人教版高中数学必修2考点训练：平面向量基本定理、正交分解及坐标表示、加、减运算的坐标表示（解析版）

6.3.1&6.3.3平面向量基本定理、正交分解及坐标表示、力口、减运算的坐标表示

【考点梳理】

>考点一：基底的概念问题

>考点二：基底表示向量问题

>考点三：平面向量基本定理

>考点四：平面向量的坐标表示

>考点五：平面向量线性运算的坐标表示

>考点六：由向量线性运算结果求参数

>考点七：由向量线性运算解决几何问题

>考点八：利用坐标求向量的模

>考点九：由向量线性运算解决最值和范围问题

>考点十：平面向量坐标的综合问题

【知识梳理】

知识点一：平面向量基本定理

1.平面向量基本定理：如果a,e?是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量有且只有

一对实数X,A，使。=尢散+入282.

2.基底：若e］，会不共线，我们把｛包,e用叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.

知识点二：平面向量的正交分解

把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.

考点三平面向量的坐标表示

1.在平面直角坐标系中，设与x轴、v轴方向相同的两个单位向量分别为。/,取｛/,力作为基底.对于平面内的任意

一个向晟由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x,y,使得。=浦+方.平面内的任一向量a都可由x,y

唯一确定，我们把有序数对(x,y)叫做向量a的坐标，记作a=(x,3.,在直角坐标平面中，，=(L0),/=(0J).0=

(0,0).

知识点三：平面向量加、减运算的坐标表示

设。=的，yi),b=(X2，力)，

数学公式文字语言表述

两个向量和的坐标分别等于这两个向量

向量加法cr+b=(xi+x2，yi+y2)

相应坐标的和

两个向量差的坐标分别等于这两个向量

向量减法a—b=(xi—x2,yi-y2)

相应坐标的差

己知点A(X1，yi)，8(X2，V2)，那么向量质=(X2—X1，力一力)，即任意■个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的

终点的坐标减去起点的坐标.

【题型归纳】

题型一：基底的概念问题

1.（23-24高一下.江苏无锡）若{斗弓}是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（）

A.{q—g_q}B.-2e,-e2fe,--e2-

C.{26-34,64-4g}D.{0+6，6+3弓}

【答案】D

【分析】根据基底满足的条件逐一分析即可.

【详解】对于A：e,-e2=-（e2-e,）,

所以-6为共线向量，不符合基底的定义，故A错误；

一一一1一

对于B：2cj-e2=2（et»

所以2e；--ge；为共线向量，不符合基底的定义，故B错误；

对于C：2%-3,=-；（64一4内），

所以-阳，&为共线向量，不符合基底的定义，故C错误；

对于D：设存在唯一的实数2使e,+e2=A（e,+3e2）=46+3羽，

则L」，此方程无解，故q+G，q+阳能作为平面向量的基底.故D正确.

.5/t=1

故选：D.

2.（23-24高一下•江苏淮安•期中）设q,七为平面向量的一组基底，则下面四组向量组中不能作为基底的是（）

A.q+电和GB.+羽和畛

C.2^1—C-,和q—2%D.q—2e、和4e,—2et

【答案】D

【分析】根据基底的定义，结合共线向量的性质逐一判断即可.

【详解】A：假设6+%和q是共线向量，因此有q+/=ae2nq=（〃-1）电，

因为G，%为平面向量的一组基底，

2

所以q,g不是共线向量，且与工。©/。，因此q不成立，

因此假设不成立，因此q+e；和百不是共线向量，因此本选项的向是可以做基底；

―*—•—•n-2

B：假设4q+2/和q是共线向量，因此有461+26=加2=>4=-^-62，

因为竹，与为平面向量的一组基底，

所以弓，4不是共线向量，且白工0,6工。，因此不成立，

因此假设不成立，因此十2与和e；入是共线向量，因此本选项的向量可以做基底；

C：假设么和q-2s是共线向量，因此有阳-々=《6-2%）=（2-c）q=（l-2c）q,

因为e；，6为平面向最的一组基底，

所以q,6不是共线向量，且4工。，6工0，因此要想（2-c）q=（1-2（?应成立，

（2-c=0

一定有<1八，显然无实数解，因此假设不成立，

1-2c=0

因此2e；-6和。-%是不共线向量，所以本选项的向量可以做基底；

D：因为21[-％）=46-26],

所以q-2畛和4.-2q是共线向量，所以本选项的向量不可以做基底，

故选：D

3.（23-24高一下.上海•期末）若斗色不平行，则下列向量中不能作为平面的一个基底是（）

e-e

A.q+/与i2B.ei+2e2与2q+e2

C.3^-e2与2g-6qD.e2与q+6

【答案】C

【分析】利用向量共线的判断方法来推理，即可得到选项.

