考研数学三（微积分）模拟试卷175

考研数学三（微积分）模拟试卷175

、选择题（本题共4题，每题1.0分，共4分。）

£（一）■中

1、设常数k>o,则级数占〃（）.

A、发散

B、绝对收敛

C、条件收敛

D、敛散性与k有关

标准答案：C

知识点解析：

因为（-空上=（-1）-4+5”.而1）"与绝对收敛.汇0上条件

wu

收敛，所以W（—D’审条件收敛，选《）・

d2u

2、设u=f(x+y,xz)有二阶连续的偏导数，则，7美=().

A、f*2+x「'll+(x+z)f'12+XZF‘22

B、xF'i2+xzf*'22

C、『2+X「'12+XZL22

D、XZf*22

标准答案：C

du%

知识点解析:^=n+z「2,azaz=xL]2+「2+xz『22，选©.

3、设函数f（x）在［0,a］上连续,在（0,a）内二阶可导,且f（0）=0,产（x）V0,则

£<£>

在(0,a]±().

A、单调增加

B、单调减少

c、恒等于零

D、非单调函数

标准答案：B

[人工)：，=z/'Q)-/Cr)

知识点解析:令h(x)=xP(x)—f(x),h(0)=0,

h,(x)=xf,(x)<O(O<x<a),由二得h(x)V0(0Vx9),于是VO(VxWa),故在(0,a]

上为单调减函数，选(B).

sin2f

4、设f(x)=Htdt,g(x)=foxsin2(x—t)dt,则当x—0时，g(x)是f(x)的().

AN高阶无穷小

B、低阶无穷小

C、同阶但非等价的无穷小

D、等价无穷小

标准答案：A

知识点解析：由

「sin".sin?z*

lim晔=limk耳.=lim+=2得/(x)〜

x-Q10XLO乙工乙乙又R(X)=

x22x2

fosin(x—t)dt□fx°sinu(-du)=fosinudu,故g(x)是f(x)的高阶无穷小，选(A).

二、填空题(本题共5题，每题L0分，共5分。)

5、设函数f(x)在［0,1］上连续，且f(x)＞数则

如加：)/㈢…/(三)，⑴=

*

1hn/(-r)d.r

标准答案：J

知识点解析：

।呵7(}),(£)…小平)"1'=『吧处=*""处

6、设f(u)可导，y=f(x?)在xo=-l处取得增量人二。.05时，函数增量Ay的线性

部分为0.15,则俨(1)=.

2

标准答案：2

知识点解析：由dy=2xr(x2)Ax得dyIX=T=-2F(1)XO.05=0.因为缈

的线性部分为dy,由一o.ir(i)=o.15得r(i)=T.

Tdz

7、o1+tan”工=.（其中a为常数）.

标准答案：4

知识点解析：

*一三=/一虫…

令I=r°一力

.o1+tanaxo1+tan-xJ1Hcot-/Jo14-cot、

则21-dz=7T

o1+tan“工1+tandx

II，

8、力(x~+xy—x)dxdy=,其中D由直线y=x,y=2x及x=l围成.

7

标准答案：24

D212x21

知识点解析：(x+xy—x)dxdy=fodxfn(x+xy—x)dy=f()

(於一"一二A

\4/o3Z4.

P（7）

dz+ex

9、设连续函数f（x）满足f（x）=J，则f(x)=

标准答案：2e2x-ex

1[(产(2)dt=2foxf(t)dt,则f(x)=J()2xf区dt+ex可化为f(x)=2jo'f⑴出

知识点解析:S

+ex,两边求导数得「(、)一2f(x)-d,解得f(x)——(一er+c)e2x-Ce2x-eX,因

为f(O)=l,所以f(O)=C-l=l,C=2,于是f(x)=2e2x-eX.

三、解答题（本题共76题，每题1.0分，共加分。）

：lim」二卫匕W-

10、求1川e-sinz-cosx

标准答案:

22

因为1一/二¥=-[(1-X)^—1]〜-yX9

乙

所以limJ-=±lim-~三-------

7e-sinjr-COSJTNie-sim—cosx

=lim--------—=lim―—r^-r---------------=-y-

x-oc-cosx+sinxx-oe+sinx+cosx2

知识点解析：暂无解析

11、设f(x)连续，且可则""+c°si]*=e3,且f(o)存在，求「(0).

标准答案：

由1吧[/(1)+cosxj*=得/(0)=0,

e3=+cosr]x=lim{[1+(f(幻+cosz—

x-*0x-*0

==/◎，则/(0)=3.

知识点解析：暂无解析

ic、八(，合+©，方+cz+"),_

12、设一2=0,求a,b,c,d的值.

标准答案：_________

由lim(《W，ax.+6+cz+d)=limx-卜巴一%+(c+且)=0.得c=-1,

J•(砒+为2)+力

=lim21三3亘二1±且=lim

-―F——=尹八°，

LO

所以a,b,c,d满足的条件是a=-2d,c=-1,b取任意常数.

知识点解析：暂无解析

13、(1)设y=y(x)由方程eY+6xy+x2—l=0确定，求尸(0).(2)设y=y(x)是由

e、y—x+y—2=0确定的隐函数，求y"(0).

