线性变换课件

线性变换1、线性变换的定义

设V为数域P上的线性空间，若变换满足：则称为线性空间V上的线性变换.注：几个特殊线性变换由数k决定的数乘变换：事实上，

单位变换(恒等变换)：零变换：例1.

(实数域上二维向量空间)，把V中每一向量绕坐标原点旋转角，就是一个线性变换，表示，即用这里，易验证：例2．为一固定非零向量，把V中每一个向量变成它在上的内射影是V上的一个线性变换.用表示，即这里表示内积.易验证：例3．上的求微商是一个线性变换，用D表示，即

例4.闭区间上的全体连续函数构成的线性空间

是一个线性变换.上的变换1．为V的线性变换，则

2．线性变换保持线性组合及关系式不变，即若则3．线性变换把线性相关的向量组的变成线性相关2、线性变换的简单性质

的向量组.即若线性相关，则也线性相关.事实上，若有不全为零的数使则由2即有，线性相关的向量组.如零变换.事实上，线性变换可能把线性无关的向量组变成注意：3的逆不成立，即线性相关，未必线性相关.练习：下列变换中，哪些是线性变换？3．在线性空间V中，非零固定.4．在中，固定.2．在中，1．在中，5．复数域C看成是自身上的线性空间，6．C看成是实数域R上的线性空间，√

√

√

√

一、线性变换的乘积二、线性变换的和三、线性变换的数量乘法

四、线性变换的逆

五、线性变换的多项式7.2线性变换的运算1．定义设为线性空间V的两个线性变换，定义它们事实上，1、线性变换的乘积

的乘积为：

则也是V的线性变换.２．基本性质（1）满足结合律：（2），E为单位变换（3）交换律一般不成立，即一般地，例1.线性空间中，线性变换

而，即例2.设A、B为两个取定的矩阵，定义变换则皆为的线性变换，且对有则也是V的线性变换.2线性变换的和

1)．定义设为线性空间V的两个线性变换，定义它们的和为：事实上，（3）0为零变换.（4）乘法对加法满足左、右分配律：2)．基本性质（1）满足交换律：（2）满足结合律：3)．负变换设为线性空间V的线性变换，定义变换为：则也为V的线性变换，称之为的负变换.注：3线性变换的数量乘法

1)．定义的数量乘积为：则也是V的线性变换.设为线性空间V的线性变换，定义

k

与2)．基本性质注：线性空间V上的全体线性变换所成集合对于线性变换的加法与数量乘法构成数域P上的一个线性空间，记作4线性变换的逆

则称为可逆变换，称为的逆变换，记作1)定义设为线性空间V的线性变换，若有V的变换使2)．基本性质(1)

可逆变换的逆变换也是V的线性变换.证：对

是V的线性变换.(2)

线性变换可逆线性变换是一一对应.证：设为线性空间V上可逆线性变换.任取若则有为单射.其次，对令则且为满射.故为一一对应.若为一一对应，易证的逆映射也为V的线性变换，且故可逆，.线性变换，则可逆当且仅当(3)

设是线性空间V的一组基，为V的线性无关.证：设于是因为可逆，由(2)，为单射，又而线性无关，所以故线性无关.若线性无关，则它也为V的一组基.因而，对有即有为满射.线性无关若则有其次，任取设即由(2)，为可逆变换.故为一一对应.从而，为单射.(4)

可逆线性变换把线性无关的向量组变成线性无关的向量组.线性无关.若证：设为线性空间V的可逆变换，则有，又可逆，于是是一一对应，且故线性无关.由线性无关，有当时，规定（单位变换）.5线性变换的多项式

1)线性变换的幂设为线性空间V的线性变换，n为自然数，定义称之为的n次幂.