【详解】对于A,不存在实数4,使得4+6=4,-/），所以q+与与4一弓不共线，即选项A中两个向量能作为

基底，故A错误；

对于B.不存在实数义，使得4+26=/1仅4+6）,所以q+2/与2q+/不共线，即选项B中两个向量能作为基底,

故B错误；

对于C.因为34-6=-5（26-66），所以%-/与2g-因共线，即选项c中两个向量不能作为基底，故C正确:

3

对于D,不存在实数力,使得6；=义卜+0),所以e；与q+/不共线，即选项D中两个向量是能作为基底，故D错

误；

故选：C.

题型二：基底表示向量问题

4.(2024・四川•一模)如图，在VA8C中，点。，E分别在AB,AC边上，且BO=D4，AE=3EC，点厂为OE中

点，则8斤=()

—1——

【分析】根据条件、结合图形，利用向量的中线公式，得到8/=5出。+3£),再利用向量的线性运算，即可求解.

【详解】因为点尸为。石中点，所以BF=g(8Q+8E),又BD=DA，AE=3EC^

所以8/=g(8O+8E)=；8A+g(8C+；C4)=；8A+g8C+"(8A—8C)=qBA+18C

5.(23-24高一下•湖北武汉•期中)若在三角形ABC中，AC=2DC,CB=3BE,则O£=()

45-45

A.——AB+-ACB.-AB--AC

3636

4545

C.一一AB--ACD.-AB+-AC

3636

【答案】B

【分析】由线性运算表示AE，CE，最后再表示

【详解】因为AC=2OC，所以点。是力。中点，

--4--4--

AE=AC+CE=AC+-CB=AC+-(AB-AC),

33

-4-4-4

CE=-CB=-AB——AC

333

4

II.]9.]2-^-4-5

所以OE=一—(EA+EC)=-AE+-CE=-AB-一AC+-AB一一AC=-AB--AC.

222363336

故选：B

6.(23-24高一下•宁夏银川・期中)如图所示的矩形48co中，E,尸满足BE=£C,CF=2FD，6为政的中点,

若4G=+则加的值为（）

D.2

【答案】A

【分析】根据已知条件结合平面向量基本定理将AG用48,A。表示出出来，从而可求得4,的值

【详解】因为G为政的中点，BE=EC»CF=2FD，

23

所以4G=；AE+gA/=-[AB+-AD\^-{-AB+AD=-AB+-AD,

2l2J2(334

93

因为4G=/UB+〃A。，所以4==

23I

所以==

故选：A

题型三：平面向量基本定理

7.（23-24高一下•吉林白山・期末）如图，在梯形A4C。中，M在线段8。上,"**4.若人乂=：人力+1人8,

贝|JA=()

AB

5

【答案】D

IJUUminmil

【分析】设。M=2D8（OW4W1）,根据平面向量的线性运算可得AM=（1—/l）AO+/U4,结合平面向量基本定理

可得％=。，即可得结果.

4

【详解】由题意可设0M=2/M（0<4Wl）,

则AM=AO+QM=AO+/IO3=AO+4(A4-AO)=(1—/1)AO+/IA8,

・13

又因为/U/=T4O+；AB,且A。，.不共线,

44

l-z=-

433

可得二，解得％=二，即。M==Q8,

Ai=—344

4

所以|M4=2B4,即々='.

故选：D.

—1—一—4一

8.（2324高一下•陕西渭南•期末）如图，在VA4C中，已知BO=/OC,P为AO上一点，且满足。。=〃?。+%。氏

9

则实数〃?的值为（）

A.-B.-C.—D.1

3332

【答案】A

i«uuuuia*,mruu'2lRr

【分析】根据三点共线可得b=4C4+〃8,且4+4=1,结合题意可得CP=/IC4+CB,根据平面向量基本

定理列式求解即口」.

ULIliaULBI

【详解】因为A。/三点共线，则CP=/IC4+〃CD，且之+〃=1，

乂因为4。=3。。，一2LUI-uir2

即CO=]C4,则CP=2CA—/JCB,

3

2=m\_

Z=m-

-4-24-3

且CP=〃?G4+§CB,则《—//=—,解得，*

392

A+/z=1〃二3

故选：A.

