北京八年级下册数学一课一练-平行四边形的判定 同步练习

第十五章四边形

二平行四边形

15.3平行四边形的性质与判定

第2课时平行四边形的判定

基础过关全练

知识点3平行四边形的判定

1.（2022河北中考）依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（）

80。11明70°

2.（2022北京五十七中期中）如图，点A是直线1外一点，在1上取两点B,C,分别以A,C

为圆心，BC,AB长为半径画弧，两弧交于点D,分别连接AB、AD、CD,则四边形ABCD

一定是（）

A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形

3.四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O,能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）

A.AB〃CD,AD=BCB.ZBAD=ZABC,ZBCD=ZADC

C.AB=AD,CB=CDD.AB=CD,AD=BC

4.（2021北京海淀二模）如图，两条射线AM〃BN,点C,D分别在射线BN,AMh,只需添

加一个条件，即可证明四边形ABCD是平行四边形，这个条件可以是（写出

一个即可）.

2—M

5.若。是四边形ABCD的对角线AC和BD的交点,且OB=OD,AC=24cm,则当OA=cm

时，四边形ABCD是平行四边形.

6.如图，在四边形ABCD中，AB〃CD,AB=8cm,DC=10cm,E是DC上一点，且DE=3,

P从A点，出发以1cm/s的速度向B点运动，同时Q从D点出发以2cm/s的速度向C点运

动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止，设运动时间为ts,当1=时，以A、

P、E、Q为顶点的四边形是平行四边形.

7.（2022吉林长春外国语学校期末）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点0,旦AO=CO,

点E在BD上，满足NEAO=NDCO,求证：四边形AECD是平行四边形.

8.（2022广西河池中考）如图，点A,F,C,D在同一直线上，AB=DE,AF=CD,BC=EF.

⑴求证：ZACB=ZDFE；

⑵连接BF,CE,直接判断四边形BFEC的形状.

能力提升全练

9.（2022北京海淀实验中学期中）平行四边形ABCD中，NA：NB：NC：/D可以是（）

A.1：2：3：4B.5：6：5：6C.2：4：4：5D.4：4：3：3

10.（2022北京朝阳日坛中学期末）下列四组条件中，能判定四边形ABCD是平行四边形的有

®AB=CD,AD=BC；②AB=CD,AB〃CD；③AB=CD,AD〃BC；④AB〃CD,AD〃BC.

A.②③④B.①②④C.①②③D.①③④

11.(2022湖南益阳中考)如图，在uABCD中，AB=8,点E是AB上一点，AE=3,连接DE,

过点C作CF〃DE,交AB的延长线于点F,则BF的长为()

A.5B.4C.3D.2

12.(2022北京大兴期末)如图，我们称四个顶点都恰好在格点的四边形为格点四边形，A、B

为4x4的正方形网格中的两个格点，在此图中以A,B为顶点的格点四边形是平行四边形的

个数是()

4f--

A.10B.llC.12D.13

13.(2021北京大兴期中)如图，在平面直角坐标系xOy中，A(0,1),B(0,-1),C(3,0).若以

A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则所有符合条件的点D的坐标是()

3y

2

14

C

-3-2-1()i~~2―3^

T8

-2.

A.(-3,0)B.(3,-2),(-3,0)

C.(3,2),(3,-2)D.(-3,0),(3,-2),(3,2)

14.(2022北京石景山期末)如图，在口ABCD中，E,F分别是边AD,BC上的点，连接AF,

CE,只需添加一个条件即可证明四边形AFCE是平行四边形,这个条件可以是__________(写

出一个即可).

15.（2022湖北荆州中考汝I图，点E,F分别在oABCD的边AB,CD的延长线上，连接EF,

分别交AD,BC于G,H.添加一个条件使△AEGgZ\CFH,这个条件可以是.（只需

写一种情况）

16.（2022广东广州中考）如图,在口ABCD中，AD=10,对角线AC与BD相交于点O,AC+BD=22,

则aBOC的周长为

17.（2022江苏宿迁中考）如图，在口ABCD中，点E、F分别是边AB、CD的中点.

求证：AF=CE.

18.（2022北京通州期中）如图，在口ABCD中，点E和点F是对角线BD上的两点，且BF=DE.

⑴求证：BE=DF；

⑵求证：^ABE会ACDF.

19.（2022北京平谷期末）如图，在口ABCD中，连接BD,取BD的中点O,过点O作直线EF,

分别交AD,BC于点E,F,求证：AE=CF.

20.（2022北京通州期中）已知四边形ABCD是平行四边形,对角线AC,BD相交于点O,直

线EF过点O,交边AD于点E,交边BC于点F,连接AF,CE.

