实数（期中复习讲义）-七年级数学下学期（人教版）原卷版

专题02实数（期中复习讲义）

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明期中考清把握命题趋势，明确备考路径

记必备知识梳理核心脉络，扫除知识盲区

破•重难题型题型分类突破，方法技巧精讲

题型01平方根

题型02算术平方根

题型03立方根

题型04实数

过•分层验收阶梯实战演练，验收复习成效

.明•期中考情.

核心考点复习目标考情规律

平方根理解平方根概念，掌握性质，会求非负数逃择填空必考，常考概念辨析、求数的平方

平方根，区分正负平方根；根，难度基础。

算术平方根掌握算术平方根定义与非负性，会求算术高频考点，侧重非负性、计算，常与绝对值、

平方根，会简单应用：平方结合出题。

立方根理解立方根概念，掌握性质，会求任意实先择填空常考，考查计算与性质，正负立方

数的立方根；根均存在。

实数及其简单运认识实数分类，理解无理数概念，掌握实综合考查，选择填空判断无理数，解答题考

算数运算与性质；运算与大小比较。

.记•必备知识.

惶知识点01平方根

1.定义：一般地，如果一个数x的平方等于a,即x2=a,那么a叫做这个数x的平方;

这个数x叫作a的平方根或二次方根。求一个数的平方根的运算，叫作开平方。

平方运算和开平方运算是互逆关系。

例：求下列各数的平方根：

(1)100；(2)高(3)0；(4)-9o

解：(1)(±10)2=100,100的平方根是±10；

(2)V(±?$J看的平方根是±5：

(3),/()2=004,J0的平方根是0：

(4)•・•任何数的平方都不会是负数，J・9没有平方根。

2.平方根的符号记法

一个正数a的有两个平方根，记作：土向其中+G叫做a的正的平方根,“+V?'简写；

叫做a的负的平方根；

3.平方根的性质

(1)正数有两个平方根，它们是互为相反数；

(2)0的平方根是0；

(3)负数没有平方根.

因为负数没有平方根，所以G有意义的条件是a>0.

理知识点02算术平方根

定义：正数a有两个平方根，其中正的平方根6叫作a的算术平方根.

规定：0的算术平方根是0.0的算术平方根也记为V5.

例求下列各数的算术平方根：

(1)100;(2)64;(3)0.0001.

解：(1)=10；

(2)V64=8；

(3)V0.0001=0.01

总结：从例题可以看出——被开方数越大，对应的算术平方根就越大，这是实数比较大小的依据，也是求

无理数近似值的依据。

例：V5在整数和之间，V30在和之间。

解：V5在整数2和3之间，而在5和6之间。

愎知识点03立方根

1.定义

一般地，如果一个数的立方等于。，那么这个数叫做。的立方根或三次方根,记作：，：

求一个数的立方根的运算，叫做开立方：

2.立方根的性质

互为相反数的两个数的立方根也是互为相反数。

ij—a=-\[a

3.立方根的小数点移动规律

例：用计算器计算求,VO.OOO216,VO.216,VH互W216000,.你能发现什么规律？

解：70.000216=0.06

V0216=0.6

V216=6

V216000=60

总结：被开方数的小数点向左（右）移动三位，立方根的小数点相应地向左（右）移动一位。

愎知识点04实数及其简单的运算

I.实数的概念及分类

<1）相关概念：无限不循环小数叫作无理数，有理数与无理数统称实数。

（2）实数的分类

①按定义分类，②按性质分类：

|正有理教|

有理数0仃限小数或无限循环小数।正实数

实数，I负有理数।实数0

।无理数，无理数;无限不循环小数负实数

।负无理数।

（3）实数与数轴上点的对应关系

实数与数轴上的点一一对应，在数轴上右边的数总大于左边的数。（这是实数大小比较的依据）

2.实数的运算

（1）实数的相反数

数a的相反数是-a.

如：-(-V6)~V6.

(2)绝对值

一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.

产・当a>0时；

I。=.0,当a=0时；

l-a.当aV0时.

例：因为V2<V3»

所以，I立一树|=・(企一百)=心一加(负数的绝对值等于它的相反数)

(3)加减乘除运算法则

有理数的运算法则及运算律同样适用于实数.