①易证注：②当为可逆变换时，定义的负整数幂为③一般地，设为V的一个线性变换，则2)．线性变换的多项式多项式.也是V的一个线性变换，称为线性变换的注：①在中，若则有，

即线性变换的多项式满足加法和乘法交换律.②对有一、线性变换与基二、线性变换与矩阵三、相似矩阵7.3线性变换的矩阵1线性变换与基

的线性变换.则对任意存在唯一的一组数1．设是线性空间V的一组基，为V使从而，由此知，由完全确定.一组基在下的象即可.所以要求V中任一向量在下的象，只需求出V的2．设是线性空间V的一组基，为V的线性变换，若

则

由已知，即得由此知，一个线性变换完全由它在一组基上的作用所决定.证：对

证：

定义

都存在线性变换使

任意n个向量3．设是线性空间V的一组基，对V中易知为V的一个变换，下证它是线性的.任取设则

于是

为V的线性变换.又由2与3即得定理1设为线性空间V的一组基，对V中任意n个向量存在唯一的线性变换使

设为数域P上线性空间V的一组基，

为V的线性变换.基向量的象可以被基线性表出,设用矩阵表示即为

2线性变换与矩阵1)线性变换的矩阵其中

②单位变换在任意一组基下的矩阵皆为单位矩阵；

零变换在任意一组基下的矩阵皆为零矩阵；

①A的第i列是在基下的坐标，矩阵A称为线性变换在基下的矩阵.

注：它是唯一的.故在取定一组基下的矩阵是唯一的.

数乘变换在任意一组基下的矩阵皆为数量矩阵；

例1.设线性空间的线性变换为

求在标准基下的矩阵.

解：

例2.设为n维线性空间V的子空间W

的一组基，把它扩充为V的一组基：

并定义线性变换：

则

称这样的变换为对子空间W的一个投影.

易验证

2)线性变换运算与矩阵运算定理2

设为数域P上线性空间V的一组的唯一一个矩阵对应，且具有以下性质：基，在这组基下，V的每一个线性变换都与中①线性变换的和对应于矩阵的和；

②线性变换的乘积对应于矩阵的乘积；③线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积；④可逆线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应于逆矩阵.证：设为两个线性变换，它们在基

下的矩阵分别为A、B，即

①

∴在基下的矩阵为A＋B.

②∴

在基下的矩阵为AB.③∴

在基下的矩阵为④由于单位变换(恒等变换)

对应于单位矩阵E.

相对应.因此，可逆线性变换与可逆矩阵A对应，且所以，与AB＝BA＝E逆变换对应于逆矩阵注：事实上，任意取定V的一组基后，对任意，定义：这里A为在基下的矩阵.则就是到的一个同构映射.3)线性变换矩阵与向量在线性变换下的象

定理3

设线性变换在基下的矩阵为A,在基下的坐标为在基下的坐标为则有

证：由已知有

又

由于线性无关，所以4)同一线性变换在不同基下矩阵之间的关系下的矩阵分别为A、B，且从基(Ⅰ)

到基(Ⅱ)的过渡矩阵矩阵是X，则(Ⅱ)(Ⅰ)

定理4

设线性空间V的线性变换在两组基证：由已知，有

于是，

由此即得

3相似矩阵1)定义设A、B为数域P上的两个n级矩阵，若存在可逆

矩阵使得

则称矩阵A相似于B，记为

（1）相似是一个等价关系，即满足如下三条性质：①反身性：②对称性：2)基本性质③传递性：（2）

定理5

线性变换在不同基下的矩阵是相似的；同一线性变换在两组基下所对应的矩阵.

反过来，如果两个矩阵相似，那么它们可以看作证：前一部分显然成立.下证后一部分.设且A是线性变换在基下的矩阵.

显然，也是一组基，矩阵就是B.且在这组基下的（3）相似矩阵的运算性质①若

则即，特别地，②若则

例3.设为线性空间V一组基，线性变换在这组基下的矩阵为

为V的另一组基，且

（1）求在下的矩阵B.（2）求解：（1）由定理4，在基下的矩阵（2）由有于是例4.在线性空间中，线性变换定义如下：（1）求在标准基下的矩阵.（2）求在下的矩阵.解：（1）由已知，有设在标准基下的矩阵为A，即因而，（2）设在下的矩阵为B，则A与B相似，且设是数域P上线性空间V的一个线性变换，

则称为的一个特征值，称为的属于特征值7.4特征值与特征向量

定义：若对于P中的一个数存在一个V的非零向量使得的特征向量.

