最值问题（绝对值与线段最值）-2026浙江中考数学高阶能力拓展专题

最值问题（绝对值与线段最值）—2026浙江中考数学高阶能力拓展专题一、绝对值相关最值问题1．数轴上两点之间的距离可以由两点所表示的数来刻画，如数轴上A、B两点分别表示-3和5，则A、B两点之间的距离为|5−(−3)|−|5+3|=82．我们知道，|3-1|可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理|a+5|也可理解为a与-5两数在数轴上所对应的两点之间的距离.请完成：⑴若|x-2|=3，则x=；⑵|x+1|+|x+a|+|x-2|的最小值是5，则a=.3．已知a，b，c为3个自然数，满足a+2b+3c=2021，其中a≤b≤c，则|a-b|+|b-c|+|c-a|的最大值是.4．若a1，a2，a3，a4，a5互不相等的正偶数，满足(5．对于平面直角坐标系中的任意两点P1x1,y1，P2x2（1）已知A1,1,B5,4（2）已知点O为坐标原点，动点Px,y满足d（3）设点P0x0,y0是一定点，点Qx,y是直线y=ax+b上的动点，我们把dP06．阅读材料：数轴是沟通数与形的重要桥梁，利用数轴可以直观地理解很多代数问题．对于数轴上的两点A，B，我们把A，B两点所表示的数之差的绝对值，叫做A，B两点之间的距离，记作AB．例如，数轴上表示2和5的两点之间的距离为2−5=−3=3；数轴上表示−1和−4完成下列各题∶（1）数轴上表示3和−4的两点之间的距离为：；（2）①若x−3=5，则x=②若数轴上点M表示的数为x，点N表示的数为−2，点P表示的数为5，且MN+MP=10，则（3）x+2+2x−1+3二、几何单条线段相关最值问题7．“山高水阔知何处？巧构全等觅飞痕”如图所示，两条互相垂直的数轴相交于O，点A在O右侧6个单位长度处，点B是O下方y轴上一动点，连接AB，过点A作AC⊥AB，若AC=AB，点M在O左侧x轴上1个单位长度处，连接CM，CM的最小值为个单位长度．8．如图，点E是正方形ABCD边BC上一动点，（点E不与点B、C重合），连接DE，过点A作AF⊥DE交CD于F，垂足为P，连接PC，已知正方形的边长为2，则PC的最小值为．9．如图所示，在扇形OAB中，∠AOB=90°，半径OA=4，点F位于AB的13处且靠近点A的位置.点C、D分别在线段OA、OB上，CD=410．如图，在边长为4的正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的动点，M、N分别是EF、AF的中点，则MN长的最大值是．11．在△ABC中，∠B=105°，∠BCA=45°，BC=1，点D在边AB上运动(不与A重合)，以AD为边向△ABC外作正△ADE，如图，过点D作射线垂直于线段DE，F为射线上一动点，取EF中点G，连结CG，则CG的最小值为.12．如图，在△ABC中，∠ACB=90°,∠ABC=30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为θ0°<θ<180°，得到△A'B'C'．设AC中点为E，A'B'中点为P，AC=2，连接13．已知在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ACB=30°，点F是边AC上一动点，以CF为斜边向下作Rt△CDF，使∠D=90°，∠FCD=∠ABF.（1）如图1，设∠ABF的度数为α，①用含α的代数式表示∠BFD；②当α为何值时，△ABF≌△DCF；（2）设AB=1，①如图2，延长FD交BC于G，若FD=DG，求AF长；②如图3，连结BD，在点F从点A运动到点C的过程中，求BD的最小值.14．如图1，在直角坐标系xOy中，点M的坐标为(3，0)，以M为圆心MO为半径的半圆交x轴于点A，在半圆弧上取点C，连接OC，AC，已知点B在y轴的正半轴上．（1）求证：∠BOC＝∠OAC．（2）如图2，AC上取点D使得OC＝AD，连接OD．①若点C的横坐标为2，求CD的长．②求OD的最小值．三、几何多条线段相关最值问题15．如图，E，F是正方形ABCD的边AB的三等分点，P是对角线AC上的动点，当PE+PF取得最小值时，APPCA．13 B．34 C．5616．如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点E在AD边上且AE=1，点F为直线AB上一动点，连接EF，将△AEF沿着折痕EF折叠，得到△A'EF，动点P在BC边上，连接PA．4 B．5 C．6 D．717．A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，使从A到B的路径AMNB最短的是（假定河的两岸是平行线，桥与河岸垂直）（）A． B．C． D．18．如图，AB、CD是⊙O的两条直径，且AB⊥CD，CE⏜=12EB⏜，P为直径CD上一动点．若A．3 B．4 C．23 D．19．如图，在边长为5的菱形ABCD中，BD＝8，将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A’B’D’，分别连结A’C，A’D，B’C，则A’C＋B’C的最小值为（）A．6 B．97 C．10 D．320．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB=10，AC=16，点E、F分别在AB、OD上，且BE=3，OF=1，点P是AC上任意一点，则PE−PF的最大值为．21．如图，在边长为1的正方形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，EB=3AE.有一只蚂蚁从E点出发，经过F，G，H，最后回到E点，则蚂蚁所走的最少路程是.22．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，点D是BC的中点，点P是直径AB上的一个动点，连接AC，PC，PD，若AB=6，∠CAB=30°，则PC+PD的最小值为．23．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E为AD的中点，将△CDE沿CE翻折得△CME，点M落在四边形ABCE内．点N为线段CE上的动点，过点N作NP∥EM交MC于点P，则MN+NP的最小值为．24．如图，矩形ABCD的边AB=4，AD=3，M为BC的中点，P是矩形内部一动点，且满足∠APD=90°，N为边CD上的一个动点，连接PN，MN，则PN+MN的最小值为.25．如图，直线l同侧有两点A，B，在直线l上找一点P，使得PA+PB的值最小．若点A到直线l的距离是4，点B到直线l的距离是2，A，B在直线l上的正投影间距为5，则PA+PB的最小值为．26．如图，E是线段AB上一点，△ADE和△BCE是位于直线AB同侧的两个等边三角形，点P，F分别是CD，AB的中点．若AB=4①PA+PB的最小值为33；②PE+PF的最小值为23；③△CDE周长的最小值为6；④四边形ABCD面积的最小值为

