极值点偏移与拐点偏移必考七大问题（原卷版）-2025-2026学年高二数学下学期（人教A版选择性必修第二册）

极值点偏移与拐点偏移必考七大问题

的题型输理

【题型1极值点偏移问题：加法型】.............................................................2

【题型2极值点偏移问题：减法型】.............................................................3

【题型3极值点偏移问题：乘积型】.............................................................5

【题型4极值点偏移问题：商型】...............................................................6

【题型5极值点偏移问题：平方型】.............................................................7

【题型6极值点偏移问题：复杂型】.............................................................9

【题型7拐点偏移问题】.......................................................................10

》知识梳理

知识点1极值点偏移问题

1.极值点偏移的概念

⑴已知函数厂/）是连续函数，在区间（d6）内只有i个极值点/但）7/（右），且X。在X1与X?之间，由于函

数在极值点左右两侧的变化速度丕回，使得极值点偏向变化速度快的一侧，常常有子旦产，这种情况

称为极值点偏移.

（2）极值点偏移

若空空Wxo,则极值点偏移,此时函数次X）在尸X0两侧，函数值变化快慢不同，如图（2）（3）.

（左陡右缓，极值点向左偏移）若/图）=/（应），则修+M>2切

（左缓右陡，极值点向右偏移）若—|）=/（必），则修+通<2郁

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2.极值点偏移问题的一般题设形式

(1通数次x)存在两个零点xi，必且n/物求证：为+必>2刖的为函数/(X)的极值点)：

(2)函数/(x)中存在不，彳2且Xi#M，满足/UIAAM)，求证：巾+应>2工0(入0为函数4丫)的极值点)；

(3)函数/(X)存在两个零点不，冷且X|#X2，令M)=2~-，求证：f(Xo)>O；

(4)函数/(X)中存在Xi，X2且Xl#X2，满足於1)或0)，令4。="，求证：/(X())>O.

3.极值点偏移问题的常见解法

(1)(对称化构造法):构造辅助函数：

①对结论不+必>2刈型，构造函数"G)=fM-f(2x0-x).

②对结论k型，方法一是构造函数/(x)=/(x)-/(T)，通过研究“W的单调性获得不等式；方

法二是两边取对数，转化成lnxi+hu，2>21nxo，再把Inx】，hix?看成两变量即可.

0)(比值代换法卜通过代数变形将所证的双变最不等式通过代换/=三化为单变量的函数不等式，利用函数

X2

单调性证明.

知识点2拐点偏移问题

1.拐点的概念

在函数图象上，如果有一个位置使得函数曲线向左弯曲变成向石弯曲或者反过来，那么这个位置就被称为

拐点.

2.拐点偏移

拐点偏移通常发生在以下两种情况下：

(1)眼数不光滑

如果函数在某一点处不光滑，即该点处不可导或者导数不存在，那么它的图像可能出现断裂，从而导致拐

点偏移.

(2)函数有多个极值

如果函数有多个极值，则其图像可能呈现出多个连续部分具有相同的凸凹性质，并且这些部分之间可能存

在突然转折，这种情况下也会出现拐点偏移.

3.拐点偏移问题的解题策略

为了解决拐点偏移问题，可以采取以下措施：

(1)修正函数

如果函数在某一点处不光滑，可以通过修正函数使其在该点处匕导.

(2)分段处理

如果函数有多个极值，则可以将其分段处理.

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(3)使用高阶导数

除了一阶导数外，还可以使用高阶导数来解决拐点偏移问题.例如，可以通过计算二阶导数来判断拐点的位

置是否发生了偏移，从而对函数进行修正.

a

题型归纳

【题型1极值点偏移问题：加法型】

lnx%>1

1-Lx<1若尸(%)=/[/(%)+1]+6有两个零点％1，

ff

%2»则％1+%2的取值范围是()

A.[4—21n2,+co)B.[14-Ve,+oo)C.[4—21n2,l+Ve)D.(—co,l+Ve)

2.(24-25高二下•湖北恩施•期中)已知Q>1,Xi，x2,%3均为。"=炉的解，且X1<冷<%3,则下列说法

正确的是()

A.%i€(—2,—1)B.QW(1,廉)

C.%i+x2VoD.x2+x3<2e

3.(24-25高二下•四川成都•期中)函数/(%)=^+lnx+b(a6R,beR)的两个极值点均、必满足％1<x2<2

%i，则勺+2必的最大值为.

4.(24-25高二下•江苏扬州•月考)已知函数/'(x)=lnx—ax-2,a6R,e是自然对数的底数.

(|)讨论函数y=f(%)的极值;

(2)当Q=§时，若X],x2(其中不<“2)满足/(力)=/(%2)，求证：X1+%2>2e.

