2023-2024学年四川省泸州市泸县四中高三(上)开学数学试卷(文科)

2023-2024学年四川省泸州市泸县四中高三（上）开学数学试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知复数，则＝（）A．1﹣4i B．1+4i C．5﹣12i D．1﹣2i2．（5分）已知一组数据的频率分布直方图如图所示，则数据的中位数估计值为（）A．64 B．65 C．64.5 D．663．（5分）成立的充要条件是（）A．a＞1 B．a＜0 C．a≠0 D．a＞1或a＜04．（5分）曲线f（x）＝x+lnx在x＝1处的切线方程是（）A．y＝x﹣1 B．y＝x﹣2 C．y＝2x﹣1 D．y＝2x﹣25．（5分）函数的图象大致是（）A． B． C． D．6．（5分）直线ax+by＝1与圆O：x2+y2＝1相交，则点M（a，b）与圆O：x2+y2＝1的位置关系是（）A．在圆上 B．在圆内 C．在圆外 D．不确定7．（5分）很多关于整数规律的猜想都通俗易懂，吸引了大量的数学家和数学爱好者，有些猜想已经被数学家证明，如“费马大定理”，但大多猜想还未被证明，如“哥德巴赫猜想”、“角谷猜想”．“角谷猜想”的内容是：对于每一个正整数，如果它是奇数，则将它乘以3再加1；如果它是偶数，则将它除以2；如此循环，最终都能够得到1．如图为研究“角谷猜想”的一个程序框图．若输入n的值为10，则输出i的值为（）A．5 B．6 C．7 D．88．（5分）设x，y为正数，若x+y＝1，则+最小值为（）A．6 B．9 C．12 D．159．（5分）经研究发现，某昆虫释放信息素ts后，在距释放处xm的地方测得信息素浓度y满足lny＝﹣lnt﹣x2+A，其中A，K为非零常数．已知释放1s后，在距释放处2m的地方测得信息素浓度为a，则释放信息素4s后，信息素浓度为的位置距释放处的距离为（）A．m B．m C．2m D．4m10．（5分）若a＝log0.30.4，b＝1.20.3，c＝log2.10.9，则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．b＞a＞c11．（5分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC＝AC，侧棱AA1⊥底面ABC，若该三棱柱的所有顶点都在同一个球O的表面上，且球O的表面积的最小值为4π，则该三棱柱的侧面积为（）A．6 B．3 C．3 D．312．（5分）若函数f（x）＝ex+a（x﹣1）+b在区间上有零点，则a2+b2的最小值为（）A． B．e2 C． D．e二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知向量，，且满足，则m＝．14．（5分）设x，y满足约束条件，则目标函数z＝﹣2x+y的取值范围为．15．（5分）将某个圆锥体沿着母线和底面圆周剪开后展开，所得的平面图形是一个圆和扇形，已知该扇形的半径为3cm，圆心角为，则圆锥的体积是cm3．16．（5分）已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点F到C的一条渐近线y+2x＝0的距离为2，则双曲线C的方程为．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（10分）为庆祝神舟十四号载人飞船返回舱成功着陆，某学校开展了航天知识竞赛活动，共有100人参加了这次竞赛，已知所有参赛学生的成绩均位于区间[50，100]，将他们的成绩（满分100分）分成五组依次为[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，制成如图所示的频率分布直方图．（1）试估计这100人的竞赛成绩的平均数；（2）采用按比例分配的分层抽样的方法，从竞赛成绩在[80，100]内的学生中随机抽取6人作为航天知识宣讲使者，再从第四组和第五组的使者中随机抽取2人作为组长，求这2人来自同一组的概率．18．