九年级上学期数学考点突破与提分-公式法练习题（含答案）

公式法

0目标导航

课程标准

（1）知道一元二次方程根的判别式，能运用根的判别式直接判断一元二次方程的根的情况.

（2）会用公式法解一元二次方程.

（3）会应用公式法解一元二次方程的其他问题

般知识精讲

知识点01一元二次方程根的判别式

对于一元二次方程的一般式，我们也可以用配方法进行配方：

—

・.・当寸之。时，该方程才有实数根，且4,〉。,

/.b2-4ac＞（）方程才有实数根

1、一元一次方程+力Y+6=0（〃=0）根的判别式是.

2、表示:通常用希腊字母表示，即—

3、一元二次方程以2+公+。=0（〃工0）实数根的情况

△的符号根的情况

V>0方程有__实数根

v=o方程有一―实数根

V<0方程—―实数根

【注意】

（1）一元二次方程有实数根包括一元二次方程有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根.

此时b2-4ac20,切勿丢掉等号

（2）当一元二次方程有两个相等的实数根时，不说方程只有一个实数根.

（3）当a,c异号时，一元二次方程ad+勿:+。=0（4。0）一定有的实数根.

4、一元二次方程ax2+bx+c=（\a*0）实数根的情况判断△:

一元二次方程根的情况△的符号

一元二次方程有实数根

—

一元二次方程有两个实数根

—

一元二次有两个不相等的实数根

—

一元二次没有实数根

—

知识点02求根公式及公式法

对于一元二次方程ax2+bx+c=0(6/工0)进行配方可得到一元二次方程的求根公式:

推导过程:

<irIb.rI(—()(«#0)

移项

［二次项系数化为I

配方

I开平方

(A2-4«c>0),

即「土0王。一比沙)

LQ

【注意】

(1)一元二次方程ax1+bx+c=0(6/*0)的求根公式的应用条件是r且____________.

(2)用求根公式可求出任何有解的•元二次方程的根.

用公式法解一元二次方程的步骤：

步骤示例：+x=4解释

先将方程化为一般式

1、化为一般式移项：__________________

cix2+bx+c=0(aWO)

确定a、b、c时，

2、确定a、b^c—

要注意带前面的_______

3、计算△当^_______时，才能用求根公式；

当4______，则方程没有实数根

,:△_______,

4、代入公式求根

，方程有_______

Q能力拓展

考法01由根的判别式判断方程根的情况

【例题1]一元二次方程V—2x+l=0的根的情况是（）

A.有两个不等的实数根B.有两个相等的实数根

C.无实数根D.无法确定

【即学即练1】一元二次方程（x+D（x-l）=2x+3的根的情况是（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.只有一个实数根D.没有实数根

考法02根据根的情况求参数范围

【例题2】关于x的一元二次方程优+l）/-2x+l=0有两个实数根，则攵的取值范围是（）

A.^>0B.k<（）C.k<0且%-1D.ZK0且丘-1

【叩学即练I】已知关于x的一元二次方程始+4・1=0,则下列关于该方程根的判断，正确的是（）

A.有两个不相等的实数根

B.有两个相等的实数根

C.没有实数根

D.实数根的个数与文数〃的取俏有关

考法03公式法解一元二次方程

【例题3】方程f+x_|=o的根是（）

A.i-75B.一">C.-1+V5D.一土>

22

【即学即练1】用公式法解方程（x+2）2"（x+2）-4时，按・4砒的值为（）

A.52B.32C.20D.-12

【叩学即练2】用公式法解方程3x2+4=I2x,下列代入公式正确的是()

A12±V122-3X4口-12±V122-3X4

22

D口-(-⑵二J(-12)2-4x3x4

C.XH2=-12±7-(-12)--4X3X4XI

2x32x3

【即学即练3】x=一5±J5、4x3>”是下列哪个一元二次方程的根()

2x3

A.3x2+5x+l=OB.3x2-5x+l=0C.3x2-5x-1=0D.3x2+5x-1=0

【即学即练4】方程(x—5)(x+2)=l的解为()

A.5B.-2

C.5和-2D.以上结论都不对

【即学即练5】解方程：

(1)X2-4X-5=0;(2)2X2-2X-1=0.