⑴补全图形；

⑵求证：四边形AFCE是平行四边形.

21.（2022江苏无锡中考）如图，在口ABCD中，点。为对角线BD的中点，EF过点。且分别交

AB、DC于点E、F,连接DE、BF.求证：

（1）△DOF^ABOE；

(2iDE=BF.

22.（2022四川内江中考）如图，在口ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE=DF.求证:

（!）△ABE^ACDF；

⑵四边形AECF是平行四边形.

素养探究全练

23.在△ABC中，AB=AC,点P为^ABC所在平面内一点，过点P分别作PE〃AC交AB于

点E,PF〃AB交BC于点D,交AC于点F.

RP(D)C

图①图②图③

⑴如图①,点P在BC边上,PD=0,易证PD,PE,PF与AB满足的数量关系是PD+PE+PF=AB；

当点P在△ABC内部时，先在图②中补全图形，再写出PD,PE,PF与AB满足的数量关系，

然后证明你的结论；

⑵当点P在△ABC外部时，先在图③中作出相应的图形，然后写出PD,PE,PF与AB满足

的数量关系.（不用说明理由）

24.如图，在四边形ABCD中,

ZB=60°,AB=DC=4,AD=BC=8.延长BC至ljE,使CE=4,连接DE,动点P从点B出发,

以每秒2个单位的速度沿BC-CD—DA向终点A运动，设点P运动的时间为I秒(1>0).

⑴当1=3时，BP=.

⑵当t=时，点P运动到NABC的平分线上;

⑶当0<t<6时，请用含t的代数式表示△ABP的面积S；

(4)当()<t<6时，直接写出点P到四边形ABED相邻两边距离相等时t的值.

备用图

第十五章四边形

二平行四边形

15.3平行四边形的性质与判定

第2课时平行四边形的判定

答案全解全析

基础过关全练

1.D有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故D选项符合题意.故选D.

2.A•・,分别以A、C为圆心，BC、A8长为半径画弧，两弧交于点Q,：.AD=BC,AB=CD,

・・・四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）.故选A.

3.DD选项中，AB=CD,AD=BC,符合“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，故D

选项符合题意.故选D.

4泊。（答案不唯一）

解析在四边形A8CD44,已知AQ〃BC,・••再添加条件即叫证明四边形A8CD是

平行四边形.（答案不唯一）

5.12

解析当04=12cm时，OC=24-12=12（cm）,

：.OC=OA,.：OB=OD,I.四边形ABC。是平行四边形.

6.1或3

解析分两种情况讨论：

①点。在点E的左侧时，AP=t,QE=3・2t,

・・・AB〃C。，・••当A尸二QE1时，四边形AQEP是平行四边形，此时占3・2f,解得11；

②点。在点七的右侧时，AP=f,QE=2t-3,

*：AB//CD..••当AP=QE时，四边形AEQP是平行四边形，此时r=2f-3,解得r=3.

综上所述，当r=l或3时，以A、P、E、Q为顶点的四边形是平行四边形.

7.证明在△A0E和△CO。中，

,□□□□=□□□□,

••・△AOEgZXCOQ（ASA）,：,OE=ODf

又・・・A。=CO,・・・四边形AECD是平行四边形.

8.解析（1）证明：・・・AQO）,：.AF+CF=CD+CF,BPAC=DF,

在4ABCDEF中,□□=

=□□，

.,.△ABC^ADEF(SSS),:・/ACB=/DFE.

⑵如图，四边形8FEC是平行四边形，理由如下：

由(1)可知，/ACB二/DFE,

:・BC〃EF,

又・・.8C=ER.••四边形3FEC是平行四边形.

能力提升全练

9.B•・•四边形ABCD是平行四边形，

・・.N4=NC,N8=N。，・••比的第一项和第三项相等，第二项和第四项相等.故选B.

10.B根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可知，①符合题意；根据一组对边平行

且相等的四边形是平行四边形可知，②符合题意；根据两组对边分别平行的四边形是平行四

边形可知，④符合题意.,•能判定四边形人3C。是平行四边形的有①②④.

1LC二•四边形A8CO是平行四边形，.二AB=CQ,丁。/〃OE,・••四边形OEFC是

平行四边形，・・・QC=E凡・・・EF=A8,・・・8F=AE=3.故选C.

12.D以AB为对角线的平行四边形有11个，以AB为边的平行四边形有2个，，共有13个.

故选D.

13.D如图所示，符合条件的点。的坐标分别是(-3,0),(3,2),(3,-2),故选D.

14.AE=FQ答案不唯一)

解析在。48。)中，AD//BC,即AE〃尸C.

