2023-2024学年广东省华附、省实、广雅、深中四校联考高二(下)期末数学试卷

2023-2024学年广东省华附、省实、广雅、深中四校联考高二（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）若i（1+z）＝1（i为虚数单位），则z−z=A．﹣2 B．﹣2i C．2 D．2i2．（5分）已知等比数列{an}中，a1＝1，a2a4＝9，则a7＝（）A．3 B．3或﹣3 C．27 D．27或﹣273．（5分）已知圆O：x2+y2＝2与抛物线C：x2＝2py（p＞0）的准线相切，则p的值为（）A．22 B．2 C．4 4．（5分）如图所示，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个直径为2的圆，使之恰好围成一个圆锥，则圆锥的高为（）A．23 B．13 C．15 D．5．（5分）某校高二年级下学期期中考试数学试卷满分为150分，90分以上为及格．阅卷结果显示，全年级800名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数（＝平均分/150）为0.49，标准差为22，则该次数学考试及格的人数约为（）附：若X～N（μ，σ2），记p（k）＝P（μ﹣kσ≤X≤μ+kσ），则p（0.75）≈0.547，p（1）≈0.683．A．127人 B．181人 C．254人 D．362人6．（5分）已知双曲线x2−y23=1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝A．﹣1 B．0 C．1 D．27．（5分）现有一组数据0，1，2，3，4，5，若将这组数据随机删去两个数，则剩下数据的平均数小于3的概率为（）A．23 B．1115 C．458．（5分）若函数g(x)=ex−A．[0，+∞） B．（0，+∞） C．（﹣∞，0] D．（﹣∞，0）二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分。（多选）9．（6分）若“x＜k﹣2或x＞k”是“﹣2＜x＜3”的必要不充分条件，则实数k的值可以是（）A．3 B．﹣3 C．5 D．﹣5（多选）10．（6分）下列关于成对数据统计的表述中，正确的是（）A．成对样本数据的经验回归直线一定经过点(xB．依据小概率事件α＝0.1的χ2独立性检验对零假设H0进行检验，根据2×2列联表中的数据计算发现χ2≈0.837＜x0.1＝2.706，由P（χ2≥2.706）＝0.1可推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过0.1 C．在残差图中，残差点的分布随解释变量增大呈现扩散的趋势，说明残差的方差不是一个常数，不满足一元线性回归模型对随机误差的假设 D．决定系数R2越大，表示残差平方和越大，即模型的拟合效果越差（多选）11．（6分）如图，心形曲线L：x2+（y﹣|x|）2＝1与y轴交于A，B两点，点P是L上的一个动点，则（）A．点(22，0)和（﹣1，1）均在B．点P的纵坐标的最大值为2 C．|OP|的最大值与最小值之和为3 D．|PA|+|PB|≤2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）（2x+y﹣1）6的展开式中，所有项的系数和为．13．（5分）如图，正八面体ABCDEF的12条棱长相等，则二面角E﹣AB﹣F的余弦值为．14．（5分）数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an+1﹣2an＝2n，则满足Sn＞2024的最小正整数n为．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinA+sinBb+c（1）求A；（2）如图，若点D是BC边上一点，且AB⊥AD，BD＝2CD，求∠ADB．16．（15分）如图，四棱锥P﹣ABCD的侧面PCD为正三角形，底面ABCD为梯形，AB∥CD，平面PCD⊥平面ABCD．