考法04公式法的其他应用

【例题4］已知关于x的一元二次方程mx2-(m+2)x+2=0.

(1)证明：不论m为何值时，方程总有实数根；

(2)m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根.

【例题5】三角形的两边长分别为3和6,第三边的长是方程/-6x+8=0的一个根，则这个三角形的周长为

()

A.11B.12C.11或13D.13

【即学即练1］已知MBC为等腰三角形，若8c=6,且2B,AC为方程x2-8x+m=0两根，则m的值等于

()

A.12B.16C.-12或-16D.12或16

fii办层提分

题组A基础过关练

1.下列方程中，没有实数根的是()

A.x2-2x=0B.x2-2x-1=0C.x2-2x+l=0D.x2-2x+2=0

2.卜列方程中，有两个相等实数根的是()

A.x2+1=2xB.寸+1=0

C.X2-2X=3D.x2-2x=0

3.己知关于x的一元二次方程3/+4X-5=0,下列说法正确的是（）

A.方程有两个相等的实数根

B.方程有两个不相等的实数根

C.没有实数根

D.无法确定

4.如果一元二次方程。x2+bx+c=0（"0）能用公式法求解，那么必须满足的条件是（）

A.b2-4ac^0B.b2-4ac<0C.b2-4ac>0D.b2-4ac<0

5.关于x的一元二次方程f+〃LL〃L2=0的根的情况是()

A.有两个不相等的实数根

B.有两个相等的实数根

C.没有实数根

D.实数根的个数由m的值确定

2

6.x=2±7(-2)-4x3x(-])是下列哪个一元二次方程的根()

2x3

A.3f+2x-l=0B.2X2+4X-1=0C.-X2-2X+3=0D.3x2-2.r-l=0

7.解下列方程：

(1)x2+4x-5=0

(2)(x-3)(3-x)

8.用公式法解下列方程：

(l)r-6x+l=0;

(2)4x2—12=2x;

(3)r-2x+2=O;

（4）2f+8L7=0.

题组B能力提升练

1.已知实数x满足（』7）2-4卜2-）-12=0,则代数式V-x+l的值是（）

A.7B.-1C.7或-1D.-5或3

2.若一次函数丁=履十）的图象不经过第二象限，则关于人的方程/+丘+人=。的根的情况是（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.无实数根D.无法确定

3.已知关于x的一元二次方程标依2-（2攵-l）x+4-2=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是

（）

,1c,1

A.k>—B.k<—

44

C.&>一*=0D.

4.已知Ac分别是二A8C的边长，则一元二次方程（。+〃*+25+〃+8=0的根的情况是（）

A.没有实数根B.有两个相等的实数根

C.有两个不相等的实数根D.无法判断

5.已知二A8C的三边长为a,b,c,且满足方程a2x2—（c2-a2-b2）x+b2=0,则方程根的情况是（）.

A.有两相等实根B.有两相异实根C.无实根D.不能确定

6.请你判断，工|[-3|%|+2=0的实根的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

2

7.若关于-v的方程（X-2）（X-4X+/W）=0有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的

长，则，〃的取值范围是.

题组C培优拔尖练

1.已知关于X的一元二次方程。x2+bx+c=0（OH0）,下列命题是真命题的有（）

①若a+2b+4c=0,则方程ax2+bx+c=0必有实数根；

②若b=3a+2,c=2a+2,则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根；

③若c是方程ax2+bx-\-c=0的一个根，则一定有ac+b+l=0成立；

④若t是一元二次方程。x2+bx+c=0的根，则炉-4ac=（2at+b）2.

A.®@B.②③C.①④D.③④

2.有两个一元二次方程M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx4-a=0,其中trcxO,ate,下列四个结论中，错误

的是（）

A.如果方程M有两个相等的实数根，那么方程N也有两个相等的实数根

B.如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同

C.如果5是方程M的一个根，那么g是方程N的一个根

D.如果方程M和方程/V有一个相同的根，那么这个根必是x=l

3.对于一元二次方程4x2+Z?x+c=0(a，0),有下列说法：

①若a-Z?+c=O,则方程♦+Zu+c=O(a。0)必有一个根为1：

②若方程数2+c=0有两个不相等的实根，则方程办2+云+。=0(2工0)必有两个不相等的实根；

③若c是方程a—+bx+c=()(a*0)的一个根•则一定有“+〃+1=0成立：

2

④若凡是一元二次方程"+灰+c=()(a*0)的根，则〃-4ac=(2«x0-Z?).

