小升初数学冲刺练习题+典型例题分析-找规律类型

名校真题测试卷找规律篇

1（清华附中考题）

如果将八个数14,30,33,35,39,75,143,169平均分成

两组，使得这两组数的乘积相等，那么分组的情况是什么？

2（三帆中学考题）.

观察

1+3=4；4+5=9；9+7=16；16+9=25；

25+11=36这五道算式，找出规律，

然后填写2001（）=20022

（西城实验考题）

12123412345612812

一串分数:~~，二，二，~~，二，二，二9~77,■•，••，其中的第

33,55557777779991111

2000个分数是

4（东城二中考题）

在2、3两数之间，第一次写上5,第二次在2、5和5、3之间

分别写上7、8（如下所示），每次都在已写上的两个相邻数之

间写上这两个相邻数之和.这样的过程共重复了六次，问所

有数之和是多少？

2...7....5...8....3

5（人大附中考题）

请你从01、02、03、…、98、99中选取一些数，使得对于

任何由0〜9当中的某些数字组成的无穷长的一串数当中，

都有某两个相邻的数字，是你所选出的那些数中当中的一

个。为了达到这些目的。

（1）请你说明：11这个数必须选出来；

⑵请你说明：37和73这两个数当中至少要选出一个；

⑶你能选出55个数满足要求吗？

【附答案】

1【解】分解质因数，找出质因数再分开，所以分组为

33、35、30、169和14、39、75、143。

2【解】上面的规律是：右边的数和左边第一个数的差

正好是奇数数列3、5、7、9、11……,所以下面括号中填的

数字为奇数列中的第2001个，即4003。

3【解】分母为3的有2个，分母为4个，分母为7的

为6个，这样个数2+4+6+8-88=1980<2000,这样2000个分

数的分母为89,所以分数为20/89。

4【解】：第一次写后和增加5,第二次写后的和增加15,

第三次写后和增加45,第四次写后和增加135,第五次写后

和增加405,……

它们的差依次为5、15、45、135、405……为等比数列,公

比为3o

它们的和为5+15+45+135+405+1215=1820,所以第六次后,

和为1820+2+3=1825o

5【解】(1),11,22,33,…99,这就9个数都是必

选的，因为如果组成这个无穷长数的就是广9某个单一的数

比如111…11…，只出现11,因此11必选，同理要求前述9

个数必选。

(2),比如这个数3737…37…，同时出现且只出现37和37,

这就要求37和73必须选出一个来。

(3),同37的例子，

01和10必选其一，02和20必选其一，……09和90必选其

一，选出9个

12和21必选其一，13和31必选其一，……19和91必选其

一，选出8个。

23和32必选其一，24和42必选其一，...29和92必选其

一，选出7个。

89和98必选其一，选出1个。

如果我们只选两个中的小数这样将会选出

9+8+7+6+5+4+3+2+1=45个。再加上11~99这9个数就是54

个。

小升初专项训练找规律篇

一、小升初考试热点及命题方向

找规律问题在小升初考试中几乎每年必考，但考题的分值较

低，多以填空题型是出现。在刚刚结束的小升初选拔考试中,

人大附中，首师附中，十一学校，西城实验，三帆，西外,

东城二中和五中都涉及并考察了这一类题型。

二、考点预测

的这一题型必然将继续出现，题型的出题热点在利用通项表

达式（即字母表示）总结出已知条件中等式的内在规律和联

系，这一类题型主要考察学生根据已有条件进行归纳与猜想

的能力，希望同学们多加练习。

三、典型例题解析◎

1与周期相关的找规律问题

【例1】、（★★”化小数后，小数点后若干位数字和为1992,

求n为多少？

【解】］化小数后，循环数字和都为27,这样1992+27=73…

21,所以n=6o

