2026届高三数学三轮冲刺：解答题77分强化训练14（原卷版及解析）

解答题77分三轮冲刺保分强化训练(14)

第1组

(时间：75分钟分值：77分)

1.(25-26高三下•福建厦门•月考)已知分别为VA3C的内角A氏。所对的边，。=2且G〃sinC+acosC=b+c.

⑴求A;

(2)已知。是边8c的中点，求AD的最大值.

2.(2026•广东佛山•二模)如图，尸6是圆柱。。的母线，四边形是底面内接正方形.点区「是棱"CCD上

的动点(£F不与端点重合)，且CE=DF.

(1)证明：AE_L平面P8”；

⑵已知圆柱。。的体积为兀，依=2,点A到直线0”的距离是1.

(i)求CE的长度；

(ii)求直线CO与平面2正所成角的正弦值.

3.(2026•安徽滁州•一模)已知椭圆「:£+*=1(“”>0)的短轴长为4,离心率为更.

b-5

(1)求「的方程；

(2)若直线y=x+/〃与「交于A,8两点，且|4例<邛0,求机的取值范围.

4.(25-26高三下•安徽・月考)已知函数/(x)=lnx-+(1-2/心+1(〃?eR).

(1)讨论函数/(x)的单调性；

⑵若对定义域内的任意x，《。恒成立，求整数，〃的最小值.

5.(2026•山东东营•一模)在第十五届全国运动会乒乓球女子团体金牌赛中，山东队拼尽全力、不屈不挠，最终战

胜河北队，夺得冠军.为了弘扬国球精神，提升竞技水平，某学校举行♦.校园杯•♦趣味乒乓球比赛，甲乙两名同学进行

“单打对决”，规则如下：比赛采用五局三胜制，为增加比赛悬念，每局比赛不设固定分数上限，实行“净胜两分制”，

即从0比。开局，率先净胜对手2分的一方赢得该局.经赛前技术分析，在每一个回合(即从发球开始到一方得分结

束的完整对抗过程)中，甲得分的概率为彳2，乙得分的概率为;I.假设各回合结果相互独立，无无效回合，且各局胜

负互不影响.

(I)在某一局比赛中，求经过2回合结果为平局的概率<和经过4回合结果为平局的概率6；

⑵在某一局比赛中，记“经过〃个回合甲获胜”为事件4,分别求P(A),P(A)，P(A)，P(A)及在该局比赛中甲获胜

的概率；

(3)比赛结束时，双方共进行了X局比赛，求X的分布列.

(附:当Ovqv［时，］+g+g?+…=/).

第2组

（时间：75分钟分值：77分）

1.（2。26・山西临汾•一模）在锐角VA3C中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,2cosAcosC=———

tanA+tanC

⑴求角B；

⑵当。=26时，VABC的面积为S,周长为心求）的取值范围.

2.（2026•黑龙江吉林••一模）截至2025年底，我国新能源汽车保有量达到4397万辆，占汽车总产量的12%.某城

市研究小组调查了300名汽车驾驶员对新能源汽车和燃油汽车的偏好程度，将调查结果整理成如下列联表.现统“得

4

出样本中偏好燃油汽车的人数占样本总数的50%,女性驾驶员的样本占样本总数的白，偏好燃油汽车的男性驾驶

员的样本有120人.

偏好燃油汽车偏好新能源汽车合计

男性驾驶员120

女性驾驶员

合讦300

（1）请根据已知条件将上述列联表补充完整，并依据小概率值。=0.01的独立性检验，分析对燃油汽车和新能源汽车

的偏好是否与驾驶员性别有关联.如果有关联，解释它们之间如何影响.

（2）现从女性驾驶员中按对燃油汽车和新能源汽车的偏好用分层抽样法抽取8人做进一步访谈，然后从这8人中随机

抽取3人填写调查问卷，记抽取的3人中偏好新能源汽车的人数为X,求X的分布列及数学期望.

参考公式及数据：---------7T7-------77.M»n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

4

3.(2026•山西晋中•模拟预测)已知数列｛〃”｝的前〃项和为5.，且25〃-3%=4〃-3.

(1)证明：｛q一2｝是等比数列；

(2)设bn=n(an-2)t求数列也｝的前〃项和7；.

4.(2026•湖北襄阳•一-模)如图，正三角形48U和平行四边形A8DE在同一个平面内，其中A8=4,BD=AD=而,

AB,0E的中点分别为F,G.将△A8C沿直线48翻折到VA8C,使二面角C-AB-O为120。，设CE的中点为”.