答案解析部分1．【答案】3【解析】【解答】解：|x-2|-|x+1|表示的是数轴上表示数x的点分别到表示数2、-1的点的距离之差，画出数轴如图所示，可知当x≤-1时，这个距离之差取得最大值，即|x-2|-|x+1|取得最大值，

最大值为2-(-1)=2+1=3.

故答案为：3.【分析】画出数轴并根据绝对值的几何意义分析即可求解.2．【答案】5或-1；3或-4【解析】【解答】解：（1）根据题意知：|x-2|=3表示数轴上到2距离为3的数，

∴2+3=5，2-3=-1，

∴x的值为5或-1，

故答案为：5或-1.

（2）根据题意知：2-5=-3，-1+5=4，

∴-a的值为-3或4，

∴a的值为3或-4，

故答案为：3或-4.

【分析】（1）根据题意知到2距离为3的数可能在2的左边，也可能再2的右边，分类作答确定x的值即可.

（2）根据题意知a可能在2的右边或在-1的左边，分类计算确定a的值即可.3．【答案】1346【解析】【解答】解：∵a≤b≤c，

∴|a-b|+|b-c|+|c-a|=b-a+c-b+c-a=2c-2a

∵a，b，c为3个自然数，

∴2c-2a要想取最大值，a应该取最小值0，

代入得，2b+3c=2021

当b=1时，c最大，最大值为673，

2c-2a=673×2-0=1346

故答案为：1346.

【分析】先化简绝对值，再根据其结果取最大值的特点，结合a、b、c是自然数得出a应该取最小值0，根据a+2b+3c=2021的条件分析求得b值，则得c的最大值，从而求得结果.4．【答案】18【解析】【解答】解：(2020−a1)(2020−a2)(2020−a3)(2020−a4)(2020−a5)=242=26×32.