【例21（★★）有一数列1、2、4、7、11、16、22、29……

那么这个数列中第2006个数除以5的余数为多少？

【解】数列除以5的余数为1、2、4、2、1、1、2、4、2、

1…这样就使5个数一周期，所以2003+5=400…3,所以余

4o

【例3】、（★★★）某人连续打工24天，赚得190元（日工

资10元，星期六做半天工，发半工资，星期日休息，无工

资）.已知他打工是从1月下旬的某一天开始的，这个月的1

号恰好是星期日.问：这人打工结束的那一天是2月几日？

【来源】第五届“华杯赛”初赛第16题

【解】因为3X7〈24<4X7,所以24天中星期六和星期日的

个数，都只能是3或4,又，190是10的整数倍。所以24天

中的星期六的天数是偶数.再由240-190=50（元）,便可知道,

这24天中恰有4个星期六、3个星期日.星期日总是紧接在

星期六之后的，因此，这人打工结束的那一天必定是星期六.

由此逆推回去，便可知道开始的那一天是星期四.因为1月

1日是星期日，所以1月22日也是星期日，从而1月下旬唯

一的一个星期四是1月26日.从1月26日往后算，可知第

24天是2月18日，这就是打工结束的日子.

2图表中的找规律问题X

【例4】、(★★)图中，任意—一个连续的小圆圈内三个数的

连乘积郡是891,那么B二.

O°O

®&

【来源】第十届〈小数报》数学竞赛初赛填空题第5题

【解】根据“任意三个连续的小圆圈内三个数的连乘积都

是891”，可知任意一个小圆圈中的数和与它相隔2个小圆

圈的小圆圈中的数是相同的.于是，3=8914-(9X9)=11.

【例5】(★★★)自然数如下表的规则排列：求：(1)

上起第10行，左起第13列的数；

125101726

।।।।।

4-36111827

llll

9-8-7121928

16-15-14-132029

25-24-23-22-2130

36-35-34-33-32-31

(2)数127应排在上起第几行，左起第几列？

【解】：本题考察学生“观察一归纳一猜想”的能力.此表

排列特点：①第一列的每一个数都是完全平方数，并且恰好

等于所在行数的平方；②第一行第n个数是(n-l)2+h②

第n行中，以第一个数至第n个数依次递减1；④从第2列

起该列中从第一个数至第n个数依次递增1.

由此(1)((13-1)2+1)+9=154；(2)127=112+6=((12-1)

2+1)+5,即左起12列，上起第6行位置.

较复杂的数列找规律

【例6】、(★★★)设1,3,9,27,81,243是6个给定的

数。从这六个数中每次或者取1个，或者取几个不同的数求

和(每一个数只能取1次)，可以得到一个新数，这样共得到

63个新数。把它们从小到大一次排列起来是1,3,4,9,

10,12,…，第60个数是o

【来源】1989年小学数学奥林匹克初赛第15题

【解】最大的(即第63个数)是

1+3+9+27+81+243=364

第60个数(倒数第4个数)是

364-l-3=360o

【例7】、(★★★)在两位数10,11,98,99中，将每

个被7除余2的数的个位与十位之间添加一个小数点，其余

的数不变.问：经过这样改变之后，所有数的和是多少？

【来源】第五届“华杯赛”初赛第15题

【解】原来的总和是10+11+…+98+99=也等二4905,被7除

余2的两位数是

7X2+2=16,7X3+2=23,…，7X13+2=93.

共12个数.这些数按题中要求添加小数点以后，都变为原数

的"因此这一手续使总和减少了

（16+23+-・・+93）X=x告=588.6

所以,经过改变之后,所有数的和是4905—588.6=4316.4.

【例8】、（★★★）小明每分钟吹一次肥皂泡，每次恰好吹出

100个.肥皂泡吹出之后，经过1分钟有-半破了，经过2分

钟还有土没有破，经过2分半钟全部肥皂泡都破了•小明在

第20次吹出100个新的肥皂泡的时候，没有破的肥皂泡共

有个.

