考研数学二（解答题）模拟试卷274

考研数学二(解答题)模拟试卷274

一、解答题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)

..(1+X)*-1

,w=lim------z-----------.

1、求x-»OX2

标准答案:X—>0时，t=(l+x)X-l―>0,则(l+x)X-l=t〜ln(l+t)=ln(l+x)x=xln(l+x),于

xln(1+x).

w=lim---------------=1・

是用等价无穷小因子替获得X2

知识点解析：暂无解析

]而布(1+/)+2cosx-2

2、求极限看a1anx)ln(l+幻。

标准答案：由麦克劳林展开式ln(l+x)=x-+o(x2)»cosx=1-*+o(x2),tanx=x+

..ln(14-x2)+2cosx—2

*im(x-lanx)ln(1+x)

-空+。(力]+2[1-'+空+o(/)]-2

=lim----------------------------------:-------------------!----------------------

iI)

—,X

韦，。々).5

114"4

x

3x3+o(x3),故可得-J

知识点解析：暂无解析

L

3、设敢)在[a,b]连续,且V闾a,b],总七日a,b],使得If(y)I。|

f(X)I.试证：关曰a,b],使得f©=0.

标准答案：若在[a,b]上f(%)处处不为零，则f(%)在[a,b]上或恒正或恒负.不失一

min

般性，设取)>0,沟a.b],则4o€[a,b],f(xo)=[o^]f(X)>0.由题设，对此

%,3ye|a,b],使得f(y)=Iy(y)IS2f(加(加与政°)是最小值矛盾.因此，3

乐[a,b],使他)=0.

知识点解析：暂无解析

sinx+2aex,x<0

{9arctan%+26(x-I)3,4m0处处可

导.

标准答案：由f(%)在％=0处可导，得政)在％=0处连续.由表达式知，故)在丫=0

。lim/(x)=lim

右连续.于是，f(%)在％=0连续一一0"(sinx+2a>)=2a=f(0)n2a=

—2b,即a+b=0.又R劝在％=0可导=?|(0)=£\(0).在a+b=0条件下，取)可

f9arctan%+26(%-1尸，“NO,

=)*

改写成03+2。。'4,0,于是3(0)=[9arctanx+2b(%

9

12z

-1)3]'Ix=0=[+^+6b(x-l)]Ix=0=9+6b,f-(0)=(sinX+2ae)^I.0=1+

o[Q.b=0，o1=1,

2a.因此f(%)在％=0可导l9+6b=l+2a"=-1,故仅当&=

1,b=-1时f(x)处处可导.

知识点解析：暂无解析

5、设f(x)=g(a+bx)-g(a-bx),其中g，(a)存在，求F(0).

标准答案：

=Iim「6■&(。+唱一&(。)一4白膜.]=2区'*)

Ixi)Lar-azJ

知识点解析：暂无解析

6、计算定积分

标准答案:

X2Jx-ninrfTsin2^.

------d-r-^―2rt-------cos/

1+/I—x2Jo1+cost

=2pd_]jn，必=21sin2tdi_2]|[*%

Jo1+COS/J0Jo1+cost

-2『(1-cost)d/=1_〃+2=2­；,

/J。22

知识点解析：暂无解析

7、求下列积分。⑴设f(x)=J/Xe-y2dy,求2f(x)dx；(II)设函数f(x)在[0,1]连续

且JoIf(x)dx=A，求J(Jdx£Jf(x)f(y)dy。

标准答案：

1(I)^x2f(x)dx=yj^/(x)dx3=y*3/(x)-yjx,df(x)

=-de一=1x%r［:一步"

=r1+K1：=/(孑T。

(II)令。⑺=f/(y)dy,则/⑷=-/(4).于是

［回f(x)/(y)dy=(［(/⑺d"3dx=-(0(%)d3(N)

=-i0：(x)lo=犷。

知识点解析：暂无解析

8、设函数f(%),g(x)在［a,+s)上二阶可导，且满足条件f(a)=g(a),f(a)=gf(a),

f"(X)>g"(%)CC>a).证明!当x>a时，f(%)>g(%)・

标准答案;令<p(x)=n%)—g(x)，显然中(a)=(p，(a)=O,<pz，(x)>o(x>a).由

q(a)=0,)=0,

"(z)>0(］>a),得dm>0(%>0再由l，(t>>0(“>a),得谩)

>0(/>a),即f(x)>g(x).

知识点解析：暂无解析

9、若函数w(x)及(p(x)是n阶可微的，且w(k)(xo)=0k)(xo),k=0,1,2,…，n—

1.又X>X0时，\|/n)(x)>(p(n)(x).试证：当X>X()时，\|/(x)>(p(x).

标准答案:令u(n-D(x)=(/⑴(x)—W")(x).在［xo,x］上用微分中值定理得W/)(x)

(n-1)n-1

一u(n/)(xo)=u(n)《).(x—M),x0<^<x.又由W)@>0可知u(x)-u(x0)>

0,且U(n-l)(xo)=O,所以U(n-D(x)>0,即当X>X()时，泮⑴⑺〉尸⑴⑺.同理U(『

2)(x)=(p(n-2)(x)—v(n-2)(x)>0.归纳有u(n-3)(x)>0,…，u,(x)>o,u(x)>0.于是，

当X>X0时，(p(x)>\|/(x).