∵a1，a2，a3，a4，a5互不相等的正偶数，

∴2020−a1、2020−a2、故答案为：18【分析】解答的关键在于先分解得到242=26×23，然后根据条件判断出2020−a1、2020−5．【答案】（1）解：∵A1,1,B5,4，（2）解：∵dO,P=2，O0,0，Px,y，

∴d（3）解：∵点Q在直线y=x+2上，

∴Qx,x+2，

∵M1,−3，

∴dM,Q=xM−xQ+yM−yQ=【解析】【分析】（1）理解题中两点的直角距离公式，则dA,B（2）根据两点的直角距离公式可得dO,P（3）设Qx,x+2，根据两点的直角距离公式可得d6．【答案】（1）7（2）①8或−2；②−3.5或6.5（3）45【解析】【解答】解：（1）3−−4故答案为：7；（2）①由题意，x=3+5=8或x=3−5=−2；故答案为：8或−2；②MN+∴x−−2当点M在点N的左侧时，−x−2+5−x=10，解得x=−7当点M在点P的右侧时，x+2+x−5=10，解得x=13故答案为：−3.5或6.5；（3）由题意可得：x+2+2x−1+3x−4+4x−7+5x−10表示数故当x=7时，此时x+2+2x−1=9+12+9+0+15=45．【分析】（1）根据两点间的距离公式进行求解即可；（2）①根据两点间的距离公式，进行求解即可；

②分点M在点N的左侧和点M在点P的右侧，两种情况进行讨论即可；（3）根据绝对值的意义，可得15个距离的和，再进行计算求解即可．7．【答案】6【解析】【解答】解：如图，过点C作CD⊥x轴于点D，由题意可得：A6,0∵∠ACD+∠CAD=90°，∠BAC=∠CAD+∠BAO=90°，∴∠ACD=∠BAO，在△ACD和△BAO中，∠AOB=∠CDA=90°∠ACD=∠BAO∴△ACD≌△BAOAAS∴CD=AO，∵A6,0∴CD=AO=6，∴点C在平行于x轴且与x轴距离为6的直线上运动，当CM垂直于这条直线时，CM最短，此时CM=CD=6，故答案为：6．【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，通过全等三角形确定点的运动轨迹，再利用垂线段最短的性质求最短距离是解决本题的关键.先过点C作CD⊥x轴，证明△ACD≌△BAO，得出CD=AO=6，从而确定点C在平行于x轴且与x轴距离为6的直线上运动，根据垂线段最短，当CM垂直于这条直线时，CM最短，其长度为6.8．【答案】5−1【解析】【解答】解：∠APD=90°，AD=2，故点P在以AD为直径的圆上运动，圆心为M，半径DM=1，

当C、P、M共线时，PC取最小值，

CM=12+22故答案为：5−1【分析】由题意知点P的轨迹，当C、P、M共线时，可取最小值.9．【答案】2【解析】【解答】解：如图，连接OE、OF，∵点F位于AB的13处且靠近点A的位置

∴∠AOF=30°

∴∠BOF=60°

∵点E为CD中点，且△COD是直角三角形

∴OE=12CD=2

又∵OF=4，且OF≤OE+EF

∴当O、E、F三点共线时，EF有最小值

∴∠EOD=∠FOD=60°，OE=DE=2

∴△ODE是等边三角形

∴OD=2

且OB=4

∴BD=2【分析】连接OE、OF，根据点F位于AB的13处且靠近点A10．【答案】2【解析】【解答】解：连接AC、AE，如图所示：∵M、N分别是EF、AF的中点∴MN=∵E是BC上的动点，∴A∵AB=BC=4∴AC=∴A∴MN长的最大值是：22故答案为：22．

【分析】连接AC、AE，根据M、N分别是BC、EF的中点，可得MN=1211．【答案】6【解析】【解答】解：取DE的中点I，连接AI并延长交CB延长线于点H，作BM⊥AC于点M，∵∠BCA=45°

