空间解析几何与向量代数习题与答案

第七章空间解析几何与向量代数

A

、

1、平行于向量a=(6,7,-6)的单位向量为.

2、设已知两点M|(4,JI1)和M2(3,0,2),计算向量Mpl2的模,方向余弦和方向角.

3、设m=3i+5j+8k,n=2i-4j-7k,p=5i+j-4k,求向审a=4m+3n-p在x轴

上的投影，及在y轴上的分向量.

二、

1、设a=3i-j-2k,b=i+2j-k,求(1)a・b及axb；(2)(-2a)-3b及ax2b(3)a、b的

夹角的余弦.

2、知M|(1,T2),M2(3,3,1),M3(3,1,3),求与MRjM2M、同时垂直的单位向量.

3^设a=(3,5,—2)乃=(2,1,4)，问九与R满足_________时，Aa+pb1z轴.

三、

1、以点(1,3,-2)为球心，且通过坐标原点的球面方程为.

2、方程+y2+z2-2x+4y+2z=0表示曲面.

3、1)将xOy坐标面上的)3=2x绕x轴旋转一周，生成的曲面方程为_

，曲面名称为.

2)将xOy坐标面上的F+y=2式绕x轴旋转一周，生成的曲面方程

，曲面名称为.

3)将xOy坐标面上的4--9/=36绕x轴及y轴旋转一周，生成的曲面方

程为,曲面名称为.

4)在平面解析几何中y=x?表示图形。在空间解析几何中

y=r2表示图形.

5)画出下列方程所表示的曲面

(1)z2=4(/+y2)

(2)z=4(/+)2)

四、

1、指出方程组+亍"1在平面解析几何中表示图形，在空间解

)1二3

析几何中表示图形.

2、求球面/+),2+Z?=9与平面X+z=1的交线在xOy面上的投影方程.

3、求上半球OVZK/?—、一，与圆柱体/+),2A=(。＞0)的公共部分在

xOy面及xOz面上的投影.

五、

1、求过点(3,0,T)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程.

2、求过点(1,1,T),且平行于向量a=(2,l,l)和b=(l,T,0)的平面方程.

3、求平行于xOz面且过点(2,-5,3)的平面方程.

4、求平行于x轴且过两点(4,0,-2)和⑸1,7)的平面方程.

六、

V—3—1

1、求过点(1,2,3)且平行于直线上x=二一二z^一的直线方程.

215

2、求过点(0,2,4)且与两平面工+22=1,y-3z=2平行的直线方程.

-2V+4Z-7=0

XJ垂直的平面方程.

{3x+5y-2z+l=0

4、求过点(3,1,-2)且通过直线士W=上史二三的平面方程.

521

5、求直线=°与平面x-y-z+1=0的夹角.

x-y-z=0

6、求下列直线与直线、直线与平面的位置关系

月2),-=7与直线3二小二三

1)直线4

-2x+y+z=72-1-1

2)直线、二2=)土2二三二^和平面x+y+z=3.

31-4

x+v—z+1=0一―

7、求点(3,-1,2)到直线〈”的距离.

2x-y+z-4=0

B

1、已知a+Z?+c=O(a/,c为非零矢量)，试证：ax8=8xc=cxa.

2、a・b=3,axb={1,1,1},求N(a,b).

3、已知和为两非零向量，问取何值时，向量模|。+必|最小？并证明此时切L(a+f〃).

4、求单位向量，使〃_Lzz且，_Lr轴，其中a=(3,6,8).

5、求过轴，且与平面2x+y-正z=0的夹角为工的平面方程.

3

6、求过点M(4,1,2),M2(-3,5-1),且垂直于6%一2.y+3z+7=0的平面.

7、求过直线J'--且与直线：±=上=三平行的平面

[2x+^-z-2=01-12

y=1

8、求在平面：x+y+z=1上，且与直线L：?垂直相交的直线方程.

z=-l

9、设质量为100口的物体从空间点(3,1,8),移动到点A/2(142),计算重力所做的功

(长度单位为).