当添加AE=F。时，根据“一组对边平行旦相等的四边形是平行四边形”可以判定四边形APCE

是平行四边形.(答案不唯一)

15.8E=OR答案不唯一)

解析・・,四边形A8CD是平行四边形，

：.AB//CD,ZA=ZC,AB=CD,：.ZE=ZF,

•:BE=DF,：.BE+AB=CD+DFfBPAE=CFf

=□口，

在△AEG和△C尸”中，

=□口，

:.△AEG0△6777(ASA).

故答案为8E=DF(答案不唯一).

16.21

解析•・•四边形A8CQ是平行四边形，

：.AO=OC=-AC,BO=OD=-BDAD=BC=1(),

22f

•；AC+BD=22,:.OC+BO=I1,

•••△BOC的周长二。C+OB+8C=11+10=21.

17.证明・・・四边形ABCD是平行四边形，

：.AB//CD.AB=CD,

・・•点七、产分别是边人6、CQ的中点，

:・AE=BE=CF=DF,

・•・四边形AECE是平行四边形，・・・AF=CE.

18.证明(I?；BF=DE,；・BF-EF=DE-EF,BPBE=DF.

(2)V四边形ABCD为平行四边形，

:.AB=CD,且AB〃CO,:・NABE=/CDF,

在△ABE和△COE中，］□□□□=□□□□,

.,.△ABE^ACDF(SAS).

19.证明方法一：如图，连接AC,

•・,在口ABCD中，的中点是。，・・・AC经过点Q

•・•四边形A8CQ是平行四边形，・・・AO〃8C,OA=OC,

：.ZOAE=/OCF.

'□□□□=□□□□,

在ZiAOE和ZkCO/中，□□:口匚，

,□□□□=□□□□,

A△AOE^△COF(ASA),：.AE=CF.

方法二：・・•四边形A8CO是平行四边形，

：.AD=BC,AD//BC,1・/EDO=/FBO,/DEO=/BFO,

,□□□□=□□□□,

在△QEO和△BRO中，□□□□=□□□□,

•••△QE。也△BbO(AAS),

:.DE=BF.：.AD-DE=BC-BF,即AE=CF.

20.解析⑴如图所示.

(2)证明：•・•四边形ABCO是平行四边形,

:・AD〃BC,AO=CO,

：.ZAEF=ZCFE,/EAC=/FCA,

'□□□□=□□□□,

在△AO£与4。。尸中，'□□□□=□□□□,

=□口，

•••△AO£/Z\COF(AAS),：.OE=OF,

•・・AO=CO,・•・四边形AFCE是平行四边形.

21.证明(1”.•点O为对角线BO的中点，.\O£>=OB,

二•四边形ABCD是平行四边形，・・・。产〃EB,

・"DFE=/BEF,

,□□□□=□□□□,

在A。。产和△80E中，'□□□□=□□□□,

:.△OOgABOECAAS).

⑦•：XDOF9丛BOE,:,DF=EB,,:DF〃EB,.二四边形O”上是平行四边形，：.DE=BF.

22.证明(I)：四边形A8CO为平行四边形，

；・AB=CD,AB〃CD,；./ABD=/CDB,

在ZkABE和△CO£中，□□□□=□□□□,

.,.△ABE^ACDF（SAS）.

⑵由（1）可知，hABE/ACDF,：.AE=CF,NAEB=NCFD,AISO0-

ZAEB=\SO°-ZCFD,即NAEGNC",：.AE//CFf,四边形4EC尸是平行四边形.

素养探究全练

23.解析⑴补全图形后如图1所示，结论：PD+PE+PF二AB.

证明：如图1,过点、P作MN〃BC,分别交A8,AC于M,N两点，由题意得PE+PF=AM.

YBD//MP,BM〃DP,

・•・四边形BDPM是平行四边形，・・・M8;PD

；・PD+PE+PF=MB+AM=AB,B|JPD+PE+PF=AB.

⑵补全图形后如图2所示.

结论：PE+PF-PD=AB.

24.解析（1）・・•动点P的运动速度为2个单位/秒,

:.BP=Z,・,•当r=3时，5P=2x3=6.

⑵如图1,作NA8C的平分线交AD于F,

图1

・・・NA8E=NbBC,・・・A8=CO,AQ=8C,・••四边形4BCO是平行四边形，・・・AO〃BC,・・・NAbB二

ZCBF,

ZABF=ZAFB,：.AF=AB=4,二。/=8-4=4,

・•・点。运动到NA8C的平分线上时，运动的长度2r=BC+DC+DF=8+4+4=16,・,•片16:2=8,

・•・当仁