高考数学一模试题分类汇编：三角函数与解三角形3个考点（解析版）

专题03三角函数与解三角形

总3大考点概览

考点01三角恒等变换

考点02三角函数的图像与性质

考点03解三角形

考点1三角恒等变换

1.(2026・福建福州•模拟预测)已知sin(a+/?)=[,tana=3tan0,则sin(a-/?)=()

A.B.\C.--D.-

3366

【答案】D

【详解】tana=3tan/?==sinacos/?=3sin/?cosa,

由sin(a+")=：=sinacos^+cosasin。=；=3cosasin/?+cosasin/?=一

=cosasin/?=*=sinacos^=J

所以sin（a-/?）=sinacos/?-cosasin/?=：-*=：.

2.（2026•福建泉州•二模）已知a为第二象限角，且Sina=苧，则cos（。+f=（）

A.-1B.--C.-D.1

22

【答案】A

【分析】先求出cosa,再根据两角和的余弦公式可求cos（a+马

【详解】因为a为第二象限角且sina=今故COSQ=一5

故cos（a+；）=cosacos-sinasin^=-1x1-yXy=-1,

故选：A.

3.（2026•福建漳州•模拟预测）己知则幺匕磬的最大值是（）

L2/COS20+1

A.1B.V2C.2D.4

【答案】A

【分析】根据二倍角的余弦公式,结合8的取值范围,及不等式的性质求得喷翳的取值范闱,从而得到

2(l-sin8)2的最大值.

COS20+1

【详解】当时，0Msin6〈l,得到1-sin。>0,1W1+sin8V2.

2

।iY,.A.zH2(l-sing)_2(l-sin0)2_2(l-sin6)2_(i-sin。)2_i-sinl_2

心'cos20+l(l-2sin20)+l2(l-sin20)l-sin20l+sin61+sin。'

由iwi+sme<2,得ivf工2,所以°<一1+品ML

故2（一;的最大值为］

COS28+1

故选:A.

4.【多选题】（2025•福建泉州•模拟预测）在斜△4BC中，若二+当=4cosC,则（）

sinBsmxl

A.sin2/44-sin25=sin2CB.C的最大值为:

C.sia4sin(C-B)=sin8sin(A-C)

【答案】BCD

【分析】根据正弦定理、余弦定理及三角恒等变换判断得出.

【详解】对于A,由余弦定理得

sin/,sinB.„.a2+b2-c223+6242)

二+寸4cosc=4Xf^，再由正弦定理得

ab

即？+2二(),整理得：/+b2=2c2,即siMA+siME=ZsiMC,故A错误;

baab

对干B,因为sin/l>0,sinB>0,所以">0,—>0,

sinBsinA

所以4cosc=当+吗22咫否=2,当且仅当当=当，即力=8时，等号成立,

sinBsinAyjsinBsin4sinBsinxl

所以cosCN5又因为C6(0,n)，所以CW(O，1所以C的最大值为(故B正确；

对干C,由A可知siM/+siMB=2siMc,即siM/l—siMc=siMc-siMB,

又因为sin。+C)sin(A—C)=(sin4cosc+cosAsinC)(sinAcosC-cosAsinC)

=sin2i4cos2C-cos24sin2C=siM/(l-sin2C)-(1-sin2y4)sin2C=sin2z4-siMC,

即siMA-sin2C=sin(4+C)sin(4—C),

同理可得sin2c-sin2/?=sin(C+B)sin(C—B),

所以sin(4+C)sin(/1—C)=sin(C+J?)sin(C-B),

即sin(ir-B)sin(4—C)=sin(n-4)sin(C-B),

所以sinBsinQ4—C)=sin/4sin(C-B),故C正确:

rj.cmo1.1cos/1,cosBsinAcosB+cosAsinBsin(4+B)sinC

对卜D,因为---+----=----+----=---------------=—:-----=-------,

tan/1tanBsin/1sinBsin/lsinBsin/lsinBsin/lsinB

又因为。2+垓=2。2,所以c°sC=W±=2=Rj.

2ab2ab2sin4sin8

sln2c

zsiny.nB所以七十匕二白，故正确.

