高职应用数学教材第二版

预备知识函数微积分学以变量为主要研究对象，函数关系是变量之间的关系，函数也就成为我们的研究对象与工具。预备知识预备知识预备知识预备知识预备知识预备知识预备知识预备知识预备知识预备知识预备知识预备知识预备知识预备知识预备知识上篇基础模块第一章极限与连续

极限方法是微积分的基本方法，连续性是函数的重要的也是基本的特性。第一章极限与连续1.1极限的概念1.2无穷小量极限的概念1.3极限的计算1.4两个重要极限1.5函数的连续性1.1极限的概念1.1.1数列极限的概念1.1极限的概念1.1极限的概念1.1.2数列极限的性质1.1极限的概念1.1.3函数极限中x→∞情形1.1极限的概念1.1极限的概念1.1.3函数极限中x→x0情形1.1极限的概念1.1极限的概念1.2无穷小量与无穷大量1.2无穷小量与无穷大量1.2.1无穷小量1.无穷小量的概念1.2无穷小量与无穷大量2.无穷小与极限的关系3.无穷小的性质1.2无穷小量与无穷大量1.2无穷小量与无穷大量2.无穷小的阶1.2无穷小量与无穷大量1.2.2无穷大量1.无穷大量的概念2.无穷大与无穷小的关系1.3 极限的运算1.3 极限的运算1.3.1 极限的四则运算法则1.3 极限的运算1.3.2 极限四则运算法则的应用1.3 极限的运算1.3 极限的运算1.4 两个重要极限1.4.1 极限的重要定理1.4 两个重要极限1.5 函数的连续性1.5 函数的连续性1.5.1 改变量的概念1.5 函数的连续性1.5.2函数连续的概念1.5 函数的连续性1.5 函数的连续性1.5 函数的连续性1.5.3函数间断点第二类间断点：（1）极限存在，但不等于函数值。（包括函数在该点无定义的情况）。也称为可去间断点，因为这时可重新定义函数值，使函数值等于极限值，从而使之连续。（2）左、右极限存在，但不相等。也称为跳跃间断点，名称来源于其图象上有个跳跃而得。第一类间断点：主要也有二种，极限是趋于无穷大的不存在，此时称为无穷间断点；还有是极限不趋于唯一确定值的不存在，这时的函数值往往呈振荡形式，我们称之为振荡间断点。左、右极限至少有一个不存在，也可以说是除了第一类的。1.5 函数的连续性1.5.4初等函数的连续性2．反函数与复合函数的连续性定理1（1）有限个在相同区间上连续的函数之代数和是一个在该区间上连续的函数；（2）有限个在相同区间上连续的函数之积是一个在该区间上连续的函数；（3）两个在相同区间上连续的函数之商是一个在该区间上连续的函数，只要分母在该区间上不为零。1．连续函数的四则运算定理2如果函数在某个区间内是单调且连续，则其反函数也在对应的区间内单调且连续。1.5 函数的连续性3．基本初等函数的连续性基本初等函数在它们各自的定义域内是连续的。4．初等函数的连续性一切初等函数在其定义区间内都是连续的。5．初等函数的连续性的应用1.5 函数的连续性1.5.5闭区间上连续函数的性质1．最值（存在）定理

2．介值定理

1.5 函数的连续性第二章微分学微分学是微积分的重要组成部分，微分学的主要内容是导数与微分，导数反映函数的自变量在变化时，相应的函数值变化的块面程度；微分表示自变量在微小变化时，函数大体上变换多少。在这一章主要讨论导数和微分的概念，以及它们的计算方法，运用导数来判定函数单调性等曲线性态，并利用导数与微分解决一些实际问题。第二章微分学2.1导数的概念2.2函数和、差、积、商的求导法则2.3反函数和复合函数的导数2.4高阶导数2.5隐函数的导数2.6函数的微分2.7微分学中值定理2.8函数的单调性与极值2.9曲线的凹凸及拐点的判别法2.10函数作图法2.11未定式极限的求法2.12导数在经济学中的应用2.1 导数的概念2.1.1两个实例1.变速直线运动的瞬时速度2.1 导数的概念2.