3x6可以省略“X”，写成“3后,

例：3短+2g(3+2)72=572(乘法分配律)

易错题：V3+V2*V3T2(不属于乘法分配律)

(4)实数的乘方、开方运算

因为x(xNO)的平方是a(a20),所以x是a的算术平方根，赤=%；

因为3的平方是32,所以3是32的算术平方根，记作：序=3：

2

反之,因为无是a的算术平方根，所以x=a;

因为遮是3的算术平方根，所以(b)2=3；

归纳：Va2=a(a>0),(Va)=a(a>0):

同理：Va^=(Va)3=a.

.破•重难题型.

O题型一平方根

r.......................................................................................................................

;解|题I技I巧

i先判断数非负，再找平方等于该数的数，注意正负两个根；

:易I错I点I拨

:1.易漏负平方根，负数无平方根，勿与算术平方根混淆。

164

【典例1】（24-25七年级上•浙江杭州•期中）”石的平方根是±1"，用数学式子表达为（）

D.

【变式1】（24-25七年级下•全国•期中）（-0.4）2的平方根是（）

A.-0.4B.±0.4C.±0.2D.±0.16

【变式2】（24-25七年级下•全国•期中）36的平方根是（）

A.±6B.±-C.6D.-6

6

国题型二算术平方根

答|题|模|板

结果为非负数，直接找正的平方根，利用非负性列方程求解；

易|错|点|拨

结果只能为非负，易误写为正负值，混淆与平方根的范围。

【典例I】（24-25七年级上•全国•期中）M的算术平方根是.

【典例2］（24-25七年级下•四川•期中）己知痴。2.45,屈n0.77,则而。（）

A.0.0077B.0.077C.0.0245D.0.245

【变式1】（24-25七年级下•全国•期中）4的算术平方根是（）

A.±2B.2C.±72D.y/2

【变式2】（24-25七年级下•全国•期中）学完平方根后，老师布置了4道填空题，下面是嘉嘉的完成情况:

①0的平方根是0;②16的平方根是±4；③9的算术平方根是3；④层的平方根是±5.嘉嘉做对了几道

题（）

A.1道B.2道C.3道D.4道

3题型三立方根

答|题|模|板

根据立方运算求根.正数、负数、0均有唯一立方根:

易I错I点I拨

易与平方根性质混淆，忽略负数有立方根，计算符号出错。

【典例1］（24-25七年级下•福建•期中）若GT+（3x+y-1）、。，则'+V的立方根为.

【典例2］（24-25七年级下•黑龙江•期中）求下列x的值

（l）8（x-l）?4-27=0

⑵2/-32=0

（3）I：X-1）2=81

【变式1】（24-25七年级下•江西赣州•期中）求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如衣，有

些数则不能直接求得，如追，但可以通过计算器求.还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律

求得，请同学们解答以下问题：

a•・•0.04440040000・..

•••0.2220200•・•

（1）运用你发现的规律，探究下列问题：已知1.435,求下列各数的算术平方根:

®A/0.0206«_；®V206»_；

（2）根据上述探究过程类比研究•个数的立方根.己知蚯*1.260,则胸而。

（3）知识联系与迁移：请求出下列方程中x的值

①--6=30

②a+iy+i=o

3题型四实数的运算

j答I题I模I板

:先化简再运算，按有理数运算法则计算，区分有理无理数；

j易I错I点I拨

:误判带根号数为无理数，运算时符号、运算法则出错。

L__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

【典例1】（2024七年级下•河南・专题练习）在下列实数中，无理数是（）

22

A.0.151515...B,冗C.x/0A6D.~9

【典例2］（24-25七年级下•全国•期中）道-右的相反数是绝对值是

【典例3】（24-25七年级下•全国•期中）比较大小：V6-12.(填，“Y或"=”)

【典例4］（24-25七年级下•全国•期中）计算:

（1）-+菱+（—2）；

（2）百—血+椁一3卜Jq.

【变式1】（24-25七年级下•全国•期中）把下列各数分别填在相应的括号内:

3___冗

-5,--,病，0,-1372,后，0.101001000L..（每两个1之间依次增加一个0）.

