2026《金版教程》高考复习方案数学基础版-第二节 平面向量基本定理及坐标表示

第六章平面向量、复数第二节平面向量基本定理及坐标表示课标解读考向预测1.理解平面向量基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.预计2026年高考，平面向量基本定理与坐标表示及运算仍是考查的重点，题型还是以选择题或填空题为主，难度中、低档.必备知识—强基础考点探究—提素养课时作业目录必备知识—强基础1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个_______向量，那么对于这一平面内的任一向量a，__________一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个______．2．平面向量的正交分解把一个向量分解为两个__________的向量，叫做把向量作正交分解．不共线有且只有基底互相垂直(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)(λx1，λy1)(x2－x1，y2－y1)4．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔_____________．x1y2－x2y1＝0×√√(2)(人教B必修第二册6.2.4例4改编)若P1(1，3)，P2(4，0)，且P是线段P1P2的一个三等分点，则点P的坐标为(

)A．(2，2) B．(3，－1)C．(2，2)或(3，－1) D．(2，2)或(3，1)

(3)(人教A必修第二册6.3.4例7改编)若向量a＝(4，－3)，b＝(－1，m)，且a∥b，则m＝_____．(4)(人教A必修第二册6.3.3例5改编)已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，则顶点D的坐标为________．(1，5)考点探究—提素养平面向量基本定理的应用

(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是：利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．(1)一个基底中的两个向量必须是同一平面内的两个不共线向量．(2)基底给定，同一向量的分解形式唯一．平面向量的坐标运算1．平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用“向量相等，则其坐标相同”这一原则，通过列方程(组)来进行求解．2．向量坐标运算的注意事项(1)向量坐标与点的坐标形式相似，实质不同．(2)向量坐标形式的线性运算类似多项式的运算．平面向量共线的坐标表示(多考向探究)考向1利用向量共线求向量或点的坐标

利用向量共线求向量或点的坐标的一般思路求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa，即可得到所求的向量．求点的坐标时，可设要求点的坐标为(x，y)，根据向量共线的条件列方程(组)，求出x，y的值．4.已知O为坐标原点，点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，则AC与OB的交点P的坐标为_______．(3，3)

平面向量共线的坐标表示问题的解题策略(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1.(2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)．5.(2025·湘豫名校高三模拟)已知向量a＝(1，－2)，b＝(x，－1)，c＝(－4，x)，若2a＋b，a－c反向共线，则实数x的值为(

)A．－7 B．3C．3或－7 D．－3或7解析：因为a＝(1，－2)，b＝(x，－1)，c＝(－4，x)，所以2a＋b＝(2＋x，－5)，a－c＝(5，－2－x)．因为2a＋b，a－c共线，所以(2＋x)×(－2－x)－(－5)×5＝0，解得x＝3或x＝－7.又2a＋b，a－c反向共线，代入验证可知x＝3时为同向，舍去，而x＝－7满足条件，所以x＝－7.故选A.解析法(坐标法)在向量中的应用通过建立坐标系，把复杂的几何运算转化为便于操作的代数运算，使向量问题化繁为简．课时作业基础题(占比60%)中档题(占比30%)拔高题(占比10%)题号123456789难度★★★★★★★★★★★★考向平面向量共线的坐标表示；平面向量的坐标运算平面向量基本定理的应用平面向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示平面向量基本定理的应用平面向量基本定理的应用平面向量基本定理的应用解析法(坐标法)在向量中的应用平面向量基本定理考点利用向量共线求参数、求模判断平面向量的基底利用向量共线求参数利用向量共线求向量的坐标利用平面向量基本定理求参数利用平面向量基本定理表示向量平面向量在不同基底下的坐标表示关联点充分、必要条件的判断数学文化题号101112131415161718难度★★★★★★★★★★★★★★★★考向平面向量基本定理的应用平面向量共线的坐标表示平面向量的坐标运算平面向量共线的坐标表示平面向量基本定理的应用平面向量基本定理的应用平面向量基本定理的应用；共线向量定理的应用解析法(坐标法)在向量中的应用；共线向量定理的应用解析法(坐标法)在向量中的应用考点利用平面向量基本定理表示向量利用向量共线求参数利用向量共线求点的坐标利用平面向量基本定理求参数的取值范围利用平面向量基本定理求参数利用平面基本向量定理求参数；利用共线向量定理判断三点共线利用共线向量定理判断三点共线关联点基本不等式与集合有关的新定义问题；与平面向量有关的新定义问题三角恒等变换2．如果e1，e2是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一个基底的是(

)A．e1与e1＋e2 B．e1－2e2与e1＋2e2C．e1＋e2与e1－e2 D．e1－2e2与－e1＋2e23．已知向量a＝(m2，－9)，b＝(1，－1)，则“m＝－3”是“a∥b”的(

)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：若m＝－3，则a＝(9，－9)＝9b，所以a∥b；若a∥b，则m2×(－1)－(－9)×1＝0，解得m＝±3，得不出m＝－3.所以“m＝－3”是“a∥b”的充分不必要条件．4．(2025·河北衡水高三模拟)已知向量a与b的方向相反，b＝(－2，3)，|a|＝2，则a＝(

)A．(－6，4) B．(－4，6)C．(4，－6) D．(6，－4)7．若{α，β}是一个基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底{α，β}下的坐标．现已知{p，q}，{m，n}为基底，且p＝(1，－1)，q＝(2，1)，m＝(－1，1)，n＝(1，2)，向量a在基底{p，q}下的坐标为(－2，2)，则a在基底{m，n}下的坐标为(

)A．(2，0) B．(0，－2)C．(－2，0) D．(0，2)解析：由平面向量基本定理可知，A，D正确；对于B，由平面向量基本定理可知，若一个平面的基底确定，则该平面内的任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的，故B不正确；对于C，当两个向量均为零向量，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个，或当λ1e1＋μ1e2为非零向量，而λ2e1＋μ2e2为零向量(λ2＝μ2＝0)时，λ不存在，故C不正确．故选BC.(3，1)13．在梯形ABCD中，AB∥CD，且DC＝2AB，若点A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点D的坐标为_______．(2，4)17．(多选)已知集合E是由平面向