考研数学（数学二）模拟试卷395

考研数学(数学二)模拟试卷395

一、选择题(本题共8题，每题7.0分，共8分。)

1、下列命题①若f(x)在X=XO存在左、右导数且F+(xo)rr_(xo),则f(x)在X=XO处

连续@若函数极限一1③若数列极限

limf(2n-1)=limf(2n)=4,则函数极限limf(x)=A

A-♦♦ODn-*+00XT+8(J)若

=A,limg(x)不存在，则lim/(x)g(x)u

*7。1*0XfQ不存在中正确的个数是

个

A、1•

个

B、2•

个

•

C、3个

D、4•

标准答案：B

知识点解析：要逐一分析.若f(x)在x=xo存在f\+(xo)与『_(xo)Tf(x)在X=X0右连

续及左连续Tf(x)在X=X0连续，即①正确.由函数极限与数列极限的关系知，若

lim/(x)40Vlim/(x,)

函数极限一”一串Xn—＞十8(11T+8)均有i+8=A.若但只有

lim/(x)=A幺lim/(x)

某串Xn一+8(n—+oo),«-*♦«=A.如Rx)=siri7ix,f(n)=O,

limf(n)=0,但limf(x)

不存在，于是②正确，③不正确.命题④是错误

lim

的，当A=0时一*'(x)g［x)可能存在.例如，若取f(x)=O,则

litn/(z)=0,lim/(x)g(%)=0

一“。1%,所以④是错误。因此，只有2个正确。选B。

2、设r(xo)=O,f'(x0)<0,则必定存在一个正数，使得

A、曲线y=f(x)在(xo—8,xo+6)是凹的.

B、曲线y=f(x)在(x()—8,xo+8)是凸的.

C、曲线y=f(x)在(xo—6,xo］单调减少，而在［xo,xo+6)单调增加.

D、曲线y=f(x)在(X。—Dxo］单调增加,而在［xo,xo十6)单调减少.

标准答案：C

..f'⑺r/，(完)

lim-------------------------=lim---------

知识点解析：F'(xo)="f。4-”。I。"-4。VO.由极限的不等式性质

/'(一

—►38>0,当XEXO-8ixo+3)且x,xo时，”一式。V0—>当xExo-3xo)时，f(x)

>0；当xW(xo，xo+)时,f(x)<0.又f(x)在x=xo连续—f(x)在(xo—B,xo］单调增

加，在［XO,xo+3)单调减少.故应选D.

3^igf(xxo)=f,(xo)=f(3)(xo)=O,产)(xo)>O，则x=x0是f(x)的

A、极大值点.

B、极小值点.

C、非极值点.

D、图形的拐点的横坐标.

标准答案：B

知识点解析：考察X=XO是否是f(x)的极值点，就是要在X=XO邻域考察f(x)一

f(xo).在X=XO邻域，联系f(x)—f(xo),f(xo),...»产)(xo)的是带皮亚诺余项的四

阶泰勒公式：

/(*)-/(*o)=/，(*0)(*-*0)+者/"(*o)(X-*0)2+yj/3>(*o)(x-«0)3

+杯"("o)(#-xo)4+o((%—q)4)

(工-与)4

因为lim0=>

片小d筌*卜内…。

由极限的不等式性质>0,当0<鼠-飞|<5时

小…华詈>。

一当OVIx—XOIV6时f(x)—f(xo)>O—x=xo是f(x)的极小值点.因此，应选

C.

4、下列反常积分

①——•②「卜・*③厂3-，”.④厂也

Jox2-k4x+3J0\1+x2/JoJosinx

甲收敛的是o

A、①②.

B、①③.

C、

D、③④.

标准答案：B

知识点解析：这四个反常积分中有两个收敛，两个发散.找出其中两个收敛

的.

dx

①/m+Jd”=(x+I)；x+3)=//T(rrr-rh)

=①收敛.

③s「°_；yde7,:一;.e+；］8e“d/

JoJo22o2JQ

1_/4001

=-------e=—

2o2

③收敛.因此选B.

max

5、设f(x)在［0,1］有连续导数，且f(0)=0,令M=【。/】If(x)I,则必有

M

A、Jo”f(x)Idx<2

M

B、T^fo1If(x)Idx<M

C、M《JIf(x)Idx<2M

D.fo1If(x)Idx>2M

标准答案：A

知识点解析:考察f(x)与l(x)的关系.设x10,1］,则由牛顿一莱布尼兹公式及

max

f(0)=0,有芹r(t)dt=f(x)—f(0)=f(x).由积分基本性质，并考虑到I

f(x)I,有If(x)I=Ifoxf(t)dtI<foxIf(t)Idt<foxMdt=Mx.于是HIf(x)I

M

dx<f()1Mxdx=2.故选A.

