人教版高中数学必修第二册 第8章 立体几何初步 作业测评【原卷+答案】

第八章测评

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

142024陕西咸阳高一段考］下列说法正确的是（）

A.如果•条直线与另两条直线都相交，那么这三条直线必共面

B.如果三条直线两两都相交，那么它们能确定一个平面

C.如果二条直线相互平行，那么这二条直线在同一个平面上

D.如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线确定一个平面

2.水平放置的aAOB的直观图△406如图所示，则△AOB的面积是（）

A.-/2B.2C.2^2D.4

（第2题图）

3.如图所示的几何体是由上半部分圆柱和下半部分两个等高（高为6cm）的圆台组合而成，已如圆柱的

高为20cm,底面直径4E=10cm,圆台的底面直径C/）=20cm,Er=16cm,则该几何体的体积为（）

（第3题图）

A.669兀cm'B.l3387rcn?C.650ncm3D.1300ncm3

4.［2024山西大同高一质检］已如三棱锥P/8C中,PC_LAB,PC=4,A8=4>6,瓦尸分别是的中点,

则E"与AB所成角的大小为（）

A?B5C-Z

5.如图，已知正方体A8CQ-A由IGOI,点P在直线Ad上,。为线段的中点，则下列命题中假命题为

()

A.存在点P,使得PQL41G

B.存在点P,使得

C.直线PQ始终与直线CG异面

D.直线PQ始终与直线8G异面

6.在正方体A8CQ-A/C。］中，为SO的中点，则直线P8与AG所成的角为（）

A-B-C-D-

2346

7在封闭的直三棱柱48C-48G内有一个体积为V的球，若AB_L8C/8=6,8C=8A4产3,则V的最大

值是（）

A.4兀B.yC.6TID.%

8.在如图所示的三棱锥容器S-A3c中,。,£下分别为三条侧棱上的小洞,SO:DA=CF:FS=2：

l,BE=S旦若用该容器盛水，则最多可盛水的体积是原三棱锥容器体积的（）

A-l

二、选择题:本题共3小题,每小题6分，共18分在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选

对的得6分.部分选对的得部分分.有选错的得0分.

9.设m为不同的直线。步为不同的平面，则下列结论正确的是（）

A.若，则m//itB.若则m//n

C.若〃2〃。,/仁外,则。〃pD.若m-La,nl.p,m±n,alp

10.已知正三棱台的上底面边长为2,下底面边长为4,侧棱长为2,则下列说法正确的是（）

A.棱台的侧面积为9次

B.棱台的高为V5

C.棱台的侧棱与底面所成角的余弦值为咚

D.棱台的侧面与底面所成二面角的余弦值为笺

11.如图，在透明塑料制成的长方体容器内灌进•些水（未满），现将容器底面•边BC

固定在底面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四种说法，其中正确的是（）

A.水的部分始终呈棱柱状

B.水面四边形EFG，的面积为定值

C.棱4。始终与水面£5GH平行

D.若冽，则4七+8/是定值

三、填空题:本题共3小题,每小题5分.共15分.

12.（2024河南鹤壁高一月考］已知一个正四棱锥的底面边长为1,高为&，则该正四棱锥的表面积

为.

13.已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的球的体积为.

①

14.中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，

但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图①）.半正多面体是由两种或两种以上的正

多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图②是一个棱数为48的半正多面体，它的所

有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有个面，其

棱长为.

四、解答题:本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）

如图，在四棱锥中,四边形ABC。是直角梯形,。C=2AO=2A4=^PB,/D48=N4OC=90。,^

POC为等边三角形.

⑴证明:平面PBC_L平面P8。；

⑵若△P8C的面积为I,求点8到平面PCD的距离d.

16.(15分)如图/为平行四边形48C。所在平面外一点.M,N分别是A8/C的中点，平面P4OCI平面

P3C于直线I.

AMB

(1)判断MN与平面PAD的位置关系，并证明你的结论;

(2)判断BC与/的位置关系，并证明你的结论.

17.(15分)[2024湖北武汉高一月考]如图，在直三棱柱A8C-A出G中,N8AC=/8C4,AC产或CGQ

是AC的中点.

求证：(1)0C〃平面4〃。;

(2)AG_LA/.

18.（17分）已如直二棱柱中，侧面AAim为正方形,zW="C=2,瓦”分别为AC和CG的中

点,3尸_L4iB.

⑴求三棱锥F-EBC的体积;

（2）已知。为棱4囱上的点，证明:B/_LOE

19.（17分）如图，在三棱锥A-BCD中，平面平面BCD,AB=AD,0为BD的中点.

(1)证明:Q4_LC。；

(2)若△OCO是边长为1的等边三角形，点E在棱4。上,。E=2EA,且二面角E-8C-。的大小为45。,求

三棱锥AICO的体积.

