2023-2024学年上海市长宁区延安中学高一(下)期中数学试卷

2023-2024学年上海市长宁区延安中学高一（下）期中数学试卷一、填空题（本大题共有12小题，满分42分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得3分，7-12题每个空格填对得4分，否则一律得0分。1．（3分）2024°是第象限角．2．（3分）已知角α的终边经过点P（5，﹣12），则sinα的值为．3．（3分）已知扇形的弧长为3cm，周长为7cm，则这个扇形的面积为cm2．4．（3分）已知α∈（π，2π），tanα=−34，则cosα＝5．（3分）函数f（x）＝cos2x的严格增区间是．6．（3分）若tan（π4−α）＝3，则tanα＝7．（4分）已知α，β均为锐角，sinα=45，cos(α+β)=−1213，则sin8．（4分）已知α是第三象限角，sinα=−513，则cos（π﹣α）＝9．（4分）若sinθ=12cosθ，则10．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，∠A的角平分线长为43，则BC＝11．（4分）设函数y＝sinωx（ω＞0）在区间[−π6，π4]上是增函数，则ω12．（4分）锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝3且b2+c2﹣bc＝9，则b的取值范围是．二、选择题（本大题共有5题，满分25分，每题3分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．（5分）下列函数中，最小正周期为π2A．y=sinx2 B．y＝sin2x C．y＝cos4x D．y＝|cos14．（5分）已知函数f（x）＝x•sinx，x∈R，则f(−π4)，f(1)A．f(−π4)＞f(1)＞f(πC．f(π3)＞f(1)＞f(−15．（5分）已知关于x的方程sinx+cosx＝m在[0，π]有两个不等的实根，则m的一个值是（）A．0 B．12 C．2216．（5分）若α，β∈（0，π2），sin（α−β2）=12，sin（α2−βA．−32 B．−12 C．17．（5分）已知f(x)=sin2x，g(x)=f(x+π6)，直线x＝t与函数y＝f（x），y＝g（x）的交点分别为A，BA．1 B．2 C．3 D．2三、解答题（本大题满分43分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤18．（6分）在△ABC中，a＝1，b=3，A＝30°，求∠C19．（6分）已知α∈（0，π），且sin(α+π2)=−20．（8分）如图所示，一艘海轮在海面上的C处发现两座小岛A，B，测得小岛A在C的北偏东15°的方向上，小岛B在C的北偏东60°的方向上，海轮从C处向正东方向航行100海里后到达D处，测得小岛A在D的北偏西45°的方向上，小岛B在D的北偏东30°的方向上．（1）求C处与小岛A之间的距离；（2）求A，B两座小岛之间的距离．21．（12分）已知函数f(x)=cos（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）当x∈[0，π2]时，求函数f（3）已知函数g(x)=f(x2+π4)，若对任意的a，b∈[π﹣m，n]，当a＞b时，f（a）﹣f（b）＜g（2a）﹣22．（11分）给出集合M＝{f（x）|对任意x∈R，都有f（x+2）＝f（x+1）﹣f（x）成立}．（1）若g（x）＝cosπx3，求证：函数g（x）∈M（2）由于（1）中函数g（x）＝cosπx3命题甲：集合M中的元素都是周期为6的函数；命题乙：集合M中的元素都是偶函数；请对两个命题给出判断，如果正确，请证明；如果不正确，请举反例．

2023-2024学年上海市长宁区延安中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12小题，满分42分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得3分，7-12题每个空格填对得4分，否则一律得0分。1．（3分）2024°是第三象限角．【考点】象限角、轴线角．【答案】见试题解答内容【分析】根据已知条件，结合象限角的定义，即可求解．【解答】解：2024°＝5×360°+224°，则2024°是第三象限角．故答案为：三．2．（3分）已知角α的终边经过点P（5，﹣12），则sinα的值为−1213【考点】任意角的三角函数的定义．【答案】−12【分析】根据三角函数定义即可求值．【解答】解：由角α的终边经过点P（5，﹣12），得|OP|=5∴sinα=−12故答案为：−123．（3分）已知扇形的弧长为3cm，周长为7cm，则这个扇形的面积为3cm2．【考点】扇形面积公式．【答案】3．【分析】根据已知条件，结合扇形的面积公式，即可求解．【解答】解：∵扇形的弧长为3cm，周长为7cm，∴l＝3，l+2r＝7，可得r＝2，∴这个扇形的面积S=1故答案为：3．4．（3分）已知α∈（π，2π），tanα=−34，则cosα＝4【考点】同角三角函数间的基本关系．