(1)求证：平面COP〃平面AG”；

(2)求平面CDE与平面DEF的夹角的余弦值.

5

22

5.(2026.广东广州•一模)已知双曲线C：£--21=1(«>0,40)的焦点到其渐近线的距离为应，点(技上)

在。上.

(I)求。的方程；

(2)点A,。分别在C的两条渐近线上运动，且|人用=20,线段A3的中点为M.

(i)设网0,6),F(O,-V3),求四斗|加打的最大值；

(ii)设P(T,O),Q〃,O)(/>1),点M不在x轴上，若NMQ尸=2NMQQ,求耨的取值范围.

6

解答题77分三轮冲刺保分强化训练(14)

第1组

(时间：75分钟分值：77分)

1.(25-26高三下•福建厦门•月考)已知分别为VA3C的内角4BC所对的边，。=2且G4sinC+acosC=b+c.

⑴求4;

(2)已知。是边8c的中点，求AD的最大值.

【答案】(1)A=]

⑵⑺

【解题思路】(I)利用正弦定理与两角和的正弦公式求解即可；

(2)利用平面向量，余弦定理，以及基本不等式求解即可.

【解析】(1)H43asinC+acosC=b+cf

由正弦定理得：\/3sinAsinC+sinAcosC=sinfi+sinC.

因为sin8=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,

所以5/5sinAsinC=cosAsinC+sinC，

因为Cw(O,7t),所以sinC>0,所以TJsinA-cosA=l,

所以2sin(A-B1=l，即

I6J6；2

因为Aw(Om),所以一—所以4—^=3,所以A=?.

666663

(2)因为8sA=b_—=2.>。=2,所以"+c?=4+，

2bc2

因为。是8c的中点，所以而=g(而+/),

所以由2=((网2+]同2+2福码

=^(c2+/?2+2/?ccos4)=^(/72+c2+")=：(%c+4),

因为〃2+/之2/N：，所以4+历22Z?c,即历K4,

所以卜二：(2〃c+4)K；(2x4+4)=3,

当且仅当。=。时，等号成立.所以AD的最大值为

2.(2026.广东佛山.二模)如图，依是圆柱。。1的母线，四边形是底面内接正方形.点EF是棱8CCD上

的动点(£b不与端点重合)，且CE=DF.

7

c

（1）证明：4£_1平面依“；

⑵已知圆柱。。的体积为兀，PB=2、点A到直线P厂的距离是1.

（i）求CE的长度；

（ii）求直线。。与平面尸AE所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；

⑵（i）CE=；；（ii）巫.

37

【解题思路】（1）利用正方形的特征，线面垂直的性质、判断推理得证.

（2）以点3为原点建立空间直角坐标系，利用点到直线距高的向量求法列式求出CE；（ii）求出平面R正的

法向量，再利用线面角的向量法求解.

RFCF

【解析】（1）在正方形A8c。中，由CE=。/，得8E=CF,tanABAE=—=—=tanZCBF,

ABBC

则NBAE=NCBF,/BAE+NFBA=NCBF+"BA=90，因此

由/%是圆柱oq的母线，得P8_L平面48CZ）,而AEu平面A8CO,则A£_LP8,

乂BFC\PR=B,BF,PBu平面PBF,所以AE_L平面PBF.

（2）d）设圆柱OOi的底面圆半径为小圆柱0。的体积为九,PR=2,得文/.。8=n,

解得「=巫，则AA=BC=1,显然直线348cBp两两垂直，

2

以点。为原点，直线刚,BC,BP分别为KFz轴建立空间直角坐标系，

则A(l,0,0),C(0J0),D(1,1,O),P(。。,2),设8E="0vrvD,则E(0j,0),C«,l,0),

AP=(-l,0,2),PF=(M,-2),由点A到直线尸产的距离是I,

4p.PF—f—4->?

得、|9|2-(^4^)2=1,则5—(->=1,而0VY1,解得

Y|PF\vr+53

所以C£=

3

8

_2

(ii)丽=(1,0,0)，AE=(-l,-,0),设平面E4E的法向量为方=(x,y,z),

fiAP=-x+2z=0

则2，取z=l,得7=(2,3,1),设直线C£>与平面石所成的角为0,

n-AE=-x+—y=0

3，

\hCD\_2

则sin夕=|cos(n,CD)|=

InllCDI-V141

所以直线CO与平面用场所成角的正弦值为上.