J_=2CO££==D

tanCsmCsinCsmAsxnBtaMtanBtanC

故选：BCD.

5.(2025•福建三明•模拟预测)己知a,夕是第一象限角，cos(a+夕)=sin(a—6)，求tana=()

A.A/3B.-V3C.-1D.1

【答案】D

【分析】由三角恒等变换化简已知条件得cosa=sina,可求tan%.

【详解】已知cos(a+0)=sin(a-/?).得cosacos/?—sinasin/?=sinacos/?—cosasin^,

即cosacos/?+cosasin/?=sinacos/?+sinasin/?,

可得cosa(cos/?+sin/?)=sina(cos^+sin£),

由a,£是第一象限角，有cos£+sin£工0,

所以cosa=sina,则有tana=1.

故选：D.

6.(2025•福建福州•模拟预测)己知a,0,yG(0,^),a+/?4-y=r.,tany=j则tanatan/?的最小值为()

A.3B.5C.9D.25

【答案】C

【分析】利用诱导公式及和角的正切公式列式，再利用基本不等式求出最小值.

【详解】依题意，tan(a+/?)=tan(n-y)=-tany=-1,即二；二::-，

贝i£(tanatan/?-1)=tana4-tan/5>25/tanatan/?,当且仅当tana=tan/7时取等号，

因此3(Jtanatan/?)2—8^/tanatan/?—3>0»解得tanatan/?>9.

所以当tana=tan/?=3时，tanatan/?取得最小值9.

故选：C

7.【多选题】(2025•福建福州•模拟预测)已知角。,夕的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，4终边

经过点P(-sina,cosa),tana=2,则()

A.tan/?=-1B.夕终边在第二象限

C.sin(a—^)=1D.cos(a+/?)=-^

【答案】AD

【分析】利用三角函数定义即可判断A；判断a所在象限，即可判断B；根据角所在象限，利用两角和差的

正余弦公式，即可判断CD.

【详解】由题意可得tan0=*=」一=一=,A正确；

由干tana=2,故a可在第一象限或第三象限，

a在第•象限时，sina>0,cosa>0,则P(-sina,cosa)在第二象限，

a在第三象限时，sina<O,cosa<0,则P(-sina,cosa)在第四象限，

即产终边在第二象限或第四象限，B错误；

由于tana=2,a在第•象限时，sina=看,cosa=奈，

此时夕在第二象限,tan/?-—g,则sin/?—/cos/7一—奈

故sin(a_0)=.x(-专)—*京=_1；

cos(a+/?)=^x(--^)-^x^=-l：

。在第三象限时,sina=-5,cosa=-看

此时4在第四象限,tan/?=-->则sin/?=—后,cos/?=^=>

故sin(a一夕)=一专x专一x(一3)=-1,

cos(a+£)=(—-X专一(一专)x(-靠)=一£C错误，D正确；

故选:AD

8.(2025•福建福州•模拟预测)已知sin(a+/?)=TH,tana=2tan/?,则sin(a—/?)=()

A.-3T71B.377iC.一：D.—

33

【答案】D

【分析】首先切化弦，然后用两角和与差的正弦公式进行求解即可得到答案.

【详解】因为tana=2ta邛，所以列竺=2当，化简得：

cosacos/?

sinacos^=2cosasin/?.

因为sin(a+/?)=sinacos/?+cosasin/?=m,所以3cosasin。=m.

所以cosasin/?=—.

J

所以sin（a一夕）=sinacos/?-cosasin/?=2cosasin/?-cosasin/?=cosasin/?=—.

故选：D.

9.（2025•福建泉州•模拟预测）己知3sinx-4cosx=0,则cos2z=（）

A.--B.--C.-D.-

25252525

【答案】A

【分析】应用同角三角函数关系结合已知条件计算得出COS2》,再结合两角和余弦公式计算求解.

【详解】因为3sinx-4cosx=0,且siMx+cos?x=1,

所以蔡cos2%+cos2%=1,cos12x=

则cos2%=2cos2%—1=2x3—1=一二.

故选:A.