6、设D是由直线x=0,y=0,x+y=l在第一象限所围成的平面区域，则J二

。二。

A^e+1.

B、e—1.

e+1

c、2

e-1

D、2

标准答案：D

知识点解析：区域D如图

坐标表示：

0W。W与

于是皿尸也

=广1

d。

Jo2(cos。+sinG)o

e-Ij5dlan6_e-1=三4•选(D).

2Jo(1+tan6)22

7、设A是mxn矩阵，则下列4个命题①若r(A)=m,则非齐次线性方程组Ax=b

必有解；②若r(A)=m,则齐次方程组Ax=0只有零解；③若r(A)=n,则非齐次

线性方程组Ax=b有唯一解；@若r(A)=n,则齐次方程组Ax=0只有零解中正确

的是_①______

A、①@.

B、②®.

C、②®④.

D、

标准答案：B

知识点解析：因为A是mxn矩阵，句(A尸m,说明A的行向譬线性无关，那么

它的延伸犯必线性无关.所以必有武元)=m.从而r(A)=r(A),故线性方程组

Ax=lrM有解，①正确.下面只需判断③或④正确即可.若r(A)=n,说明A的列

向量组线性无关，亦即Ax=0只有零解，所以④正确，故应选B.当r(A尸m时，

必彳了nNm.如果m=n,则Ax=0只有零解，而mVn时，Ax=0必有非零解，所以

②不正确.当r(A尸n时，«A)有可能是n+1,方程组Ax=b可以无解.所以③不

正确，你能举例说明吗。

8、已知P一〔AP二B,若AaMa,*0,则

A、B的特征值为人对应的特征向量是Pa.

1

B、B的特征值为人，对应的特征向量是Pa.

C、B的特征值为A,对应的特征向量是P-1.

1

D、B的特征值为人，对应的特征向量是P-1.

标准答案：C

知识点解析：因为矩阵A与B相似，所以它们有相同的特征值，故可排除(B)、

(D).由P-1AP=B->P_,A=BP_1->P_1Aa=BP-,a,于是有B(P-,a)=P-

iQa)=A(p-%).故应选C.

二、填空题(本题共6题，每题L0分，共6分。)

9、设y=f(x)在(1,1)邻域有连续二阶导数，曲线广f(x)在点P(l,1)处的曲率圆方

程为x2+y2=2,贝I」f'(l)=___________.

标准答案：一2._

知识点解析：y=f(x)在点P处的切线与°。垂直，。尸斜率为⑴=一1.点P处

1

y=f(x)的曲率半径为々，故曲线y=f(x)在点P处的曲率为在，于是按曲率计算公式

I"⑴I二」"⑴I=1।=2

T(1+广2⑴产#由于曲率中心在曲线

y=f(x)凹的一侧T"l)V0(y=f(x)在(1,1)邻域是凸的).因此F(l)=-2.

1而勾——dx

]0、1。」nvx+cosx

标准答案：1

知识点解析：对被积函数直接进行放大与缩小，即

w一―1W-1(X>1)

/X+1-/x+cosxJX-1

_f«♦!11_/"♦»1

句“7^产w句.一/dxW1-dx.

Jx+COSXJn-1

由于~da=2J工+a|"41=2(/〃+a*1-Jn+a),

/x+a

2瓜________

从而lim---dx=lim2/n(,/n+a+1-，n+a)=lim

"/x+a•isJR+a+[+Jn+a

dx

因此lim冏"""

JnyX♦COM：

11、设f(x)=x22eax在(0,+8)内有最大值1,则@=.

2

标准答案：e

知识点解析：因为f(x)在(0,+8)内可导，且取得最大值，所以其最大值必在fix)的

2

驻点处取得.由「(X尸2乂*+@乂2*=0知x=-Q为f(x)在(0,十8)内唯一的驻点，故

2

-->0,即a<0.

a

又3一卜*e"=1，得…j

12、设f(x)在［0,+8)上连续,在(0,+8)内可导，当x€(0,+00)时f(x)>0且单调上

升，x=g(y)为y=f(x)的反函数，它们满足Jo'f(x)dx+Jf(o)f")g(y)dy=r%K)),则f(x)的表

达式是_________.

标准答案：f(x)=x2(x>0).