（10分）某校积极开展社团活动，在一次活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍薨”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，E、F、G分别是边长为4的正方形的三边AB、CD、AD的中点，先沿着虚线段FG将等腰直角三角形FDG裁掉，再将剩下的五边形ABCFG沿着线段EF折起，连接AB、CG就得到了一个“刍薨”（如图2）．（1）若O是四边形EBCF对角线的交点，求证：AO∥平面GCF；（2）若∠AEB＝，求三棱锥A﹣BEF的体积．19．（10分）高二理科班有60名同学参加某次考试，从中随机抽选出5名同学，他们的数学成绩x与物理成绩y如表：数学成绩x140130120110100物理成绩y110901008070数据表明y与x之间有较强的线性关系．（Ⅰ）求y关于x的线性回归方程，并估计该班某同学的数学成绩为90分时该同学的物理成绩；（Ⅱ）本次考试中，规定数学成绩达到125分为数学优秀，物理成绩达到100分为物理优秀．若该班数学优秀率与物理优秀率分别为50%和60%，且所有同学中数学优秀但物理不优秀的同学共有6人，请你在答卷页上填写下面2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为数学优秀与物理优秀有关？物理优秀物理不优秀合计数学优秀数学不优秀合计60参考公式及数据：回归直线的系数＝＝，＝﹣，xiyi＝54900，（xi）2＝1000，K2＝．P（K2≥6.635）＝0.01，P（K2≥10.828）＝0.001．20．（15分）已知∅（x）＝lnx，φ（x）＝．（1）若f（x）＝∅（x）+φ（x）的单调递减区间是，求实数a的值；（2）若g（x）＝|∅（x）|+φ（x），且对任意x1，x2∈（0，2]，x1≠x2，都有＜﹣1，求实数a的取值范围．21．（15分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率e＝，短轴长为2．（1）求椭圆C的方程；（2）已知经过定点P（1，1）的直线l与椭圆相交于A，B两点，且与直线y＝﹣x相交于点Q，如果，，那么λ+μ是否为定值？若是，请求出具体数值；若不是，请说明理由．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．（选修4-4极坐标与参数方程）↩22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，设曲线C1的参数方程为，（t为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线C2的极坐标方程为ρ＝acosθ（a＞0）．（1）求曲线C1的普通方程；（2）若曲线C2上恰有三个点到曲线C1的距离为，求实数a的值．（选修4-5不等式选讲）↩23．已知f（x）＝|x﹣1|+1，．（1）解不等式f（x）≤2x+3；（2）若方程F（x）＝a有一个解，求实数a的取值范围．

2023-2024学年四川省泸州市泸县四中高三（上）开学数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知复数，则＝（）A．1﹣4i B．1+4i C．5﹣12i D．1﹣2i【考点】共轭复数；复数的运算．【答案】A【分析】利用复数的四则运算化简复数，根据共轭复数的定义可得出复数．【解答】解：由已知可得，因此，．故选：A．2．（5分）已知一组数据的频率分布直方图如图所示，则数据的中位数估计值为（）A．64 B．65 C．64.5 D．66【考点】频率分布直方图．【答案】B【分析】首先判断中位数位于[60，70）之间，设中位数为x，依题意可得，0.03×10+（x﹣60）×0.04＝0.5，解得x即可．【解答】解：因为（0.03+0.04）×10＝0.7＞0.5，所以中位数位于[60，70）之间，设中位数为x，则0.03×10+（x﹣60）×0.04＝0.5，解得x＝65，即中位数为65．故选：B．3．（5分）成立的充要条件是（）A．a＞1 B．a＜0 C．a≠0 D．a＞1或a＜0【考点】充分条件与必要条件．【答案】D【分析】通过等价转化求解其充要条件．【解答】解：由得，解之得a＞1或a＜0，故选：D．4．