①几何意义：特征向量经线性变换后方向保持由此知，特征向量不是被特征值所唯一确定的，注：相同或相反时②若是的属于特征值的特征向量，则也是的属于的特征向量.但是特征值却是被特征向量所唯一确定的，即若且，则设是V的一组基，线性变换在这组基下的矩阵为A.

下的坐标记为2特征值与特征向量的求法

分析：设是的特征值，它的一个特征向量在基则在基下的坐标为而的坐标是于是又从而

又即是线性方程组的解，

∴有非零解.

所以它的系数行列式

以上分析说明：若是的特征值，则反之，若满足则齐次线性方程组有非零解.

若是一个非零解，特征向量.则向量就是的属于的一个设是一个文字，矩阵称为称为A的特征多项式.1.特征多项式的定义A的特征矩阵，它的行列式

（是数域P上的一个n次多项式）②矩阵A的特征多项式的根有时也称为A的特征值,注：①若矩阵A是线性变换关于V的一组基的矩阵，而是的一个特征值，则是特征多项式的根，即的一个特征值.反之，若是A的特征多项式的根，则就是（所以，特征值也称特征根.）而相应的线性方程组的非零解也就称为A的属于这个特征值的特征向量.

i)在V中任取一组基写出在这组基下就是的全部特征值.ii)求A的特征多项式在P上的全部根它们2.求特征值与特征向量的一般步骤的矩阵A.iii)把所求得的特征值逐个代入方程组的全部线性无关的特征向量在基下的坐标.)并求出它的一组基础解系.(它们就是属于这个特征值

则就是属于这个特征值的全部线性无关的特征向量.

而（其中，不全为零）

就是的属于的全部特征向量.如果特征值对应方程组的基础解系为：对皆有所以，V中任一非零向量皆为数乘变换K的特征向量.例1.在线性空间V中，数乘变换K在任意一组基下的矩阵都是数量矩阵kE，它的特征多项式是故数乘法变换K的特征值只有数k，且解：A的特征多项式

例2.设线性变换在基下的矩阵是求特征值与特征向量.故的特征值为：（二重）

把代入齐次方程组得

即

它的一个基础解系为：

因此，属于的两个线性无关的特征向量为而属于的全部特征向量为不全为零

因此，属于5的一个线性无关的特征向量为

把代入齐次方程组得

解得它的一个基础解系为：

而属于5的全部特征向量为3特征子空间

定义：再添上零向量所成的集合，即设为n维线性空间V的线性变换，为的一个特征值，令为的属于的全部特征向量则是V的一个子空间,称之为的一个特征子空间.注：的解空间的维数，且由方程组(*)得到的属于的若在n维线性空间V的某组基下的矩阵为A，则即特征子空间的维数等于齐次线性方程组(*)全部线性无关的特征向量就是的一组基.四、特征多项式的有关性质1.设则A的特征多项式由多项式根与系数的关系还可得

②A的全体特征值的积＝①A的全体特征值的和＝称之为A的迹,记作trA.证:设则存在可逆矩阵X，使得2.定理6

相似矩阵具有相同的特征多项式.于是，注：②有相同特征多项式的矩阵未必相似.成是矩阵A的特征值与特征向量.它们的特征多项式都是，但A、B不相似.多项式；而线性变换的特征值与特征向量有时也说因此,矩阵A的特征多项式也说成是线性变换的特征①由定理6线性变换的特征值与基的选择无关.如

设

为A的特征多项式,则证:

设是的伴随矩阵，则3.哈密尔顿─凯莱（Hamilton─Caylay）定理都是λ的多项式，且其次数不超过n－1.又的元素是的各个代数余子式，它们因此，可写成零矩阵其中，都是的数字矩阵.再设则，①而②比较①、②两式，得③以依次右乘③的第一式、第二式、…、第n式、第n＋1式，得④把④的n＋1个式子加起来，即得4.设为有限维线性空间V的线性变换，是的特征多项式，则零变换例3.设求解：A的特征多项式用去除得练习1：已知为A的一个特征值，则（1）必有一个特征值为

;（2）必有一个特征值为

;（3）A可逆时，必有一个特征值为

;（4）A可逆时，必有一个特征值为

.（5）则必有一个特征值为

.行列式＝

.练习2：已知3阶方阵A的特征值为：1、－1、2，则矩阵的特征值为：

，一、可对角化的概念二、可对角化的条件三、对角化的一般方法§7.5对角矩阵定义1：设是维线性空间V的一个线性变换，如果存在V的一个基，使在这组基下的矩阵为对角矩阵，则称线性变换可对角化.矩阵，则称矩阵A可对角化.定义2：矩阵A是数域上的一个级方阵.如果存在一个上的级可逆矩阵，使为对角一、可对角化的概念

1.