知识点解析：暂无解析

10、求dJ。［(p(x)-t］f(t)dt,其中f(t)为已知的连续函数，(p(x)为已知的可微函数.

—"⑺一】一市=如⑸广/3吁和75M

="(')Jof(')d”+9(“)/(华(*)]/(*)-3(*)/I牛(x)]，(刀)

="(*)//(，)出.

标准答案：九

知识点解析：暂无解析

II、试证方程2X—x2=l有且仅有三个实根.

标准答案：用连续函数介值定理说明至少有三个实根，用罗尔定理的推论说明最多

有三个实根.

知识点解析：暂无解析

12、设f(x)在(xoBxo+6)有n阶连续导数，且心)g)=o,k=2,3,n-1；

”)(xo)和.当0VIhI<6时，f(xo+h)=f(xo)=hf(xo+9h),(0<0<1).求证：

=上

AT/n

标准答案：这里m=l,求的是小0+力。0)=11r仪0蚀1)(0<0<1)当11->0时中值。的

极限.为解出0,按题中条件，将r(x()+Hh)在x=x()展开成带皮亚诺余项的n-1阶泰

―1冈

勒公式得f(xo+eh)=f(xo)+f,(xo)Oh+2f<3)(xo)(Oh)2+...+」苻&0)(曲严+0(破1)

<n)n,n,

=f(xo)+f(xo)(0h)-+o(h-)(h->O),代入原式得(xo+h)-f(xo尸hr(xo)+M(xo)O"

Ih'VoCh11)①再将f(x()+h)在x=x()展开成带皮亚诺余项的n阶泰勒公式f(x()+h)-

f(xo)=f(xo)h4-...4-f<n)(xo)hb+o(hn)=r(xo)h+f<n)(xo)hn+o(hn)(h^O),②将②代入①后

两边除以h”得令h-0,得

知识点解析：暂无解析

13、设u="，求du

u—x**=e,t,ru,

学=e*，bu工=.半=——Har=zyr~[xytlnx»

dxxdy

v，

华口，如川必出了=yzIrving.

dw—票dr+至dy+/ck="工4业+QIJ/Inxdy+Inxlnydz

标准答案：&dydz

知识点解析：暂无解析

A11

A=0A-I01

L1」已知线性方程组Ax二b存在两个不同的解。

设•11A

14、求X,a；

标准答案：因为线性方程组Ax=b有两个不同的解，所以r(A)=r(A)Vn。于是

入11

2

IA|=0A-10=(A+1)(A-I)=0o

h1A>解得九=1或入=一i。当入=1时,

r(A)=l,r(A)=2,此时线性方程组无解。当人=一1时，

1

+2」若a=-2,则r(A)=r(A)=2,方程

组Ax=b有无穷多解。故2尸一1,a二一2o

知识点解析：暂无解析

15、求方程组Ax=t^T通解。

1o-1：-

;2

A01o：-4-

2

LJ

标准答案：当九二一1,a=-2时，000i0所以方程组Ax=b的通

(y.-+A(1,0,1),其中k是任意常数。

解为'22'

知识点解析：暂无解析

16、位于上半平面向上凹的曲线y=y(z)在点(0,1)处的切线斜率为0,在点(2,2)

处的切线斜率为1.昆知曲线上任一点处的曲率半径与内及(l+y'2)的乘积成正

比，求该曲线方程.

标准答案：由已知,有y(0)=l,yXO)=O,y(2)=2,

y'(2)=L

又单卷了=A6(I+/),

即JTT75■(因为曲线向上凹，所以y>o).

令/=PH=PP'、布卜6闻=J4力,得/TTy=W6+C,

+"R4yk

即J\+y7=彳5+c

代入y(0)=l,>(0)=0,y(2)=2.y(2)=1,得A=2.C=0,有

/i+_>"=G、S=—i.奴_=dr,2-i=7+G,

Vy—1

代人y(0)=l,G=0,即26^=入所以、(工)=t+】•

4

知识点解析：暂无解析

17、设f(%)=f(%-;t)+si”，且当代[0，何时，政)=%，求J/f(%)dx.

标准答案：

「f(z)djr=j[/(n—穴)+sinz]dz=/(工一穴)dr+jsinxdz

=「"/(7)改=zdz+f(z)dz=^+j[/(R—A)+sinz]dz

Jo0ir乙J宜

=}+1/(x-jr)djH-Jsiiixd乂=$+Jjdi-2n7—2.

知识点解析：暂无解症

18、设三元线性方程组有通解L2」1JL3」求原方程组.

标准答案：设非齐次线性方程为axi+bx2+cx3=d,由甲，单是对应齐次解，代入

I—Q+36+2C=0,

对应齐次线性方程组〔勿一3A+C=0・得解［一9k,.5k,3k］1,即a=9k,b=-5k,

c=3k,k是任意常数，q=［l,-1,3「是非齐次方程解，代入得d=一b=5k,故原方

程是9XI+5X2-3X3=-5.

知识点解析：暂无解析

19、f(x)在口，1］上三阶连续可导,且f(・l)=0,f(l)=l,f(0)=0.证明：存在乐(・

1,1)，使得1©=3.

标准答案：由泰勒公式得

/(-I)=/(0)+八0)(-1-0)+岑^(一1一0)2+4沁一1一0尸，6