第八章测评

1.D对于A,B,当三条直线交于同一点时,三条直线可能不共面，故A,B错误;对于C,当三条直线

相互平行时,三条直线可能不共面，故C错误;对于D,一条直线与两条平行直线都相交，那么这三

条直线确定一个平面，故D正确.故选D.

2.D由直观图和原图形的关系易知,4408中底边08=2,底边0B上的高线长为4、；.AA0B的

面积为S苫X4x2=4.故选D.

3.B因为圆柱的高为20cm,底面直径cm,圆台的底面直径CO=20cm,E77=16cm，且两圆

台的高都为6cm,所以该几何体的体积为

V=nx25x20+|X(25兀+100兀+，25TTX100TT)X6+；X(64TU+100n+V64nx100IT)X6=500nXI75TI

•3O3

x6+1x2447tx6=l338兀(cm).

4.A取尸8的中点G,连接GF,GE,如图，又E为PA的中点，所以EG//AB,EG=^AB=2y/3,

同理可得GF〃PC,GF="C=2,

又PC_LA8,所以EGLFG,

则NGEF为EF与AB所成的角，在RtAGEF中,tanNGEF率=、=噌所以E尸与AB所成的

LG2V33

角为！故选A.

5.C在正方体ABCD-A\B}C\D\中，易得4G_L平面.・•点/在直线AD\上,Q为我段BD

的中点，当点P和。।重合时,PQu平面8DD山".PQLhCi,故A正确;

连接4。,如图所示.

当点P为线段A\D的中点时,PQ为三角形A\BD的中位线.即PQ〃48,故B正确；

CGu平面AAiGC,当点P和点A重合时,PQu平面AACC则直线P。和CG在同一平面内，故

C错误；

BGu平面ABGO/Qn平面ABG。产P,M3G,故直线P。始终与直线BCi不相交，且不平行，是

异面直线,，故D正确.

6.D如图，连接8G,PCi.

由正方体的性质可得ADi〃BG,故NP8G为直线P8与ADi所成的角.

设正方体的棱长为1,则8G=a,GP=1C尸号.

而BP=《BB；+B[P2=Jl2+(y)2=祭可得CF+B*BC：,故GP_LPA则在RtA^PG中，

有sinNP8G=簿=〈,于是/P8G=3,即直线P8与AD,所成的角等于！

oClLOO

7.B要使球的体积V最大，必须球的半径R最大.

由题意知球与直三棱柱的上下底面都相切时，球的半径取得最大值*此时球的体积为[区炉《冗❷

乙(3D4

L号故选B.

8.A因为S。：DA=2：1,所以SD=^SA.

又因为8七二3七所以3底=98.所以仆/处的面积为5A5DE=;^-5^sinZ/15^=1X白AX[bAxsinN

ASB^SGSAB.又CF：FS=2：],所以防：SC=\：3,设点£C到平面S48的距离分别为阮生,所以

小：h2=\：3,所以谆匹=草=！.所以这个容器最多可盛水的体积是原三棱锥容器体积的1-

VC-SAB19

一1二一8

99,

故选A.

9.BD若则m//n或m与〃相交或m与n异面，选项A错误;若/〃J_a,〃J_a,则in//n,

选项B正确;若"?〃。,“仁我,则a//p或a与£相交，选项C错误;若〃2_Laj〃_L〃，则n//a或〃ua,又

〃_L从则。_1_夕，选项D正确.

10.

AC由题意作图如右,在平面中由点4向A8作垂线，垂足为。，取线段BC的中点E,连

接AE,在平面A£4中由点A向AE作垂线，垂足为连接。£在等腰梯形八88A

中,AB=4BA=2,AA产2,则AD=(4-2)^2=1,A|D=V22-12=内，故棱台的侧面积为3xq(2+4)x

75=975,故A正确；

易知A1为棱台的高，则AO_L平而4QE则4O_LO£在Ri/XAO尸中,DF=AD^=

6

2

y,AF=Jl+1=竽在RtAAD/中工]尸=jAi在2-。△2=华芯存故B错误；

棱台的侧棱与底面所成角为£cosN4A£＞与=孑=?,故C正确；

AA]23

棱台的侧面与底面所成二面函为N4OE,

73

cosZAiDF=-^-=*=故D错误.

A\DV33

故选AC.