定理7设为维线性空间V的一个线性变换，则可对角化有个线性无关的特征向量.证：设在基下的矩阵为对角矩阵

则有

二、可对角化的条件

就是的n个线性无关的特征向量.反之，若有个线性无关的特征向量

那么就取为基，则在这组基下的矩阵是对角矩阵.2.

定理8设为n维线性空间V的一个线性变换,如果分别是的属于互不相同的特征值的特征向量，则线性无关.证：对k作数学归纳法.当时，线性无关.命题成立.

假设对于来说，结论成立.现设为

的互不相同的特征值，是属于的特征向量，即以乘①式的两端，得

②

设

①又对①式两端施行线性变换，得

③

③式减②式得

由归纳假设，线性无关，所以

但互不相同，所以将之代入①，得故线性无关.

特别地，(推论2)在复数域C上的线性空间中，3.(推论1)设为n

维线性空间V的一个线性变换，则可对角化.如果线性变换的特征多项式没有重根，则可如果的特征多项式在数域

P

中有n个不同特征值，对角化.特征值的线性无关的特征向量，则向量线性无关.4.

定理9

设为线性空间V的一个线性变换，

是的不同特征值，而是属于证明：首先，的属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是的属于特征值的一个特征向量.令

由④有，

设

④若有某个则是的属于特征值的特征向量.而是互不相同的，由定理8，必有所有的即而线性无关，所以有

故线性无关.为的特征子空间.

5.

设为n维线性空间V的一个线性变换，为全部不同的特征值，则可对角化6.

设为n维线性空间V的一个线性变换，若在某组基下的矩阵为对角矩阵则1）的特征多项式就是

2）对角矩阵D主对角线上元素除排列次序外是唯一确定的,它们就是的全部特征根(重根按重数计算).三、对角化的一般方法

1°

求出矩阵A的全部特征值

2°

对每一个特征值，求出齐次线性方程组

设为维线性空间V的一个线性变换，为V的一组基，在这组基下的矩阵为A.

步骤:的一个基础解系（此即的属于的全部线性无关的特征向量在基下的坐标）.

3°若全部基础解系所合向量个数之和等于n

，则（或矩阵A）可对角化.以这些解向量为列，作一个n阶方阵T，则T可逆，是对角矩阵.而且有n个线性无关的特征向量从而

T就是基到基的过渡矩阵.

下的矩阵为

基变换的过渡矩阵.问是否可对角化.在可对角化的情况下，写出例1.

设复数域上线性空间V的线性变换在某组基解：A的特征多项式为

得A的特征值是1、1、－1.解齐次线性方程组得故其基础解系为：

所以，是的属于特征值1的两个线性无关的特征向量.再解齐次线性方程组得

故其基础解系为：

所以，是的属于特征值－1的线性无关的特征向量.线性无关，故可对角化，且

在基下的矩阵为对角矩阵

即基到的过渡矩阵为例2.

问A是否可对角化？若可，求可逆矩阵T，使为以角矩阵.这里得A的特征值是2、2、-4.解:A的特征多项式为

对于特征值2，求出齐次线性方程组

对于特征值－4，求出齐次方程组

的一个基础解系:（－2、1、0），（1、0、1）

的一个基础解系:

令

则

所以A可对角化.是对角矩阵（即D不可对角化）.

