山东省济南某中学2025-2026学年高一年级下册期中数学试题（含答案）

济南一中2025级高一下学期期中学情检测

数学试题

本试卷满分150分考试时间120分钟

一、单选题本题共12题，每小题5分，共60分.（每小题只有一个选项符合题目要求.）

1.已知复数z满足z・(l+i)=l-2i,则|z|=()

V3rVio

A.B.752-D.2

~T2

2.已知复数Z满足|z『-2忖-3=0的复数Z的对应点的轨迹是（)

A.1个圆B.线段C.2个点D.2个圆

3.在VAAC中,B=30*=2,c=20，则角A的大小为（)

A.45B.135或45C.15D.105或15

4.已知平面向量〃/且A8=a+2/2,8C=—5a+6〃,CO=7a—2〃，则一定共线的三点是（）

A.A，B,DB.A，A，CC.B,C,DD.A,C,D

5.猫儿山位于广西桂林，是南岭山脉越城岭主峰、广西第一高峰，因峰顶巨石形似卧猫得名，它是漓江发

源地，也是国家级自然保护区，生物多样性丰富，有“华南之巅”的美誉.如图，计划在猫儿山的两个山顶

间架设一条索道.为测量M,N间的距离，工作人员在同一水平面选取三个观测点A,我。，在A处

测得山顶M,N的仰角分别为60。和30"，测得两个山顶的高分别为MC=500/m,N8=250点m,且测得

NM4N=45，则间的距离为（）

A.500mB.250隔C.500鬲D.500V2m

6.数系的扩充过程以自然数为基础，德国数学家克罗内克（Kronecker,1823—1891）说“上帝创造了整数,

其它一切都是人造的”.若i为虚数单位，4=（l+ai）（3+i）,Z2=x-2i（〃,x£R）,且冬=）

A.x=-4,a=1B.x=4,a=-\C.x=-4,6/=—1D.x=4,a=\

A

7.在VA8C中，内角A民。的对边分别为a,Z?,c,asinC+〃=2Z?cos2—4acosB,则VA8C一定为()

2

A.直角三角形B.等腰三角形

C.等腰直角三角形D.钝角三角形

8.己知圆锥的侧面展开图为半I员I，则该圆锥的侧面积与其表面积之比为()

i?34

A.—B.—C.—D.—

2345

9.已知向量〃,。满足〃=(-1,3)/=(-2,1),则a在力上的投影向量为()

,(-)\\

A.(—2,1)B.(-2,3)C.D.(-1,3)

I>1J

10.如图，一个水平放置的三角形A8O的斜二测直观图是三角形A&O',若Ob=3,O'A=2,则原三

角形的面积为()

A.4B.6C.8D.10

11.已知。=(-2,-1),Z?=(XJ),若白与人的夹角a为钝角，则入的取值范围为()

A.」，+8

B.--,2u(2,+oo)C.-x,--D.(-2,2)

I2

12.如图，在梯形人8c。中，AB//DC.BC±AB,ZA=-,AB=2CD=4,E为线段48的中点，先将梯

4

形挖去一个以为直径的半圆，再将所得平面图形以直线A8为旋转轴旋转一周，则所得几何体的体积为

()

C.7兀D.67t

二、多选题本题共3题，每小题6分，共18分.(每小题有多项符合题目要求，全部选对

得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.)

13.已知复数Z='y,彳是Z的共桅复数，则下列说法正确的是（）

A.5的虚部为-；iB.|z-i|=V2

C.z在复平面内对应的点位于第二象限D.z为方程2/+2工+1=0的一个根

14.已知向量〃，〃满足向=1,忖=1,卜+。|=5则下列结论中正确的有（）

A.。与〃夹角为々B.ab=-y

JJ

-2九

C.a—b=\D.a-b与b夹角为w

15.V4AC满足sinA:sinB:sin。=2:近：3，且S△八依=6#,则（）

A.VABC三个内角A、B、。满足关系A+C=23

B.VABC的周长为10+2J7

c若N8的角平分线与4c交于D，则8。的长为迪

5

D.设E为VA8C外接圆上任意一点，则AEA6的最大值为14+至叵

3

三、填空题本题共6题，每小题5分，共30分.