7

3.（2026・安徽滁州•一模）己知椭圆「：1+4=1（。>〃>0）的短轴长为4,离心率为更.

a-b25

⑴求「的方程：

（2）若直线y=x+，〃与「交于4,B两点,且［ABI<等,求用的取值范围.

【答案】（1）《+f=1

54

⑵（-3.-&W石.3）

【解题思路】（1）根据短轴长和离心率求出椭圆方程.

（2）联立直线与椭圆方程，利用判别式、韦达定理和弦长公式，结合弦长条件求出〃，的取值范围.

【解析】（I）由题意可得：短轴长沙=4,故b=2,

又因为离心率e=£=且，结合椭圆关系/=6+/可得：

a5

/=:=――=1=—»解得/=5,〃?=4,

a~a-a-5

所以椭圆「的方程为：—+^-=1.

54

y=x+m

（2）由题意可知，联立直线）=工+”，与椭圆方程：{x2y2,

54

消去）'整理得：9/+10mx+5（W2-4）=0,

设直线y=x+〃?与椭圆「交于点A（%,y）,弘法为），

则判别式△>0：A=(l0W)2-4X9X5(m2-4)=720-80M>。，

解得病<9,即一3<"?<3,由韦达定理得：

10/7?5(〃/一4)

X\+X2=~，

由弦长公式IAB\=J1+&2.+x2)2-相/，其中k=l,

可得：|阴二百#等)15(〃：4)=4加?^[,

9

又因为|.|〈亚，所以4阮”一述.

999

化简可得：匹募<2,两边平方得：>>5,

即〃?>白或m<-y[s，

又因为〃Jv9,所以〃?的取值范围为：(-3,-石)u(右,3).

4.(25-26高三下•安徽•月考)已知函数/(x)=lnx-〃浸+(]_2〃z)x+l(〃2£R).

⑴讨论函数/*)的单调性；

(2)若对定义域内的任意-八处<。恒成立，求整数m的最小值.

【答案】⑴当〃区0时，函数/⑴在(。，心)上单调递增；当〃?>0时，函数/(幻在(0,J)上单调递漕，在(白产)上

2m2m

单调递减

(2)1

【解题思路】(1)求出函数/(X)的导数，按加工0，机>。分类求出函数的单调区间即可.

(2)等价变形不等式/(x)«0并分离参数，再构造函数并利用导数求出最大值范围即可得解.

【解析】(1)函数/(x)=lnx-心2+(1-2"?)x+l的定义域为(0,+oo),

求导得尸(幻=1-2〃坟+1-2,〃=_2-1)1=_(2^-i)Cv+l),

XXX

当〃区0时，八x)>0,函数/(X)在。+8)上单调递增；

当〃?>0时，由/'(x)>0,0<x<——；由f'(x)<0,Wx>——,

2.772m

则函数/*)在(0,=-)上单调递增，在(；*)上单调递减，

2m2，〃

所以当〃?40时，函数/(x)在(0,y)上单调递增；

当心。时，函数/⑴在(。,占上单调递增’在琮皿上单调递减.

(2)依题意Vxw((),"Kc),/(x)WOoInx-〃tr?+(1-2/”)x+lKOowN即：+*+1恒成立,

x~+2x

lnx+x+1~(x+l)(x+21nx)

令函数g*)=求导得<(%)=

X2+2X(X2+2X)2

令函数力(x)=-(x+21nx),求导得/(i)=_(|+2)<0,函数力(幻在(0,+oo)上单调递减,

x

而〃⑴=—1<0,//(1)=2In2-1>0,则太DW(LI),使得〃(与)=0,即/+21n%=。，

222

10

当xw(0,.%)时，h(x)>0,g'(x)>0；当xe(Ao，+8)时，h(x)<0,g\x)<0,

因此函数ga）在（Of）上单调递增，在U0,+oo）上单调递减,

In,v+/+1_2In%+2x+2

g*)max=&（,%）二(>0

X+2(x：+2.%)

则〃?Ng（x0）,所以整数m的最小值为1.