已知CD＝4AB＝4，PM→（1）证明：AM∥平面PBC；（2）若AC＝AD，PA＝32，求直线AM与平面PAB所成角的正弦值．17．（15分）一个袋子中有30个大小相同的球，其中有10个红球、20个白球，从中随机有放回地逐次摸球作为样本，摸到红球或者第5次摸球之后停止．用X表示停止时摸球的次数．（1）求X的分布列和期望；（2）用样本中红球的比例估计总体中红球的比例，求误差的绝对值不超过0.1的概率．18．（17分）已知椭圆E：x2a2+（1）求椭圆E的方程；（2）过P（4，0）作一条斜率存在且不为0的直线l交E于A，B两点．（i）证明：直线AM和直线BM的斜率均存在且互为相反数；（ii）若直线AM与直线BN交于点Q，求Q的轨迹方程．19．（17分）拟合（Fittiong）和插值（Imorterpolation）都是利用已知的离散数据点来构造一个能够反映数据变化规律的近似函数，并以此预测或估计未知数据的方法．拟合方法在整体上寻求最好地逼近数据，适用于给定数据可能包含误差的情况，比如线性回归就是一种拟合方法；而插值方法要求近似函数经过所有的已知数据点．适用于需要高精度模型的场景，实际应用中常用多项式函数来逼近原函数，我们称之为移项式插值．例如，为了得到cos12的近似值，我们对函数f(x)=cos(π2x)进行多项式插值．设一次函数L1（x）＝ax+b满足L1(0)=f(0)=1L1(1)=f(1)=0，可得f（x）在[0，1]上的一次插值多项式L1（x）＝﹣x+1，由此可计算出cos12的“近似值”cos12=f(1π)≈（1）求H（x），并证明当x∈[0，1]时，f（x）⩽H（x）；（2）若当x∈[0，1]时，|f（x）﹣H（x）|⩽λx2，求实数λ的取值范围；（3）利用H（x）计算cos12的近似值，并证明其误差不超过（参考数据：1π

2023-2024学年广东省华附、省实、广雅、深中四校联考高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）若i（1+z）＝1（i为虚数单位），则z−z=A．﹣2 B．﹣2i C．2 D．2i【考点】复数的除法运算；共轭复数．【答案】D【分析】根据复数代数形式的除法运算化简z，即可求出其共轭复数，再由复数的减法计算可得．【解答】解：因为i（1+z）＝1，所以1+z=1i=−i，所以z则z=−1+i所以z−z=(−1+i)−(−1−i)=2i故选：D．2．（5分）已知等比数列{an}中，a1＝1，a2a4＝9，则a7＝（）A．3 B．3或﹣3 C．27 D．27或﹣27【考点】由等比数列中若干项求通项公式或其中的项．【答案】C【分析】根据等比数列的通项公式，计算得到等比数列的等比，结合通项公式计算得出答案．【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，∵a1＝1，a2a4＝9，∴a1则a7故选：C．3．（5分）已知圆O：x2+y2＝2与抛物线C：x2＝2py（p＞0）的准线相切，则p的值为（）A．22 B．2 C．4 【考点】由直线与抛物线位置关系及公共点个数求解方程或参数．【答案】A【分析】由题意，得到抛物线C的准线方程，根据该准线与圆O相切即可求出p的值．【解答】解：易知圆O是圆心为原点，半径为2的圆，抛物线C的准线方程为y=−p因为抛物线C的准线方程与圆O相切，所以p2解得p=22故选：A．4．（5分）如图所示，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个直径为2的圆，使之恰好围成一个圆锥，则圆锥的高为（）A．23 B．13 C．15 D．【考点】圆锥的侧面积和表面积．【答案】C【分析】由扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长得π2R=2πr2，求得【解答】解：由图可知，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，圆锥底面圆的半径为r＝1，设扇形半径为R，则有π2R=2πr，解得R＝4，所以圆锥的母线长为故圆锥的高h=R故选：C．