16.已知m{R,i是虚数单位，复数z=62+,〃-2+（62-1）.若z是纯虚数，〃?的值为

17.在正四棱台中，AB=2，Ag=1,44=拒，则该棱台的体积为.

18.正三棱锥的底面边长为2,侧棱长为3,则此正三棱锥的侧面积为.

19.如图，在平行四边形A3C3中，£和尸分别是边CO和的中点，若4。=+尸，其中

则义+〃=.

20.在VABC中，若c=3,C=],其面积为则。+〃=.

7T----]-1

21.如图，在VABC中，NCAB=—,/）是AB上的一点，P为C。上一点，且AP=—AC+—AB,

432

若AC=6,AB=2,^lAP-CD的值为.

c

四、解答题本题共3题，共42分.（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

22.己知向量4=（1,2）,b=（2,-1）,c=（w,2）,meR.

（1）当（。+。）_1_（/1。一人）时，求实数4的值;

（2）当/?//（£+1）时，求向量a与c的夹角的余弦值.

23.设VA3C的内角4,B,。所对的边分别为小b,c,acosC+-c=b.

2

（1）求角A的大小；

（2）若VA3C边3c上的中线4。的长度为几,求VA8C面积的最大值.

24.如图，四边形4NCD为圆。的内接四边形，BD=3E

4

（1）若AD=2,cosNBCD=-,求A"；

（2）若CD=2AT）,且VA8c为等边三角形，求圆。的面积.济南——中2025级高一下学

期期中学情检测

数学试题

本试卷满分150分考试时间120分钟

一、单选题本题共12题，每小题5分，共60分.（每小题只有一个选项符合题目要求.）

1.已知复数z满足z,（l+i）=1-2「贝悯=（）

A.—B.底C.D.2

22

【答案】C

【解析】

【分析】利用复数的运算法则及复数模定义计算即可.

3.

【详解】由题意Z=—i

1+i-(l+i)(l-i)-222

2.已知复数z满足|z『一2忖-3=0的复数z的对应点的轨迹是（)

A.1个圆B.线段C.2个点D.2个圆

【答案】A

【解析】

【详解】因为|z|2—2忖-3=0、所以|z|=3jz|=3（负舍）

因此复数z的对应点的轨迹是以原点为圆心以3为半径的凤选A.

2.在VAAC中，8=30,6=2.o=2日则角A的大小为（)

A.45B.135或45C.15D.105或15

【答案】D

【解析】

【分析】利用正弦定理求得角C,根据三角形内角和，即可求得答案.

【详解】由题意知VA3c中，3=30/=2,c=2yji，

..bc.csinB2&xsin30V2

故=即sinC=-----=—.........=—,

sinBsinCb22

由于c〉〃，故。＞8=30，则C=45或135，

故A的大小为180-30-45=105或180-30-135=15，

故选：D

4.已知平面向量〃力且AB=a+2b,BC=-5a4-6b.CD=7a-lb,则一定共线的三点是（）

A.A,8,。B.A,A,CC.B,C,DD.A,C,。

【答案】A

【解析】

【分析】先考虑向量。力共线时，A8,C,。的位置关系，再考虑向量〃涉不共线时，利用向量共线定理

和平面向量基本定理逐项判断即可.

【详解】若向量。力共线，则CO共线，此时AB,C,。共线,

当向量不共线时，

对干A选项，BD=BC+CD=-5a+6b+la-2b=2a+4b=2AB，所以4优。三点共线，A正

确：

对于B选项，设A8=〃8C，则Q+2。=〃（一54+6。），即“二无解，B错误；

\/[6〃=2

/[7m=-5

对于C选项，设BC二〃£D，则一5〃+68=，"7d-2匕，即《。，，无解，C错误；

'）\-2tn=6

对干D选项，AC=AB+BC=a-¥2b-5a+6b=-4a-i-Sb，设AC="CD，

即Ta+8/?=〃7。一处，即《0,无解，D错误.