∴CM=BM=22

∵∠CAB=180°-∠BCA-∠ABC

∴∠CAB=180°-105°-45°=30°

∴AB=2BM=2，AM=62

∴AC=AM+CM=62+22

∵△ADE为等边三角形，I为DE的中点

∴AI⊥DE，AI平分∠DAE

∴∠DAH=30°

∴∠H=180°-∠BCA-∠CAH=180°-45°-30°-30°=75°

∵∠ABH=180°-∠ABC=180°-105°=75°

∴∠ABH=∠AHB

∴AH=AB=2

点G在AH上运动，当CG⊥AH时，CG取最小值，

作HN⊥AC于点N，HN=62

∵S△ACH=12AC×HN=12AH×CG【分析】取DE的中点I，连接AI并延长交CB延长线于点H，作BM⊥AC于点M，∠GAB=30°知点G在AH上运动，当CG⊥AH时取最小值，求出相应的线段长，根据等面积法知其最小值.12．【答案】120；3【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°,∠ABC=30°，AC=2，∴AB=4，∠A=60°，由旋转得∠A'=∠A=60°，∵A'B'∴PC=PA∴△A'∴∠A'如图，连接CP，当△ABC旋转到点E、C、P三点共线时，EP最长，此时θ=∠A∵点E是AC的中点，AC=2，∴CE=1，∴EP=CE+PC=3，故答案为：120，3.【分析】本题考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定及性质，旋转的性质；解题的关键在于明确旋转得到EP的最大值，当点E、C、P三点共线时，即CE+PC，据此来求出旋转角以及EP的长.13．【答案】（1）解：①∵∠A=90°，

∴∠AFB=90°-∠ABF=90°-α

∴∠CFD=90°-α

∵∠BFD=180°-∠AFB-∠CFD

∴∠BFD=180°-(90°-α)-(90°-α)=2α；

②∵△ABF≌△DCF

∴BF=FC

∴∠FBC=∠BCF=30°

∵∠ABF=∠ABC-∠FBC

∴∠ABF=60°-30°=30°（2）解：①在AB上取点H，使HF=HB，

∵FD=DG，CD⊥GF

∴∠DCF=∠DCG=12∠ACB=15°

∴∠ABF=15°

∵HF=HB

∴∠HBF=∠HFB=15°

∴∠AHF=∠HBF+∠HFB=15°+15°=30°

设AF=m，则HF=2m，HB=2m，AH=3m，

于是2m+3m=1，解得m=2−3；

②取点B关于AC的对称点B'，连接CB'、FB'

∵BB'=BC，∠ABC=60°

∴△BBC为等边三角形

∴CB'=CB=BB'=2，∠CBB'=60°

∵∠ABF=∠ABF=α=∠FCD

∴∠CBF=60°-α，∠B'CD=30°+α

∴∠CDB'=180°-∠CBF-B'CD=90°

即D、F、B'共线

∴点D在以B'C为直径的圆上运动，圆心为B'C的中点M，

当B、D、M三点共线时，BD取最小值，

BM=3，DM=1，故BDmin=3−1

【解析】【分析】(1)①由直角三角形的性质知AFB=∠CFD=90°-α，即可得BFD的度数；

②当△ABF≌△DCF时，BF=FC，可得∠FBC=30°，即得∠ABF=30°；

(2)①由等腰三角形的性质知∠DCF=∠DCG=15°，即知∠ABF=15°，在AB上取点H，使HB=HF，利用特殊角可得AF的长；

②14．【答案】（1）证明：∵OA是直径∴∠OCA=90゜∴∠COA+∠OAC＝90゜∵∠BOC+∠AOC＝90゜∴∠BOC=∠OAC（2）解：①作CE⊥y轴于点E

则∠OEC=90゜∵∠OCA=90゜∴∠OEC=∠OCA∵∠BOC=∠OAC∴△OEC∽△ACO∴CE∵点C的横坐标为2，圆心M的坐标为（3，0）∴CE=2，OA=6∴OC=AD=23∴AC=∴CD=2②在y轴上取点F，使得OF=OA=6∵∠BOC=∠OAC，OC=AD∴△COF≌△DAO∴CF=OD连结FM，则FM=当点F、C、M三点共线时，FM取得最小值35∵MC=3∴FC=FM−CM=3∴OD的最小值为35【解析】【分析】(1)由OA是直径得∠OCA=90゜，再利用同角余角相等即可证明；

(2)①作CE⊥y轴于点E，证出△OEC∽△ACO，得CEOC=OCOA，代入求出OC=23，再由勾股定理求出AC=A15．【答案】D【解析】【解答】解：作点F关于AC的对称点F'，连接EF'交AC于点P'，过点F'作AD的垂线，交AC于点K，由题意得：此时F'落在AD上，且根据对称的性质，当P点与P'重合时PE+PF取得最小值，