其中正确的有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

4.方程f-4=|2x+l|的解是.

5.先阅读下列材料，然后回答问题：

在关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(aH0)中，若各项的系数之和为零，即a+b+c=O,则芍一根为1,

另一根为£.

a

证明：设方程的两根为Xi,X2,由a+b+c=O,知b=—(a+c),

2

..x=-4ac=(a+c)±yj(a+c)-4ac_(a+c)±(a-c)

2a2a2a

c

Axi=l,X2=—.

a

⑴若一元二次方程ax2+bx+c=0"0)的各项系数满足a-b+c=O,请直接写出此方程的两根；

?11

(2)己知方程(ac-bc)x2+(bc—ab)x+(ab-ac)=O有两个相等的实数根，运用上述结论证明：-=-+

bac

6.已知关于x的一元二次方程V-(2八1卜+公+%=。

(1)求证：方程有两个不相等的实数根；

(2)若△48C的两边A8、AC的长是方程的两个实数根，第三边8c的长为5.当△48C是等腰三角形时，求

k的值

7.已知关于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(a-c)=0,其中a、b、c分别为ZiABC三边的长.

(1)如果x=-l是方程的根，试判断AABC的形状，并说明理由；

(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断^ABC的形状，并说明理由；

(3)如果AABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根.

公式法

0目标导航

课程标准

（1）知道一元二次方程根的判别式，能运用根的判别式直接判断一元二次方程的根的情况.

（2）会用公式法解一元二次方程.

（3）会应用公式法解一元二次方程的其他问题

&知识精讲

知识点01一元二次方程根的判别式

对于一元二次方程的一般式，我们也可以用配方法进行配方:

ax2+/?x+c=0（。，0）

ax2+bx=-c

obc

厂+—x=——

aa

、b,b、、c/b、、

x~+-x+（—y=——+（—）-

a2aa2a

2

.b.2b-4ac

u+—）­=—1—

2cl4a

b2-4ac

•・•当NO时,该方程才有实数根.日4〃2>0.

4a2

Ab2-4ac>0方程才有实数根

1、一元二次方程or2+hx+c=0（。*0）根的判别式是b2-4ac.

2、表示:通常用希腊字母表示，即V=q2-4ac、；

3、一元二次方程。乂+-+。=0（〃工0）实数根的情况

△的符号根的情况

V>0方程有2个不相等的实数根

v=o方程有2个相等的实数根

V<0方程姬实数根

【注意】

（1）一元二次方程有实数根包括一元二次方程有两个不相等的实数根和有两个相等的实数

根.

此时b2-4ac20,切匆丢掉等号

（2）当一元二次方程有两个相等的实数根时，不说方程只有一个实数根.

（3）当a,c异号时，一元二次方程加+陵+。=0（〃h0）一定有两个不相等的实数根.

4、一元二次方程ax2+bx+c=0（。/0）实数根的情况判断△:

一元二次方程根的情况△的符号

一元二次方程有实数根60

一元二次方程有两个实数根V>0

一元二次有两个不相等的实数根V>0

一元二次没有实数根VvO

知识点02求根公式及公式法

对于一元二次方程+hx+c=0（〃w0）进行配方可得到一元二次方程的求根公式:

2

-b±\Jb-4acz,2.、八、

x=-------------,(b-4ac>0)

2a

推导过程：

【注意】

（1）一元二次方程ad+以+c=0（。/0）的求根公式的应用条件是4工0,且从一4一之0.

（2）用求根公式可求出任何有解的一元二次方程的根.