5.（2026•山东东营•一模）在第十五届全国运动会乒乓球女子团体金牌赛中，山东队拼尽全力、不屈不挠，最终战

胜河北队，夺得冠军.为了弘扬国球精神，提升竞技水平，某学校举行“校园杯”趣味乒乓球比赛，甲乙两名同学进行

“单打对决”，规则如下：比赛采用五局三胜制，为增加比赛悬念，每局比赛不设固定分数上限，实行“净胜两分制”，

即从。比0开局，率先净胜对手2分的一方赢得该局.经赛前技术分析，在每一个回合（即从发球开始到一方得分结

束的完整对抗过程）中，甲得分的概率为彳2，乙得分的概率为I：假设各回合结果相互独立，无无效回合，且各局胜

JJ

负互不影响.

（1）在某一局比赛中，求经过2|口I合结果为平局的概率片和经过4|可合结果为平局的概率6；

（2）在某一局比赛中，记“经过〃个回合甲获胜”为事件4,分别求户（A）,P（A2）,P（4）,P（a）及在该局比赛中甲获胜

的概率；

（3）比赛结束时，双方共进行了X局比赛，求X的分布列.

（附:当Ovqv［时，［+4+/+…=/）.

【答案】⑴鸟4喑16

⑵p（A）=o；P（4）=?P（A）=。；玖儿）=”；7

VO13

（3）分布列见解析

【解题思路】（1）利用独立重复试验的性质结合独立事件概率公式求解即可.

（2）结合题意求出对应概率，再求出?（凡），最后得到甲获胜的概率即可.

（3）结合题意求出对应情况的概率，最后列出分布列即可.

2］

【解析】（I）由题意得中得分的概率为乙得分的概率为Q,

则4=CX2XL±=lx-=—.

1233929981

（2）由题意得P（A）=O,P（&）=（a2=6，

2

尸（4）=0,P（A4）=Cix|x|x（1）=^,

3JJ01

当〃为奇数时，P（A）=O,

71卫O0

当〃为偶数时，/＞（A,）=（C2X-X-）x（-）2=（-）%

11

则甲获胜的概率为P=尸（A）+…+尸（AJ

22d

21-(1)2

2+__+

I-4

44

当，7fg时，则甲获胜的概率为不

JJ

4

（3）由已知得甲获胜的概率为不，且X的取值为3,4,5,

而尸（X=3）=（t）’十（：）3=*，

JJ4J

34）心口衿+苧吴*嗡,

尸—5）=/守《）2*的.吗）24=急

可得分布列如下,

X345

1320496

P

25625625

12

第2组

（时间：75分钟分值：77分）

1.（2026•山西临汾•一模）在锐角VA4c中，角4,B,C的对边分别为小b,c,2cos4cosC=———

tanA+tanC

⑴求角B；

⑵当》=2。时，V48C的面积为S,周长为L,求，的取值范围.

【答案】（1）4=^

【解题思路】（I）利用切化弦和两角和的正弦公式化简即可求出；

（2）利用余弦定理将目标转化为第,+。-26）,再结合正弦定理边角互化即可，再结合三角函数的值域求出;

或直接利用正弦定理边角互化，结合三角函数的值域求出.

【解析】（1）由题可得2€。必85以10114+•。）=101^,

即2cos4cosC（s…C+cosAsinC]=2sin（A+C）X

Icos4cosC）cosB

因为A-8+C=7C,sin4/0,所以2sin8=,gyosB=-,

cos8C2

因为8三（0微｝所以8=*

（2）解法一：S=—tzcsin^=-^-ac»L=a+b+c=a+c+2\/3>

24

由余弦定理可得：6=/+/-2仇858,即12=/+。2一〃c.

所以12=（a+-3ac,即（a+c+26）（a+《-2石）=3ac.

S__yf3ac_73

皿=看"Ja

L4a+c+264"+资

由正弦定理可得，a=4sinA,c=4sinC,

则a+c=4siii4+4sinC=4siiiA+sin\--A=4A/3sin|A+—

k3)\(6

因为0“<W，所以夫

23262

所以a-c46,4G],所以[e

解法二：由正弦定理可得，a=4sia4.<?=4sinC,

13

贝ij}_5"sin'_旦ac_616sini4sinC

La+b+c4〃+c+2G44(sinA+sinC)+26

2sin]2A--+，

=25/5・2、6,l

2(.冗)

2sinA+-+1

6J

2

4sin1A+—1-1r/、

JI6>l1,/兀「

--------7------r--------——2sin4+——1

2C"A兀11----2I6)

2sinA+—+1L''

\6；

=sin(4+-)-\_

2

因为0(A<】，O<§_A〈W，所以£<A<S，

23262

所以sin(A+e卜[44

…s(V3-ir

所以------

L2'2

2.(2026•黑龙江吉林•一模)截至2025年底，我国新能源汽车保有最达到4397万辆，占汽车总产量•的12%.某城

市研窕小组调查了300名汽车驾驶员对新能源汽车和燃油汽车的偏好程度，将调查结果整理成如下列联表.现统计得

4

出样本中偏好燃油汽车的人数占样本总数的50%,女性驾驶员的样本占样本总数的正，偏好燃油汽车的男性驾驶

员的样本有120人.