考点2三角函数的图像与性质

1.（2026•福建福州•模拟预测）当xG[0,2g时，函数/（乃=2cos（3x+：）+sin%的零点个数为（）

A.3B.4C.6D.8

【答案】C

【分析】令/（%）=0,然后通过分析方程2cos（3%+：）+sin无=0在给定区间[0,2n）内的解的个数来确定函

数的零点个数.

【详解】令/（幻=0,即2cos（3%+；）+sinx=0,移项可得2cos（3%+；）=-sinx,

对干y=2cos（3%+?）,其周期对于g=-sin》,其周期0=2TT；

当X[0,2TT）时，画出两个函数图象为：

由图象可以看出，方程2cos（3%+：）+sin无=0在给定区间[0,2n）内的解的个数为6,

所以函数f（x）=2cos（3%+；）+sinx的零点个数为6.

2.（2026・福建龙岩•一模）已知函数f（x）=2sin（3%+小（3>0）的图象关于直线％：对称，且在区间

上单调递减，则3的值为（）

A.-B.1C.-D.4

26

【答案】B

【分析】由函数/（x）=2sin（3%-：）（3>0）的图象关于直线x=9对称，可得3=3k+l,kWZ：由函数在

区间（泞）上单调递减，可得7=于Nm从而得342,即可得答案.

【详解】因为函数/'（%）=2sin（3x+J（3>0）的图象关于直线x=；对称，

所以？+m=kn+；,kEZ,

362

解得3=3〃+l,kWZ,

又因为函数在区间傅中）上单调递减，

所以函数在％=2处取得最大值，

所以&n）呜？+勺,

所以mZIT,

解得T=->^

33

解得3<|.

又因为3=3k+l,k€Z.

故选：B.

3.（2026•福建龙岩•一模）已知函数/（%）=苧sin2x-siMx+：.

⑴求外幻的单调递增区间；

（2）在△A8C中，/（/I）=sinB=2sinC,△48C的面积为V5,求边BC的长.

【答案】（1）卜g+而,擀+kn],kEZ

⑵花

【分析】（1）利用辅助角公式，结合正弦函数的单调性即可求解；

（2）利用正弦定理角化边，结合面积公式和余弦定理即可求解.

【详解】（1）/（X）=—sin2x-sin2x+-=—sin2x4--cos2x=sin（2x4--）,

2222\6/

令-]+2kirW2%+'W；+2kir,kEZt

解得—二+/orWxW，+/nr,kEZ,

36

所以函数fG）的单调递增区间为卜己+〃"*+〃口卜kFZ.

（2）因为/■（/1）=sin（24+9=；,

又4为△力BC的内角,则4W（0,TT）

故"+旨&詈），

所以24+?=?，所以

oo3

设角A,B,C所对边分别为a,b,c,

因为sinB=2sinC,由正弦定理得b=2c.①

因为三角形的面积为百，所以gbcsin/l=百.②

由①②解得：产=2?,

vc=V2

由余弦定理得BO?=/j2+c2—2bccosA=8+2—8x1=6,

所以BC=V6.

4.（2026•福建莆田•二模）已知函数/（幻=241I（%+9）（|0|＜：1）的图象过点尸（：,2）.

⑴求;'（X）的单调递增区间；

（2）当/（a-（0+：）=3,且sin（a+0）=1时,证明：tana=4tan0.

【答案】（I）[——+2ku,—+2/citj»/cGZ

⑵证明见解析

【分析】（1）代入点P坐标，结合中的范围，求出@，再由正弦函数的单调性即可求得；

（2）由条件化简得sinacos/?=：,再由和差公式求得cosasin/?=。，两式相比即可证明.

416

【详解】（I）将点P&,2）代入函数解析式，得2=2sinC+0）即sin6+@）=l,

则有：+@+2/nr,解得@=(+2kn,Zc6Z,

因为|?|Vn，令k=0,则◎=；,所以/'(x)=2sin(x+：),

由—2+2kirW%+?W巳+2kir,k6Z>解得—也+2kirWxW卫+2/CTF,kWZ,

24244

故/(%)的单调递增区间为卜?+2/01,?+2kn］，kwz.