【来源】1990年小学数学奥林匹克决赛第8题

【解】小明在第20次吹出100个新的肥皂泡的时候，第17

次之前（包括第17次）吹出的肥皂泡全破了.此时没由斐波那契数列非常

有意思!

皂泡共有100+100义士+100义片155（个）.a1r

与斐波那契数列相关的找规律

【引言】：有个人想知道，一年之内一对兔子能繁殖多少对？

于是就筑了一道围墙把一对兔子关在里面。已知一对兔子每

个月可以生一对小兔子，而一对兔子出生后在第二个月就开

始生小兔子。假如一年内没有发生死亡现象，那么，一对兔

子一年内能繁殖成多少对？

现在我们先来找出兔子的繁殖规律，在第一个月,有一对

成年兔子，第二个月它们生下一对小兔，因此有二对兔子,

一对成年，一对未成年；到第三个月，第一对兔子生下一对

小兔，第二对已成年，因此有三对兔子，二对成年，一对未

成年。月月如此。

第1个月到第6个月兔子的对数是：

L2,3,5,8,13o

我们不难发现，上面这组数有这样一个规律：即从第3

个数起，每一个数都是前面两个数的和。若继续按这规律写

下去，一直写到第12个数，就得：

1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233。

显然，第12个数就是一年内兔子的总对数。所以一年

内1对兔子能繁殖成233对。

在解决这个有趣的代数问题过程中，斐波那契得到了一

个数列。人们为纪念他这一发现，在这个数列前面增加一项

T后得到数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,……

叫做“斐波那契数列”，这个数列的任意一项都叫做“斐波

那契数”。

【例9](★★)数学家泽林斯基在一次国际性的数学会议上

提出树生长的问题：如果一棵树苗在一年以后长出一条新枝,

然后休息一年。再在下一年又长出一条新枝，并且每一条树

枝都按照这个规律长出新枝。那么，第1年它只有主干，第

2年有两枝，问15年后这棵树有多少分枝(假设没有任何死

亡)？

【解】1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,

377,610,987,1597,2584

绝对是一棵大树。

【例1()】(★★)有一堆火柴共10根，如果规定每次取1〜

3根，那么取完这堆火柴共有多少种不同取法？

【解】此题要注重思路，因为没办法直接考虑，这样我们发

现这题同样用找规律的方法，我们可以先看只有1根的情况

开始：

1根，有：1种；

2根，有1、1,2,共两种；

3根，可以有：1、1、1,1、2,2、1,3,共4种；

4根，有：1、1、1、1,1、1、2,1、2、1,2、1、1,2、

2,1、3,3、1,共7E+2+1种；

5根，有：1、1、1、1、1,1、1、1、2,1、1、2、1,1、

2、1、1,2、1、1、1,1、2、2,2、1、2,2、2、1,1、1、

3,1、3、1,3、1、1,2、3,3、2,共13=7+4+2种；

6根,得到24=13+7+4种；

即：n根，所有的取法种数是它的前三种取法的和。

由此得到，10根为274种。

［拓展］爬楼梯问题。

【例H】（★★★）对一个自然数作如下操作：如果是偶数

则除以2,如果是奇数则加，如此进行直到得数为1操作停

止。问经过9次操作变为1的数有多少个？

【来源】仁华考题

【解】这一题首先我们可以明确的是要采用逆推的方法，其

次我们还得利用找规律来归纳出计算方法。在复杂的或者步

子比较多的计数中，找规律是一种非常常用的方法。

归纳总结上述规律，从第三项起，每一项都是前两项之和。

第9次第8次第7次第6次第5次......

2/2=1--4/2=28/2=4-(-16/2=8-1-32/2=16

L15+1=16

L_7+l=8-

—14/2=7

1—3+1=4—-6/2=3--^12/2=6

*-5+1=6

4/2=2-丁&/2二4

L3+1=4

LRI=2——2/2=1—-1+1=2-—2/2=1

1个2个3个二2+15个=3+28个=5+3......