切线问题2.1 导数的概念2.1.2导数的定义2.1 导数的概念2.1 导数的概念2.1 导数的概念2.1.3求导数举例2.1 导数的概念2.1 导数的概念2.1.4导数的几何意义2.1 导数的概念2.1 导数的概念2.1.5可导与连续的关系2.2 函数和、差、积、商的求导法则2.3 反函数和复合函数的导数2.3.1反函数的导数2.3 反函数和复合函数的导数2.3 反函数和复合函数的导数2.3.2复合函数的导数2.3 反函数和复合函数的导数应用复合函数求导法则时，关键在于分析所给函数可看作由哪些函数复合而成。如果一个函数能分解成基本初等函数，或常数与基本初等函数的和、差、积、商，便可求它的导数。2.3 反函数和复合函数的导数2.3.3初等函数的导数1.基本导数公式2.3 反函数和复合函数的导数2.函数的和、差、积、商的求导法则3.复合函数的求导法则2.3 反函数和复合函数的导数2.4 高阶函数2.4 高阶函数2.5 隐函数的导数1.隐函数的求导方法2.5 隐函数的导数2.5 隐函数的导数2.5 隐函数的导数2.对数求导法对于由几个含有变量的式子的乘、除、乘方、开方构成的函数求导，利用对数求导法要简便得多。2.6 函数的微分2.6.1微分的概念1.微分的定义2.6 函数的微分2.函数的可微条件2.6 函数的微分2.6 函数的微分2.6.2微分公式与微分运算法则1.基本初等函数的微分公式由基本初等函数的导数公式，可以直接写出基本初等函数的微分公式。2.函数和、差、积、商的微分法则由函数和、差、积、商的求导法则，可推得相应的微分法则。3.复合微分法则2.6 函数的微分2.6 函数的微分2.6 函数的微分2.6.3微分公式与微分运算法则2.6 函数的微分2.7.1罗尔定理(Rolle)2.7 微分学中值定理2.7 微分学中值定理2.7.2拉格朗日中值定理(Lagrange)2.7 微分学中值定理2.7 微分学中值定理2.7.3柯西中值定理(Cauchy)2.8 函数的单调性与极值2.8.1函数的单调性2.8 函数的单调性与极值2.8 函数的单调性与极值2.函数极值的判定和求法2.8 函数的单调性与极值2.8 函数的单调性与极值2.8 函数的单调性与极值2.8 函数的单调性与极值2.8.3函数的最值2.8 函数的单调性与极值2.9 曲线的凹凸及拐点的判别法2.9.1曲线的凹凸性及其判别法2.9 曲线的凹凸及拐点的判别法2.9 曲线的凹凸及拐点的判别法2.9.2曲线的拐点及其求法2.9 曲线的凹凸及拐点的判别法2.10 线的凹凸及拐点的判别法2.10.1水平渐近线和铅直渐近线2.10.2函数图像的描绘2.10 线的凹凸及拐点的判别法2.10 线的凹凸及拐点的判别法2.10 线的凹凸及拐点的判别法2.11 未定式极限的求法2.11 未定式极限的求法2.11 未定式极限的求法2.11 未定式极限的求法2.11 未定式极限的求法2.11 未定式极限的求法2.11 未定式极限的求法2.11.2其他型未定式2.11 未定式极限的求法2.11 未定式极限的求法2.12 导数在经济学中的应用2.12.1成本函数与收入函数2.12 导数在经济学中的应用2.12.2边际分析1.边际成本2.12 导数在经济学中的应用2.边际收入2.12 导数在经济学中的应用3.边际利润4.最大利润原则2.12 导数在经济学中的应用2.12 导数在经济学中的应用2.12.3弹性分析2.12 导数在经济学中的应用2.12 导数在经济学中的应用第三章积分学积分学是微积分理论的重要组成部分，其内容包括不定积分和定积分。第三章积分学3.1不定积分的概念与性质3.2不定积分的计算3.3定积分的概念与性质3.4定积分的计算3.5广义积分3.6定积分的应用3.1不定积分的概念与性质3.1.1原函数与不定积分1.原函数3.1不定积分的概念与性质2.不定积分3.1不定积分的概念与性质3.1.2不定积分的几何意义3.1不定积分的概念与性质3.1.3不定积分的性质3.1不定积分的概念与性质3.2不定积分的计算由基本导数公式可以得到相应的基本积分公式3.2不定积分的计算3.2.1直接积分法例求下列不定积分3.2不定积分的计算3.2不定积分的计算3.2不定积分的计算3.2.2换元积分法1.第一类换元积分法3.2不定积分的计算第一类换元积分也称凑积分法。2.第二类换元积分法3.2不定积分的计算3.2不定积分的计算3.2不定积分的计算3.2.3分部积分法3.2不定积分的计算3.3定积分的概念与性质3.3.1两个实例引例1