知识点解析：由定积分的几何意义知：Jo'f(x)dx=由曲线y=f(x),x、y轴及直线x=f

>所围成的曲边梯形的面积，ff(o)f(t)g(y)dy=由曲线x=g(y),y轴(yNf(O))及直线

y=f⑴所围成的曲边三角形的面积.x=g(y)与y=f(x)互为反函数，代表同一条曲

13、设f(u)连续,且du(x,y)=f(xy)(ydx+xdy),则u(x,y)=

标准答案：Jo、yf(u)du+C,其中C为V常数.

知识点解析：由于du(x,y)=f(xy)d(xy)=d[Joxyf(u)du],因此u(x,y)=foxyf(u)du+C,

其中C为V常数.

2300'

1100

00201

14、已知A」。001-A*是A的伴随矩阵,则(7A*A2)1=

"2-600■

-2400

00-10

标准答案：L0

00-2-

知识点解析：因为AA*=A*A=IAIE,又

2320

|A|.二-2,

1101

所以;A•42,于是

42

--130o-

■2-600-

-200

,=-2A-1=-2-2400

1

\4/00000一1

T0

-000-2-

00o1-

三、解答题(本题共9题,每题L0分，共9分。)

15、设f(x)在x=0的某邻域内有定义，且满足

/(x)tanx-sin4x

lim-----------------------=0,求极限lim"%-：

7

标准答案:

令g(x)=△­)也要K史，则］img⑴=0.为求出/色1而取二，我们先导出

X-0«-*0X

，^与g(x)的关系.由

.、(/(x)-4)tanx+4tanx-sin4x/(r)-4x/sin4x-4ianx\

式”)=---------?----------=■(*)+—?z—x)

/==>-工limg(x)lim与lim吧

1ox2otanx>-o+—otanxog>x

sin4x-4tan%

=lim----------；---------

x-0x5

sin4x-4tanxsin4x-4xtanx-x

hm--------------------lim--------*-------4lim3

一0x)*-*oX3I

4cos44-4，一COSX

lim---------；---------4lim

一0

=41im^^-4Iim1-codx

22

x-O3XCOSX

-y(4x)

4"lim4sin'x

Vlim-2~y(-8-I)=-12

3x-o3ix2

知识点解析：暂无解析

4

xC0,

(I)设/(x)4+x求x；

X>0,

⑺利奥

16、

标准答案：（I）用拼接

法.

2d㈢

当冗<0W,|/(x)dx=J----dx=J-------------=2arctan+C,

-1+(T)

当4>0时,j/(x)dx=J.e*3，dx=-/e-3,+c.

、4

Zarctan—,xW0.

现令F(x)其中CO满足

=2arctan

“o2

2arctanNW0,

因此-C+其中c是一个任意常数.

1-3zI

-e4«-£才0,

33'

1

fcoJcdifdtanx

(Il小J11J2+tan2M

+COSX

~T+1

COSX

其中C是一个任意常数.

知识点解析：暂无解析

17、设f(x)连续，且满足f(x)=(x—■兀)2—Jo'—，f(x—t)dt,求f(x).

标准答案：这是含变限积分的方程，且被积函数又含参变量，所以先作变量替换，

转化为被积函数不含参变量的情形，令S=X—t得f(X)=(X-7C)2一J『f(x一

xx

s)f(s)ds,即f(x)=(x—兀)2—xLf(x)ds+f7tsf(s)ds.①现把它转化成微分方程问

题.①式两边求导得fix)=2(x-7t)—*fnxf(s)ds.②又①式中令X=7t得f(7l)=0.再

对②求导得f'(x)+f(x)=2.在②中令X=7C得fm)=0.于是问题转化为求解初值问

题L，(y)=0,y(7T)=0,其中y=f(x).这是二阶线性常系数方程，显然有常数

ry(Tr)=-C]+2=0,

特解y*=2,于是通解为产C1cosx+C2sinx+2.由1人")="C2=°，解得

Ci=2,C2=0.因此y=f(x)=2cosx+2.

知识点解析：暂无解析

18、求证：2n+(n>l为自然数).

标准答案：

/(x)=2*-1-*2芋(x>1),

1/"IX

则f(x)=2"n2-2丁-yx2-In2=2"ln2-1ln2).

2

为确定了'(功的符号，考察

记>»|r

g(x)=====2-ln2—In2-1,

则由g'(x)=2乎;1八2-；ln2=；H2(2于ln2-1)

/，/

Nyln2(ln22-1)>0(%N1)

=g(x)>g(1)=21n2-■—In2-1=—ln2-1=ln曲-1>0(XN1).

故P(x)>0(xNl)->f(x)>f(D=0(x>l).因此f(n)>0(n>l),即原不等式成立.