项式.并证明：D在任何一组基下的矩阵都不可能练习：在中,求微分变换D的特征多解：在中取一组基：则D在这组基下的矩阵为于是∴D的特征值为0（n重）.的系数矩阵的秩为n－1，从而方程组的基础解系故D不可对角化.又由于对应特征值0的齐次线性方程组只含有一个向量，它小于的维数n（＞1）.一、值域与核的概念二、值域与核的有关性质§7.6线性变换的值域与核一、值域与核的概念定义1：设是线性空间V的一个线性变换，集合

称为线性变换的值域，也记作或

集合

称为线性变换的核，也记作

注：皆为V的子空间.事实上，且对

有即对于V的加法与数量乘法封闭.为V的子空间.

再看

首先，又对有从而

即

故为V的子空间.对于V的加法与数量乘法封闭.定义2：线性变换的值域的维数称为的秩；

的核的维数称为的零度.

例1、在线性空间中，令则

所以D的秩为n－1，D的零度为1.

1.

定理10设是n

维线性空间V的线性变换，

是V的一组基，在这组基下的矩阵是A，则1）的值域是由基象组生成的子空间，即2）的秩＝A的秩.

二、有关性质即

又对

证：1）设

于是

有

因此，

的秩，又∴

秩＝秩等于矩阵A的秩.2）由1），的秩等于基象组由第六章§5的结论3知，的秩2.

设为n

维线性空间V的线性变换，则的秩＋的零度＝n即

证明：设的零度等于r

，在核中取一组基

并把它扩充为V的一组基：

生成的.由定理10，是由基象组但

设

则有

下证为的一组基，即证它们即可被线性表出.

线性无关.设

于是有

由于为V的基.

的秩＝n－r.因此，的秩＋

的零度＝n.故线性无关，即它为的一组基.

虽然与的维数之和等于n

，但是未必等于V.

如在例1中,

注意：ⅰ)是满射证明：ⅰ)显然.ⅱ)因为

若为单射，则

3.

设为n

维线性空间V的线性变换，则ⅱ)是单射

反之，若任取若

则即故是单射.从而

是单射是满射.

证明：是单射

4.

设为n维线性空间V的线性变换，则是满射.

例2、设A是一个n阶方阵，证明：A相似于证：设A是n维线性空间V的一个线性变换在一组基下的矩阵，即

一个对角矩阵由知

任取设

则

故有当且仅当

因此有

又

所以有

从而是直和

.在中取一组基：

则就是V的一组基.

显然有，

在中取一组基：用矩阵表示即

所以，A相似于矩阵线性变换在此基下的矩阵为

1)求及

2)在中选一组基，把它扩充为V的一组基，

并求在这组基下的矩阵.并求在这组基下的矩阵.3)在中选一组基，把它扩充为V的一组基，例3、设是线性空间V的一组基，已知解：1）先求设它在下的坐标为故由于有在下的坐标为

解此齐次线性方程组，得它的一个基础解系：

从而

是的一组基.

由于的零度为2，所以的秩为2，又由矩阵A，有即为2维的.再求2）因为

从而有所以，线性无关，就是的一组基.

而

可逆.

从而，线性无关，即为V的一组基.

在基下的矩阵为

3）因为

可逆

.而从而线性无关，即为V的一组基.

在这组基下的矩阵为一、不变子空间的概念二、线性变换在不变子空间上的限制三、不变子空间与线性变换的矩阵化简四、线性空间的直和分解7.7不变子空间设是数域P上线性空间V的线性变换，W是V的

的子空间，若有则称W是的不变子空间，简称为－子空间.

V的平凡子空间（V及零子空间）对于V的任意一个变换来说，都是－子空间.

一、不变子空间1、定义注：1）两个－子空间的交与和仍是－子空间.2）设则W是－子空间证：显然成立.任取设

则

故W为的不变子空间.2、不变子空间的简单性质由于

1）线性变换的值域与核都是的不变子空间.证：

有

故为的不变子空间.又任取有3、一些重要不变子空间也为的不变子空间.

2）若则与都是－子空间.

证：

对存在

使于是有，

为的不变子空间.

其次，由

对有

于是

故为的不变子空间.

的多项式的值域与核都是的不变子空间.这里为中任一多项式.注：4）线性变换的特征子空间是的不变子空间.

有

5）由的特征向量生成的子空间是的不变子空间.

证：设是的分别属于特征值

的特征向量.

3）任何子空间都是数乘变换的不变子空间.