设正方形ABCD的边长为a，则AF'=AF=23a，

∵四边形ABCD是正方形

∴∠F'AK=45°，∠P'AE=45°，AC=2a

∵F'K⊥AF'

∴∠F'AK=∠F'KA=45°

∴AK=223a

∵∠F'P'K=∠EP'A

∴△F'KP'~△EAP'，

∴F'KAE=KP'AP'=2

∴AP'=【分析】作点F关于AC的对称点F'，连接EF'交AC于点P'，此时PE+PF取得最小值，过点F'作AD的垂线，交AC于点K，根据题意可知点F'落在AD上，设正方形的边长为a，求得AK的边长，证明△AEP'∽△KF'P'，可得KP'AP'16．【答案】A【解析】【解答】解：∵A'∴点A'在以点E为圆心、1如图，作AD关于BC的对称线段MN，点E关于BC的对称点为E'，以点E'为圆心、1为半径画圆，连接E'D交BC于点P，交则PA∴PA由两点之间线段最短，可知此时PA'+PD∵MN=BC=4，∴E'又∵DN=2+2=4，∴E'∴A″即PA'+PD故答案为：A．【分析】作AD关于BC的对称线段MN，点E关于BC的对称点为E'，以点E'为圆心、1为半径画圆，连接E'D交BC于点P，交⊙E'于点A″17．【答案】D【解析】【解答】解：根据垂线段最短，得出MN是河的宽时，MN最短，即MN⊥直线a（或直线b)，只要AM+BN最短即可，即过A作河岸a的垂线AH，垂足为H，在直线AH上取点I，使AI等于河宽．连接IB交河的b边岸于N，作MN垂直于河岸交a边的岸于M点，所得MN即为所求．故选：D．

【分析】过A作河的垂线AH，且截取AI=MN，连接BI即可得出N，作出AM、MN、BN即可，则点M，N即为所作．18．【答案】D【解析】【解答】解：如图，

连接OE、AE，AE交CD于P，∵AB、CD是⊙O的两条直径，且AB⊥CD，∴AB与CD互相垂直平分，∴PA=PB，∴△PEB周长的最小值=PB+PE+BE=PA+PE+BE=AE+BE，∵CE⏜∴∠A=1∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∵AB=2，∴BE=1，AE=3∴△PEB周长的最小值=3+1．【分析】连接OE、AE，AE交CD于P，根据垂径定理即推论得AB与CD互相垂直平分，即可得PA、PB相等，即可得△PEB周长的最小值等于AE加BE，根据CE⏜等于12EB⏜得∠A=30°，进一步推理得BE=1，AE=319．【答案】B【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，边长为5，BD=8，

∴AC⊥BD，

设AC与BD相交于点O，∴BO=12BD=4，

根据勾股定理得：AO=AB2−BO2=52−42=3，

∴AC=6

由平移得△ABD≌△A'B'D'，

∴A'B'//AB，A'B'//AB=5，AA'//BD，

∴A'D=B'C，

作点C关于直线BD的对称点E，则E在AC的延长线上，且CE=AC=6，连接A'E，

∴AE=AC+CE=12，

【分析】通过菱形的性质求出相关线段长度，利用平移得到线段关系，再通过作对称点将A'C+B'C转化为一条线段，根据两点之间线段最短求出最小值.20．【答案】4【解析】【解答】解：如图，作点F关于对角线AC所在直线的对称点F'连接PF'、∵PE−PF=PE−PF∴当点P、E、F'在一条直线上时，PE−PF取到最大值，最大值即为E∵四边形ABCD为菱形，AB=10，AC=16，∴AO=12∴在Rt△AOB中，BO=A由对称性可得OF∴BF∵∠F'BE=∠ABO∴BEBO=3∴BEBO∴△BF∴∠F∴在Rt△BEF'中，由勾股定理得，∴PE−PF的最大值为4．故答案为：4．