用公式法解一元二次方程的步骤：

步骤示例：2犬+x=4解释

先将方程化为一般式

1、化为一般式移项：2八♦-4=()

ax2+Z7x+c=0(aWO)

确定a、b、c时，

2、确定a、b>ca=2,b=\,c=-4

要注意带前面的钱殳

3、计算△A=/?2-4WC=12-4X2X(-4)=33>0

VA>0,J方程有2个不相等的实数根

当△20时,才能用求根公式；

-1±V33

X当△用，则方程没有实数根

4、代入公式求根4

-1+V33-1-V33

■=44

Q能力拓展

考法()1由根的判别式判断方程根的情况

【例题1】一元二次方程f—2x+l=0的根的情况是()

A.有两个不等的实数根B.有两个相等的实数根

C.无实数根D.无法确定

【答案】B

【解析】

=/?=-2,c=l♦

△=Z?2-4«c=(-2)2-4x1x1=4-4=0,

••・方程有两个相等的实数根.

故选：B.

【即学即练1】一元二次方程(x+l)(x-D=2x+3的根的情况是()

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.只有个实数根D.没有实数根

【答案】A

【解析】

解：原方程可化为：X2-2X-4=0，

\a=\,h=-2,c=-4,

/.A=(-2)2-4xlx(^)=20>0,

•••方程由两个不相等的实数根.

故选A.

考法02根据根的情况求参数范围

【例题2】关于x的一元二次方程（k+l*-2x+1=0有两个实数根，则攵的取值范围是（）

A.k>0B.k<0C.攵<0旦々工一1D.且女工一1

【答案】D

【解析】

解：根据一元二次方程一元二次方程+-21+1=0有两个实数根，

A=/?2-4«c=4-4（^+l）>0,

解得：k<0,

根据二次项系数k+1=0,可得：k于7.

故选D.

【即学即练1】己知关于K的一元二次方程/+以-1=0,则下列关于该方程根的判断，正

确的是（）

A.有两个不相等的实数根

B.有两个相等的实数根

C.没有实数根

D.实数根的个数与实数方的取值有关

【答案】A

【解析】

解：•・•△=!?・4x（-1）=b2+4>0,

・••方程有两个不相等的实数根.

故选：A.

考法03公式法解一元二次方程

【例题3】方程X2+x-l=0的根是（）

A.］一逐B.一">C.-1+V5D.7土>

22

【答案】D

【解析】

解：*.*67=1,Z?=1,C=~\,

••・。2-44=1+4=5>0，

故选：D.

【即学即练1】用公式法解方程(x+2)2=6(x+2)-4时，/A44c的值为()

A.52B.32C.20D.-12

【答案】C

【解析】

解：V(x+2)2=6(x+2)-4,.\x2-2x-4=0»/.«=1,Z?=-2,c=-4,*»b2-4«c=4+16=20.故

选C.

【即学即练2】用公式法解方程3X2+4=12X,下列代入公式正确的是（）

12±Vl22-3x4_-12±Vl22-3x4

AA.XI、2=------------2---------------

22

2

C.XK2=-12±7-(-12)-4X3X4=-(-12)±J(-121-4x3x4

2x32x3

【答案】D

【解析】

V3x2+4=12x,

/.3X2-12X+4=0,

a=3,b=-12,c=4,

2

..._-(-12)±A/(-12)-4X3X4

A-2x3

故选D.

【即学即练3】x=-5±B+4x也是下列哪个一元二次方程的根（）

2x3

A.3x2+5x+l=0B.3x2-5x+l=0C.3x2-5x-1=0D.3x2+5x-1=0

【答案】D

【解析】

一元二次方程的求根公式是土亚二皿，对四个选项一一代入求根公式，正确的是D

2a

所以答案选D.

【即学即练4】方程（x—5）（工十2）=1的解为（）

A.5B.-2

C.5和-2D.以上结论都不对

【答案】D

【解析】

分析：先把原方程化成一般形式，再代入求根公式计算即可.

详

：•・•(x-5)(x+2)=1,

/.x2-3x-l1=0,

Va=l,b=-3,c=-l1,

.3±j9+443±x/53

..x=--------------=-----------.

22

故选D.

【即学即练5】解方程：

(1)X2-4X-5=0;(2)2X2-2X-1=0.

【答案】(1)XI=5,X2=-l；(2)%

2-2

【解析】

(1)x2-4x-5=0,

分解因式得：(x-5)(x+1)=0,

x-5=0»x+l=0,

X|=5,X2=-1；

(2)2x2-2x-l=0,

a=2,b=-2,c=-l,

△=b2-4ac=(-2)2-4X2X(-1)=I2>O,

-b±Jh2-4ac2±4vi1±G

方程有两个不相等实数根x=

2a-42

1+百l-x/3

*=~，x)=~

2~2

考法04公式法的其他应用

【例题4］已知关于x的一元二次方程mx2-(m+2)x+2=0.

