6.3.1+平面向量基本定理+6.3.2+平面向量的正交分解及坐标表示课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第六章平面向量及其应用6.3.1平面向量基本定理6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示学习目标1.理解基底的定义,并能判断两个向量能否构成一个基底.2.理解平面向量基本定理及意义,会用基底表示平面向量.3.借助平面直角坐标系,掌握平面向量正交分解以及坐标表示.基础落实·必备知识一遍过知识点1

平面向量基本定理

定理条件e1,e2是同一平面内的两个

向量

结论对于这一平面内的

向量a,

一对实数λ1,λ2,使a=

基底若e1,e2

,我们把{e1,e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个

不共线

任一有且只有λ1e1+λ2e2

不共线基底名师点睛对平面向量基本定理的理解(1)基底具备两个主要特征:①基底是由两个不共线的向量构成的;②基底的选择是不唯一的.(2)基底e1,e2确定后,平面内任一向量a的分解式是唯一的,特别地,当a1e1+a2e2=0时,恒有a1=a2=0.(3)用向量解决几何问题时,可以选择适当的基底,将问题中涉及的向量向基底化归.思考辨析如果{e1,e2}是一个基底,若ae1+be2=ce1+de2(a,b,c,d∈R),能否得到a=c,b=d成立?提示

能成立.设向量m=ae1+be2=ce1+de2,由平面向量基本定理知向量m在基底{e1,e2}下的表达式是唯一的,所以a=c,b=d.自主诊断1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)平面内基底的选取是不唯一的.(

)(2)零向量可以作为基底中的向量.(

)(3)若向量a,b不共线,则{a+b,a-b}可以作为基底.(

)√×√2.(北师大版教材习题)已知基底{a,b},实数x,y满足3xa+(10-y)b=(4y+4)a+2xb,求x,y的值.

3.(人教B版教材例题)如图所示,用e1与e2表示a,b,c,d,f.

知识点2

平面向量的正交分解及坐标表示1.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个

的向量,叫做把向量作正交分解.

2.平面向量的坐标表示(1)基底:在平面直角坐标系中,设与x轴、y轴方向

的两个

向量分别为i,j,取{i,j}作为

.

(2)坐标:对于平面内的任意一个向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x,y,使得a=xi+yj.这样,平面内的任一向量a都可由x,y唯一确定,我们把有序数对

叫做向量a的坐标,记作a=(x,y),其中,x叫做a在

轴上的坐标,y叫做向量a在

轴上的坐标.

互相垂直相同单位基底(x,y)xy(3)坐标表示:a=(x,y)叫做向量a的坐标表示.写向量坐标时要有“=”,与点的坐标区分.如a=(1,2),点A(1,2)(4)特殊向量的坐标:i=

,j=

,0=

.

(1,0)(0,1)(0,0)思考辨析在直角坐标平面内,O为原点,向量

的坐标与点A的坐标有什么关系?自主诊断1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)在平面直角坐标系中,平面向量的坐标是唯一的.(

)(2)向量的终点的坐标和该向量的坐标相同.(

)(3)若两个向量的终点不同,则它们的坐标一定不同.(

)√××2.

如图,分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量{i,j}作为基底,若|a|=,θ=45°,则向量a的坐标为(

)

A重难探究·能力素养速提升探究点一对平面向量基本定理的理解【例1】

(1)给出下列说法:①若向量e1,e2不共线,则平面内的零向量不能用e1,e2表示;②若向量e1,e2共线,则平面内任一向量a都不能用e1,e2表示为a=λ1e1+λ2e2(λ1,λ2∈R)的形式;③若{e1,e2}是一个基底,则{e1+e2,e1-e2}也可以作为一个基底.其中正确说法的序号是

.

③

解析

①错误.零向量也可以用一个基底来线性表示.②错误.当e1,e2共线时,平面内的与e1,e2共线的向量可以表示为λ1e1+λ2e2(λ1,λ2∈R)的形式,其余的向量则不可以.③正确.当e1,e2不共线时,e1+e2与e1-e2一定不共线,故{e1+e2,e1-e2}可以作为基底.(2)(2025湖北黄冈高一期中)若e1,e2是平面内两个不共线的向量,则下列各组向量中,不能作为平面内所有向量的一个基底的是(

)A.e1与e1-e2B.e1+2e2与2e1+e2C.e1-2e2与e1+2e2D.6e1-3e2与e2-2e1D

规律方法

平面向量基本定理的四个要点(1)不共线的向量e1,e2;(2)平面内的任意向量a;(3)存在唯一一对实数λ1,λ2;(4)a=λ1e1+λ2e2.变式训练1(1)设e1,e2是平面内所有向量的一个基底,则下列四组向量中,不能作为基底的是(

)A.e1+e2和e1-e2B.3e1-4e2和6e1-8e2C.e1+2e2和2e1+e2D.e1和e1+e2B解析

因为e1,e2是平面内所有向量的一个基底,所以e1,e2不共线,所以e1+e2和e1-e2不共线,e1+2e2和2e1+e2不共线,e1和e1+e2不共线,所以选项A,C,D都可以作为基底;B中,6e1-8e2=2(3e1-4e2),所以3e1-4e2和6e1-8e2共线,不能作为基底.故选B.(2)(人教B版教材例题)已知a与b不共线,而且a-xb与3a+2b共线,求x的值.解

因为a与b不共线,所以3a+2b≠0,因此由已知可得存在实数t,使得a-xb=t(3a+2b),探究点二平面向量基本定理的应用角度1.用基底表示向量

规律方法

用基底表示向量的方法将两个不共线的向量作为基底表示其他向量,基本方法有两种:一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化,直至用基底表示为止;另一种是通过列向量方程或方程组的形式,利用基底表示向量的唯一性求解.

D

D

角度2.平面向量基本定理的综合应用

-2规律方法

借助向量的基底表示求向量的数量积数量积的计算中,利用平面向量基本定理可以把需要的向量表示出来,再根据数量积的运算法则进行计算.变式训练3A(2)如图所示,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,D为BC的中点,E是AB上的一点,且AE=2EB.求证:AD⊥CE.探究点三平面向量的坐标表示

规律方法

求平面向量坐标的方法(1)若i,j是分别与x轴、y轴同方向的单位向量,则当a=xi+yj时,向量a的坐标即为(x,y).(2)求向量的坐标一般转化为求点的坐标.解题时,常常结合几何图形,利用三角函数的定义和性质进行计算.本节要点归纳1.知识清单:(1)平面向量基本定理及其应用.(2)平面向量的正交分解及坐标表示.2.方法归纳:数形结合.3.常见误区:忽视基底中的向量不共线.学以致用·随堂检测促达标1234561.设{e1,e2}是平面内一个基底,则(

)A.零向量不能用e1,e2表示B.对实数λ1,λ2,λ1e1+λ2e2不一定在该平面内C.对平面内任一向量a,使a=λ1e1+λ2e2的实数λ1,λ2有无数对D.若实数λ1,λ2使λ1e1+λ2e2=0,则λ1=λ2=0D解析

由平面向量基本定理可知D项正确,这是由于0=0e