2020-2021学年北京市附中高三下限时练习数学试卷

2020-2021学年北京市XX附中高三下限时练习数学试卷一、选择题已知全集U=−1,0,1,2,3，A=0,1,2，B=−1,0,1，则∁ A．3 B．−1,2 C．0,1 D．−1,2,3若复数z满足iz=2−4i，则复数z在复平面内对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限已知函数fx=ax3+bx+2，f A．1 B．2 C．3 D．4点M是边长为2的正六边形ABCDEF内或边界上一动点，则AB⋅AM的最大值与最小值之差为 A．2 B．4 C．6 D．8已知双曲线C:x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）的左顶点为A，右焦点为F，动点B在 A．1.5 B．2 C．2.5 D．3“0<a+b≤4”是“ab≤4”的   A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件等差数列an的前n项和为Sn，前n项积为Tn，已知a2=−4 A．Sn有最小值，Tn有最小值 B．Sn C．Sn有最小值，Tn有最大值 D．Sn若x2+y2=4 A．1 B．2 C．3 D．4如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱AB，BC，CC1的中点，P是底面 A．2 B．5 C．3 D．6北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是π3，所以正四面体在各顶点的曲率为2π①正方体各顶点的曲率为π2②任意三棱锥的总曲率均为4π③将棱长为3的正方体正中心去掉一个棱长为1的正方体所形成的几何体的总曲率为8π．其中，所有正确结论的序号是   A．①② B．①③ C．②③ D．①②③二、填空题若x−2xn的二项展开式中各项的二项式系数的和是8，则展开式中常数项为为了解某校学生的视力情况，现采用随机抽样的方式从该校的A，B两班中各抽4名学生进行视力检测．检测的数据如下：A班：4.1，4.6，4.4，4.9；B班：4.9，4.6，4.2，4.5．（Ⅰ）分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，班的4名学生视力较好；（Ⅱ）班的4名学生视力方差较大．已知函数fx=3sinxcosx−已知点M−1,0，点N在直线y=x+3上，若过点M，N且与直线x=1相切的圆有且仅有1个，则点N的坐标为已知函数fx①存在实数a，使函数fx②对任意实数a，函数fx③对任意实数a和k，函数y=fx④对于任意给定的正实数m，总存在实数a，使函数fx在−1,m其中，所有正确结论的序号是．三、解答题在△ABC中，cosA=35，a=42，再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，求c，条件①：B=π4；条件②：如图所示，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，M是线段PC的中点．已知PD=CD=2，(1)求证：PA∥(2)求二面角M−BD−C的余弦值；(3)直线BD上是否存在点N，使得MN与PA垂直？若存在，求MN的长；若不存在，请说明理由．某汽车品牌为了了解客户对于其旗下的五种型号汽车的满意情况，随机抽取了一些客户进行回访，调查结果如下表：汽车型号I(1)从所有的回访客户中随机抽取1人，求这个客户满意的概率；(2)若以样本的频率估计概率，从I型号和V型号汽车的所有客户中各随机抽取1人，设其中满意的人数为ξ，求ξ的分布列和期望；(3)用“η1=1”，“η2=1”，“η3=1”，“η4=1”，“η5=1”分别表示I，II，III，IV，V型号汽车让客户满意，“η1=0”，“η2=0”，“η3已知椭圆C:x2a2+y2(1)求椭圆C的标准方程；(2)过椭圆C的右焦点F作直线l，l与椭圆C交于A，B两点，与y轴交于M点．若MA=λ1AF，已知函数fx=x(1)求a与b的关系式，并求fx(2)设a>0，gx=a2ex−2，若存在已知无穷数列xn，yn，xn+1=∣yn∣−∣zn记un=maxxn,yn,zn(1)若x1=2，y1=3，z1=4，求(2)若x1=2，y1=3，(3)设x1，y1，z1是有理数，数列xn，yn

