题小组互助操作，应用刚才学的知识，如何解

决例2,并最后由小组代表总结发言.

问题10：能否将此根所在区间再进一步缩小，反复操作使之无限逼

近方程的根，从而求出方程的近似解？

问题11：何时终止计算，取得近似解？

问题12：如何确定精确度？如何理解精确度？

问题13：当£=。1时，方程的近似解是多少？

［设计意图］

1.以问题研讨的形式替代教师的讲解，分化难点、解决重点,

有利于学生对知识的掌握，并强化对•二分法原理的理解.

2.学生在讨论、合作中解决问题，充分休会成功的愉悦.

学生活动：做例2的练习，找一个学生到黑板上板演。

［设计意图］规范步骤，巩固所学。

学生活动：思考二分法的步骤是什么？

［师生］给定精度2,用二分法求函数/S）的零点近似值的步骤如下：

1.确定区间［以，句，验证/（。）・给定精确度/

_a+b

2.求区间3,一的中点一二下"；

3.计算了（c）：

若/9）=0,则c就是函数的零点；

若/⑷・〃c）〈o,则令b=c（此时零点与e3，c））；

若/⑹・/。）＜0,则令ax（此时零点^^匕㈤）；

4.判断是否达到精确度/

即若|以一刈＜凡则得到零点近似值a（或3）；

否则重复步骤2—4.

［设计意图］

1.让学生从特殊到一般得出求函数零点近似解的的常用方法，

揭示数学通常的发现过程，给学生“数学创造”的体验，这种

引出方式自然而易于学生接受.

2.培养学生提炼方法，归纳概括的能力，并学会学以至用.渗透从

特殊到一般的数学思想.

五、当堂检测

［设计意图］检测本堂所学，分层设计题目，使各层学生均有所获。

六、课堂小结

由学生和教师共同总结本节课所学到的知识.

［教师］:通过本节课的学习，谈谈你有何收获与体会？

［学生］:经过思索后可能生成以下预案：

1.明确二分法是一种求一元方程近似解的常用方法.

2.二分法求方程的近似解的步骤，让我们感受到程序化的方法即算法

的价值.

3.本节课充分体现了数学中的一些数学思想，如二分法、数形结合思想

及无限逼近的思想等.

［设计意图］通过息结，培养学生数学交流和表达的能力，养成及时总结

的良好习惯，并将所学知识纳入已有的认知结构.通过对二分

法求方程近似解步骤的总结，渗透算法的知识，为算法的学习

做铺垫，并便于理解记忆，归纳梳理J'本节的知识和方法.

七、作业

练习册：

P76例2的互动探究P8822题

（B、C层选做）课本P75B组1、2

八、课后拓展

“三分法”