6

9.（23-24高一下•河北沧州•期末）在VA8C中，AB=AC=\,AN=NC，P是BN上一点，RAP=mAB+-AC,

则4pBe=（）

A.——B.-C.0D.1

69

【答案】C

【分析】作出图形，由平面向量基本定理求出〃，的值，再用向量数量积的运算律计算即得.

【详解】

117

如图，•：AN=NC，AN=-ACt且AP=〃?AB+-AC=mA8+-AN,

233

21—1—1—

因尸,5,N三点共线,故/〃+一=1,gpw,=l:.AP=-AB+-AC,

3333

故选：c.

题型四：平面向量的坐标表示

10.（23-24高一下.黑龙江齐齐哈尔•期末）若平行四边形488的三个顶点的坐标分别为A（T2）,8（1,1）,C（3,4）,

则顶点。的坐标为（）

A.（1,5）B.（5,3）C.（1,4）D.（2,4）

【答案】A

【分析】利用向量相等即可求解.

【详解】

令顶点。的坐标为力（x,y）,又A（-1,2）,5（1,1）,C（3,4）

所以48=（2,-1）,Z）C=（3-x,4-y）

如图易知，在平行四边形ABC。中，AB=DC

7

所以解得所以顶点。的坐标为0（1，5）,

故选：A.

11.（23-24高一下•天津•阶段练习）已知向量即与@=（6-8）的夹角为兀，且卜8卜同，若点A的坐标为（—1,2）,则

点4的坐标为（）

A.（-7,10）B.（7,10）C.（5,-6）D.（-5,6）

【答案】A

【分析】由题设可知"=-〃，继而得到A8=（-6,8）,由此即可解出3点坐标.

【详解】由题意知A8与〃的长度相等，方向相反，

所以AB=-a=（-6,8）,

又因为A（—1,2）,

设6（x,y）,则A6=（x+l,y-2）=（-6.8）,

—,A+1=-6y（x=-7/八、

所以。Q‘解得s'即4-7,10,

j-2=8[y=10

故选：A

12.（22-23高一下•新疆乌鲁木齐•期中）若A8=（3,4）,A点的坐标为,则3点的坐标为（）

A.（1,3）B.（L-3）C,（-5,-5）D.（5,5）

【答案】A

【分析】利用向量的坐标计算公式可求8点的坐标.

【详解】设B（x,y）,故A8=（x+2,y+l）,而A8=（3,4）,

x+2=3fx=1/、

故।一故仆故8。，3，

y+1=4[y=3

故选：A.

题型五：平面向量线性运算的坐标表示

13.（24-25高一下•上海・单元测试）若外＜7）,£（-1,0）,且点P在线段相的延长线上，且|碑=2|明，则点P

的坐标为（）

A.（-2,11）B.停11C.住,3）D.（2,-7）

【答案】D

8

【分析】假设。的坐标，进而根据条件|［P|=2|P周进行运算即可求解.

【详解】因为在线段《人的延长线上，且忖川=2|也|

所以4P=-20R

因为爪T,7),8(TO),假设P。")

可得［P=(m+4,〃-7),尸4=(-1-f)

，〃十4=2十2m

由此可得1个o，解得，〃=2,〃=-7

n-1=2〃

所以点尸(2,-7)

故选：D.

14.(23-24高一下.四川成都.期中)已知平行四边形A8CZ)的三个顶点A,3,C的坐标分别为(T2),(4,5),(-2,3),

则顶点。的坐标为()

A.(3,6)B.(-7,0)C.(5,4)D.(-5,-1)

【答案】B

【分析】设。(尤月，表示出4),BC，依题意可得AO=8C，即可得到方程组，解得即可.

【详解】设。(x,y)，则AO=(x+l,y-2),BC=(-6,-2),

在平行四边形A3CD中AO=BC，

/、/,、fx+l=-6fx=-7

所以(工+1/-2)=(-6,-2),则［_2=_2,解得［=0，

所以。(-7,0).

故选：B

15.(23-24高一下•四川成都•期中)已知点0(0,0),向量。4=(2,3),08=(6,-3),点〃是线段钻靠近A的三等

分点，则点P的坐标为()

(8Q(10-r14八fl()<14△

A.-,oB.—JC.—'-1D.丁/或hr，-1

U)I3)I3)(3J13J

【答案】B

【分析】根据向量的计算直接可得解..