\）一2”=8

故选:A

5.猫儿山位于广西桂林，是南岭山脉越城岭主峰、广西第一高峰，因峰顶巨石形似卧猫得名，它是漓江发

源地，也是国家级自然保护区，生物多样性丰富，有“华南之巅”的美誉.如图，计划在猫儿山的两个山顶

M,N间架设一条索道.为测量M,N间的距离，工作人员在同一水平面选取三个观测点A&C,在A处

测得山顶M,N的仰角分别为60。和30"，测得两个山顶的高分别为MC=500Gm,N3=250夜m,月.测得

/MAN=45，则M,N间的距离为（）

A.500mB.250cmC.500鬲D.500am

【答案】D

【解析】

【分析】根据已知条件先求出△MN4中的两边，再利用余弦定理求仞V即可.

【详解】由题意，可得力加4。=60,/243=30,用。=500百1]1,幡=250五1妊,/加47=45,

MC

且/MC4=NN8A=90，在RL4CM中，可得AM==10()()m,

sin60

在RtZkABV中，可得AN=—"=50()及m,

sin30

在，AMN中，由余弦定理得：

22+(>/2)2-2X2XV2X^

MN?=AM2+AN2-2AM-ANcos/MAN=5OO2=500000

所以MN=500后m.

故选:D.

6.数系的扩充过程以自然数为基础，德国数学家克罗内克（Kronecker,1823—1891）说“上帝创造了整数,

其它一切都是人造的”.若i为虚数单位，4=（l+ai）（3+i）,Z2=x-2i（a,xeR）,且4=^2,»（）

A.x=-4,a=1B.x=4,a=-1C.x=-4,a=-\D.x=4,tz=1

【答案】B

【解析】

【分析】根据复数的乘法与复数相等的条件求解即可

【详解】4=（l+5）（3+i）=3-a+（3a+l）i,由z=Z2=x-2i,

可得3a+l=-2,「.。二一1,即得x=3—4=4.

故选:B.

,.八,,7A

7.在V/18C中，内角人,仇。的走边分别为々也。,心［11。+〃=2灰：0$~—+々以）58,则＞/八8。一定为（）

2

A.直角三角形B.等腰三角形

C.等腰直角三角形D.钝角三角形

【答案】A

【解析】

【分析】先利用二倍角的余弦公式对等式进行化简，消去半角形式，化简后等式中含有边和角的混合形式，

所以考虑利用止弦定理将边转化为角的正弦形式，再结合诱导公式对等式中的角进行转化，整理后得到角

之间的关系，进而判断三角形的形状.

A

【详解】在VA8C中，tzsinC+/?=2Z?cos2—+tzcosB,

2

।+cosA

则tzsinC+b=2bx---------+acosB,即asinC=bcosA+acosB,

2

则sinAsinC=sin8cosA+sinAcosB=sin（A+8）,即得sinAsinC=sinC,

由于。£(0,兀),sinC^O,故sir)A=1,结合人£(0,兀)，可得4=：,

即VA8C一定为直角三角形，

8.已知圆锥的侧面展开图为半圆，则该圆锥的侧面积与其表面积之比为()

।234

A.-B.—C.—D.一

2345

【答案】B

【解析】

【分析】根据给定条件，求出圆锥底面圆半径与母线的关系即可求解.

【详解】设圆锥底面圆半径为「，母线长为/,依题意，27n-=兀/,则/=2-，

所以该圆锥侧面积与其表面积的匕为兀"，=f广，=2.

nrl+it广2r3

故选：B

9.已知向量4/满足4=(一1⑶乃=(一2,1),则a在匕上的投影向量为()

A.(-2,1)B.(-2,3)c/-］，!D.(-1,3)

【答案】A

【解析】

【详解】已知G=(—1,3),1=(-2,1).