(2)由(1)知f(x)=2sin(x+；),

则/(戊一：)=2sin(«-：+?)=2sina,

/«+：)=2sin(0+-+9=2sin(0+9=2cos0,

依题意,有f(a-f(/?+彳)=4sinacos0=3,即sinacos/?=£

因为sin(a+/?)=£,BPsinacos/?+cosasin^=一,

代入sinacos/?=-Wcosasin/?=—,

416

所以黑篝1=4,即翳=4,

则有tana=4tan/?,得证.

5.(2026•福建泉州•二模)已知函数/(乃=25也(3%+0)(3>0,|3|〈5的部分图象如图所示，贝I」()

A.八幻在区间［?,答］上单调递减

6o

B./(%)在区间g,岸」上单调递增

C.“X)的图象向右平移己个单位长度后得到的图象关于,轴对称

D./(%)的图象向左平移詈个单位长度后得到的图象关于原点中心对称

【答案】D

【分析】根据给定的图象，结合五点法作图求出「(%)，再利用正弦函数单调性判断AB；利用函数图象变换,

结合奇偶性判断CD.

【详解】观察图象，得/（0）=1，则sins=［，而181Vp解得卜=pf（x）=2sin（3X+：）,

Zz66

由/（达）=0,得'3+N=kir,k6N*,解得3=经二,AWN,,

121265

令函数f（%）的最小正周期为T,由：<得"，7=争得9V侬〈当，

因此*=1,3=2,/（x）=2sin（2x+-）,

6

对于A,当工€壕，詈］时，2%+鼠［詈,争，而当2%+合？€（',等）,

即X=g时，函数/（为取到最小值一2,A错误；

对干B,詈］,而当％=日£（?,千）时，函数/•（%）取到最小值一2,B错误：

对于C>f［x—-^）=2sin［2（x——）+:］=2sin2x是奇函数，图象关于原点对称，C错误：

对于D,/（%+詈）=2sin［2（x+詈）+」］=2sin2x是奇函数，图象关于原点对称，D正确.

12126

故选：D

6.【多选题】（2026•福建漳州♦模拟预测）己知函数/（%）=85（次+3）（3>0,|勿〈9的图象相邻两条对

称轴之间的距离为％且直线％=三是其中一条对称轴，则（）

A./（幻的最小正周期为T

B./（AW

C./（外在卜?意上单调递增

D.〉=/（%）的图象关于点（一■,0）中心对称

【答案】ACD

【分析】利用已知条件求得函数的解析式为/（%）=cos（4%一以,再利用余弦三角函数的性质对选项进行验

证得解.

【详解】余弦函数相邻两条对称轴之间的距离是g

又函数/（%）=COS（3X+9）（3>0,MV9的图象相邻两条对称轴之间的距离为%

•••~=~>解得T=；，又§=1，co=4,f（x）=cos（4x+0）,

又直线％=巳是其中一条对称轴，4x^+@=kn,k€Z,••.0=/or—；,k€Z,

又31Vl故取k=0，得0=-%

因此函数的解析式为/(%)=cos(4%-

对于A,函数/(%)=cos(4%-以的最小正周期为7=手=》故A正确，

对于B,(仔)=cos(4x；£)=cos：="H-：，故B错误，

\o/\83/62Z

对于C,令£=4'—三，当XE日时，tW[―TT,0],

)/=85£在[一口,0]上单调递增，故/"(外在卜，意上单调递增，故C正确.

对于D,•••/(-第=cos[4X(一争一§=cos(一？一$=cos(--)=0，

因此y=/'(X)的图象关于点(一弟0)中心对称，故D正确.

故选:ACD.

7.(2025・福建福州•模拟预测)数学与音乐有着紧密的关联，每一个音都是由纯音合成，纯音的数学模型是

函数y=Asin3X.我们平时听到的音乐不只是•个音在响，而是许多个纯音的结合，称为复合音.复合音

的产生是由于发音体不仅全段在振动，它的各部分如二分之一部分、三分之一部分、四分之一部分等也同

时在振动.已知刻画某声一音的函数为：/(x)=sinx+|sin2x+；sin3x.

/«5

⑴求函数/(外在(0,n)上的单调区间；

(2)函数g(x)=/(x)十2sinx-mx,若g(x)在(0,n)_L有三个不同的极值点卬如右(左手pt=1,2,3),证明：

---I---+-」为定值.