5有趣的猫捉耗子规律

注：有一个很出名的游戏，猫捉耗子的游戏，一只猫让一群

老鼠围成一圈报数，每次报单数的吃掉，有一只老鼠总不被

吃掉，问这个老鼠站在哪个位置？因此我们称之为猫捉耗子

的问题。

【例12］、（★★★）50只耗子排成一排，1到50报号，奇

数号的出列，剩下的偶数号再报号，再奇数列出列…一直这

样，问最后一只剩下的是原来的几号？

【解】第一次剩下的是：2、4、6、8、10、12……50都是2

的倍数；

第二次剩下的是：4、8、12、16……48都是4=22的倍

数；

第三次剩下的是:8、16、24……都是8=23的倍数，……

这样每次剩下的都是2〃的倍数，现在要剩下一只，这样就是

看1〜50中2”的最大数就是32号。.

【拓展】123自然数列一直写到100,然后按数码编号，擦去

奇数号，留下的数再编号，再擦去奇数号……这样请问最后

留下的3个数字是o

【解】360

【例13］、（★★★）50枚棋子围成圆圈，编上号码1、2、

3、4、……、50,每隔一枚棋子取出一枚，要求最后留下的

一枚棋子的号码是42号，那么该从几号棋子开始取呢？

【来源】03年圆明杯数学竞赛试题

【解】：方法一：通过归纳我们知道，如果开始有A人，A=

2k+m（k是保证m为自然数的最大值）。那么从1号开始取，

每个1个取1个，则最后剩下的为2nl号。

现在有50枚棋子，如果从1号开始取，有50=25+18,所以

最后剩下的为18X2=36号。

现在剩下的是42号，所以开始取的为1+（42—36）=7号。.