(1)证明：不论m为何值时，方程总有实数根；

(2)m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根.

【答案】(1)证明见解析；(2)m=l.

【解析】

方法1(1)利用判别式

(1)证明：△二［一(，〃+2『］-8"?=〃『-4〃，+4=(，〃-2)~.

•・•不论m为何值，(m-2|2>0,即ANO.

工不论m为何值，方程总有实数根.

(2)解关于x的一元二次方程/n?—(〃?+2)x+2=0,得

_m+2±y/X_加+2土（用一2）

X=­，

2m

2

•••方程的两个根都是正整数，是正整数，・・・〃?=1或〃2=2.

m

又•・•方程的两个根不相等，，〃22,=

方法2(1)直接解一元二次方程求出根

(1)证明：解关于x的一元二次方程〃浸-(，〃+2卜+2=0(/叱0),

2

得X]=1,x,=一,

'm

・•・不论m为何值，方程总有实数根.

(2)解关于x的一元二次方程〃康二―(，〃+2)x+2=0,得

_w+2±VX_/w+2±(/»?-2).._2_

X==19••«X|一—~,X211•

2in2m

2

•・•方程的两个根都是正整数，，二是正整数，・・・，〃=1或〃?=2.

m

又：方程的两个根不相等，，〃2工2,・二〃?=1.

【例题5】三角形的两边长分别为3和6,第三边的长是方程W-6x+8=0的一个根，则这个

三角形的周长为()

A.11B.12C.11或13D.13

【答案】D

【解析】

Vx2-6x+8=0,即(x-2)(x-4)=0,

:.x-2=0或x-4=0,

解得：x=2或x=4,

若x=2,则三角形的三边2+3V6,构不成三角形，舍去；

当x=4时，这个三角形的周长为3+4+6=13,

故选D.

【即学即练I】已知M8C为等腰三角形，若8c=6,且A8,AC为方程x2・8x+m=0两根,

则m的值等于()

A.12B.16C.-12或-16D.12或16

【答案】D

【解析】

解：•••△48C为等腰三角形，

若8c=6,月.AB,AC为方程x2-8x+m=0两根，

则①8c=6=48,把6代人方程得36・48+m=0,

，m=12；

②八8=4C,此时方程的判别式为0,

.*.△=64-4m=0,

,\m=16.

故m的值等于12或16.

故选：D.

力分层提分

题组A基础过关练

1.下列方程中，没有实数根的是()

A.x2-2x=0B.x2-2x-1=0C.x2-2x+l=0D.x2-2x+2=0

【答案】D

【解析】

A、△=(-2)2-4X1X0=4>0,方程有两个不相等的实数根，此选项不符合题意；

B、△=(-2)2-4xlx(-1)=8>0,方程有两个不相等的实数根，此选项不符合题意；

C、△=(-2)2-4xlxl=0,方程有两个相等的实数根，比选项不符合题意；

D、△=(-2)2-4x1x2=-4V0,方程没有实数根，此选项符合题意.

故选D.

2.下列方程中，有两个相等实数根的是()

A.X2+\=2XB.x2+1=0

C.JT-2A=3D.X2-2A=0

【答案】A

【解析】

人./+1=2不变形为f_2f+l=0,此时△二〜町此方程有两个相等的实数根，故选项A止

确；

B.X2+1=0+A=0-4=-4<0,此时方程无实数根，故选项B错误：

。/-2工=3整理为犬-2工-3=0，此时△=4+12=16>0,此方程有两个不相等的实数根，故

此选项错误；

D./_2X=0中，A=4>0,此方程有两个不相等的实数根,故选项D错误.

故选：A.

3.已知关于x的一元二次方程3/+4X-5=0,下列说法正确的是()

A.方程有两个相等的实数根

B.方程有两个不相等的实数根

C.没有实数根

D.无法确定

【答案】B

【解析】

解：由题意得△=4？-4x3x(-5)=76>0,即可判定方程有两个不相等的实数根.

故选B.