COSXicosx2co$x3

【答案】(1)增区间为:(05)和侍分减区间为：&舒和管，。

⑵证明见解析

【分析】(1)先对函数人外求导，利用和差化积公式化简导数，再令/a)=o,求出函数的极值点，利用

导数符号求出函数/•(工)的单调区间；

(2)先求出函数g(x)的导数g'(x)并利用三角恒等变换化简g'(%),通过换元法把方程转换为关于£的三次方

程，再利用根与系数的关系证明结论.

【详解】(I)/(x)=sinx+^sin2x4--sin3x,求导得/'(x)=cosx+cos2x+cos3x,

又♦；cosa4-cosb=cos(半+芋)+cos(早-芋)=2cos早cos手，

AfrM=cosx4-cos2x+cos3x=2cosxcos2x+cos2x=cos2x(2cosx4-1),

当％6(0,11),令/(x)=0,解得%1==¥，33=g,

令r(x)>o,解得：0<%<^或？<%<¥，

令r(x)vo,解得：：vxvg或,<XVIT,

•••/(%)的增区间为:(。,；)和管,与)减区间为:&彳)和(f再).

(2)证明：g{x)=f[x}4-2sinx-mx=3sinx+-sin2x+-sin3x—mx,

23

•••g'(x)=3cosx+cos2x+cos3x—m,

vcos3x=cos2xcosx-sin2xsinx=(2cos3x-cos无-2sin2xcosx)=cosx(2cos2%-1-2sin2x)=

COSX(4COS2X—3).

二grM=3cosx+cos2x+cos3x-m=4cos—+cos2x-m=4cos3x+2cos2x-(m+1),

g(x)在(Om)上有三个不同的极值点%1，%2，巧(阳*=1,2,3),

•••g'(x)=0在(0,n)上有三个不同的根,即4cos3无+2cos2%-(m+1)=0在(0m)上有三个不同的根,

令t=cosx,XE(O,TT)时，£E(―1,1)“上H0,1H，，•••方程转化为4t3+2t2—(m+1)=0,

设方程的根为£i=cosxpt2=cosr2,t3=cos%3，则4Q—G)。一J)"-3=。，

化简可得：4t3-4(。+今+£3)y+4g2+1213+口匕"-4£也13=0，

则-4(£]+《2+打)=2，即询+t2+t3=一1，4(t1t2+hh+t〃3)=0即£"2+12t3+txt3=0,

一4t]t2t3=—(m+1)»

4

+'=上+上+上=M3+«3+X2=O.

C0SX1COSX2COSX3bt2t3Gt2t3

----1-----1----为正值，命题得证.

COSX]cosx2cosx3

8.(2025•福建福州•模拟预测)已知函数/'a)=2sin(3x+9(3>0),若方程/(%)=1在区间上(0,2TT)恰

有3个实根，则3的取值范围足()

A.用)B.(词C.(力]D.&2]

【答案】D

【分析】由题意可得sin(3%+：)=%从而得3%+/=2ZTT+，或2ATT+[(%eZ),再根据x6(0,2n),求

出3%+!的可能取值，由有3个实根，列出不等式组求解即可.

6

【详解】左方程/(%)=2sin(a)x+J=1,

则sin(3%+?)=g

即3%+；=2/err+J或2kn+"(keZ),

666

士|XG(0,2n)lbJ»3X+-€(；,23TT+-),

666

则3X+5大于三的取值为等,等子…，

666666

因为原方程在区间(0,2n)上恰有3个实根，

所以弓2v2am+^<解得(<co<2.

所以3的取值范围G，2].

故选:D.

9.(2025•福建泉州•模拟预测)当xE[0片]时，曲线y=sinX与y=2sin(3%—？的交点个数为()

26

A.2B.4C.6D.8

【答案】D

【分析】根据给定条件，利用正弦函数图像的性质作出两函数图象，再确定在指定区间内交点个数即可.

【详解】函数y=sinx的最小正周期为T=2n,函数y=2sin(3%-3的最小正周期为T==,

63

在坐标系中，由五点法作图画出两函数在[0,中上的图象，如图：

观测图象知，函数y=sinThjy=2sin(3x-J在［0,4］上的图象有8个交点.