所以。》=(—l)x(—2)+3xl=2+3=5.

因为||=J(-2)2+1=)4+1=石，所以I〃F=5.

a•b

由投影向量公式可得〃在〃上的投影向量=~~b

\b\~

所以。在6上的投影向量为［功=〃二(—2,1).

10.如图，一个水平放置的三角形A80的斜二测直观图是三角形490',若O'3'=3,O'A=2,则原三

【答案】B

【解析】

【分析】根据直观图可得原图为直角三角形，求出原图的直角边长后可得三角形的面积.

【详解】由题设可得三角形AA。为直角三角形，且NA08为直角，40=4,B0=3,

故其面积为6,

故选:B.

11.已知。Z?=（XJ）,若〃与〃的夹角a为钝角，则入的取值范围为（）

A.，+8B.,2。(2收)D.(-2,2)

层I2

【答案】B

【解析】

【分析】利用向量数量积的坐标表示与共线的坐标表示计算即可求得入的取值范围.

【详解】因为4=(—2,-1),/?=(k,l),所以Q.b=—2入一1，

a,b的夹角为钝角；

.•.：力<0，且不平行;

—2入—1<0

•[-2+入工0：

解得不，且入土2；

2

.•，的取值范围为：|-1,21u（2,+oc）.

故选:B.

7T

12.如图，在梯形A8C。中，AB//DC.BCLAB^A=-,AB=2CD=4,E为线段A3的中点，先将梯

4

形挖去一个以BE为直径的半圆，再将所得平面图形以直线48为旋转轴旋转一周，则所得几何体的体积为

C.7KD.6K

【答案】A

【解析】

【分析】由题可得几何体体积为一个圆锥加一个圆柱体积再减去一个球的体积，据此可得答案.

【详解】旋转后得到的几何体为两个同底面的圆柱，圆锥，再去掉•个球体得到.

由题可得圆柱，圆锥的底面半径为CB,

又A3〃OCBC_LA3,NA=E,AB=2CO=4,则OE_LAB,DE=CB,

4

三角形ADE为等腰直角三角形，则DE=C6=!AB=2,

2

又由题可得圆柱，圆锥的高均为2,

139

则圆柱，圆锥体积之和为：一兀X22X2+TTX22X2=二兀，

33

又注意到球体半径为‘EB='A8=1,则球体体积为：-7txl3=-7t,

2433

32-428

则几何体体枳为2-----71=—71.

33

故选:A

二、多选题本题共3题，每小题6分，共18分.（每小题有多项符合题目要求，全部选对

得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.）

13.已知复数z二'y,5是z的共怩复数，则下列说法正确的是（）

1—1

A.2的虚部为一"B.|z—i|=>/2

C.z在复平面内对应的点位于第二象限D.z为方程2d+2x+l=0的一个根

【答案】CD

【解析】

【分析】根据复数的四则运算化简得z=-g」，求出对应点的坐标判断C,求出共挽复数及虚部判断A,

代人方程求解判断D,求出z—i后求模长判断B.

、iii（l+i）-1+i（1\\..

【详解】2=-"一y=--T=Y，―\7；―7T-~~~，对应点为一；,7在第一象限，故C对；

1-11-1+2\22）

-1-i1

又"二’虚部为一5’故A错,

2・|三口）+2（三口、+l=T—l+i+l=O，故Z为方程2/+2x+l=0的一个根

故选:CD

14.已知向量。，力满足同=1,b=1,a+b=>/3,则下列结论中正确的有（）

A.。与b夹角为三B.a-b=——

2

27r

D.a-b与b夹角为小~

J

【答案】ACD

【解析】

【详解】因为卜+可2=同2+也.+2〃%，

所以2。'6+=，所以。力二;，所以B错误:

所以“〉嗡

因为伍今«0,兀］,所以,力）=1,所以A正确；

因为。一Z?=-0）=『一2。力+b=，所以C正确;

(a-bjba.bb

=—1=—

旦（4一。,。）£［0,兀］,所以（4一6,/?）=与，所以D正确.