4.如果一元二次方程ax2+bx+c=0("0)能用公式法求解，那么必须满足的条件是()

A.b2-4ac^0B.b2-4ac<0C.b2-4ac>0D.b2-4ac<0

【答案】A

【解析】

解.：一元二次方程ax2+bx+c=0("0)能用公式法求解.，那么必须满足的条件是b2-4"N0.故

选A.

5.关于x的一元二次方程V十〃次——2=0的根的情况是()

A.有两个不相等的实数根

B.有两个相等的实数根

C.没有实数根

D.实数根的个数由m的直确定

【答案】A

【解析】

解：由题意可知：a=l,b-m,c=-m-2,

A=/?2-4ac=nr-4x1x(-///-2)=in2+4m+8=(/«+2)2+4>4,

・•・方程有两个不相等实数根.

故选A.

6.”2±J(?2二4X3X(T是下列哪个一元二次方程的根()

2x3

A.3X2+2X-1=0B.2x2+4.v-i=0C.-X2-2X+3=0D.3X2-2X-1=0

【答案】D

【解析】

解：对于一元二次方程加+6+30(〃工0),方程的根为：土加-4ac

2a

因为x=2土心)2一4匹(-1),所以。=3,〃=_2,c=-\,

2x3

所以对应的一元二次方程是：3X2-2X-\=0.

故选：D.

7.解下列方程：

(1)x2+4x-5=0

(2)(x-3)2=2(3-x)

【答案】(l)x=-5或x=l；(2)x=3或x=l.

【解析】

解：(1)Vx2+4x-5=0,

(x+5)(x-1)=0,

则x+5=0或x-l=0,

解得x=-5或x=l；

(2);(x-3)2+2(x-3)=0,

:.(x-3)(x-1)=0>

则x-3=0或x-l=0,

解得x=3或x=l.

8.用公式法解下列方程:

⑴/一6x+l=()；

(2)4X2-12=2X;

(3)X2-2X+2=0;

⑷2丁+81=().

【答案】(1)玉=3+2及，x2=3-2y/2(2)%=2,七=一:(3)原方程无解.(4)

-4+x/30-4-730

芭=2，x2=2

【解析】

解：=Z>=-6,c=1,

b2~4ac=(-6)2—4x1x1=32>0,

.-(-6)±732

••X_，

2x1

/.x,=34-2>/2,x2=3-272；

⑵原力程可化为2X2—X-6=0,

/.a=2,Z?=—1,c=-6,

/.b2—4ac=(-if—4x2x(—6)=49>0,

._-(-D±\/49

■•X=，

2x2

・93

・・N=2,x2=--

(3)Vt/=l»b=-2,c=2,

/.Ir—^ac=(—2)2—4x1x2=-4<0,

••・原方程无解；

(4)V=2,b=3,c=—7,

，/Tac=82-4X2X(-7)=120>0,

.-8±Vl20

••X=------------------

2x2

-4+而-4-病

故答案为(1)司=3+2&,占=3-2及；⑵内=2,/=-条(3)原方程无解；⑷

-4+V30-4-730

苦=——，———•

题组B能力提升练

1.已知实数X满足(V-4一412-X)-12=0,则代数式f7+1的值是()

A.7B.-1C.7或-1D.-5或3

【答案】A

【解析】

V(x2-x)2-4(x2-x)-12=0>

/.(x2-x+2)(x2-x-6)=0,

.*.x2-x+2=0或X2-x-6=0,

x2-x=-2或x2-x=6：

当x?・x=・2时,x2-x+2=0»

Vb2-4ac=l-4x1x2=-7<0,

工此方程无实数解；

当x2-x=6时，x2-x«l=7,

故选A.

2.若一次函数>=g+〃的图象不经过第二象限，则关于x的方程f+u+〃=o的根的情况

是()

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.无实数根D.无法确定

【答案】A

【解析】

解：•・,一次函数>=辰+》的图象不经过第二象限，

，%>0,Z?<0,

/.A=A:2-4Z?>0，

•••方程有两个不相等的实数根.

故选A.

3.已知关于x的一元二次方程标h2-(2攵-1卜+忆-2=0有两个不相等的实数根，则实数k

的取值范围是()

.,1,1

A.k>—B.k<—

44

C.&>一］且攵工0D.左<(太工0

【答案】c

【解析】

k#0

解：由题可得：「.八千彳".八，

1-(2k-川-4^(A-2)>0

解得：攵>-，且女工。；

4

故选：C.