知识点解析：暂无解析

19、设z=z(x,丫)是由9。-54乂丫+90丫2—6丫2—22+18=0确定的函数，(1)求

z=z(x,y)一阶扁导数与驻点；(口)求z=z(x,y)的极值点和极值.

标准答案：(I)利用一阶全微分形式不变性，将方程求全微分即得18xdx—

54(ydx+xdy)+180ydy-6zdy―•6ydz-27dz=0,(18x-54y)dx+(180y-54x一

6z)dy-(6y+2z)dz=0.从而

"dz=_18x-54y=_~9x-27y,d--z-=_18"0y-54x-6z=__90y-21x--3z•

dx6y+2z3y+zdy6y+2z3y+z②可

化简为x=3y,由③可得z=30y—9x=3y,代入①可解得两个驻点x=3,y=l,z=3

与z=-3,y=-I,z=-3.(II)z=z(x,y)的极值点必是它的驻点，为期定

z=z(x,y)在两个驻点处是否取得极值，还需求z=z(x,y)在这两点的二阶偏导

dz_dz

数.注意，在驻点P=(3,1,3),Q=(—3,-1,一3)处，力一砂=0由(3y-z)

力

a=9x—27y1在驻点P,Q处

再由(3y+z)丁=90y-27x-3z=在驻点P,。处

=90.,于是可得出在P点处

2一———L二—

2P2而

因4C-”=T~T=T>°，且4=T>0,故在点(3,1)处z=z(xty)取得极小值z(3,

1)=3.

在。点处

:—

dx22dxdy。2

因4。-由=噂-整>0,且4=-,<0,故在点(-3.-1)处2=z(f)取得极大值

2(-3,-1)=-3.

知识点解析：暂无解析

20、计算二重积分I=/(x+y)do,其中积分区域D是由曲线

y=hx-=J©-”以及直线x=2围成.

标准答案：

积分区域。可表示为1(心外|0近xW2,72x-x2W/4x-x2|,如图，则有

2《d

(f

/=/*+y)da=JodxJW"dy

D

,y-」4x-/

=402dx

r-，2x-J

=[(x4/4x-x2)2-(72x^x5)21dx

=-y-J(2x+2xd4x-X2-2xy/2x-x2)dx

=fxdxXy/2x-x2dx

J00

=2+x^/Ax-x2dx-Ix>/2x-x2dx.

0Jo

而Jxy/^x-x2dx=:，4-(2_z)2dx=_J(2-t)/4-武出

8f(I-sind)cos2^d^

耳卜竽)|：=2F-今

o3

2(2T)dr=2「人二/出+f2±(4--)/d(4-t2)

或

0J0J02

=2•4-宣2?+!・与(4--)十=2”-工

423o3

Jxy/2x-x2dx=Jx>/l-(x-l)2dx----------J.I)y/\-t^dt

一产出+|y/\-t2dt=0+菱=5,

代人即得所求二重积分

32

/=，(%+¥)M=2+2ir--|--yIF——

23

D

知识点解析：暂无解析

21、设f(x)在［0,2］上连续，在(0,2)内具有二阶导数，且f(0)=f⑵=0,f(l)=2.求

证：至少存在一点二(0,2)使得＞匕)=一4.

标准答案：按题设可把函数f（x）在X=1处展开为泰勤公式，得

/（X）=/（1）+广（1）（一1）+'"⑷（…尸，（*）

在（*）式中分别令X=0与4=2,并利用〃1）=2即知

0=2-广⑴+“"（1）・0<<1.

0=2+广⑴+4/”（右）.1<^<2>

把以上两式相加就有

0=4+；［广（G+/"（&）］O宗广（登）=-4.

这样一来，若F（4尸F&），则F《尸厂七）二一4.从而这时自可取为。或纪若

I

这时彳［F&）+F&）］=-4就是F©）与F（k）的一个中间值，按导函

数的中间值定理（又称为达布定理）即知存在仁化1，及）仁（0,2）使得f"尸一4.

知识点解析：暂无解析

■131616'

-5-7-6

22、设A=1—6-8-7-且B=P一】AP.（I）求矩阵A的特征值与特征向

r-4-3-21

量；（口）当P=L211」时，求矩阵B；（HI）求A1°°.

标准答案：（I）由矩阵A的特征多项式

02A-2

A+76

8A+7

'A+7

=(A-1)=(A-1产(入+3),

I8

得矩阵4的特征值九=A2=1,A3=-3.

--12-16-161「I0?-I

由齐次线性方程组（E-A）x=0,58-1

-688」Loo0-

得基础解系切=（-4,1,2）T.

--16-16-16]rl1r

由齐次方程组（-3£-A）x=0,54610-1\,