15.VA8C满足sinA:sinB:sinC=2:\/7:3，且鼠八*=66，则（）

A.VA3c三个内角A、B、。满足关系A+C=2B

B.VA8C的周长为10+2近

C.若的角平分线与AC交于。，则30的长为迪

D.设七为VABC外接圆上任意一点，则AEAC的最大值为14+军叵

3

【答案】ABD

【解析】

【分析】借助正弦定理将角的关系转化为边的关系，再结合余弦定理和面积即可求得三角形的边长，利用角

平分线将三角形进行分割，利用面积建立方程，即可求出8力的长度，最后借助数量积的几何意义即可求出

最大值.

【详解】因为sinA:sinB:sinC=2:J7:3,由正弦定理得a:b:c=2:J7:3,

因为SXRC-=—f/csinB=—ac^-»所以ac=24,

/iDv222

所以。=4,c=6,〃=25/7,

对干A：由余弦定理知，c^B=a^C~~h~=4+9~7=-,因为BE（O,兀），所以8=2,

lac2x2x323

2兀

所以A+C=7c-B=——，即A^C=28,故A正确；

3

对于B：因为a=4,c=6/=2g,

所以A48C的周长为a+^+crlO+z"，故B正确；

对于C：若的角平分线与AC交于。，则NA8O=NC3。=L/A8C=二，

26

因为S.ABC=SABD+SC8。，

所以66='c•8。sinNABD+'aBDsinNCBD,

22

即66=16-引）,+_1.4・80,，解得BO=吆A,故C错误；

22225

对于D：因为AE-AC=AE|-|ACCOSZ.EAC=/?•AEcosZ.EAC=2>/7|AE|COSZ.EAC,

设.ABC外接圆的圆心为。，半径为R,

b_2\/7_4>/7--

由正弦定理知，而2就=访=否，所以氏=衅1，

--3

2

过点E作AC的垂线，垂足为尸,则AEcosN£4C=Af\

当。E〃AC,且点尸在AC的延长线上时，"取得最大值，如图所示,

此时”二海+。吟"*.2团乎二g孝,

所以4£-AC的最大值为25・（"+3答）=14+与叵，故D正确.

三、填空题本题共6题，每小题5分，共30分.

16.已知mwR,i是虚数单位，复数z=〃/+m—2+（〃72—l）i.若z是纯虚数，，〃的值为

【答案】-2

【解析】

【分析】根据复:数z=〃「+〃7-2+（〃/一]],可知其实部为0,虚部不为0,由此可求解.

【详解】复数z=＞十〃L2+（加-l）i是纯虚数，

nr+zn-2=0m=1或m=-2

故＜、八，解得,故m=-2.

加一100in0±1

17.在正四棱台ABC。-中，A8=2，A4=1,AA=血，则该棱台的体积为

【答案】

66

【解析】

【分析】结合图像，依次求得4«,AO，AM,从而利用棱台的体积公式即可得解.

【详解】如图，过4作AMLAC，垂足为M,易知AM为四棱台43。。一4月。|。1的高,

因为A3=2，AM=1,AA=0,

则40=；AC=9叵AB\=专、AO=；AC=g叵AB=历,

故AM="C-AG)=也,则-AM?

22V22

所以所求体积为丫=!x（4+l+6万）x』5二坟

326

故答案为：还

6

18.正三棱锥的底面边长为2,侧棱长为3,则此正三棱锥的侧面积为.

【答案】6近

【解析】

【分析】正三棱锥的三个侧面是全等的等腰三角形，根据等腰三角形的性质求出三角形的面积即可求出三

棱锥的侧面积.

【详解】已知正三棱锥底面边长为2,侧棱长为3,

则正三棱锥侧面等腰三角形底边上的高=五万=2X/2，

侧面积5=3x—x2x2^2=6\/2.

2

故答案为：65/2

19.如图，在平行四边形A3C。中，E和尸分别是边C。和6。的中点，若=+其中

2,ZR,则％+〃=.