偏好燃油汽车偏好新能源汽车合计

男性驾驶员120

女性驾驶员

合「30()

(1)请根据已知条件将上述列联表补充完整，并依据小概率值。=0.01的独立性检验，分析对燃油汽车和新能源汽车

的偏好是否与驾驶员性别有关联.如果有关联，解释它们之间如何影响.

⑵现从女性驾驶员中按对燃油汽车和新能源汽车的偏好用分层抽样法抽取8人做进•步访谈，然后从这8人中随机

抽取3人填写调查问卷，记抽取的3人中偏好新能源汽车的人数为X,求X的分布列及数学期望.

参考公式及数据0M

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

【答案】（1）列联表为

偏好燃油汽车偏好新能源汽车合计

男性驾驶员120100220

女性驾驶员305080

合计150150300

有关联,解释见解析，

（2）随机变量X的分布列为

X0123

115155

P

56562828

期望为岸

O

【解题思路】（1）根据已知数据可计算得到补全列联表所需的数据，进而补全列联表，并计算得到6.818>6.635,

由此可得结论；

（2）根据分层抽样原则可确定样本中偏好新能源汽车的人数和偏好燃油车的人数，由此可得X所有可能的取值，

根据超几何分布概率公式可求得X每个取值对应的概率，由此可得分布列：由数学期望计算公式可求得期望值.

【解析】（1）因为样本中偏好燃油汽车的人数占样本总数的50%,故样本中偏好燃油汽车的人数为300x50%=150,

因为样本中女性驾驶员的样本占样本总数的玄，故样本中女性驾驶员的人数为300x/=80,

工JIJ

由题意，列联表补充如下：

偏好燃油汽车偏好新能源汽车合计

男性驾驶员120100220

女性驾驶员305080

15

合计150150300

零假设名为：对燃油汽车和新能源汽车的偏好与驾驶员的性别无关联.

2

根据列联表数据，计算得z=30°XC（）7（）（）X-3（）『。6.818>6.635=x001.

220x80x150x150001

根据小概率值。=0.01的独立性检验，可以推断”。不成立，即认为对燃油汽车和新能源汽车的偏好与驾驶员的性别

有关联，此推断犯错误的概率不大于0.01.

男性驾狼员中偏好新能源汽车的频率为鉴aU.455,女性驾驶员中偏好新能源汽车的频率为第=0.625,前者明显

22。8（）

小于后者.根据频率稳定于概率的原理，我们可以认为女性驾驶员偏好新能源汽车的概率更大.

（2）由题意，抽取的8人中偏好燃油汽车的人数为|Jx8=3人，偏好新能源汽车的人数为瞪、8=5人.

oO80

随机变量X的可能值为0，1,2,3.

p"=o）爷q,p"=i）年=茅

P（X=2）=警喔，P（X=3）爷椅

JZo5Zo

所以，随机变量X的分布列为

X0123

115155

P

56562828

X的数学期望E（X）=l'+2X导3*寸.

3.（2026•山西晋中•模拟预测）已知数列｛q｝的前〃项和为%且2s“-3/=4〃-3.

⑴证明：｛q-2｝是等比数列：

（2）设〃=〃（见一2）,求数歹ij｛2｝的前〃项和rn.

【答案】（1）证明见解析

（2）7；=?x3"+j]

44

【解题思路】（1）当〃=1时，可得4的值，当，壮2时，根据为=5“-兀，代入求解，整理变形，根据等比数列

的定义，即可得证.

（2）由（1）可得”表达式，根据错位相减求和法，即可得答案.

16

【解析】⑴证明：因为2S-」-3,

所以当〃=1时，24—30=4-3,解得《=一1,

当〃之2时，2s.i-3a“_i=4(〃-1)一3=4〃-7,

所以2⑸-Si)-3(4-g)=4,即与=34-一4.