5．（5分）某校高二年级下学期期中考试数学试卷满分为150分，90分以上为及格．阅卷结果显示，全年级800名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数（＝平均分/150）为0.49，标准差为22，则该次数学考试及格的人数约为（）附：若X～N（μ，σ2），记p（k）＝P（μ﹣kσ≤X≤μ+kσ），则p（0.75）≈0.547，p（1）≈0.683．A．127人 B．181人 C．254人 D．362人【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【答案】B【分析】首先求出平均数，即可得到学生的数学成绩X～N（73.5，222），再根据所给条件求出P（57≤X≤90），即可求出P（X≥90），即可估计人数．【解答】解：依题意可知平均分为150×0.49＝73.5，又标准差为22，所以学生的数学成绩X～N（73.5，222），即μ＝73.5，σ＝22，又90−73.522所以P（57≤X≤90）＝P（μ﹣0.75σ≤X≤μ+0.75σ）＝p（0.75）≈0.547，所以P(X≥90)=1−P(57≤X≤90)又因为800×0.2265＝181.2，所以该次数学考试及格的人数约为181人．故选：B．6．（5分）已知双曲线x2−y23=1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝A．﹣1 B．0 C．1 D．2【考点】双曲线的弦及弦长．【答案】A【分析】首先求出焦点坐标，再联立直线与双曲线方程，求出交点P的坐标，再由数量积的坐标表示计算可得．【解答】解：双曲线x2−y23=1的左、右焦点分别为由x2−y23=1y=x则PF1→所以PF故选：A．7．（5分）现有一组数据0，1，2，3，4，5，若将这组数据随机删去两个数，则剩下数据的平均数小于3的概率为（）A．23 B．1115 C．45【考点】古典概型及其概率计算公式．【答案】B【分析】设删去的两数之和为x，依题意可得15−x6−2＜3，求出【解答】解：依题意得这组数据各数之和为0+1+2+3+4+5＝15，设删去的两数之和为x，若剩下数据的平均数小于3，则15−x6−2＜3，解得则删去的两个数可以为（0，4），（0，5），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）共11种情况，从0，1，2，3，4，5中任意取两个数有：（0，1），（0，2），（0，3），（0，4），（0，5），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5），共15种情况，故所求概率P=11故选：B．8．（5分）若函数g(x)=ex−A．[0，+∞） B．（0，+∞） C．（﹣∞，0] D．（﹣∞，0）【考点】利用导数求解函数的单调性和单调区间．【答案】D【分析】根据题意转化为导函数ex﹣x+b﹣1＜0有解，参变分离b＜﹣ex+x+1有解，设f（x）＝﹣ex+x+1，则实数b＜f（x）max，求导计算可得解．【解答】解：函数g(x)=ex−求导得g′（x）＝ex﹣x+b﹣1，函数存在单调递减区间，所以ex﹣x+b﹣1＜0有解，即b＜﹣ex+x+1有解，设f（x）＝﹣ex+x+1，则实数b＜f（x）max，则f′（x）＝﹣ex+1，令f′（x）＝0，得x＝0，当x＜0时，f′（x）＞0，f（x）在（﹣∞，0）上递增；当x＞0时，f′（x）＜0，f（x）在（﹣∞，0）上递减；所以函数f（x）有最大值f（0）＝0，因此b＜0．故选：D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分。（多选）9．（6分）若“x＜k﹣2或x＞k”是“﹣2＜x＜3”的必要不充分条件，则实数k的值可以是（）A．3 B．﹣3 C．5 D．﹣5【考点】充分条件的判断．