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5.(20245•湖南郴州•模拟预测)已知函数/(%)=2a\nx+^x2-(a+2)x,其中a为常数.

(1)当a>0时，试讨论/(%)的单调性；

(2)若函数/(x)有两个不相等的零点勺，x2,

(i)求Q的取值范围；

(ii)证明：%i+x2>4.

【题型2极值点偏移问题：减法型】

6.(24-25高二下•四川成都•期中)已知函数/'(%)=也%+1—"有两个零点孙、无2,且不<々，则下列命

题正确的个数是()

①0<Q<l;②不+孙<a@X1-X2>1;④％271>5—1.

A.1个B.2个C.3个D.4个

7.(2025•四川成都•一模)已知6>4且6。一。=N一8=1.01,则下列说法正确的有()

Q)b<-1；©0<a<|；(3)b+a<0；@a-b<1.

A.①②③B.②③④C.②④D.③④

8.(24-25高二下•云南•期中)已知函数/■(无)=31nx+Q、2—4%(Q>0).

(1)当a=l时，讨论/(x)的单调性；

(2)当a时，若方程f(k)=b有三个不相等的实数根“1/2,43，且“1<xz<x3,证明：x3-xL<4.

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9.(2025高三•全国•专题练习)若f(x)=xlnx-Q有两个不等的零点小,%2，且小<%2，求证：％2—修<称

a+l+旅.

10.(2025•全国•模拟预测)已知函数/(%)=(x-e-l)e*—浓2+e2%.

(1)求函数f(x)的单调区间与极值；

⑵若，(%1)=f(%2)=/(%3)(%lV%2<%3)，求证：'^T1<e-1.

【题型3极值点偏移问题：乘积型】

11.(2025高三•全国•专题练习)已知函数/'(%)=Inx-QX—土若函数/(%)有两个零点％1、X2(X1<%2),

2

求证：XiX2>V6e.

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12.(24-25高二下•广东深圳•期末)已知函数/■(%)=(%+a)e5直线y=2x+1是曲线y=〃%)的一条切

线.

(1)求Q的值，并讨论函数/(X)的单调性；

(2)若/(与)=f(》2)，其中<%2，证明：小•无2>4.

13.(24-25高二上•江苏连云港•期末)已知函数f(x)=2%+©2+%巾无以€/?.

(1)当a=0时，求曲线y=f(x)在工=e处的切线方程：

(2)若/'(%)有两个零点;Vi，%2，且％2>3%1，证明：X1X2>

14.(2025高三・全国•专题练习)已知函数/(x)=25%—/一”有两个不同的零点小,不，且满足0<勺<

%2，求证：%1X2>1.

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15.(2025高三・全国•专题练习)已知函数f(%)=『一以(e是自然对数的底数).

(1)讨论函数/'(为的单调性：

(2)若g(x)=ex(x-1)-a\nx+/(乃有两个零点分别为工力也.

①求实数Q的取值范围；

②求证：晟三•

【题型4极值点偏移问题：商型】

16.(24-25高三上•黑龙江哈尔滨•期末)已知函数/(%)=ax2,g(x)=x(l-lnx).

(1)若对于任意x6(0,+8),都有fQQVgQ),求实数a的取值范围；

(2)若函数y=g(x)-m有两个零点小,工2，求证：7+7->2-

人1人2

17.(2025高三・全国•专题练习)已知函数/(%)=%—加(a>0)有两个相异零点勺、%2，且％i<孙，求证:

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18.(2025高二・全国•专题练习)若/(%)=眇一"一Inx-a有两个零点打和工2.

⑴求。的取值范围；

(2)求证：j-+j->2a.

,41人2

19.(24-25高二下•湖北•月考)已知函数/(%)=ae-x+lnx-l(ae/?).

(1)当aWe时,讨论函数/(%)的单调性;

(2)若函数/■(%)恰有两个极值点%1，%2(%1v为2)，且孙+%24,nS，求二的取值范围.

20.(24-25高三上•江苏无锡•月考)已知函数/(%)=£+lnx,g(x)=ax—Inx—2.

⑴若a>0,当/(x)与g(x)的极小值之和为0时，求正实数a的值;

112

(2)若f(Xi)=f(%2)=2(皿学％2)，求证：三+三>7

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【题型5极值点偏移问题：平方型】

21.(24-25高二下•辽宁•期末)已知函数/(%)二喂.

⑴讨论/(外的单调性；

(2)若(ex。*=(ex2)孙(e是自然对数的底数)，且不>0,x2>0,打不外，证明：好+越>2.

22.(2025•广东广州•模拟预测)已知函数f(x)=hur-Q%2

(1)讨论函数/(乃的单调性：

(2)若%1口2是方程/(%)=。的两不等实根，求证:Xi+X2>2e；

23.(24-25高三上•四川成都・月考)已知函数/•(%)=*,其中e为自然对数的底数.