11.ACD由于四边形ABFE与四边形DCGH全等,且平面ABFE//平面DCGH,则由棱柱的定义

可知，水的部分始终呈棱柱状，所以A正确;因为BC〃FG,BC上平面ABBA,所以FG_L平面

48sAi，因为ER=平面ABBIAI,所以FGLEF,因为FG〃EH,FG=EH,所以四边形EFG〃为矩形，

所以水面四边形E尸GH的面枳等于EF/G,因为水面四边形EFGH的边长/G不变,E尸在变化，

所以水面四边形ER3”的面积在变化，所以B错误;容器底面一边8c固定在底面上时,BC〃/G

〃4OI,AQIQ平面所以由线面平行的判定定理可知，棱AG始终与水而四边形EFGH平

行，所以C正确;由于水平放用时，水的体积是定值，水的高度是定值人底面面积不变，所以当一部

分上升a的同时，另一部分下降相同的高度。，设AE=/?a则8F=/?+a,所以AE+BF=h-a+h+a=2h

为定值，所以当石时,AE+8/是定值，所以D正确.故选ACD.

12.4

如图,四棱锥P-ABCD为正四棱锥，高0P二或，底面边长AB=\,

过点。作。6_1_8。于点&则G是8c的中点，连接PG,于是斜高PG=；+2=*

44

1o

所以正四棱锥的表面积S=lxl+4xxlx|=4.

13.日n易

知半径最大的球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，其中8C=2,A8=4C=3,且

点M为8c边上的中点，设内切球的球心为O,由于AMT32J2=2或,故SA4BC=J'2x2&=2企,

设内切球半径为八则5加8。=51408+5&8℃+5%

AOC=^x>4Bxr+|x^Cx/-+|x>4Cxr=1x(3+3+2)x「=2V5,解得片条其体积

乙4乙乙LtO0

14.26V2-1由

图可知第一层与第三层各有9个面，计18个面，第二层共有8个面，所以该半正多面体共有

18+8=26个面.将该半正多面体放入正方体部分图示如右，没该半正多面体的棱长为x,则

/W=BE=x,延长BC与FE交干点、G,延长“C交正方体棱于“，由半正多面体对称性可知,△BGE

为等腰直角三角形.

•:BG=GE=CH若子

GH=2x争+x=(&+l)x=l,

•.X=~r=—=a-1,即该半正多面体棱长为企-1.

V/+I

15.(1)证明•・•在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCO是直函梯形,OC=2AO=2A8=&P8,NOA8=N

ADC=90°,APDC为等边三保形，设A8=x,则BC=BD=y/x24-x2=丘x,：,

BD2+BC2=4JT=CD\PB^BC2^=PC2,

；・BD±BC,PBLBC.

■:BDCPB=B,；・BC1,平面PHD.

〈BCu平面P8C,・•・平面PBC_L平面PBD.

⑵解SR3〃BC=I,AipBPC=r=l,2p.v=l,

由(1)知,Sue。=:x4=V3,

■:Ba+B*DP?,BD=®PB;立,

••S^PBD=^X>[2Xy/2=1,:.V三检轴BPCD=V三校比o,即gX>j3-d=^X1X四,解得d二苧,

・••点B到平面PCD的距离为停.

16.解(1)MN〃平面PAD,证明如下：

取PD中点£,连接AE,NE,因为N,E分别为PC,PD中点，所以NE〃DC,nNE=^DC.

又M为AB中点,A8〃OC,AB=DC,

所以AM〃NE,且AM=NE,

所以四边形AMNE为平行四边形，

所以4七〃MN.

又AEu平面PAD、MNQ平面PAD,所以MN〃平面PAD.

(2)BC〃/，证明如下：

因为AO〃BC,AOu平面平面PAD,

所以BC〃平面PAD.

又BCu平面PBC,且平面EADCI平面PBC=l,

根据线面平行的性质定理可得8C〃/.

17.证明⑴连接A@,交A心于点。,连接OD.

0为平行四边形A88A］对角线的交点,二0为A多的中点、.

在△43C中,0,D分别为ABhAC的中点,0D//B\C.

丁ODu平面A।BOBCU平面A180,・•・囱C〃平而A归。.

(2):43C-A1历G是直三棱柱,J441，平面ABC,

〈BDu平面ABC,：,AAiLBD.

•。是AC的中点,N8AC=N8CA,・'・4CJ_8D

•・・44in4C=4,44i/Cu平面4CG4,，8。_1_平面ACC\Ab

TAGu平面ACGAi,/.BD±ACi.

在RtA/\CCi中,AOAC产&CG,・・・tan/AGC=磐=或，在Rt^AD中/。=，C,...tanN

CCiL

W絮=尹=或，

AU^AC

/.tanZ4CiC=tanZA|D/l,.*.ZAC\C=ZA\DA,

・•・NAGC+NGAC=N4D4+NGAC=90。，

・・・AQ_LACi.

,?A,DABD=D,AQ,BDu平面A18D；・AGJ"平面A18D

CAiBu平面AiBD,AACi±AiB.

18.(1)解在直三棱柱A8C-A1BC1中,88|_LA|Bi,

•；BF上=平面BCCiBi,

・・・43_L平面BCGBi.

•••A