【答案】BCD【分析】根据题意，令A＝{x|x＜k﹣2或x＞k}，B＝{x|﹣2＜x＜3}，依题意可得B真包含于A，即可求出参数的取值范围．分析选项可得答案．【解答】解：根据题意，令A＝{x|x＜k﹣2或x＞k}，B＝{x|﹣2＜x＜3}，因为“x＜k﹣2或x＞k”是“﹣2＜x＜3”的必要不充分条件，所以B真包含于A，所以k≤﹣2或k﹣2≥3，解得k≤﹣2或k≥5．结合选项可知符合题意的有B、C、D．故选：BCD．（多选）10．（6分）下列关于成对数据统计的表述中，正确的是（）A．成对样本数据的经验回归直线一定经过点(xB．依据小概率事件α＝0.1的χ2独立性检验对零假设H0进行检验，根据2×2列联表中的数据计算发现χ2≈0.837＜x0.1＝2.706，由P（χ2≥2.706）＝0.1可推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过0.1 C．在残差图中，残差点的分布随解释变量增大呈现扩散的趋势，说明残差的方差不是一个常数，不满足一元线性回归模型对随机误差的假设 D．决定系数R2越大，表示残差平方和越大，即模型的拟合效果越差【考点】独立性检验；经验回归方程与经验回归直线；残差及残差图；决定系数与模型的拟合效果．【答案】AC【分析】根据经验回归方程的性质判断A，根据独立性检验的基本思想判断B，根据回归分析的相关知识判断C、D．【解答】解：对于A：成对样本数据的经验回归直线一定经过点(x，y对于B：因为χ2≈0.837＜x0.1＝2.706，由P（χ2≥2.706）＝0.1可推断H0成立，即认为X和y独立，故B错误；对于C：在残差图中，残差点的分布随解释变量增大呈现扩散的趋势，说明残差的方差不是一个常数，不满足一元线性回归模型对随机误差的假设，故C正确；对于D：决定系数R2越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好，故D错误．故选：AC．（多选）11．（6分）如图，心形曲线L：x2+（y﹣|x|）2＝1与y轴交于A，B两点，点P是L上的一个动点，则（）A．点(22，0)和（﹣1，1）均在B．点P的纵坐标的最大值为2 C．|OP|的最大值与最小值之和为3 D．|PA|+|PB|≤2【考点】曲线与方程．【答案】ABD【分析】将点的坐标代入曲线方程即可判断A，根据曲线方程写出分段函数，求函数最大值即可判断B，应用三角换元再结合三角恒等变换求最值判断C，应用三角换元结合椭圆的方程得出恒成立判断D．【解答】解：令x＝0，得出y＝±1，则A（1，0），B（﹣1，0）．对于A：x=22时，12+(y−2x＝﹣1时，1+（y﹣1）2＝1解得y＝1，所以(22，0)和（﹣1，1）均在L对于B：因为曲线关于y轴对称，当x≥0时，x2+（y﹣|x|）2＝1，所以y=x+1−x2所以y2所以x=22时，y最大，最大值为22对于C：|OP|=x2+当x≥0时，设x＝cosθ，y﹣x＝sinθ，所以|OP|2＝x2+y2＝cos2θ+（cosθ+sinθ）2＝2cos2θ+sin2θ+2sinθcosθ=1+1+cos2θ=3=32+因为θ可取任意角，所以|OP|取最小值3−5|OP|取最大值3+5所以|OP|的最大值与最小值之和为5，C选项错误；对于D：|PA|+|PB|≤23等价为点P在椭圆y即满足2（cosθ+sinθ）2+3cos2θ≤6，即2(1+sin2θ)+3(1+cos2θ)2≤6，整理得4sin2θ即5sin（2θ+β）≤5，（其中tanβ=3即sin（2θ+β）≤1恒成立，故D选项正确．故选：ABD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）（2x+y﹣1）6的展开式中，所有项的系数和为．【考点】二项式系数的性质．【答案】64．【分析】令x＝y＝1计算可得答案．【解答】解：令x＝y＝1，可得所有项的系数和为（2+1﹣1）6＝64．故答案为：6413．（5分）如图，正八面体ABCDEF的12条棱长相等，则二面角E﹣AB﹣F的余弦值为．【考点】几何法求解二面角及两平面的夹角．