（5分）曲线f（x）＝x+lnx在x＝1处的切线方程是（）A．y＝x﹣1 B．y＝x﹣2 C．y＝2x﹣1 D．y＝2x﹣2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【答案】C【分析】求出函数的导数，可得切线的斜率，运用点斜式方程即可得到所求切线的方程．【解答】解：f（x）＝x+lnx的导数为f′（x）＝1+，可得f（x）＝x+lnx在x＝1处的切线斜率为1+1＝2，切点为（1，1），即有f（x）＝x+lnx在x＝1处的切线方程为y﹣1＝2（x﹣1），即为y＝2x﹣1．故选：C．5．（5分）函数的图象大致是（）A． B． C． D．【考点】函数的图象与图象的变换．【答案】C【分析】根据题意，先分析函数的奇偶性排除BD，再利用特殊值分析可知f（x）在（1，+∞）上不是增函数，排除A，综合可得答案．【解答】解：根据题意，因为中，x≠±1，又f（﹣x）＝＝﹣f（x），即f（x）为奇函数，图象关于原点对称，排除BD，又由f（2）＝＝﹣，f（10）＝＜f（2），f（x）在（1，+∞）上不是增函数，排除A．故选：C．6．（5分）直线ax+by＝1与圆O：x2+y2＝1相交，则点M（a，b）与圆O：x2+y2＝1的位置关系是（）A．在圆上 B．在圆内 C．在圆外 D．不确定【考点】直线与圆的位置关系．【答案】C【分析】利用圆心到直线的距离小于半径可得＞1，即点M（a，b）到圆心的距离大于1，则答案可求．【解答】解：∵直线ax+by＝1与圆O：x2+y2＝1相交，∴圆心O到直线ax+by＝1的距离d＝＜1，即a2+b2＞1，∴＞1．也就是点M（a，b）到圆心的距离大于1．∴点M（a，b）在圆O：x2+y2＝1外．故选：C．7．（5分）很多关于整数规律的猜想都通俗易懂，吸引了大量的数学家和数学爱好者，有些猜想已经被数学家证明，如“费马大定理”，但大多猜想还未被证明，如“哥德巴赫猜想”、“角谷猜想”．“角谷猜想”的内容是：对于每一个正整数，如果它是奇数，则将它乘以3再加1；如果它是偶数，则将它除以2；如此循环，最终都能够得到1．如图为研究“角谷猜想”的一个程序框图．若输入n的值为10，则输出i的值为（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】程序框图．【答案】B【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算n的值并输出变量i的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得i＝0n＝10不满足条件n＝1，满足条件n是偶数，n＝5，i＝1不满足条件n＝1，不满足条件n是偶数，n＝16，i＝2不满足条件n＝1，满足条件n是偶数，n＝8，i＝3不满足条件n＝1，满足条件n是偶数，n＝4，i＝4不满足条件n＝1，满足条件n是偶数，n＝2，i＝5不满足条件n＝1，满足条件n是偶数，n＝1，i＝6此时，满足条件n＝1，退出循环，输出i的值为6．故选：B．8．（5分）设x，y为正数，若x+y＝1，则+最小值为（）A．6 B．9 C．12 D．15【考点】基本不等式及其应用．【答案】B【分析】利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵x，y为正数，x+y＝1，∴+＝（x+y）＝5+＝9，当且仅当y＝2x＝时取等号．∴+最小值为9．故选：B．9．（5分）经研究发现，某昆虫释放信息素ts后，在距释放处xm的地方测得信息素浓度y满足lny＝﹣lnt﹣x2+A，其中A，K为非零常数．已知释放1s后，在距释放处2m的地方测得信息素浓度为a，则释放信息素4s后，信息素浓度为的位置距释放处的距离为（）A．m B．m C．2m D．4m【考点】根据实际问题选择函数类型；对数的运算性质．【答案】D【分析】根据题意，由t＝1，x＝2，y＝a，可得lna＝﹣4K+A，当y＝，t＝4时，ln＝，再结合对数函数的运算，即可求解．【解答】解：根据题意，由t＝1，x＝2，y＝a，可得lna＝﹣4K+A，当y＝，t＝4时，ln＝，即lna﹣ln2＝﹣ln2﹣，故x＝4．故选：D．10．