⑴当a=1时，求/(%)的单调区间;

(2)若方程/(%)=1有两个不同的根工1，外.

(i)求a的取值范围；

(ii)证明：Xj+x1>2.

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24.(24-25高三上•云南•月考)已知函数/(%)=*,a>0.

(l)7f/(x)<1,求Q的取值范围；

(2)证明：若存在打,如使得/(M)=外力)，则蜉+必>2.

25.(2025•山西•模拟预测)已知函数/(x)=¥

(I)若f(X)W-l,求实数Q的取值范围；

(2)若/•(%)有2个不同的零点%1，X2(不<%2)，求证:

【题型6极值点偏移问题：复杂型】

26.(2025高二•全国•专题练习)已知函数/■(%)=e"-ax—3(。ER).若f(x)有两个零点勺，x2,且勺V

立

(1)求a的取值范围：

(2)证明:3eXl+eXz>3a.

27.(25-26高三上•河北•月考)已知函数/■Q)=lnx—x—a,且/(%)有两个零点勺,女.

(1)求。的取值范围；

(2)证明：X?+%!%2+X?>3.

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28.(24-25高三上•河南•月考)已知函数/(x)=%一lnx+m,g(x)=菽.

(1)若函数/(乃和g(x)的图象都与平行于％轴的同•条直线相切，求根的值:

(2)若函数F(x)=/(x)—g(x)有两个零点小,%2，证明：ex,•eXz>e2.

29.(24-25高二下•湖南•期末)已知函数f(x)=aeX-x2+3(awR).

(1)若方程/(x)=0有3个零点，求实数Q的取值范围；

(2)若0(%)=-x2+2x+4-/'(%)有两个零点打,%2(%1<血)，求证：0<。<—>且佟迎<,】

e74X1+1"2十“1

30.(2025•湖北武汉•三模)已知函数/(%)=ax+(a—l)lnx+3aER.

(1)讨论函数“切的单调性;

(2)若关于X的方程/'(%)=沅乂-1四+：有两个不相等的实数根必、工2,

<i)求实数。的取值范围;

<ii>求证；+

X2必“1必

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【题型7拐点偏移问题】

31.(2025•全国•模拟预测)对于三次函数/'(;<)=ax3+bx2+cx4-d(aH0)给出定义：设f'(X)是函数y=/(x)

的导数，f"(x)是f'Q)的导数，若方程f"。)=0有实数解右，则称点(沏/(物))为函数y=f(x)的“拐点”，同

学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心,

若/(、)=色一请你根据这一发现计算：/熊)+/(募)+/(急)+…+/(翳”()

A.2021B.2022C.2023D.2024

32.(24-25高二下•黑龙江齐齐哈尔・期末)对于三次函数f(x)=a%3+b/+cX+d(a：;fco),给出定义：设

尸(乃是函数y=/(x)的导数，/。)是/'(x)的导数，若方程尸(无)=0有实数解%0,则称点(&/(&))为函数

y=f(x)的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐

点”就是对称中心.设函数9(%)=$3一/+2%一最则g(-2019)+g(—2020)+伙2021)+g(2022)=()

A.0B.1C.2D.4

33.(24-25高二下•甘肃嘉峪关•月考)对于三次函数/(%),给出定义：设r(x)是函数的导数，/*"(")是(Q)

的导数(称为/(为的二阶导数)，若方程/Q)=0有实数解，则称点配为函数/■(%)的“拐点”.经过探究发现:

任何一个三次函数都有,，拐点，，，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数/•(%)=*

温？…5

—7-+3x—1—z

(1)若/(x)既有极大值又有极小值，求用的取值范围：

(2)当m=1时，①求/(%)的对称中心；

②计算，盛)+，(盛)+，(用…+，(寰的值•

34.(2025•四川绵阳•模拟预测)拐点，又称反曲点，指改变曲线向上或向下的点(即曲线的凹凸分界

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点).设r(x)是函数y=/(»的导函数，/"(%)是函数/口)的导函数.若方程/。)二。有实数解％=々)，并

且在点。0,/(配))左右两侧二阶导数符号相反，则称(勺,/(勺))为函数y=/'(%)的“拐点经研窕发现所有的

三次函数/(为=Q、3+bx2+cx+d(a00)都有“拐点”，且该“拐点”也是函数y=〃%)的图象的对称中心.已

知三次函数/(x)=x3-3x2+4.

(1)过点P(O,5)作曲线y=f(无)的切线，求切线方程：

(2)若对于任意实数%,都有〃/一2%+4)+〃/+&)>4恒成立，求实数2的取值范围：

(3)已知函数g(x)=2mx3+[61n(mx)-15]x2+-X--+1,其中m>