62

故选：D

--27TX)

S，n―，贝好(2026)=()

{/(%-5),%>0

A.=B.-叵C.2D.3

2222

【答案】D

【分析】根据分段函数的定义，再利用任意角的正弦函数值求解

【详解】当工之0时，/(x)=/(%-5),故当％之0时，/(%)有周期5.

故/(2026)=/(2026-2025)=/(I).

而/⑴=/(I-5)=/(-4)=siny=siny=y

故选：D

11.(2025•福建泉州•模拟预测)U,知函数f(x)=cos(2x+0)的图象关于点(右0)中心对称，则其图象的一

条对称轴方程可以是()

A.x=—-B.x=——C.x=—D.%=-

6.2126

【答案】C

【分析】由对•称中心求出W，再结合余弦曲线的对称轴，利用整体的思想即可求/(%)图象的对称轴方程.

【详解】因为函数/■(%)的图象关于点6,0)中心对称，

所以2x2+9=kn+F(k€Z),有(p=kn--(kez),

326

k为偶数时，所以/a)=cos(2x—3,々为奇数时，所以f(x)=—cos9不一］.

令2%--=rnn,TnGZ,得％=—4--,TnGZ,

6122

所以/"(%)图象的对称轴方程为％二卷+詈,mWZ,

当n=0时，f(%)图象的一条对称轴方程为％=巳

故选：C

12.(2025・福建三明•模拟预测)已知函数/(；0=25也(3：+尹)(3>0,*<9<5部分图象如图所示，其

中/<1T,则3的最小值为()

A谓B.gC.2D程

【答案】A

【分析】先根据/'(0)=1,求得8的值，再对照y=sin%的图象，得到工。与函数f(%)的周期间的关系，进而得

到加与口的关系，利用％°WIT求得口的范围，得到3的最小值.

【详解】由图象知/(0)=1,所以sin3=；.因为v?<所以少=W所以/(%)=2sin(3%+。

22266

根据正弦函数的图象，如图，

5n

11TTTT_5n_5

6613，2n-6，

所以设函数/(x)=2sin(cox+二)的周期为7,则%()-0=-T,即与=-x—=—.

66635(i)

因为沏刍n,所以需Wn,所以3/1

所以3的最小值为*

故选:A.

13.【多选题】(2025・福建•模拟预测)已知函数f(x)=sins:-Wcos3%(3>0)的最小正周期为n,则()

A./(幻的最小值为一2

B.f(x)在(-巳，9上单调递增

C.直线x=?是/(无)的图象的对称轴

D.汽幻的图象可由y=2cos2》的图象向左平移居个单位得到

【答案】ABD

【分析】利用正弦型函数的基本性质可求出函数f(x)的解析式，利用正弦型函数的最值可判断A选项；利

用正弦型函数的单调性可判断B选项；利用正弦型函数的对称性可判断C选项；利用三角函数图象变换可

判断D选项.

【详解】因为/(%)=sintdx—J5COS3%=2sin(3%-小，最小正周期为n,所以3=2,

即/(x)=2sin(2x—g).

对于A,由于一1Wsin(2x-1，所以/(%)=2sin卜％-的最小值为一2,A正确；

妁「B,当％£(_舐)时，(2x-^)G(-p0),

所以/(外在(-上单调递增，B正确；

对于C,因为％=：时，/(；)=0,所以C不正确；

对于D,由y=2cos[2(%+„=2cos(2x+?)=-2cos(2x+：)=2sin[(2x+：)-；]=2sin(2x-；),

所以D正确.

故选：ABD.