AD

4

【答案】-

3

【解析】

【分析】设A8=a,AD=〃，根据题意得到AE=-〃+44R=Q+-〃，得到AC=—（AE+A尸），进

223

2

而得到几=〃=3,即可求解..

【详解】设A8=dA0=〃，

因为E和尸分别是边CO和8C的中点，可得AE=L〃+b,A/=〃+"!•〃，

22

_______7_____

又因为AC=4+/J,所以AC=g（AE+A77）,

24

因为AC=2AE+〃AF,所以％=〃=q,所以％+〃=q.

4

故答案为：—.

3

20.在VA3C中，若c=3,C=g,其面积为G，则。+匕=.

【答案】V21

【解析】

【分析】先根据三角形面积公式求出出?的值，再结合余弦定理求出（。十与2的值，进而求出〃+8的值.

【详解】已知C=工，S,3c=行，代入面积公式可得：V3=-^sin-

323

则后=立，可得：ab=4.

22

22

根据余弦定理为02=a+b-2abcosC,可得3?=/+"筌〃力cos：

3

则9=/+〃一.即9=(6/+Z?)2-2ab-ab=(a+b)2-3ab，

把出?=4代入可得：9=（。+与2—3x4,即（。+/?）2=9+12=21.

由干〃为边长，可得a+h=JTL

故答案为：历.

TT||

21.如图，在VA8C中，/CAB=—,。是AB上的一点，/＞为C。上一点，且AP=-AC+—AB,

432

若AC=6,48=2,则ARC/）的值为.

【解析】

1.2-3

【分析】根据三点共线的结论可得AP=；；AC+：7A。，进而可得=即可根据数量积的运算律

334

求解.

I-I-.1-2---3

【详解】因为P,C,。三点共线，且AP=一AC+—AB,所以AP=-4C+—AD,所以AD=—AB,

32334

3

所以CD=C4+AO=—AC+—A8,

4

所以APCQ=j!AC+，ABY—AC+34B]=_!Ac2_lAB.AC+3AB2,

（32人4J348

又/胡。=色，|AC卜拉，卜目=2,所以AP.CO=_Lx2_』x0x2xE+2x4=L

4111134283

故答案为：—

3

四、解答题本题共3题，共42分.（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

22.已知向量〃=0,2）,Z?=（2,-1）,d=（也2）,/weR.

（1）当（。+。）_1_（2。一/?）时，求实数％的值；

⑵当z?//（E+2）时，求向量。与e的夹角的余弦值.

【答案】（1）1；

17

【解析】

【分析】(1)由垂直关系的向量坐标表示可解；

(2)由向量平行的坐标表示求出机，再代入向量夹角公式可得.

【小问1详解】

由题意可得a+Z?=(3,1),/«-/?=(/,2/)-(2,-1)=(/-2,2/+1),

因为(。+8)_1_(而一爪所以3(/-2)+(2/+1)=0?/1.

【小问2详解】

d+C=(1+777,4),

因为/?//(5+[),所以8+〃?+1=0?m-9,

所以c=(-9,2),

/\a?c5V17

WWcos^c)=—=-^==-->

即向最。与C的夹角的余弦值为-*.

17

23.设VA3C的内角4,B,。所对的边分别为小b,c,acosC+-c=h.

2

(1)求角4的大小；

(2)若V43C边BC上的中线AO的长度为遍，求VANC面积的最大值.

【答案】(1)y

⑵2G

【解析】

【分析】(1)利用正弦定理将边亿角，再由两角和的正弦公式计算可得；

(2)依题意可得AO=g(A3+AC),根据数量积的运算律得到从+/+仄：=24,再由均值不等式求出

6c•的最大值，即可得解.

【小问1详解】

因为〃cosC+」c=〃,

2

由正弦定理得sinAcosC+—sinC=sinB,

2

则siivlcosC+gsinC=sin(A+C),

即sitiAcosC+—sinC=s