（5分）若a＝log0.30.4，b＝1.20.3，c＝log2.10.9，则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．b＞a＞c【考点】对数值大小的比较．【答案】D【分析】a用对数函数的单调性和0，1比较，b用指数函数的单调性和1比较，c用对数函数的单调性和0比较，即可判断大小关系．【解答】解：因为0＜0.3＜1，所以y＝log0.3x为减函数，所以log0.31＜log0.30.4＜log0.30.3，即0＜a＜1．因为1.2＞1，所以y＝1.2x为增函数，所以1.20.3＞1.20，即b＞1．因为2.1＞1，所以y＝log2.1x为增函数，所以log2.10.9＜log2.11，即c＜0，所以b＞a＞c．故选：D．11．（5分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC＝AC，侧棱AA1⊥底面ABC，若该三棱柱的所有顶点都在同一个球O的表面上，且球O的表面积的最小值为4π，则该三棱柱的侧面积为（）A．6 B．3 C．3 D．3【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【答案】B【分析】用底面边长a和高h表示出球的半径，根据基本不等式得出ah的值，从而可求出棱柱的侧面积．【解答】解：设三棱柱两底面中心分别为O1O2，则O1O2的中点为球的球心，设正三棱柱的底面边长AB＝a，棱柱的高为h，则O1A＝a，OO1＝，∴球O的半径r＝OA＝，∴S球O＝4πr2＝4π（）≥4π•2＝，∵球O的表面积的最小值为4π，∴ah＝，∴棱柱的侧面积为S侧面积＝3ah＝3．故选：B．12．（5分）若函数f（x）＝ex+a（x﹣1）+b在区间上有零点，则a2+b2的最小值为（）A． B．e2 C． D．e【考点】利用导数研究函数的最值；函数零点的判定定理．【答案】A【分析】设t为函数f（x）的零点，则et+a（t﹣1）+b＝0，转化为（a，b）在直线（t﹣1）x+y+et＝0上，根据a2+b2表示点（a，b）到原点的距离的平方，得到，构造新函数，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解．【解答】解：由题意，函数f（x）＝ex+a（x﹣1）+b，设t为函数f（x）在上的零点，则et+a（t﹣1）+b＝0，即（t﹣1）a+b+et＝0，即点（a，b）在直线（t﹣1）x+y+et＝0上，又a2+b2表示点（a，b）到原点的距离的平方，则，即，令，则，因为e2t＞0，t2﹣3t+3＞0，所以g′（t）＞0，g（t）在单调递增．所以g（t）最小值为．故选：A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知向量，，且满足，则m＝4．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【答案】4．【分析】根据已知条件，结合平面向量垂直的性质，即可求解．【解答】解：，，则，，且满足，故3×1+3（3﹣m）＝0，解得m＝4．故答案为：4．14．（5分）设x，y满足约束条件，则目标函数z＝﹣2x+y的取值范围为[﹣1，2]．【考点】简单线性规划．【答案】见试题解答内容【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，求解即可．【解答】解：x，y满足约束条件的可行域如图：作直线﹣2x+y＝0的平行线，当目标函数经过可行域的A（0，2）时，目标函数z＝﹣2x+y取得最大值2，目标函数经过B（1，1）时，目标函数取得最小值：﹣1．目标函数z＝﹣2x+y的取值范围为[﹣1，2]．故答案为：[﹣1，2]．15．（5分）将某个圆锥体沿着母线和底面圆周剪开后展开，所得的平面图形是一个圆和扇形，已知该扇形的半径为3cm，圆心角为，则圆锥的体积是cm3．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【答案】．【分析】求得圆锥的底面半径和高，从而求得圆锥的体积．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，高为h，则，，所以圆锥的体积为cm3．