【详解】由已知04=(2,3),08=(6,-3),

则/W=O"OA=(4,-6),

9

点P是线段AB靠近A的三等分点,

则人济呜T，

且AP=OP-OA，

flOA

则OP=AP+O4=11,lJ,

即哈

故选：B.

题型六；由向量线性运算结果求参数

16.（23-24高一下•河南郑州•期中）如图，在直角梯形A8CO中，ABDC,ADYDC,AD=DC=2AB=4,E为

AD的中点，若C4=4CE+〃O8（4〃eR）,则％+〃的值（）

【答案】B

【分析】建立平面直角坐标系，由。=/lCE+〃O8（4〃€R）,利用向量相等求解.

【详解】解：建立如图所示平面直角坐标系：

则D（0,0）,C（4,0）,A（0,4）,5（2,4）,£（0,2）,

所以G4=（T,4）,CE=（T,2）,O3=（24）,

因为GA=2CE+"08（4〃eR）,

所以（MM）=〃M,2）+M2M），

10

-42+2〃=-4

解得

24+4〃=4

Q

所以

故选：B

17.（22-23高一下•四川眉山・期中）已知向量“力满足2〃—力=（0,3）,]-％=（-3,0）,崩+9=（一1,1）,则』+"

（）

A.-1B.0C.1D.25

【答案】B

【分析】设出向量a，/）的坐标，根据条件列出坐标方程，即可解出〃，力的坐标，即可进一步列出含参数的坐标方

程，从而解出参数2,

【详解】设£=（石,乂），〃=（冷月），又2〃一〃=（0,3）,a-2b=（-3,0）f

x}-2X=-3

所以且2

[2yf=3J-2)，2二。

解得厂二，即a=(l,2),力=(2,1).所以"+9=/1(1,2)+〃(21)=(2+2〃,2/1+4卜(_1,1),则

,31=2[)'2=1

2+2//=-12=1

，解得故2+〃=0.

2A+,a=l〃二一1

故选：B.

18.（22-23高一下•山东薄泽・期中）我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证

明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，若石为人尸的中

点，EC=AAB+j:iAD,则义+〃=（）

【答案】B

【分析】构建以E为坐标原点，E/所在直线为上轴，EO所在直线为〉轴，建立如图直角坐标系，设1Ml=1,标

11

注相关点的坐标，进而可得坐标，结合EC-A8+/M。，应用向量线性运算的坐标表示列方程求出九〃

即可.

【详解】以E为坐标原点，E尸所在直线为工轴，EO所在直线为N轴，建立如图直角坐标系，设|班=1,又E为AF

••・E（0,0）,G（Ll）,C（2」）,A（T,0）,5（LT）D（0,2）,则EC=（2,1）.人8=（2,—1）,人。=（1,2）,

由=+得：（2,1）=2（2,-1）+/7（1,2）,

,3

4=一

12%+〃=257

解得:,则

//=?、

故选：B.

题型七：由向量线性运算解决几何问题

19.（20-21高一下•天津南开•期末）如图，在矩形AAC。中，A8=3,8C=4,E为上一点，BELAC,若

BA=ABE+JLIAC,则〃的值为（）

7

D.1

【答案】D

【分析】借助于矩形建立直角坐标系，利用坐标法求解.

12

建立如图示坐标系,由AB=3,BC=4、则有:8（0,0）,C（4,0）,A（0,3）,0（4,3）,

因为七为A。上一点，可设E（x,3）,

所以胡二(0,3),班＞(乂3),AC=(4,-3).

?所以E[93).

因为8E_LAC,所以BE-AC=0，即4x—9=0,解得:

4

由8A=/i8E+〃AC得:

9

—2+4//=025，所以

4,解得：,9=1.

32-3z/=3Ll=---

25

故选：D

20.（2021•江苏南通•二模）如图，点C在半径为2的A8上运动，乙我小二。若OC=+,则，〃十八的最大值

26

A.1B.拉Lr•-----D.73

3

【答案】C

【分析】建立适当的坐标系，设NAOC=。，利用向量的坐标运算得到机，〃与a的关系，进而得到m+〃关于a的三

角函数表达式，利用辅助角公式整理后，根据三角函数的性质求得其最大值.