答案一、选择题1.【答案】D2.【答案】C3.【答案】A4.【答案】D5.【答案】B6.【答案】A7.【答案】C8.【答案】C9.【答案】D10.【答案】D二、填空题11.【答案】−6；−112.【答案】B；A13.【答案】π1214.【答案】−1,2，1,415.【答案】①②④三、解答题16.【答案】选①：因为B=π所以sinB=22因为cosA=35所以sinA=在△ABC中，sinC又因为a=42由正弦定理asinA=bsin所以△ABC的面积为12选②：因为a=42，b=5，cos由余弦定理a2=b解得c=7或c=−1（舍去）．因为cosA=35所以sinA=由正弦定理asinA=csin所以△ABC的面积为1217.【答案】(1)连接AC交BD于N，连接MN．因为底面ABCD是矩形，所以N是线段AC的中点．又因为M是线段PC的中点，所以PA∥又因为PA⊄平面BDM，所以PA∥(2)因为PD⊥底面ABCD，AD⊂底面所以PD⊥AD，PD⊥CD．因为底面ABCD是矩形，所以AD⊥CD．如图建立空间直角坐标系D−xyz，则D0,0,0，A1,0,0，C0,2,0，P因为M是线段PC的中点，故M0,1,1所以DB=1,2,0，设平面BDM的法向量为n=则n⋅DB=0,令y=1，则x=−2，z=−1．于是n=因为PD⊥底面ABCD，所以DP为平面因为DP=0,0,2，所以由题知二面角M−BD−C是锐角，所以其余弦值为66(3)因为N为直线BD上一点，所以Nλ,2λ,0，其中λ∈所以MN=又因为AP=−1,0,2，所以MN与PA垂直等价于λ=−2．所以存在点N−2,−4,0，使得MN与PA此时λ=−2，MN=−2,−5,−1，MN的长为另解：因为AP=−1,0,2，所以AP⋅n=−1×又因为AP⊄平面BDM，所以18.【答案】(1)设“从所有的回访客户中随机抽取1人，这个客户满意”为事件M．由题意知，样本中的回访客户的总数是250+100+200+700+350=1600，满意的客户人数是250×0.5+100×0.5+200×0.6+700×0.3+350×0.2=575，故所求概率为PM(2)ξ=0,1,2．设“从I型号汽车所有客户中随机抽取的人满意”为事件A，“从V型号汽车所有客户中随机抽取的人满意”为事件B．根据题意，PA估计为0.5，PB估计为0.2，A与所以Pξ=0Pξ=1Pξ=2所以ξ的分布列为ξ012P0.4(3)Dη19.【答案】(1)因为椭圆C的焦距23所以c=3又因为椭圆C过点1,3所以1a又因为a2所以a2=4．所以椭圆C的标准方程为：x2(2)设点Ax1,y1，B由题意可知，直线l的斜率存在，可设直线l的方程为y=kx−联立y=kx−得4k由于点F在椭圆C的内部，直线l与椭圆C必有两个交点，必有Δ>0．由韦达定理可得x1+x因为MA=λ1得x1,y依题意，x1≠3所以λ1=x所以λ1所以λ120.【答案】(1)可求得fʹx因为fx的一个极值点是x=2所以fʹ2所以b=a．所以fʹx①当a=−2时，fʹx≤0，②当a<−2时，令fʹx=0，解得x=2或x=−a，其中2<−a．x−∞,2令fʹx=0，解得x=2或x=−a，其中−a<2．x−∞,−a当a<−2时，fx的单调递增区间为2,−a，单调递减区间为−∞,2和−a,+∞当a>−2时，fx的单调递增区间为−a,2，单调递减区间为−∞,−a和2,+∞(2)考虑fx=x由（I）可知，a>0时，fx在0,2单调递增，在2,3又因为f0=−a<0，f3所以fx在0,3的最大值为f2=因为gx=a所以gx在0,3的最大值为g3=因为存在x1,x即存在x1,x即−a−a又因为a>0，所以a的取值范围是0,3．21.【答案】(1)因为x1=2，y1依题意，x2=−1，y2=2，z2=−1，所以u1=4，u2(2)设an=∣xn∣，bn=∣yn∣，依题意，un=maxan,b所以an+1所以maxa即un+1≤un（当且仅当an，b因为u2所以a2，b2，c2因为x1=2，所以a1=2，所以a2=∣3−c1∣所以c1所以z1(3)数列xn，yn，zn