故答案为：．16．（5分）已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点F到C的一条渐近线y+2x＝0的距离为2，则双曲线C的方程为．【考点】双曲线的性质．【答案】．【分析】根据条件求出a，b，c即可．【解答】解：渐近线的方程为y＝﹣2x，∴，又F（c，0），由点到直线的距离公式知：，a2+b2＝c2，a2+4a2＝15，a2＝3，b2＝12，∴双曲线C的方程为：；故答案为：．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（10分）为庆祝神舟十四号载人飞船返回舱成功着陆，某学校开展了航天知识竞赛活动，共有100人参加了这次竞赛，已知所有参赛学生的成绩均位于区间[50，100]，将他们的成绩（满分100分）分成五组依次为[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，制成如图所示的频率分布直方图．（1）试估计这100人的竞赛成绩的平均数；（2）采用按比例分配的分层抽样的方法，从竞赛成绩在[80，100]内的学生中随机抽取6人作为航天知识宣讲使者，再从第四组和第五组的使者中随机抽取2人作为组长，求这2人来自同一组的概率．【考点】频率分布直方图．【答案】（1）73.5，（2）．【分析】（1）根据频率分布直方图相关性质可解；（2）根据分层抽样和古典概型相关知识可解．【解答】解：（1）根据频率分布直方图可得，0.015×10+10a+0.035×10+0.025×10+0.005×10＝1，则a＝0.020，100人的竞赛成绩的平均数约为（55×0.015+65×0.020+75×0.035+85×0.025+95×0.005）×10＝73.5分，（2）根据题意，竞赛成绩在[80，100]内的学生有（0.025+0.005）×10×100＝30人，而成绩在[80，90）与（90，100]的人数之比为5：1，则从第四组抽取的人数为5人，从第五组中抽取1人，可设事件A＝“这2人来自同一组”，则P（A）＝＝．18．（10分）某校积极开展社团活动，在一次活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍薨”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，E、F、G分别是边长为4的正方形的三边AB、CD、AD的中点，先沿着虚线段FG将等腰直角三角形FDG裁掉，再将剩下的五边形ABCFG沿着线段EF折起，连接AB、CG就得到了一个“刍薨”（如图2）．（1）若O是四边形EBCF对角线的交点，求证：AO∥平面GCF；（2）若∠AEB＝，求三棱锥A﹣BEF的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行．【答案】（1）证明见解答；（2）．【分析】（1）在图2中取线段CF中点H，连接OH、GH，可证四边形AOHG是平行四边形，进而可证AO∥平面GCF；（2）可证EF⊥面ABE，进而可求三棱锥A﹣BEF的体积．【解答】解：（1）证明：在图2中取线段CF中点H，连接OH、GH，如图所示由图1可知，四边形EBCF是矩形，且CB＝2EB，∴O是线段BF与CE的中点，∴OH∥BC且，图1中AG∥EF且，而EF∥BC且EF＝BC．所以在图2中，AG∥BC且，∴AG∥OH且AG＝OH，∴四边形AOHG是平行四边形，则AO∥HG，由于AO⊄平面GCF，HG⊂平面GCF，∴AO∥平面GCF．（2）∵EF⊥AE，EF⊥BE，AE，BE⊂面ABE，AE∩BE＝E，∴EF⊥面ABE，S△ABE＝AE•BE•sin＝2×＝，所以VA﹣BEF＝VF﹣ABE＝S△ABE•EF＝××4＝，即三棱锥A﹣BEF的体积为．19．（10分）高二理科班有60名同学参加某次考试，从中随机抽选出5名同学，他们的数学成绩x与物理成绩y如表：数学成绩x140130120110100物理成绩y110901008070数据表明y与x之间有较强的线性关系．（Ⅰ）求y关于x的线性回归方程，并估计该班某同学的数学成绩为90分时该同学的物理成绩；（Ⅱ）本次考试中，规定数学成绩达到125分为数学优秀，物理成绩达到100分为物理优秀．