【详解】以。为原点、。4的方向为x轴的正方向，建立平面直角坐标系,

则有#=(2,0),OB=(l,Jj).

设ZAOC=a,则OC=(2cosa,2sina).

n=2cosa

由题意可知

=2sina

所以〃叶〃=cosa+且sina=^8sina+n1

33

汽

,h.门4乃H・I冗式2力乃"

因为aw0,彳,所以a+§ey,-

333

13

故〃Z+〃的最大值为一2.

3

【点睛】本题考查与向量有关的几何最值问题，属基础题.利用坐标方法转化为三角函数的最值问题是处理几何最值

得十分有效的方法.

21.(23-24高一下.浙江绍兴.期末)已知平面四边形A4C。，AB1BC,AB=BC=CD=\,AD=y/3,若

BD=xBC+yI3Af贝叱7=()

353

A.-B.1C.-D.一

442

【答案】B

【分析】构建以A为坐标原点，AA所在直线为x轴，垂直于AA的直线为>轴建立如图所示的平面直角坐标系，应

用坐标表示，结合平面向量基本定理求4。=.3。+)，氏4,CQ=1,4D=G，得到两个关系式，即可x-y=求值；

【详解】以A为坐标原点，八B所在直线为X轴，垂直于的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，

4(0,0),«(1,O),C(IJ),则BC=(0,1),BA=(-1,0),

因为8。=xBC+y84=x(0,l)+y(T,0)=(一乂x),

AD=AB+BD=(1,0)+(—y,x)=(1—y,x),AD=>/3,y)2+/=y/3»

化简(l-y)2+f=3,gp/+x2=2+2y

CD=C8+80=(0,T)+(-y,x)=(-y,x-1),.-CD=Jjyf+df=1

化简得N+(x—1尸=1,U\\y2+x2=2.x

所以2+2y=2x,即Ay=l,

故选：B.

题型八：利用坐标求向量的模

22.(22-23高一下•江西•期中)如图，在梯形ABC。中，AD//BC.ABLBC,AD=l,AB=2,BC=3,M,N

分别为CO,AO的中点，则,M-2BN卜()

14

AND

----------------XC

A.2x/5B.2>/2C.3D.VlO

【答案】D

【分析】建系后写出点的坐标，再求出向量坐标，最后应用向量模长公式求解即可.

【详解】

片lx.

bCX

如图建系可得6（0,0）,D（l，2）,C（3,0）,M（2」）,N（；,2）,

二.4M=（2,1）却=6,2）,

...BM—28N=（2,l）—26,2）=（1,一3）,.

BM-28叫=Ji?+（_3『=9

故选:D

23.（21-22高一下•江苏南京•期中）在平面直角坐标系工。中,点A(T,-2)、8(2,3)、。(一2,-1)以线段AB,AC

为邻边的平行四边形两条对角线中较长的对角线长为（）

A.4贬B.2MC.25/13D.2x/15

【答案】B

【分析】以线段AB,AC为邻边的平行四边形两条对角线长分别为|A8+AC,|A8-叫，由题意求出4B+AC，

AB-AC，从而可求出其长度，进而可得结果

【详解】以线段AB,AC为邻边的平行四边形两条对角线长分^\AB+AC\,\AB-AC\,

因为4T-2）、3（2,3）、C（-2,-l）,

所以AB=（3,5）,AC=（-1,1）,

所以4B+AC=(2,6),AB-AC=(4,4),

15

所以,B+4cl=6+62=2西,

\AB-AC\=yl42+42=4x/2,

因为2、亿＞4友,

所以较长的对角线长为2亚,

故选：B

24.（23-24高三下•湖南•阶段练习）已知/leR,平面向量4=（Zf,8=（2,孙则卜+司的最小值为（）

A.延B.GC.72D.—

22

【答案】A

【分析】利用平面向量的坐标运算结合二次函数性质求解即可.

【详解】易知+—1)

,^|«+^|2=(/1+2)2+(/1-1)2

=2A2-^2A+5=2(A+-9,当4+g）=0时，,+可最小,

+—

l2J2

此时由二次函数性质得卜二g,故卜+方卜¥，

故卜+q的最小值为半，故A正确.

故选：A

题型九：由向量线性运算解决最值和范围问题

25.（22-23高三上•山东临沂・期中）已知向量OA=（1,7）,O4=（5』）,OM=（2,1）,若点〃是直线。W上的一个动点，则

的最小值为（）

A.-4B.-6C.-8D.-10

【答案】C

【分析】设OP=2QM=（242）,4eR,再根据向量的坐标运算，结合二次函数的最值求解即可.