所以4—2=3(的-2)(心2),

又q-27,

所以｛q-2｝是以-3为首项，3为公比的等比数列.

(2)由(1)知，qr-2=-3x3"T=-3”.

所以"=〃(％-2)=fx3",

贝ij_7；=lxM+2x32+3x33+…+〃乂3”,①

-37；,=1X32+2X33+3X34+…+(〃-1)X3"+〃x3"i,②

①减去②，得：

27>(3+32+33+...+3")-叱3向=21^|11—"3"”=(»忖-5

所以x3"+j1.

44

4.(2026•湖北襄阳•一-模)如图，正三角形和平行四边形/WOE在同•个平面内，其中48=4,BD=AD=而,

AB,。£的中点分别为凡G.将△ABC沿直线A8翻折到VABC,使二面角C-AB-O为120。，设CE的中点为”.

(1)求证：平面COP〃平面AG”；

(2)求平面石与平面DEF的夹角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵处

19

【解题思路】(1)根据线线平行证明线面平行，进而根据面面平行的判定求证,

(2)记明线面垂直，进而建立空间直角坐标系，求解平面法向最，即可利用向后的夹角公式求解.

【解析】3)因为四边形A3OE为平行四边形，F、G分别为4B,Z)E的中点，

所以四边形H)G4为平行四边形，所以/7X/AG.

因为FDa平面AG",AGu平面AG”，所以F。〃平面AG”，

又H、G分别为。£。£的中点，所以HG//CD.

平面AG”，“Gu平面AG”，所以CQ〃平面AG”，

因为r以COu平面C。尸，FDr\CD=D,

所以平面CDF〃平面AG”.

(2)因为三角形ABC为正三角形，BD=AD,6为A3的中点，

所以人8JLb,AB工DF,

所以NCF。为二面角C—A3—O的平面角，

乂CFCDF=F,CE。/U平面c。尸，

所以ABJL平面CDF,因为ABu平面所以平面CD尸平面AH/)石.

作CO，平面ABDEJ'O,则。在直线DF上.

又二面角。一八8-。的平面角为NCFD=120°,

所以O在线段。厂的延长线上.由已知得C尸=26，则"O=G，CO=3.

以〃为原点，尸。，以所在直线分别为工轴、y轴，过点F平行于0C的直线为z轴，建立空间直角坐标系,

如图，

因为A8=4,BD=AD=43\.所以。尸=3>A，

则A(0,2,0),5((),-2,0),。卜6,0,0),网36,4,0),C(->/3,0,3),

则叫(46,0,-3),屁=(0,4,0),

设平面COE的一个法向量为乃=(x,)，,z),

mil.--一一zt)\4y/3x-3z=0

则由〃1.CO，〃_LOE，得Lc，

4y-0

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令z=46,得方二卜,0,46）.

易得平面DEF的一个法向量戊=（0,0』）,

所以平面CDE与平面DEF的夹角的余弦值为|cos况同=g目

同网19

5.（2026•广东广州•一模）已知双曲线C：与1（«>0,〃>0）的焦点到其渐近线的距离为&,点（&,a）

a~b~

在C上,

（1）求C的方程:

（2）点人，8分别在。的两条渐近线上运动，且|4用=2夜，线段A8的中点为M.

（i）设网0,6），F（O,-73）,求四斗眼目的最大值:

（ii）设尸（T,0）,Q（/,0）（cl）,点M不在x轴上，若NMQP=2NMPQ,求^的取值范围.

【答案】⑴入白

⑵(i)4；(ii)

【解题思路】（1）由焦点到渐近线的距离求得人=血，再将点（拉，血）代入到双曲线方程即可求解;

（2）⑴设出渐近线上的点由中点坐标和M却=2及得出M的轨迹为椭圆=发现E/为其焦点，

结合椭圆的定义即可求得|ME|+|MF|=4,再使用基本不等式即可求解：（ii）由NMQP=2/A7PQ及正弦定理，用

坐标表示tan0,tan2。，并使用三角函数恒等变换和椭圆方程消去/,得到比值关于4的表达式，结合”的取值范围

即可求解.

【解析】（1）设右焦点鸟90）,其中一条渐近线方程为y即辰-胡=o,

,bebe,rr

由题意得6（c,0）到6-纱=。的距离d==丁，2,

即=因为点（JI在。上，

将（立代入，得1=1,解得々=1,

即双曲线。:炉一二=1.

2

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（2）（i）由（1）得渐近线方程为），=