任取设则

为的不变子空间.

事实上，若

则为的一组基.因为W为－子空间，即必存在使是的特征向量.

特别地，由的一个特征向量生成的子空间是一个一维－子空间.

反过来，一个一维－子空间必可看成是的一个特征向量生成的子空间.

注：定义：不变子空间W上的限制

.记作

在不变子空间W上引起的线性变换，或称作在

设是线性空间V的线性变换，W是V的一个的

不变子空间.把看作W上的一个线性变换，称作二、线性变换在不变子空间上的限制①当时，

③任一线性变换在它核上引起的线性变换是零

变换，即即有

注：当时，无意义.

②在特征子空间上引起的线性变换是数乘变换，1、设是维线性空间V的线性变换，W是V

的－子空间，为W的一组基，把它扩允为V的一组基：若在基下的矩阵为，则

在基下的矩阵具有下列形状:

三、不变子空间与线性变换的矩阵化简反之，若

则由生成的子空间必为的不变子空间.

事实上，因为W是V的不变子空间.

即，均可被线性表出.从而，

设在这组基下的矩阵为

若，则

为V的一组基，且在这组基下的矩阵为准对角阵

2、设是维线性空间V的线性变换，都是的不变子空间，而是的一组基，且

（1）

的子空间为的不变子空间，且V具有直和分解：

由此即得：下的矩阵为准对角矩阵(1),则由生成

V的线性变换在某组基下的矩阵为准对角形V可分解为一些的不变子空间的直和.反之，若在基定理12：设为线性空间V的线性变换，是

四、线性空间的直和分解是的特征多项式.若具有分解式：

再设则都是的不变

子空间；且V具有直和分解：证：令则是的值域，是的不变子空间.

又

（2）下证分三步：

证明

∴存在多项式使

于是

∴对有

证明是直和.

证明

这里

其中（也即，），则

∴存在使

于是

(3)

即证，若证明是直和.用作用（3）的两端，得

又

从而

所以是直和.∴有多项式，使证明:首先由(2)，有即

其次，任取设即

令

由（2）,

有从而有又

又由，是直和，它的零向量分解式即唯一.

综合，即有于是

故

即有

是的不变子空间，且

一、若尔当(Jordan)形矩阵二、若尔当(Jordan)标准形7.8若尔当（Jordan）标准形介绍由§7.5知，n维线性空间V的线性变换在某组基下的矩阵为对角形

有n个线性无关的特征向量

.的所有不同特征子空间的维数之和等于n.可见，并不是任一线性变换都有一组基，使它在这组基下的矩阵为对角形.本节介绍，在适当选择基下，一般的线性变换的矩阵能化简成什么形状.引入的矩阵称为若尔当(Jordan)块，其中为复数；一、若尔当(Jordan)形矩阵定义：形式为

由若干个若当块组成的准对角矩阵称为若尔当形矩阵.如：都是若尔当块；而下面的准对角形则是一个若尔当形矩阵.注：一级若尔当块就是一级矩阵，从而对角矩阵都是若尔当形矩阵.

设是复数域C上n维线性空间的一个线性变换，在V中必存在一组基，使在这组基下的矩阵是若尔当形矩阵，并是除若尔当块的排列次序外，该若尔当形由唯一决定，称之为的若尔当标准形.二、若尔当(Jordan)标准形

任一n级复矩阵A总与某一若尔当形矩阵相似，并且除若尔当块的排列次序外，该若尔当形矩阵由矩阵A唯一决定，称之为矩阵A的若尔当标准形.1.定理132.定理143、在一个线性变换的若尔当标准形中，主对角线上的元素是的特征多项式的全部根（重根按多数（1、2、3的证明将在第八章给出）计算）.的矩阵为若尔当(Jordan)块.附：有时也规定形式为

一、最小多项式的定义二、最小多项式的基本性质7.9最小多项式由哈密尔顿―凯莱定理，

是A的特征多项式，则

因此，对任定一个矩阵，总可以找到一个多项式使

多项式以A为根.引入本节讨论，以矩阵A为根的多项式的中次数最低的那个与A的对角化之间的关系.此时，也称一、最小多项式的定义定义：设