14.【多选题】(2025•福建泉州•模拟预测)已知条件：①函数/•())在单调递增；②函数/(%)的图象的

相邻两条对称轴之间的距离为会③函数/⑺的一个零点为/若函数/(%)=sin(s+8)仅满足二述①②③中

的两个，则/'(%)可以是()

A./(x)=sin(4x-B./(x)=sin(x-

C.f(x)=sin(2x+T)D./(x)=sin(2x—与)

【答案】BC

【分析】对每个选项中的函数/(%),结合止弦型函数的基本性质逐个验证①②③即可.C

【详解】对于A选项，若/(%)=sin(4%-；)，当忖，0<4x-<2n,

此时函数/•(%)在(看,行)上不单调，①不满足，

函数/'CO的最小正周期为T一会则函数“外的图象的相邻两条对称轴之间的距离为：，②不满足，

因为/g)=simr=0,即函数fQ)的一个零点为*③满足，故A不合乎要求；

对于B选项，若f(x)=sin1一J当工时，一；<%一汴5

此时，函数/(%)在(2,工)上单调递增，①满足，

函数/G)的最小正周期为为2m函数/Xx)的图象的相邻两条对称轴之间的距而为m②不满足，

因为/C)=sin0=0,即函数/(%)的一个零点为%③满足，故B合乎要求；

对于C选项，若/(%)=5也9％+)当卷<%〈工时，2x+^<y»

此时，函数/•(%)在(巳,上单调递减，①不满足，

函数“外的最小正周期为7=1T,函数/(%)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为会②满足，

因为/©-sinir-O,即函数外幻的一个零点为点③满足，故C合乎要求；

对于D选项，若/'(x)=sin&x-g),当点〈工〈工时，一

此时，函数/•(工)在仁，高上单调递增，①满足，

函数/(%)的最小正周期为7=m函数外外的图象的相邻两条对称轴之间的距离为会②满足，

因为/&)=sinO=O,即函数/Xx)的一个零点为玄③满足，故D不合乎要求.

故选：BC.

15.(2025•福建泉州•模拟预测)已知Q>0,函数/(%)=(x-a)3,若关于6的方程/(sin。)+/(2cos0)=0在

区间［8］上有解，则a的取值范围为.

【答案】白哈

［分析］由题意得2a=sin。+2cos8=V5sin(J+①)，且sin>=等,设尹为锐角，结合。G区,刍即可求解.

3Lt

【详解】函数r(x)的图象的对称中心为(a,0),且f(X)单调递增，

所以由f(sin。)+f(2cos。)=0可得,2a=sinO+2cos。=V5sin(。+w),且sin>=—>—,cos(p=—,

525

不妨设w为锐角，所以3€［%勺，

所以函数y=V5sin(0+*)在6G£勺单调递减,

所以当时，y=sine+2cos8取得最大值手.

当e=：时，y=sinJ+2cos。取得最小值1,

所以2Q€［1,呼］,即aw百平］,

故答案为：E，手］.

考点3解三角形

1.(2026・福建莆田•二模)记的内角A,D,C的对边分别是a,b,c,若a=5,b=7,c=8,则。

)

*

ATc-

.2

【答案】B

【分析】根据余弦定理求出cosB的值，再结合角8的取值范围确定角B的大小.

a2+c2-匕2_52+8272_1

【详解】cosB=

2ac2XSX82

因为OvBVn,所以B=%

故选：B.

2.(2026•福建泉州•二模)已知锐角三角形48c中，角4B,C的对边分别为a,瓦。，且三=三.

b+ca-c

⑴求B；

(2)若cos3C+cosC=0,c+V^b=4,求Q的值.

【答案】(1)8=：

(2)a=2

【分析】(1)由题设结合可得。2+,2-力2=。的再结合余弦定理求解即可;

(2)解法一：由cos3C+cosC=0结合两角和与差的余弦公式可得2cos2CcosC=0,进而得到C=；,再利

4

用正弦定理可得b=得Xc=备X手，代入c+y/2b=4即可求解：

V6+V22V6+V22

解法二：由cos3c+cosC=0结合余弦函数的性质可得。=%再利用余弦定理得到。2+产一=gb,

4

与a?+c2-b2=ac相加，再结合c+yf2b=4即可求解；

解法三：由cos3c+cosC=0,结合三角恒等变换公式先得到C=上过4作力D1BC,垂足为D,可得a=BD+

4

CD=ccosB+bcosC,进而结合c+\/2b=4即可求解.