求曲线梯形3.3定积分的概念与性质引例2

求变速直线运动的路程3.3定积分的概念与性质3.3定积分的概念与性质3.3定积分的概念与性质3.3.2定积分的概念3.3定积分的概念与性质3.3定积分的概念与性质3.3.3定积分的几何意义3.3定积分的概念与性质3.3定积分的概念与性质3.3.3定积分的性质3.3定积分的概念与性质3.4定积分的计算3.4.1微积分基本定理3.4定积分的计算3.4.2定积分的换元法可以看出定积分的换元法不必象不定积分的换元法那样还原成原变量，只需在换元的同时换限即可。3.4定积分的计算3.4定积分的计算3.4.3定积分的分部积分法3.5广义积分3.5.1无穷区间广义积分3.5广义积分3.5广义积分3.5广义积分3.5.2无界函数的广义积分3.5广义积分3.6定积分的应用3.6定积分的应用1.平面图形的面积3.6定积分的应用3.6定积分的应用3.6定积分的应用2.旋转体的体积3.6定积分的应用3.6定积分的应用3.6.2定积分在工程上的应用3.6定积分的应用3.6定积分的应用3.6定积分的应用3.6.2定积分在经济上的应用3.6定积分的应用3.6定积分的应用下篇应用模块第四章复数复数是研究数学、物理和其他自然科学的有效工具。在这一章里，我们将介绍复数的概念，并着重讨论复数的运算。第四章复数4.1复数的概念4.2复数的表示法4.3复数的运算4.1复数的概念4.1.1虚数单位4.1复数的概念4.1.2复数与复数集4.1复数的概念4.1复数的概念4.1.3复数的比较4.2复数的表示法4.2.1复数的几何表示及有关概念4.2复数的表示法4.2复数的表示法4.2复数的表示法4.2复数的表示法4.2.2复数的三角形式4.2复数的表示法4.2复数的表示法4.2.3复数的指数形式4.2复数的表示法4.2.4共轭复数的模和辐角4.2复数的表示法4.3复数的运算4.3.1复数的加法与减法4.3复数的运算4.3.2复数的乘法1.代数形式复数的乘法4.3复数的运算2.三角形式、指数形式复数的乘法4.3复数的运算4.3复数的运算4.3.3复数的除法1.代数形式复数的除法4.3复数的运算2.三角形式、指数形式复数的除法第五章常微分方程函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映，利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究．因此如何寻找出所需要的函数关系，这种函数关系有时可以直接建立，有时却只能根据问题所提供的情况，列出含有要找的函数及其导数的关系式．这样的关系式就是所谓微分方程．微分方程建立以后，对它进行研究，找出未知函数，这就是解微分方程．第五章常微分方程5.1微分方程的基本概念5.2一阶微分方程5.3可降阶的微分方程5.1微分方程的基本概念一般地，凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间关系的方程，称为微分方程．未知函数是一元函数的微分方程，称为常微分方程．微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶．如果把某一函数和它的导数代入微分方程，能使该方程成为恒等式，那么此函数称为该微分方程的解．如果微分方程的解中含有任意常数，且相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解．用于确定通解中任意常数的附加条件，称为初始条件．在通解中，利用初始条件确定通解中任意常数后所得的解，称为微分方程的特解．我们把求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题．