【答案】−1【分析】AB的中点为G，∠EGF为二面角E﹣AB﹣F的平面角，结合正八面体的几何特征，利用余弦定理求值即可．【解答】解：连接AC，BD交于点O，连接EF，取AB的中点G，连接EG，FG，根据正八面体的几何特征，有EF过点O，EG⊥AB，FG⊥AB，又EG⊂平面ABE，FG⊂平面ABF，平面ABE∩平面ABF＝AB，所以∠EGF为二面角E﹣AB﹣F的平面角，正八面体中，EF⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，则EF⊥AC，所以△AOE是直角三角形，设正八面体棱长为2，则AO=2，AE＝2，所以OE=2，得在△AEB中，EG=32AB=在△EGF中，由余弦定理，可得cos∠EGF=E故答案为：−114．（5分）数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an+1﹣2an＝2n，则满足Sn＞2024的最小正整数n为．【考点】数列递推式．【答案】9．【分析】先构造等比数列，再应用等比等差数列前n项和公式计算，最后判断最小值n即可．【解答】解：因为an+1﹣2an＝2n，所以an+1+（2n+4）＝2an+4n+4，所以an+1+(2n+4)an+(2n+2)=2，所以{an所以an则Sn因为an=5×2n−1又因为S8S9则Sn＞2024的最小正整数n为9．故答案为：9．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinA+sinBb+c（1）求A；（2）如图，若点D是BC边上一点，且AB⊥AD，BD＝2CD，求∠ADB．【考点】解三角形．【答案】（1）A=2π（2）∠ADB=π【分析】（1）利用正弦定理将已知等式统一成边的形式，化简后利用余弦定理可求出角A；（2）由AB⊥AD结合A=2π3可得∠DAC=π6，然后在△ABD和△ACD分别利用正弦定理结合已知条件可得b＝【解答】解：（1）因为sinA+sinBb+c所以由正弦定理得a+bb+c所以a2﹣b2＝bc+c2，所以b2+c2﹣a2＝﹣bc．所以由余弦定理得cosA=b因为A∈（0，π），所以A=2π（2）因为AB⊥AD，所以∠BAD=π所以∠DAC=∠BAC−∠BAD=2π在△ABD中，由正弦定理得ABsin∠ADB在△ACD中，由正弦定理得ACsin∠ADC因为∠ADB+∠ADC＝π，所以sin∠ADB＝sin∠ADC，因为BD＝2CD，所以AB＝AC，即b＝c，所以B=C=π所以∠ADB=π−∠BAD−B=π−π16．（15分）如图，四棱锥P﹣ABCD的侧面PCD为正三角形，底面ABCD为梯形，AB∥CD，平面PCD⊥平面ABCD．已知CD＝4AB＝4，PM→（1）证明：AM∥平面PBC；（2）若AC＝AD，PA＝32，求直线AM与平面PAB所成角的正弦值．【考点】空间向量法求解直线与平面所成的角；直线与平面平行．【答案】（1）证明见解答；（2）1326【分析】（1）取PC的靠近P的四等分点N，连接MN，则易证AM∥BN，从而根据线面平行的判定定理，即可证明；（2）建系，根据向量法，向量夹角公式，即可求解．【解答】解：（1）证明：如图，取PC的靠近P的四等分点N，连接MN，又PM→∴MN∥DC，且MN=14DC，又AB∥CD，CD＝4∴MN∥AB，且MN＝AB，∴四边形MNBA为平行四边形，∴AM∥BN，又AM⊄平面PBC，BN⊂平面PBC，∴AM∥平面PBC；（2）取DC中点O，连接PO，AO，∵AC＝AD，侧面PCD为正三角形，∴AO⊥DC，PO⊥DC，又平面PCD⊥平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD，故建系如图，又CD＝4AB＝4，∴PO=23又PA＝32，∴AO=(3∴根据题意可得A（6，0，0），M（0，−12，332），P（0，0，23∴AM→=(−6，−1设平面PAB的法向量为n→则n→⋅AP∴直线AM与平面PAB所成角的正弦值为：|cos＜AM→，n→17．