(1)整数：{…};

（2）分数：｛

（3）无理数：｛

【变式2］（24-25七年级下•湖南•期中）下列各组数中互为相反数的是（）

A.3和B.-3和fC.-卜可和3D.-3和壮可

【变式3】（24-25七年级下•广东•期中）如图，正方形44CQ的面积为3,点4在数轴上，旦表示的数为

-2,以点X为圆心，力8长为半径画弧，与数轴交于点£（点£在点4的右侧），则点£所表示的数为

【变式4】（24-25七年级下•贵州•期中）如图所示,。，b,c是数轴上三个点4,B,C所对应的实

数.其中。是4的一个平方根，b是-27的立方根，c是1-3近的相反数.

-1---1-------1------------1>

BA0C

⑴填空：。二，b=_,c=_.

（2）先化简，再求值：+|1-|c|

【变式5】（24-25七年级下•全国•期中）材料：任何一个无理数，都夹在两个相邻的整数之间，如

2<V5<3.是因为"〈逐〈囱，所以右的整数部分是2,小数部分是后-2.

根据上述材料，回答下列问题：

（1）J万的整数部分是一，小数部分是

（2）若5+囱的整数部分是〃，小数部分是力，求+6的值.

.过•分层验收.

期中基础通关练（测试时间：10分钟）

1.下列各数是无理数的是（）

A.0B.1C.MD.万

2.规定：把不超过实数x的最大整数记作同，例如：[2.6]=2,[5]=5,[3.1]=4,贝射4][句的

值等于（）

A.1B.0C.-1D.-2

3.下列说法中，正确的是（）

A.8的立方根是±2B.商的平方根是9

C.平方根等于本身的数有0,1D.-64的立方根是-4

4.下列说法：①而而■=­（）；②数轴上的点与实数成一一对应关系；③任何实数不是有理数就是无理数;

④两个无理数的和还是无理数，正确的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

5.乃的相反数为.

6.按照如图所示的操作步骤，若输入x的值为6,则输出的值为.

7.求59319的立方根，解答如下:

①.痂面=10,%0000()0=100,又•••1000<59319<1000000,10v#59319v100,，能确定59319的立

方根是个两位数.

②59319的个位数是9,又♦.•93=729,工能确定59319的立方根的个位数是9.

③划去59319后面的三位319得到数59,而师＜则＜幅,则3〈病＜4,可得3059319V4（）,由

此能确定59319的立方根的十位数是3,因此59319的立方根是39.根据以上步骤求出314432的立方根是

8.计算：-呼+而-卜-闽+历（-3『.

9.已知第一个正方体水箱的棱长是6dm,第二个正方体水箱的体积比第一个水箱的体积的3倍还多8klm3,

则第二个水箱需要铁皮多少平方米？

期中重难突破练（测试时间：10分钟）

1.在0、1、-2、-百这四个数中，最小的数是（）

A.0B.1C.-2D.-V3

2.观察下列各式：

+4+4=i+---=i-.根据上面三

423412

个等式，猜想的结果为（

A.5B.1—

8

3.计算：-V^27-V9=.

4.下列实数,，0.57557,我,-4，。中，其中无理数是.

5.比较大小：72而.

6.（1）计算：-12。22+6+炳+|6-2|

（2）求工的值：4X2-9=0

7.组1为由五个边长为1的小正方形组成的图形，我们可以把它剪开后拼成一个正方形.

012

图2

（1）图1中拼成的正方形的面积是,它的边长是

(2)如图2所示，点彳表示的数是.

(3)网格中有一个由8个小正方形组成的图形(加粗部分)，请仿照图1,将它剪开并拼成一个正方形，在网

格中画出示意图.再将数轴补充完整，并在数轴上表示-次.〔保留作图痕迹)

8.动画电影《哪吒闹海》中，哪吒在镇压妖的时候使用的是“混天绫”，假设用"混天绫'’恰好能围成•个面

积为25m2的正方形“封妖阵”，后因妖怪反噬，须将“封妖阵”调整为面枳为12m2的长方形，且长与宽之比为

2：1.

(1)“混天绫”的总长度是多少米？

(2)哪吒的“混天绫”长度是否足够完成新阵法？请通过计算说明理由.

期中综合拓展练(测试时间：15分钟)

1.下列说法中，正确的是()

A.小带根号的数一定是有理数

B.实数和数轴上的点一一对应

C.无限小数都是无理数

D.算术平方根等于它本身的数是0和±1

2.二匕较三个数：-3,-^,-Vio的大小，下列结论正确的是()

A.-7T>-3>-VioB.-Vio>-^>-