4.已知分别是“8C的边长，则一元二次方程(。+如2+2c_x+a+〃=O的根的情况是()

A.没有实数根B.有两个相等的实数根

C.有两个不相等的实数根D.无法判断

【答案】A

【解析】

解：△;(2c)2-4(a+b)(a+b)=4c2-4(a+b)2=4(c+a+b)(c-a-b).

Vo,b,c分别是三角形的三边,

Aa+b>c.

C4cr•b>0,cab<0»

•・.△VO,

••・方程没有实数根.

故选:A.

5.已知.ABC的三边长为a,b,c,且满足方程¥x2—(c2—a2—b2)x+b2=0,则方程根的情

况是().

A.有两相等实根B.有两相异实根C.无实根D.不能确定

【答案】C

【解析】

Va,b,c为ZiABC的三边长，

a2Ho.

・，・△=Cc2-a2-b2')2-4a2*62.

=(c2-a2-b2-2ab')(c2-a2-b2^2ab'>,

-[c2-(a+b)2][c2-(a-b)2],

=(c-a-b)(c+Q+b)Cc+a-b)(c-Q+b),

又•・•三角形任意两边之和大于第三边，

所以AV。，则原方程没有实数根.

故选C.

6.请你判断，布-3国+2=0的实根的个数为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

解：当x>0时，x2-3x+2=0，

解得:X1=1；X2=2；

当xVO时，X2-3X-2=0，

解得：刈=%亘(不合题意舍去)，X2=±MZ,

22

・••方程的实数解的个数有3个.

故选：C.

7.若关于x的方程(X-2)(X2-4X+,H)=0有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三

角形的三条边的长，则川的取值范围是.

【答案】3<m<4

【解析】

解：•・•关于x的方程(x-2)(x2-4x+m)=0有三个根,

，①x-2=0,解得xi=2：

@x2-4x+m=0,

△=16-4m>0,即m"，

X2=2+14-m

X3=2-j4-m

又•・•这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，

且最长边为X2，

:.X1+X3>X2；

解得3Vm“，

Am的取值范围是3<m<4.

故答案为3Vm«

题组C培优拔尖练

1.已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(”0),下列命题是真命题的有()

①若。+2匕+4c—0,则方程a/+匕x+c—0必有实数根；

②若b=3a+2,c=2a+2,则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根；

③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+l=0成立；

④若t是一元二次方程。x2+bx+c=0的根，贝1)炉-4闻=(2at+b)2.

A.@@B.②③C.①④D.③④

【答案】C

【解析】

解：①•・・a+2b+4c=0,

/.a=-2b-4c,

工方程为(-2b-4c)x2+bx+c=0,

.\A=b2-4(-2b-4c)•c=b2+3bc+16c2=(b+4c)2>0,

・•.方程ax2+bx+c=0必有实数根，故①正确.

②•・"=3。+2,c=2a+2,

・•・方程为ax2+(3a+2)x+2a+2=0,

.*.21=(3a+2)2-4。(2a+2)=a2+4a+4=(a+2)2,

当。=-2时,4=0,方程有相等的实数根，故②错误,

③当c=0时，c是方程ax2+bx=0的根，但是b+1不一定等于0,故③错误.

④丁t是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，

.-blyjb1-4ac

••E-------------------,

2a

••2at+b=±b~-4/7r»

b2-4ac=(2at+b)2,故④正确,

故选：C.

2.有两个一元二次方程M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0,其中trcrO,awe,下列四

个结论中，错误的是()

A.如果方程M有两个相等的实数根，那么方程N也有两个相等的实数根

B.如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同

C.如果5是方程M的一个根，那么:是方程N的一个根

D.如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=l

【答案】D

【解析】

解：A、•・••有两个不相等的实数根，

.••△>0即/一4叱>0而此时N的判别式△=从一4改>0,故它也有两个不相等的实数根,

故此选项不符合题意；

B、M的两根符号相同：即％“2=£>0,而N的两根之积=3也大于0,故N的两个根也

'ac

是同号的，故此选项不符合题意；

C、如果5是M的一个根