【答案】45【分析】由已知可得cosα＞0，再由商的关系与平方关系联立求解即可得答案．【解答】解：∵α∈（π，2π），且tanα=−34，∴α∈（32π，2由sinαcosα=−34sin2故答案为：455．（3分）函数f（x）＝cos2x的严格增区间是[π2【考点】余弦函数的单调性；余弦函数的图象．【答案】[π【分析】直接利用余弦型函数的性质求出结果．【解答】解：令：π+2kπ≤2x≤2π+2kπ，（k∈Z），整理得π2+kπ≤x≤π+kπ，（k∈故函数的单调递增区间为：[π故答案为：[π6．（3分）若tan（π4−α）＝3，则tanα＝−【考点】两角和与差的三角函数．【答案】−1【分析】将tanα化为tan[π4−（π【解答】解：由题意可得tanα＝tan[π4−（π4−故答案为：−17．（4分）已知α，β均为锐角，sinα=45，cos(α+β)=−1213，则sinβ＝【考点】两角和与差的三角函数．【答案】6365【分析】直接利用三角函数关系式的变换和角的恒等变换的应用求出结果．【解答】解：由于已知α，β均为锐角，sinα=45，所以cosα=35，故sinβ=sin[(α+β)−α]=sin(α+β)cosα−cos(α+β)sinα=63故答案为：63658．（4分）已知α是第三象限角，sinα=−513，则cos（π﹣α）＝12【考点】运用诱导公式化简求值；同角三角函数间的基本关系．【答案】见试题解答内容【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式以及诱导公式即可求解．【解答】解：因为α是第三象限角，sinα=−5所以cosα=−1−si则cos（π﹣α）＝﹣cosα=12故答案为：12139．（4分）若sinθ=12cosθ，则1−sin2θcos2θ【考点】二倍角的三角函数；三角函数的恒等变换及化简求值．【答案】13【分析】求出tanθ的值，再利用二倍角公式展开，结合弦化切可得结果．【解答】解：因为sinθ=12cosθ所以，1−sin2θcos2θ故答案为：1310．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，∠A的角平分线长为43，则BC＝63【考点】三角形中的几何计算；正弦定理．【答案】63．【分析】结合勾股定理先求出CD，再由锐角三角函数定义求出∠CAD＝30°，再由三角函数定义即可求解．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，∠A的角平分线长为AD=43∴CD=A∴CD=1∴∠CAD＝30°，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAC＝2∠CAD＝60°，∴∠B＝30°，∴AB=2AC=2×6=12，∴BC=AB2−AC2故答案为：63．11．（4分）设函数y＝sinωx（ω＞0）在区间[−π6，π4]上是增函数，则ω【考点】正弦函数的单调性．【答案】见试题解答内容【分析】结合函数的单调性建立不等式关系即可．【解答】解：∵ω＞0，且y＝sinωx（ω＞0）在[−T4，∴若函数在区间[−π6，则T4≥π4，即得2πω≥得0＜ω≤2，即ω的取值范围为（0，2]，故答案为：（0，2]12．（4分）锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝3且b2+c2﹣bc＝9，则b的取值范围是（3，23）．【考点】余弦定理．【答案】（3，23）．【分析】先根据余弦定理求出A的值，再根据正弦定理即可求出b的范围．【解答】解：因为a＝3且b2+c2﹣bc＝9＝a2，所以cosA=b故A=π因为△ABC为锐角三角形，则π6所以sinB∈(12，1)因为asinA所以b＝sinB•asinA即3＜b＜2故b的取值范围是(3故答案为（3，23）．二、选择题（本大题共有5题，满分25分，每题3分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．（5分）下列函数中，最小正周期为π2A．y=sinx2 B．y＝sin2x C．y＝cos4x D．y＝|cos【考点】三角函数的周期性．【答案】C【分析】利用三角函数的周期公式分析即可．【解答】解：由题意知y=sinx2周期为4π，y＝sin2x周期为π，y＝cos4x周期为π2，y＝|cosx故选：C．14．（5分）已知函数f（x）＝x•sinx，x∈R，则f(−π4)，f(1)A．f(−π4)＞f(1)＞f(πC．f(π3)＞f(1)＞f(−【考点】正弦函数的单调性．【答案】C【分析】判断函数f（x）＝xsinx是偶函数，推出f（−π4）＝f（π4），利用导数说明函数在[0，π【解答】解：因为y＝xsinx，是偶函数，所以f（−π4）＝f（又x∈[0，π2]时，得y′＝sinx+xcosx所以f(−π4)＜故选：C．15．（5分）已知关于x的方程sinx+cosx＝m在[0，π]有两个不等的实根，则m的一个值是（）A．0 B．12 C．22【考点】三角函数的最值．