5.2一阶微分方程5.2.1可分离变量的微分方程5.2一阶微分方程5.2一阶微分方程5.2.2齐次方程5.2一阶微分方程5.2.3一阶线性微分方程5.2一阶微分方程5.2一阶微分方程5.2一阶微分方程5.2一阶微分方程5.2.4一阶微分方程应用举例应用微分方程解决具体问题的步骤是：（1）分析问题，建立方程，并提出初始条件；（2）求出此微分方程的通解；（3）根据初始条件确定所需的特解．5.2一阶微分方程5.2一阶微分方程5.2一阶微分方程5.2一阶微分方程5.3可降阶的高阶微分方程5.3可降阶的高阶微分方程5.3可降阶的高阶微分方程5.3可降阶的高阶微分方程5.3可降阶的高阶微分方程5.3可降阶的高阶微分方程5.3可降阶的高阶微分方程5.3可降阶的高阶微分方程第六章无穷级数无穷级数是表示函数、研究函数的性质以及进行数值计算的重要工具，它主要包括常数项级数和函数项级数两部分．第六章无穷级数6.1常数项级数6.2幂级数6.3函数的幂级数展开式6.4傅里叶级数6.1常数项级数6.1.1常数项级数的基本概念6.1常数项级数6.1常数项级数6.1.2常数项级数的基本性质6.1常数项级数6.1.3级数收敛与发散的判定方法1.正项级数收敛性的判定6.1常数项级数6.1常数项级数6.1常数项级数2.交错级数收敛性的判定6.1常数项级数6.2幂级数6.2.1幂级数的概念1.函数的项级数6.2幂级数2.幂级数及其收敛区间6.2幂级数6.2幂级数6.2.2幂级数的性质6.2幂级数6.2幂级数6.3函数的幂级数展开式6.3.1泰勒级数1.泰勒展开式6.3函数的幂级数展开式6.3函数的幂级数展开式2.泰勒级数6.3函数的幂级数展开式6.3.2函数展开成幂级数的方法1.直接展开法6.3函数的幂级数展开式6.3函数的幂级数展开式2.间接展开法6.4傅里叶级数6.4.1三角级数、三角函数系的正交性6.4傅里叶级数6.4傅里叶级数6.4傅里叶级数6.4傅里叶级数6.4傅里叶级数6.4.3正弦级数和余弦级数6.4傅里叶级数6.4傅里叶级数6.4傅里叶级数6.4傅里叶级数6.4傅里叶级数第七章线性代数在科学技术中，经常要遇到解线性方程组（即一次方程组）的问题．行列式是讨论和计算线性方程组的重要工具．矩阵也可以用来解线性方程组，而且比行列式更为方便和广泛．第七章线性代数7.1二元线性方程组与二阶行列式7.2三元线性方程与三阶行列式7.3n阶行列式与克莱姆法则7.4矩阵的概念7.5矩阵的一般运算7.6逆矩阵的运算7.7矩阵的秩7.8用高斯消元法解线性方程组7.9一般线性方程组7.10齐次线性方程组7.1二元线性方程组与二阶行列式7.1二元线性方程组与二阶行列式7.1.1二阶行列式7.1二元线性方程组与二阶行列式7.1二元线性方程组与二阶行列式7.1二元线性方程组与二阶行列式7.1二元线性方程组与二阶行列式7.1.2二阶行列式的性质7.1二元线性方程组与二阶行列式7.1二元线性方程组与二阶行列式7.2三元线性方程组与三阶行列式7.2.1三阶行列式7.2三元线性方程组与三阶行列式7.2三元线性方程组与三阶行列式7.2三元线性方程组与三阶行列式7.2三元线性方程组与三阶行列式7.2三元线性方程组与三阶行列式7.3n阶行列式与克莱姆法则7.3.1n阶行列式7.3n阶行列式与克莱姆法则7.3n阶行列式与克莱姆法则7.3.2克莱姆法则7.3n阶行列式与克莱姆法则7.3n阶行列式与克莱姆法则7.3n阶行列式与克莱姆法则7.4矩阵的概念7.4.1矩阵的概念7.4矩阵的概念7.4.2特殊的矩阵7.4矩阵的概念7.4矩阵的概念7.5矩阵的一般运算7.5.1矩阵的相等7.5矩阵的一般运算7.5.2矩阵的加法和减法7.5矩阵的一般运算7.5矩阵的一般运算7.5.3矩阵与数相乘7.5矩阵的一般运算7.5.4矩阵与矩阵相乘7.5矩阵的一般运算7.5矩阵的一般运算7.5矩阵的一般运算7.5矩阵的一般运算7.5.5线性方程组的矩阵表示法7.5矩阵的一般运算7.5矩阵的一般运算7.6逆矩阵的计算7.6.1逆矩阵的定义7.6逆矩阵的计