标准答案：(I)将x=0代入得y=0,ey+6xy+x2—l=0两边对x求导得e)'

业+6y+6z亚，区

dxdz+2x=0,将x=0,y=0代入得y，(0)=0.ey+2x=0两

边再对x求导得©丫+2=0,将x=0,y=0,y<0)=0代入得y"(0)=-2.(2)当x

=0时，y=l,eXy—x+y—2=0两边对x求导得eXy(y+xy，)-l+y，=0,解得

y,(0)=0；exy(y+xy，)-1+y，=0两边对x求导得exy(y+xy,)2+exy(2y,4-xy,,)+y,5

=0,解得y''(0)=-L

知识点解析：暂无解析

14、设f(x)在［a,b］上连续,在(a,b)内可导(a>0),证明：存在乐(a,b),使得

Inf-Ina

标准答案：令(p(x)=f(b)lnx—f(x)lnx+f(x)lna,(p(a)=(p(b)=f(b)lna.由罗尔定理，存

。⑹一。(Z)

在乐(a,b),使得优©=0.而6(x)=£%-f(x)lnx+f(x)lna,所

以一［f(b)-f©］-f©(ln^-lna)=0,即=5《).

知识点解析：暂无解析

15、设f(x)在［a,b］上连续，在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0,证明：⑴存在

眄a,b),使得r《)=21优).(2)存在昨(a,b),使得前01)+0=0.

标准答案:⑴令(p(x)=eF2f(x),因为f(a)=f(b)=0,所以<p(a)=(p(b)=0,由罗尔

定理，存在乐(a,6),使得叫&)=0,而(p'(x)=eF2［r(x)-2xf(x))］且「X2#),故

『化)=2例&).(2)令(p(x)=xf(x),因为f(a)=f(b)=0,所以(p(a抑(b)=0,由罗尔定

理，存在］ie(a,b),使得(p'(n)=o,而(p'(x)=xr(x)+f(x),故n7(n)+f(n)=0・

知识点解析：暂无解析

"(Xi-1)arcsiar

16、求「

f(z+1)arc$in"d上=fxarcsinxj^4farcsini

J-y^l--J?'J—3?J、/］-d

=­arcsin-zd(v1—)+arcsini?d(arcsinx)

•J\-x2arc：jinx+n+$arcsin2x+C.

标准答案：

知识点解析：暂无解析

17、求Jx-rctanxdx.

标准答案：

卜arctanidz=arctanxd(y)=:yarctan.T—yj1；/#

=yarctaru?-yj.一.3).=jarctanx—+yInd卜父)十。

知识点解析：暂无解析

Inx

d.r

18、求”^

标准答案：

［'dx=f|\nx1d(lrtr)=

x|dx=2xdx=1.

J-LxJ工0

疝识点解析：暂无解M

19、设f(x)在区间［a,b］上阶连续可导，证明：存在乐(a,b),使得af(x)dx=(b-

(a+6］(6—。尸

a)f\2)"""24—广

a+b

标准答案：令F(x)=Ja'f(t)dt,则F(x)在［a,b］上三阶连续可导，取X0=2,由

泰勒公式得F(a)=F(xo)+F<xo)(a—xo)(a—xo)3.^iG(a,xo),F(b)=F(xo)+

3

FXxoXb-xoXb-xo),fe€(x0,b),两式相减得F(b)—F(a)=P(x0)(b—a)+［1，&)

+1，&)］，即af(x)dx=(b—a)f｛产(0)+『&)］,因为『(x)在［a,b］上连续，所

以存在乐&42］⑶b),使得『'©=『'(&)+「'&)］,从而Lbf(x)dx=(b-a).

知识点解析：暂无解析

2,(工,y)丰(0,0),

,工+y

20、设f(x,y)=1°，Cr,y)=(0,0),,讨论函数f(x,y)在点(0,0)处的连

续性与可偏导性.

标准答案：因为

lim=lim/(z,x2)=J,lim/(x,>)=lim/(x,-x2)=—

Bx.0Zjr—OL

y—x,

,所以回f(x,y)不存在，故函数f(x,y)在点(0,0)处不连续.因为，所以函数

f(x,y)在点(0,0)处对x,y都可偏导.

知识点解析：暂无解析

21、设某工厂生产甲乙两种产品，产量分别为x件和y件，利润函数为L(x,y)=

6x—x2+16y-4y2—2(万元).已知生产这两种产品时，每件产品都要消耗原料2

000kg,现有该原料12000kg,问两种产品各生产多少时总利润最大？最大利润是

多少？

标准答案：根据题意，即求函数L(x,y)=6x—x?+16y—4y—2在OVx+y06下

的最大值.L(x,y)的唯一驻点为(3,2),令F(x,y,X)=6x-x2+16y~4y2-2+

(理=6-2x+A=0,

由jK=16—83+2=0,得7=j=辛，

I(x+y—6),r4-v—6=0.,根据题意，

x,y只能取正整数,故(x,y)的可能取值为L(4,2)=22,L(3,3)=1只L(3,2)=

23,故当x=3,y=2时利凋最大，最大利润为23万元.

知识点解析：暂无解析

IT1一另一「

22、计算年1十”+)dx2dy,其中D={(x,y)Ix2+y2<l,x>0,y>0).

标准答案：由极坐标法得

[T1一82-yI*，)

Ul+/+y1+r24o1+L

』出二三

：1+1期=4lnL

4J。1+Z4