若该班数学优秀率与物理优秀率分别为50%和60%，且所有同学中数学优秀但物理不优秀的同学共有6人，请你在答卷页上填写下面2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为数学优秀与物理优秀有关？物理优秀物理不优秀合计数学优秀数学不优秀合计60参考公式及数据：回归直线的系数＝＝，＝﹣，xiyi＝54900，（xi）2＝1000，K2＝．P（K2≥6.635）＝0.01，P（K2≥10.828）＝0.001．【考点】线性回归方程；独立性检验．【答案】（Ⅰ）y关于x的线性回归方程为，估计该班某同学的数学成绩为90分时该同学的物理成绩为63分；（Ⅱ）能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为数学优秀与物理优秀有关．【分析】（Ⅰ）由已知求得与的值，可得y关于x的线性回归方程，取x＝90求得y值即可；（Ⅱ）由题意填写2×2列联表，求得K2的值，结合临界值表得结论．【解答】解：（Ⅰ），．＝＝，．∴y关于x的线性回归方程为，取x＝90，得．∴估计该班某同学的数学成绩为90分时该同学的物理成绩为63分；（Ⅱ）由题意填写2×2列联表：物理优秀物理不优秀合计数学优秀24630数学不优秀121830合计362460＞6.635，∴能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为数学优秀与物理优秀有关．20．（15分）已知∅（x）＝lnx，φ（x）＝．（1）若f（x）＝∅（x）+φ（x）的单调递减区间是，求实数a的值；（2）若g（x）＝|∅（x）|+φ（x），且对任意x1，x2∈（0，2]，x1≠x2，都有＜﹣1，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性．【答案】见试题解答内容【分析】（1）先求出导函数f'（x），所以f'（x）≤0的解集为[，2]，从而求出a的值；（2）根据题意，构造函数h（x）＝g（x）+x，所以h（x）是（0，2]上的递减函数，再对x分两个区间讨论，把h（x）是（0，2]上的递减函数转化为h'（x）≤0恒成立，再利用分离参数法转化为求最值问题，即可求出a的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）＝lnx+，x＞0，∴在（0，+∞）上的解集为，∴x2+（2﹣a）x+1≤0在（0，+∞）上的解集为，∴和2是方程x2+（2﹣a）x+1＝0的两个根，解得，∴实数a的值为；（2）设0＜x2＜x1≤2，则x1﹣x2＞0，∵，∴g（x1）+x1＜g（x2）+x2，令h（x）＝g（x）+x，则h（x）是（0，2]上的递减函数，①当x∈（0，1]时：h（x）＝﹣lnx++x，∴h'（x）＝﹣﹣+1＝≤0恒成立，∴x3+x2﹣x﹣1﹣ax≤0恒成立，∴a≥x2+x﹣1恒成立，只需a≥（x2+x﹣1）max即可，又∵y＝x2+x﹣1在（0，1]上单调递增，∴ymax＝0，∴a≥0，②当x∈（1，2]时：h（x）＝lnx++x，∴h'（x）＝﹣+1＝≤0恒成立，∴x3+3x2+3x﹣ax+1≤0恒成立，∴a≥x2+3x++3恒成立，只需a≥（x2+3x++3）max即可，又∵y＝x2+3x++3＝x2+2x+（x+）+3在（1，2]上单调递增，∴ymax＝，∴a，综上所求，求交集得实数a的取值范围为[，+∞）．21．（15分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率e＝，短轴长为2．（1）求椭圆C的方程；（2）已知经过定点P（1，1）的直线l与椭圆相交于A，B两点，且与直线y＝﹣x相交于点Q，如果，，那么λ+μ是否为定值？若是，请求出具体数值；若不是，请说明理由．【考点】直线与椭圆的综合；椭圆的标准方程；椭圆的性质．【答案】（1）＝1；（2）．【分析】（1）由已知结合椭圆的性质可求a，b，进而可求椭圆方程；（2）先对直线l的斜率是否存在分类讨论，然后联立直线l与已知椭圆方程，结合方程的根与系数关系及向量的线性坐标表示可求．【解答