算7.6.2逆矩阵的求法7.6逆矩阵的计算7.6逆矩阵的计算7.6逆矩阵的计算7.6.3用逆矩阵解线性方程组7.7矩阵的秩7.7.1矩阵的秩的定义7.7矩阵的秩7.7矩阵的秩7.7.2利用初等交换求矩阵的秩7.7矩阵的秩7.7矩阵的秩7.8用高斯消元法解线性方程组7.8.1高斯消元法7.8用高斯消元法解线性方程组7.8用高斯消元法解线性方程组7.8用高斯消元法解线性方程组7.8.2用初等变换求逆矩阵7.8用高斯消元法解线性方程组7.9一般线性方程组7.9.1一般线性方程组7.9一般线性方程组7.9一般线性方程组7.9一般线性方程组7.9一般线性方程组7.9.2一般线性方程组的解7.9一般线性方程组7.10齐次线性方程组7.10齐次线性方程组第八章线性规划初步线性规划作为运筹学的一个重要分支，它从上世纪40年代末期开始发展，虽然只有短暂的几十年时间，但在生产组织管理，交通运输，国防工业以及国民经济的许多领域内，都有着广泛而重要的应用．它常用于解决在现有的资源和利用方式下，在现有的人力，物力，财力的条件下，怎样更有效地发挥其作用以达到最大的经济效益；或者是如何利用最少的人力，物力，财力去完成预定的任务．一般说来，它是研究有限资源的最优配置，以实现给定的目的，取得最有经济效益的一门学科．第八章线性规划初步8.1线性规则问题的数学模型8.2线性规则的图解法8.3线性规则问题的标准型8.4单纯形方法8.1线性规则问题的数学模型8.1.1实例8.1线性规则问题的数学模型8.1线性规则问题的数学模型8.1.2线性规则的一般模型8.1线性规则问题的数学模型建立一个实用的线性规划模型必须明确以下四个组成部分的含义：

1．决策变量：决策变量是模型中可控而未知的因素，经常使用带不同下标的英文字母表示不同的变量．2．目标函数：线性规划模型的目标是求系统目标的极值，可以是求极大值，如企业的利润和效率等，也可以是求极小值，如成本和费用等．3．约束条件：约束条件是指实现系统目标的限制性因素，通常表现为生产力约束、原材料约束、能源约束、库存约束等资源性约束，也可能表现为指标约束和需求约束．4．非负限制：由于在实际生产问题中，资源总是代表一些可以计量的实物或人力，因而一般不能为负数．8.2线性规则的图解法对于只有两个决策变量的线性规划问题，可以在平面直角坐标系上作图表示其有关概念，并求解．8.2线性规则的图解法8.2线性规则的图解法图解法只能适用于仅含有两个变量的线性规划问题的求解，因而图解法的实际用途并不广泛．但是，通过图解法可以得到以下结论：1．线性规划的可行域为凸集，即集合中任意两点连线上的一切点仍然在该集合中．这样的凸集平面几何上表现为一个凸多边形，在空间上必将是一个凸几何体．2．线性规划的最优解在凸集的某一个顶点上达到（存在凸集的某一条边界上达到的可能性）．3．线性规划的可行域若有界，则一定有最优解．线性规划的最优解不可能在可行域的内点取得，而只能在凸集的某一个顶点上达到（特殊情况为在凸集的某一条边界上达到）．由于可行域的顶点个数是有限的，所以在求解线性规划模型的最优解时，只要在可行域的有限个顶点范围内一一寻找.8.3线性规则问题的标准型8.3.1线性规则问题标准型8.3线性规则问题的标准型线性规划问题的标准型的四个特点：1．目标函数为最大化型；2．所有约束条件均为“=”型；3．决策变量均为非负的；4．各约束条件右端向量非负．8.3线性规则问题的标准型8.3.2线性规则问题标准型8.4单纯形方法8.4单纯形方法8.4单纯形方法8.4单纯形方法8.4单纯形方法8.4单纯形方法8.4单纯形方法8.4单纯形方法8.4单纯形方法8.4单纯形方法8.4单纯形方法第九章概率论初步本章介绍随机事件与概率的概念，基本知识及基本运算．第九章概率论初步9.1随机事件9.2随机事件的概率9.3概率的基本公式9.4时间的独立性与贝努利试验9.5随机变量与分布函数9.6离散型随机变量9.7连续型随机变量9.8随机变量的数字特征9.1随机事件9.1.1随机事件为了研究随机现象的统计规律性，需要