【详解】(1)由F二匕二可得+C?—匕2=ac,

b+ca-c

则8SB=上士=L

2ac2

因为8E(0，；)，故B=1

(2)解法一：由cos3C+cosC=0,可得8$(2。+0+8$(2。-0二0,

则2cos2CcosC=0>

因为Cw(oj),所以cosCwO,2Ce(O,TT),

则cos2c=0,即2C=E,所以C=L

24

由正弦定理导=高=高,

可得3=二

sinjsin-[n-(3+4)lsin(?*4)sin|cosj+cos|sinjC+&

代入c+y/2b=4,可得黑后xy+V2x屋万xf=4,

V6+V22V6+V22

解得2a=4,即Q=2.

解法二：由cos3c+cosC=0,可得cos3c=-cosC,

则3c+C=IT+2/nr或3c=n+C+2kn(kEZ),

即C=；+—TT或C=g+kn(kG2),

因为C£(0,3,所以C=]

由余弦定理可得cosC="'"'=立，则a?+b2-c2=>/2ab,

2ab2

54G2+c2-b2=ac,两式相加可得2Q2=QC+近0匕，

即2a=c+y/2b=4,得Q=2.

解法三：由cos3c+cost?=0,可得cos(2C+C)+cosC=0,

得cos2CcosC—sm2CsinC+cosC=0,

即(cos2c4-l)cosC=sin2CsinC=2sin2CcosC,

因为CW(0,3，所以cosC40,

则cos2c+1=2sin2C,即2cos2c-1+1=2sin2C,即cos2c=sin2C,

则tanC=1,所以C="，

4

如图，过A作/OJ.BC,垂足为O.可得BO=ccos8,CO=bcosC,

故a=BD+CD=ccosB+hcosC.

所以Q=+y=1(c+V2b)=1x4=2.

3.(2025•福建三明•模拟预测)在AE3C中,角力，B,C所对的边是a,b,c,已知(1-cos24)b=a?,△ABC

外接圆面积为乎.

4

(1)求匕的长;

(2)若丽•瓦：=三，求△/18C的周长.

8

【答案】（1）|

（2苧

【分析】（1）利用二倍角公式和正弦定理化简已知式，借助于△4BC外接圆面积即可求解；

（2）利用向量数量积的定义化简已知式得-QCCOSB=（推得角8为钝角，由余弦定理得。2+»=，再由

oN

正弦定理求得sinB=g则得"=?.进而衣=三求得a+c=Q.即得△"C的周长.

234

【详解】（1）由（1—cos2A）b=。2可得2bsiM4=/,即得意元=2匕，

设外接圆半径为R,依题意11/?2=三即R2=j,

44

由正弦定理，一三=28则得2b=（-三）2=47?2=3,解得8=?.

sinA、sin"2

（2）FtlAfi-BC=\AB\-|^C|cos（n-=-accosB=（*）,可知角8为钝角，

又由余弦定理，b2=-=a2+c2-2accosB=a2+c2+可得/+c?=：

442

由正弦定理，-A-=2/?=2X^=V3,可得sinB=¥，因角8为钝角，故B=

sinB223

代入（*）,可得ac=j故（a+。产=a?+c?+2ac=g+2x：=3,则Q+C=V5,

故448。的周长为Q+b+c=g+|=上空.

4.（2025.福建漳州.模拟预测）在△力中，角4&C的对边分别是a,4c,4=30。，a=l,b=6,贝k的

值可以是（）

A.IB.V3C.2D.2百

【答案】AC

【分析】根据余弦定理直接求解因可.

【详解】根据余弦定理可得cos/1=号士=芒*=寨=日，

2bc2V3C2V3c2

即4+2c?=6c,2c2-6c4-4=0,c2—3c+2=0,（c—l）（c—2）=0,

解得c=1或c=2.

故选：AC.

5.（2025•福建福州•一模）在△4?C中，AB=2,。为4B的中点,CD=V3.

（1）若BC=VS,求力C的长；

（2）若NB力C=2NBCD,求4c的长.

【答案】⑴齿;

(2)2.

【分析】⑴在ADBC中，利用余花定理可求得cosWBC=乎，在△4BC中，再利用余弦定理，即可求得力C：

(2)如图，延长84使AE=/C,则为等腰三角形，进而可得/BCD=iAEC,则ABDC〜ABCE,

则BC2=2+RC,结合平面向最基本定理，可得p?r+1玩r=2(i而:+1友|)联立.即可求解.

【详解】(1