方法二：找出规律，若开始从2号开始取，则若有2枚、4

枚、8枚、16枚、32枚…则最后剩下的均为1号。

比如如果9枚，取掉1号后即剩下8枚剩下的将是8枚的首

位，即3号，

而50枚先取50-32=18枚后，剩32枚，取走了2、4、6、

8、…、36,则37为剩下的32枚重排列后的1号，38为2

号。故最后剩下的为37号，即若开始取2号，剩下37号,

现剩下的为42号，故开始从7号开始取的。

【例14］、（★★★）把1〜1993这1993个自然数，按顺时

针方向依次排列在一个圆圈上，如图12—1,从1开始沿顺

时针方向，保留L擦去2；保留3,擦去4；……（每隔一

个数，擦去一个数），转圈擦下去。求最后剩的是哪个数？

【解】分析：如果依照题意进行操作，直到剩下一个数为

止，实在是很困难。我们先从简单情况研究，归纳出解决

问题的规律，再应用规律解题。如果是2个数1、2,最后

剩下1；如果是3个数1、2、3,最后剩3；如果是4个数

1、2、3、4,最后剩1；如果是5个数1、2、3、4、5,最

后剩的是3；如果是6个数1、2、3、4、5、6,最后剩的

是5；如果是7个数1、2、3、4、5、6、7,最后剩的是

7；如果是8个数1〜8,最后剩的是1。

我们发现当数的个数是2,4,8时，最后剩的都是1（操作

的起始数）。这是为什么呢？以8个数为例，数一圈，擦

掉2,4,6,8,就相当于从1开始，还有4个数的情况，4

个数时，从1开始，数一圈，又擦掉2个，还剩从1开始

的两个数，擦掉1以外的数，最后剩1。

这样,数的个数是16,32,64,……,2n时,最后剩的都

是起始数1。

当数的个数是3时，擦去2,就剩2个数，最后应剩下一步

的起始数3；数的个数是5时，擦去2,剩4个数，最后也

应剩下一步的起始数3。

根据以上规律，如果有18个数，擦去2、4,剩下16个

数，再擦下去，最后还应剩下一步的起始数5。就是说，擦

去若干个数后，当剩的数的个数是2〃时，下一步起始数就

是最后剩下的数。

解：因为1024=2。2048=2”,

2r°<1993<2n,

1993-1024=969,

就是说，要剩*个数，需要擦去969个数，按题意，每两

个数擦去一个数，当擦第969个数时，最后擦的是：

969X2=1938

下一个起始数是1939,那么最后剩的就应该是1939。

练习按照例1的操作规则

（1）如果是1〜900这900个自然数，最后剩的是哪

个数？

（2）如果是1〜1949这1949个自然数，最后剩的是

哪个数？

说明：这道例题的解题思路是：

特殊f一般f特殊

（简单情况）（一般规律）（较复杂情况）

一般规律：

把1〜n这n个自然数，按顺时针方向依次排列在一个圆圈

上，从1开始，顺时针方向，隔过1,擦去2,隔过3,擦

去4,……（每隔一个数，擦去一个数）。最后剩下的数x

是哪个数？

解：设2k〈n〈2k”,k是自然数。

x=(n-2k)X2+1

【拓展】：如果还是上面例题，但改为保留1,擦去2；保

留3,擦去4；……（每隔一个数，擦去一个数），转圈擦

下去。求最后剩的是哪个数？

【解】剩下的规律是剩下2〃时，都是最后一号留下，所以

答案是1938o

【例15］、（★★★）100个小朋友围成一圈，并依次标

号为1至100号。从第1号开始1至2报数，凡是报到1

的小朋友退出圈子，这样循环进行到剩下一个小朋友为

止。问这个小朋友是多少号？

【解】与上题不同100=26+3636X2=7

2

小结

本讲主要接触到以下几种典型题型：

1）与周期相关的找规律问题参见例1,2,3

2）图表中的找规律问题参见例4,5

3）较复杂的数列找规律参见例6,7,8

4）与斐波那契数列相关的找规律参见例，9,10,11

5）有趣的猫捉耗子规律参见例12,13,14,15

【课外知识】

珍妮是个总爱低着头的小女孩，她一直觉得自己长得不够漂

亮。有一天，她到饰物店去买了只绿色蝴蝶结，店主不断赞

美她戴上蝴蝶结挺漂亮，珍妮虽不信，但是挺高兴，不由昂

起了头，急于让大家看看，出门与人撞了一下都没在意。

珍妮走进教室，迎面碰上了她的老师，“珍妮，你昂起头来

真美！”老师爱抚地拍拍她的肩说。

那一天，她得到了许多人的赞美。她想一定是蝴蝶结的功劳,

可往镜前一照，头上根本就没有蝴蝶结，一定是出饰物店时

与人一碰弄丢了。

自信原本就是一种美丽，而很多人却因为太在意外表而失去

很多快乐。

温馨提示：无论是贫穷还是富有，无论是貌若天仙，还是相

貌平平，只要你昂起头来，快乐会使你变得可爱——人人都

喜欢的那种可爱。

作业题

（注：作业题一例题类型对照表，供参考）

题1—类型3；题2,3,4—类型5；题5,6,7—类型2,

1、（★）已知一串有规律的数：1,2/3,5/8,13/21,34/55,…。

那么，在这串数中，从左往右数，第10个数是o

【解】找规律，前面分子分母和就是后一个数分子，分母等

于分子和前一个分数分母的和，这样第10个数就是

4181/6765o

2、（★★★）在一个圆圈上，逆时针标上1、2、3、…、

19,从某个数起取走该数，然后沿逆时针方向每隔一个数取

走一个数，如果最后剩下数1。求从哪个数起？

【解】先取走15

3.（★★★）把1-1992为1992个数,按逆时针方向排

在一个圆圈上，从1开始逆时针方向，保留1,涂掉2；保留

3,涂掉4,……o（每隔一个数涂去一个数），求最后剩下

哪个数？