®OP=/lOM=（2/l,/l）,AeR,则幺=04—0。=（1一2九7—4）,PB=OB-OP=（5-2^\-X）f则

PAPfi=（l-2/l）x（5-2A）+（7-2）x（l-/l）=4r-l2/l+5+/l2-8A+7=5万-2（U+12=5（/L-2『-8.故当/I=2时，

PAPB取最小值~8.

故选：C

26.（21-22周一下•山东•期中）在矩形AHC"中，AB=l,4）=2,幼点尸在以点A为圆心的单位圆上.若

16

AP=AAB+pAD（A^eR）t则2+〃的最大值为（）

A.3B.75C.@D.2

2

【答案】C

cos®=2〃

【分析】构建直角坐标系，令AP=（cos，,sin。），北。2外，根据向量线性关系的坐标表示列方程组得.q广,

sin0=A

结合辅助角公式、正弦函数性质求最值.

【详解】构建如下直角坐标系：A6=（0,1）,AO=（2,0）,令人尸=（cs&siu。），6>e10,2/r）,

、cos。=2〃

由AP=AAB-V/JAD^/.IeR）可得：<.。'

则4+〃=sin6+=专sin（6+9）且lan。=g,

所以当sin（0+Q）=l时，4+〃的最大值为更.

2

故选：C

27.（20-21高一下•山东泰安・期中）如图，在等腰△48c中，已知卜耳=卜。卜1,4=120、旦尸分别是边A4,AC的

点，且A£=/M8,A/「=〃AC,其中4〃«0』）且％+2〃=1,若线段即。。的中点分别为M,N,贝山网的最小值

是（）

AEB

A.立B.不

7

C.答D"

【答案】C

【分析】根据几何图形中线段对应向量的线性关系，可得AM=g（/MC十/U3）,AN=^（AB+AC）,又

17

MN=AN-AM且Z4«0』)且尤+2〃=1,可得知/关于〃的函数式，由二次函数的性质即可求|的|的最小值.

【详解】在等腰△ABC中，|Aq=kq=l,Z4=120",则A8-AC=|48||AC|cosA=—g,

•••£广分别是边A氏AC的点，

一].I..1--1---

/.AM=-(AF+AE)=-(jLiAC+AAB)AN=-(AB+AC),而MN=AN—AM=T(1-4)AB+(1-〃)AC],

222t2

・•・两边平方得：

♦21^2-21,、

MN=一[(1-4)AB+2(1-2)(1-p)ABAC+(\-p)2AC]=-[(1-2)2-(1-2)(1-^)+(1-/z)2]

44

,而4+2〃=l,

4

，股/_7/?-4〃+1_7("-亍)+~乂4〃即〃jo,

MN=J=JI?)

，当〃=，时，MW最小值为*,即|MN|的最小值为粤.

故选：C

【点睛】关键点点睛：应用几何图形中线段所代表向最的线性关系求得MV=AN-AM,结合已知条件转化为MN?

关于〃的二次函数，求最值.

题型十：平面向量坐标的综合问题

28.(23-24高一下.河北沧州.期末)已知《，外是平面内两个不共线的向量，若AB=2e「e；,BP=e}-3e2,

PC=q+2c2.

(I)证明：4,B,。三点共线：

⑵若之=(1,0),：=(0,1),点0(2,1),B,C,D,。恰好构成平行四边形8COP,求点。的坐标.

【答案】(1)证明见解析

(2)(0,2)

【分析】(1)根据向量运算得力=胡，即可证明三点共线；

(2)设点P的坐标为(乂封，利用PD=BC得到方程组，解出即可.

■uimuim

【详解】⑴因为BC=BP+PC=2e「e2,所以43=8C.

又因为A8.8C有公共点点B,

所以A,B,C三点共线.

(2)设点。的坐标为(x,y),则尸。=(2-乂1-y),BC=BP+PC=2et-e2=(2-\)t

18

因为aC,。，P恰好构成平行四边形BCQP.所以尸D=BC，

2-x=2x=0

即一一,解得

y=2'

所以点尸的坐标为（0,2）.