［设计意图］学习古代中国的精髓，讲一步保讲学生学习的积极性。

学情分析

1.高一学生求知欲强，好奇心重.由于初中已学习了解一元一次、

二次方程的方法，对三次、四次及更高次方程的求解充满好奇。基于

此，用游戏引入，问题引导的方式符合学生现在的心理.，学生对探索

解法也有兴趣。但是一些学生在初中数学学习中习惯被动接受，理性

思维能力较差，另外对算法的理解以及对教材中归纳的使用二分法求

函数零点近似解一般步躲和精确度的理解也是教学难点，因此所设置

的问题由易入手，循序渐进，培养训练学生理性思维。

2.学生已学过函数的概念、性质及基本初等函数（I）,对函数

有一定的认识，对函数思想也有一定的体会，同时又在初中学过方程

有关知识，因此为本节课学习奠定了知识基础；另一方面，作为高一

学生，抽象思维能力、分析和解决问题能力比初中时有很大的提升,

为学习本节内容又准备了能力基础。

3.学生在学习过程中可能遇到的困难：对二分法概念和步骤的理

解；复杂计算的处理以及逼近思想的体会。

4.学习策略：多利用图表直观，运用数形结合的思想，从具体到

一般进行抽象概括。

学生学习效果分析

【评测结果】

一、复习回顾

本环节前两个问题简单，能当堂回答，强调零点是数。

二、课堂提问

随着讲述内容的推进，一些基础性的知识由学生当堂做答，回答基本正确，但有些

有难度，或回答不完整，需要教师提醒，说明有些知识需要老师讲。

三、课堂探究案展示与点评

学案学生提前做了，例1、例2完成很好，但例2的练习运算量大，很多同学计算

出现了错误，应提高计算能力，整理解题思路。

四、课堂检测

前三个小题基本能做对，但选做题有难度，B层选做任福刚I可答很好，表达合理，C

层选做牟文红能当堂答出来，很优秀。

【效果分析】

通过课内观察和课后学生反映，这节课的教学效果明显，三维目标达成度高，特别是前

三个题基本上都能掌握，后两个选做题有学生能当堂做出来，很好的体现了学生的表达能力

和严密的思维能力。

对于选做题，B层选做体现r数学与生活的联系，用数学知识解决实际问题，在写步骤

时注意灵活变通，没有整数解，可以往前或往后延伸一个，数学来源于生活又为生活所用。

c层选做对学生的思维要求高，要综合应用这节课所学的所有知识，苜先要判断两个端

点的符号，在这里两个端点的符号相同，可以再找中间的某个值做更细致的研究。这里取值

也不用很麻烦，就取常见的整数就可以，一般问题就能解决，但这种探索的精神是需要勇敢

者才具备的。

总之，通过当堂检测，既让所有同学对本节进行r回顾和检测，又让学有余力的同学得

到了提升。

教材分析

一.教材内容分析

教材通过对方程解的探究，让学生体会函数的零点与方程

的根之间的转化，让学生能根据具体的函数图象能够借助计算器

或计算机等信息技术工具，用二分法求相应方程的近似解，并了

解这种方法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之

间的联系，并初步形成用函数观点处理问题的意识。它既是本节

的重点，也是高中数学的重耍内容。二分法的思想方法是对函数

知识的拓展，既体现了函数在解方程中的重要应用，同时又为高

中数学中函数与方程思想、数形结合思想、算法思想打下了基础，

为数学3中“算法”的学习做了铺垫，对学生以后学习圆周的计

算，求得面积体积公式的由来等微积分的知识也起了铺垫的作用。

二.教学重点，难点分析

本节课的教学重点是：掌握用二分法求给定方程的近似解。

首先学生要理解二分法的概念和思想，以及适用的条件；其次

要能应用二分法，借助计算器，计算机等信息技术工具具体求

方程的近似解；最后要能根据精确度求出方程的近似解。在这

个过程中逐步了解逼近思想，强化函数与方程的思想和数形结

合的思想，从而培养学生探究问题的能力和严谨的科学态度，

创新能力。

本节课的教学难点是：精确度的理解，二分法步骤中的

算法思想。在本节的学习中，精确度的理解是一个难点。在学

生应用二分法，逐步缩小零点所在区间的过程中，计算何时停

止，是一个实际问题。在学生的学习经历中，对“近似解精确

到小数点后几位”是熟悉的，但在本节中，需要通过对区间长

度的精确来约束循环计算的次数，而区间内的任意数都可以作

为零点的近似值，学生在这一点上是很难理解的。因此需要在

前置作业的预习中，先让学生自主查阅有关“精确度”的概念,

对比物理上常用的“误差”的概念，然后通过课堂上的合作探

究来突破难点。另外，在总结二分法步骤中渗透的算法思想也

是本节课的难点，特别是对于“c二b”“c二a”等语句的理解。

【课前预习】

1.知识链接

(I)什么叫函数的零点？

(2)《幸运52》节目中有一切目是猜价格，主持人给出物品的价格区间，然后选手猜价格,

主持人提示高了，还是低了。你怎样用最少的次数才对？

(3)如果用二分法需要满足那两个条件？

【课内探究】

探究一变号零点存在定理的应用

例1.二次函数f(x)=ax?+bx+c(xeR)的部分对应值如下:

X-3-2-101234

y6in-4-6-6-4n6

不求a,b,c的值，可判断ax2+bx+c=0的两根所在区间是()

A.(-3,-1)(2,4)B.(-3,-1)(-1,1)

C.(-1,I)(I,2)D.(-oo,-3)(4,+8)

2

练习：用二分法求函数f(x)=lnx-x■的零点时，初始的区间大致可选在()

A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(e,+oo)

规律总结

探究二二分法求近似值

例2（课本例题）用二分法求函数一2'-2的一个正实数零点（精确到o.i）

练习1.用二分法求方程/-2x-5=°在区间［2,3］内的实根，由计算器可算得了（2）

，⑶=16，/（2.5）=5.625,那么下一个有根区间为.

2.求函数Kx）=d+2x2-3x-6的正数零点（精确度为0.1）.

规律总结:

【测评练习】

1.若函数f(x)在区间［a,bj上为减函数，则f(x)在［a,b］±().

A.至少有一个零点B.只有一个零点

C.没有零点D.至多有一个零点

2.下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点近似值的是().

3.函数工一,=。的零点所在区间为().

x

A.(0,I)B.(0,2)C.(I,2)D.(-1,I)

4.(B层选做)从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点，现在某接点发生故障，而及

时修理，为了尽快断定故障发生点，应该如何检查接点？

x4-4X-2=0

5.（c层选做）证明：方程在［-1,2］上至少有两个实根。

课后反思

1.本节教学内容的脉络是：先对上节课已经研究的函数的零点问

题的研究结论加以回顾，并进一步提出后续问题，即“零点的值究竟

是多少”，以开门见山的方式提出问题，引发学生的思考.然后提问函

数丫=/十/一2“一2的零点如何求解，对于如何解决这个问题，

以一道生活中的实际问题为背景启发学生寻求解决问题的方法.这样

从实际问题迁移到数学问题，调动学生参与课堂的热情，激发学生学

习数学的兴趣.通过丫=/十/一2“一2的零点问题引入主题，引导

学生以这个问题为线索展开讨论，用生活中的实例作为启发，进而回

到方程求解当中，进一步理解二分法的概念、原理及其适用条件，掌

握运用二分法求方程近似解的方法.

2.数学思想的教学一般要经过渗透孕育期、领悟形成期、应用

发展期、巩固深化期四个阶段，而非简单复制与灌输.在探究“用二

分法求方程的近似解”的方法过程中本着“四主”的教学思想，即以

“学生为主体，教师为主导，问题为主线，思维为主攻”，重点突出

学生的“质疑、解疑”和教师的“启发导疑”的求知过程.通过体验

求方程近似解的二分法的探究过程，启发学生利用直观想象分析问题,

来培养学生的直观想象能力，加强学生对数学道性通法的学习，体验

二分法的算法思想，培养学生自主探究的能力.感受方程与函数之间

的联系，及数形结合思想的魅力.

3.通过师生的“质疑”、“导疑”、“解疑”，最后“规范格式，归纳

探究成果”的过程，让学生感受到由特殊到