（15分）一个袋子中有30个大小相同的球，其中有10个红球、20个白球，从中随机有放回地逐次摸球作为样本，摸到红球或者第5次摸球之后停止．用X表示停止时摸球的次数．（1）求X的分布列和期望；（2）用样本中红球的比例估计总体中红球的比例，求误差的绝对值不超过0.1的概率．【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）．【答案】（1）分布列见解析，E(X)=211（2）2081【分析】（1）对于有放回的摸球，P(A1)=13，P(A)=（2）设样本中红球的比例为f，B＝“样本中有红球”，且C={730≤f≤1330【解答】解：（1）设Ai＝“第i次摸出红球”，i＝1，2，3，4，5，对于有放回的摸球，P(A1)=1030=X的可能取值为1，2，3，4，5，则由题意可知，P(X=1)=P(AP(X=3)=P(A1AP(X=5)=P(A所以X的分布列为：X12345P13294278811681期望E(X)=1×1（2）总体中的红球比例13，设样本中红球的比例为f设B＝“样本中有红球”，且C={|f−1若B不发生，则f＝0，此时C＝∅，所以P(B若B发生，则f=1X，此时所以P(BC)=P(X=3)+P(X=4)=4所以P(C)=P(B18．（17分）已知椭圆E：x2a2+（1）求椭圆E的方程；（2）过P（4，0）作一条斜率存在且不为0的直线l交E于A，B两点．（i）证明：直线AM和直线BM的斜率均存在且互为相反数；（ii）若直线AM与直线BN交于点Q，求Q的轨迹方程．【考点】直线与椭圆的位置关系及公共点个数；轨迹方程；根据椭圆的几何特征求标准方程．【答案】（1）x2（2）（i）证明过程见解析；（ii）x2【分析】（1）由题意，根据已知条件直接计算出椭圆相关基本量即可；（2）（i）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的方程为y＝k（x﹣4）（k≠0），联立方程组，利用韦达定理证明；（ii）设出两直线的方程，联立方程组得x2=4x0【解答】解：（1）因为椭圆E的的长轴长为42所以2a=42，因为椭圆E的离心率为12所以e=ca又a2＝b2+c2，③联立①②③，解得a＝22，b=6，c=则椭圆E的方程为x2（2）（i）证明：设直线l的方程为y＝k（x﹣4）（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），联立y=k(x−4)x28+y26=1，消去y并整理得（3+4k2）x2此时Δ＝96（3﹣4k2）＞0，解得|k|＜3由韦达定理得x1+x当|k|=32时，Δ＝0，x1＝x所以x1≠2，x2≠2，则直线AM和直线BM的斜率均存在，此时kAM所以k=k[2故直线AM和直线BM的斜率均存在且互为相反数；（ii）由（i）知x2≠2，且kAM设直线AM的方程为（2﹣x2）y＝y2（x﹣2），直线BM的方程为（x2+2）y＝y2（x+2），设Q（x0，y0），此时(x整理得x2由题意知y2≠0，所以y0≠0，x0≠0，此时x2=4将x2=4x0此时2x整理得x0又x2≠2，所以x0≠2．故Q的轨迹方程为x2．19．（17分）拟合（Fittiong）和插值（Imorterpolation）都是利用已知的离散数据点来构造一个能够反映数据变化规律的近似函数，并以此预测或估计未知数据的方法．拟合方法在整体上寻求最好地逼近数据，适用于给定数据可能包含误差的情况，比如线性回归就是一种拟合方法；而插值方法要求近似函数经过所有的已知数据点．适用于需要高精度模型的场景，实际应用中常用多项式函数来逼近原函数，我们称之为移项式插值．例如，为了得到cos12的近似值，我们对函数f(x)=cos(π2x)进行多项式插值．设一次函数L1（x）＝ax+b满足L1(0)=f(0)=1L1(1)=f(1)=0，可得f（x）在[0，1]上的一次插值多项式L1（x）＝﹣x+1，由此可计算出cos12的“近似值”cos12=f(1π)≈（1）求H（x），并证明当x∈[0，1]时，f（x）⩽H（x）；