29.（23-24高一下•广东佛山•期中）如图，在直角梯形Q4BC中，OA//CB,OA±OC',OA=2BC=2OC=2fM为

A8上靠近8的三等分点，OM交AC于D,P为线段BC上的一个动点.

（1）用。4和00表示。“：

（2）以。为原点，04和0。方向为x,y轴的正方向建立平面直角坐标系，当P为BC中点时，写出点W,P，。的

坐标；

（3）设。4+求4・〃的取值范围.

22

【答案】（1）OM=—OA+—OC

33

⑶答案见解析

【分析】（1）根据给定条件及几何图形，利用平面向量的线性运算求解而得；

（2）建立平面直角坐标系，结合平面向量的坐标运算代入计算，即可得到结果.

（3）由动点P设出=结合平面向量基本定理，，〃建立为x的函数求解.

1一?

【详解】（1）依题意。5=耳。4,AM=-AB,

以O为坐标原点，以。4、OC所在直线为x轴、），轴建立平面直角坐标系，则A（2,0）,3（1,1）,C（OJ）,

19

222??2（A?\（422、

由OM=-()A+-()C-（2,0）+-（0J）=,可得M,又P是8c中点，可得产

33133J

又。O=2OM=—2/IO.A2+—2OC,因为A、C、。三点共线，所以—2%+—24=1,解得2='3,所以OD:OM=3:1,

33334

%"42

・•・OD=，则叩扑

44133

(3)由已知OB=OC+CB=OC+-OA,

2

因尸是线段4c上动点，则令=

/）

OB=ACA+pOP=2(。八-OC)十〃(OC+CP)=(2+〃人)0八十(〃-A)OC，

//-2=1A=//—1

又OCQ4不共线，则有，.1=3

Li---------

I2+2x

\33

0<.r<—=>l<x+l<—=>1<//<—,

222

(1)

，〃二〃(4-1)=/7--—>在〃€上递增,

\乙)46

33

所以〃==。,〃=/,(%・〃)2="

3-

故％•〃的取值范围是O,4-

-

30.（23-24高一下•湖南衡阳.期中）如图，在平面直角坐标系中，点。为坐标原点，A（0,夜），C（x/2,0）,

LIllUUUIUUUUL11IJI^1.-一■

ACAB=BDAB=O^|AC|=|A4B|,A。与3c交于点M.

AC表示4P，BM；

（2）E为线段B。上的一个动点，若二ABE的面枳等十四边形A8OC面积的一半，求此时8E的坐标.

I?.?

【答案】(1)AP=+BM=-AC--ABi

(3&

(2)BE=

I22

【分析】（1）根据平面向量的基底运算及三点共线可求答案；

（2）先求四边形的面积得出三角形的面积，得出忸目=3,进而得到坐标.

20

【详解】（1）由题意可得4C_LA8,AB1BD,

因为卜]=卜可，侬=|四，所以8C_LCD,

因为AC=（夜，-忘），AB=（g网,

所以|AB卜卜。|=>/?^=2,|BC|=>/，4+4=2x/2,|fiZ）|=>/8+8=4,

所以用）=24。.

AP=AH+BP=AB+-BD=AB+-AC.

63

设4M=2阴+（1-4）4。，BM=“BC,其中a，〃e[0』.

因为BC=BA+AC=8A+；BO,所以=〃8C=〃84+；〃B。，

/=〃，2=2,

所以।,।解得:

T=y，〃二.

2I3

?!?2

故6M=-BA+-BD=-AC--AB.

（2）因为四边形力8。。的面积为:x[2+4）x2=6,

所以，ABE的面积为3.

设卜回二%则S△4跖=白2。=3,解得。=3,

则8E=38Q=3AC=（迪，一辿.

J42（22）

【高分达标】

一、单选题

31.（23-24高一下•山东荷泽）已知q,G是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（）

A.〃=0，b=et—e2B.a=3et—3e2,h=e}-e2

C.d=ex-2e2,b=et+2e2D.d=el-2e2»b=2e1-4e2

【答案】C

【分析】由不共线的两个非零向量才可以作为基底，结合共线定理对各项逐一判断.

【详解】对于A,因为〃=（）,所以“与人共线，不能作为基底；

对于B.设”=/^，则招-3/=4,-《），解得以=3,所以。与6共线，不能作为基底；

对于C.设a=4b，则4-2弓=；1（9+21）,即：I一，此时义无解，所以〃与〃不共线，可以作为基底;

'/-2=2X

21

对于D,设”=则q—26