【分析】如图，作点F关于对角线AC所在直线的对称点F'，连接PF'、EF'，结合PE−PF=PE−PF'≤EF'，可得当点P、E、F'在一条直线上时，PE−PF21．【答案】2【解析】【解答】解：如图所示，分别作点E关于直线AD、BC的对称点E1、E2，作点E2关于直线CD的对称点E3，连接E1E3交CD于点G'，连接G'E1则E1∵3AE=EB，∴当E、F、G、H分别在E、F'、故答案为：22【分析】分别作点E关于直线AD、BC的对称点E1、E2，作点E2关于直线CD的对称点E3，连接E1E3交CD于点G'，连接G'E1交AD于点H22．【答案】3【解析】【解答】解：作点D关于AB的对称点为点E，连接CE交AB于点G，连接OC，OD，OE，PE，∴PD=PE，AB⊥DE，∴PC+PD=PC+PE≥CE，当点P与点G重合时，此时PC+PD有最小值，最小值为CE，∵∠CAB=30°，∴∠COB=2∠CAB=60°，∵点D是弧BC的中点，∴CD=∴∠COD=∠DOB=1∵AB⊥DE，∴DB=∴∠BOE=∠DOB=30°，∴∠COE=∠COB+∠BOE=90°，∵OC=OE，∴△COE是等腰直角三角形，∵AB=6，∴OC=OE=3，∴CE=O∴PC+PD的最小值为32故填：32．

【分析】作点D关于AB的对称点为点E，连接CE交AB于点G，连接OC，OD，OE，PE，根据轴对称的性质得出PD=PE，AB⊥DE，从而可得PC+PD=PC+PE≥CE，此时PC+PD有最小值即为CE，证出△COE23．【答案】16【解析】【解答】解：由折叠的性质知CE是∠DCM的平分线，

∴点P关于CE的对称点在CD上，

∴作点P关于CE的对称点P'，过点M作MF⊥CD于F，交CE∵MN+NP=MN+NP∴MN+NP的最小值为MF的长，连接DG，DM，

∵正方形ABCD的边长为4，

∴AD=CD=4，

∵点E为AD的中点，

∴DE=2，

又∵∠CDE=90°，

∴CE=CD2+DE2=42+22=25，

∵12CE×DO=1∵MF⊥CD，∠EDC=90°，∴DE∥MF，∴∠EDO=∠GMO，∵CE为线段DM的垂直平分线，∴DO=OM，∠DOE=∠MOG=90°，∴△DOE≌△MOG，∴DE=GM，∴四边形DEMG为平行四边形，∵∠MOG=90°，∴四边形DEMG为菱形，∴EG=2OE=455∴CG=CE−EG=6∵DE∥MF，

∴DE∥GF，∴△CFG∽△CDE，∴FGDE=CGCE，∴FG=6∴MF=2+6∴MN+NP的最小值为165故答案为：165．

【分析】作点P关于CE的对称点P'，过点M作MF⊥CD于F，交CE于点G，由作图可得MN+NP的最小值为MF的长，再说明四边形DEMG为菱形，再根据平行线可得24．【答案】3.5【解析】【解答】解：解：设AD的中点为点O，则以O为圆心，12AD为半径作圆，点P就在这个圆上，作点M关于直线DC的对称点M'，连接OM'交圆O于点P’，交CD于N’，连接OP，M'N，如图：

∴MN=M'N，OP=OP'=r，OA=OD=12AD，CM=CM'.

∴PN+MN=PN+M'N，

∵P是矩形内部一动点，N为边CD上的一个动点，两点之间线段最短，

.'.(PN+MN)min=P'N'+M'N’=P'M'=OM'-OP'，

∵四边形ABCD为矩形，AD=3，AB=4，

∴AD=BC=3，AB=CD=4，∠BCD=90°，AD//BC，

∴OD//MC，

∵AD=3，

∴.圆O的半径r=0D=12AD=12x3=1.5，

∴OP=OP'=r=1.5，

∵M为BC的中点，AD=BC，

∴CM=CM'=12BC=12AD=OD=1.5

∴MM'=CM+CM'=1.5+1.5=3，

∵∠BCD=90°，CM=OD，OD//MC，

∴四边形OMCD为矩形，

∴∠OMM’=90°，OM=CD=4，

在Rt△OMM'中，

∴故答案为：3.5.【分析】作点M关于直线DC的对称点M'，连接OM'交圆O于点P’，交CD于N’，连接OP，M'N，如图：根据对称的性质，可得出PN+MN=PN+M'N，进而根据两点之间线段最短。可得出(PN+MN)min=P'N'+M'N’=P'M