【答案】D【分析】由于x的方程sinx+cosx＝m得到2sin（x+π4）＝m，分别画出y=2sin（x+π4），x∈[0，π【解答】解：于x的方程sinx+cosx＝m在[0，π]有两个不等的实根，则2sin（x+π4）＝分别画出y=2sin（x+π4），x∈[0，π]，和y由图象可得，若关于x的方程sinx+cosx＝m在[0，π]有两个不等的实根，则m的范围为[1，2），故选：D．16．（5分）若α，β∈（0，π2），sin（α−β2）=12，sin（α2−βA．−32 B．−12 C．【考点】两角和与差的三角函数．【答案】B【分析】先根据α，β的范围，求得α−β2和α2−β的范围，进而利用平方关系求得cos（α−β2【解答】解：∵α，β∈（0，π2∴α−β2∈（−π4，π2），α2∴cos（α−β2）=1−14∴cosα+β2=cos（α−β2−α2+β）＝cos（α2−β）cos（α−β2）+sin（∴cos（α+β）＝2cos2α+β2−1＝2×1故选：B．17．（5分）已知f(x)=sin2x，g(x)=f(x+π6)，直线x＝t与函数y＝f（x），y＝g（x）的交点分别为A，BA．1 B．2 C．3 D．2【考点】正弦函数的图象．【答案】A【分析】首先利用作差法的应用求出函数k（x）的解析式，进一步求出函数k（x）的最值．【解答】解：已知f（x）＝sin2x，所以g（x）＝f（x+π6）＝sin（2x所以k（x）＝f（x）﹣g（x）＝sin2x﹣sin（2x+π3）＝sin2x﹣（12sin2x+由于函数k（x）的最大值为1，即AB的最大值为1．故选：A．三、解答题（本大题满分43分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤18．（6分）在△ABC中，a＝1，b=3，A＝30°，求∠C【考点】正弦定理．【答案】90°或30°．【分析】根据已知条件，结合正弦定理，即可求解．【解答】解：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．由a=1，b=3，A所以利用正弦定理得sinB=bsinAa=32所以B＝60°或B＝120°，①当B＝60°时，利用三角形内角和定理C＝90°，②当B＝120°时，利用三角形内角和定理C＝30°，综上所述，∠C的值为90°或30°．19．（6分）已知α∈（0，π），且sin(α+π2)=−【考点】两角和与差的三角函数．【答案】−1【分析】由两角和与差的三角函数，结合诱导公式求解．【解答】解：已知α∈（0，π），∵sin(α+π∴sinα=4∴tan(α+π20．（8分）如图所示，一艘海轮在海面上的C处发现两座小岛A，B，测得小岛A在C的北偏东15°的方向上，小岛B在C的北偏东60°的方向上，海轮从C处向正东方向航行100海里后到达D处，测得小岛A在D的北偏西45°的方向上，小岛B在D的北偏东30°的方向上．（1）求C处与小岛A之间的距离；（2）求A，B两座小岛之间的距离．【考点】三角形中的几何计算．【答案】（1）1006（2）10015【分析】（1）在△ACD中利用正弦定理计算可得；（2）在△CDB中利用余弦定理求出BC，再在△ACB中利用余弦定理求出AB．【解答】解：（1）由题可知在△ACD中：∠ACD＝75°，∠ADC＝45°，所以∠CAD＝60°，由正弦定理可得：CDsin∠CAD所以AC=CD⋅sin∠ADC（2）由题可知在△CDB中：∠BCD＝30°，∠CDB＝120°，所以∠CBD＝30°．所以BD＝CD＝100（海里），由余弦定理可得：BC2＝CD2+BD2﹣2CD•BDcos∠CDB＝1002+1002+1002＝30000，所以BC＝1003（海里），由题意可知，在△ACB中，∠ACB＝45°，由余弦定理可得：AB2＝AC2+BC2﹣2AC•BC•cos∠ACB＝（10063）2+（1003）2﹣2×100所以AB=100所以A，B两座小岛之间的距离为1001521．（12分）已知函数f(x)=cos（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）当x∈[0，π2]时，求函数f（3）已知函数g(x)=f(x2+π4)，若对任意的a，b∈[π﹣m，n]，当a＞b时，f（a）﹣f（b）＜g（2a）﹣【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性；三角函数的最值．【答案】（1）π；（2）最大值为32，最小值为12；（3）【分析】（1）结合诱导公式，二倍角公式及辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的周期性即可求解；（2）由已知结合x的范围，利用正弦函数的性质即可求解；（3）由已知不等式结合辅助角公式进行化简可得sin（2a−π12）＜sin（2b【解答】解：（1）f(x)=cos2x+3sinxsin(x+π则最小正周期为T=2π（2）∵x∈[0，π∴2x+π6∈[∴f(x)∈[1则函数的最大值为32，最小值为1（3）g(x)=f(x∵f（a）﹣f（b）＜g（2a）﹣g（2b），∴sin（2a+π6）﹣sin（2b+π6）＜cos（2a+∴sin（2a+π6）﹣cos（2a+π6））＜sin（2b+∴2sin（2a+π6−π4）即sin（2a−π12）＜sin（