10、求曲线_在X。)，坐标面上的投影曲线的方程，并指出原曲线是什么曲

z=3

线？

11、已知54=i+3鼠为=/+3攵，求AOAB的面积

12、.求直线1)在平面4工一)，+2=1上的投影直线方程.

3x―y_2"9=()

C

1、设向量有相同起点，且々7+"+K，=0,其中a+4+y=0,a,4,/不全为零,

证明：〃，仇c终点共线.

2、求过点M°(l,2,-1),且与直线：土x+，2=2v1—」1=*2相交成721角的直线方程.

2-113

3、过(-1,0,4)且平行于平面3x-4y+z-10=0又与直线——r4-1=2v一-3=z-相交的直线方

11

程.

4、求两直线：2二1二2二三与直线：^=上二纪12的最短距离.

0-I-16-30

5、柱面的准线是xoy面上的圆周(中心在原点，半径为1),母线平行于向量8={1,1、1},

求此柱面方程.

6、设向量a,b非零，川=2,(a/)二工，求1而也士必二国.

31°x

x=2y

7、求宜线L:，1绕y轴旋转一周所围成曲面方程.

z=--(y-\)

第七章空间解析几何与向量代数

习题答案

A

1J67-61

一、1、士〈一，一，—

111111

2、=2,cosa=--,cosy9=—^,cos/=-,a=——=—,/=—

3、在x轴上的投影为13,在y轴上的分量为7j

二、1、1)=3-1+(-1)-2+(-2)•(-1)=3

ijk

axb=3-1-2=5z+j+lk

\2-1

(2)(—2a)-3b=-6(a•/?)=-18>ax2b=2(axZ?)=10/+2j+14Z:

八G•b3

(3)cos(。,b)=....=--r=

\a\-\b\2V21

2、M%=亿4,-1},%%={0,-2,2}

a=M%x%%=24-1=6i-4j-4k

0-22

6-4-41

2V17?2J17?2J17

即为所求单位向量。

3、Z=2|i

三、1、(x-1)2+(y-3)2+(z+2)2=14

2、以(1,2-1)为球心，半径为的球面

3、1))2+z?=2x,旋转抛物面2)工2+y2+Z?=2二球面

3）绕x轴：4x2-9y:-9z2=36旋转双叶双曲面

绕y轴：4x2+4z2—9），2=36旋转单叶双曲面

4、抛物线，抛物栏面

5、

四、1、平面解析几何表示椭圆与其一切线的交点；空间解析几何中表示椭圆柱面与其切平

面的交线。

2x2-2x+y2=8

z=0

3、在xoy面的投影为：“一5厂+厂一"一在xOz面的投影为：J尸+z”

z=ob=0

五、1、3x-7y+5z-4=02、l-(x-l)+1(^-l)-3(z+1)=0

3、y+5=()4、9y-z-2=0

-x-\y-2z-3xy-2z-4

八、i>---=-----=----/、—=-----=-----

215-231

3、16x-14y-11z-65=04>8x-9y-22z-59=0

3Jo

5、06、1)垂直2)直线在平面上7、—

2

B

1>证明思路：\,a+b+c=0,:.ax(a+b+c)=0

:.axb=-axc=cxa同理得axb=bxc

2、思路：=同小山(4,份=[4〃|cos(a,〃)。答案：｛a,b)=—

3、思路,•,|〃+力|2=(。+仍)・(4+仍)=|。|2+产+2/(。力)

该式为关于的一个2次方程，求其最小值即可。答案：/二-丝

4、思路:取-=i，则nla,〃口。答案：〃=土5(8/-6幻

5、思路：平面过轴，不妨设平面方程为Ax+B)，=O,则〃={4,氏0},又(AB

不全为)

答案：所求平面方程为x+3)，=0或x—；y=O

6、法一：，所求平面法向量加LM1〃2,且〃-L4={6,-2,3}

ijk

取，=MMx"=-74-3={6,3-10)

6-23

又平面过点M(4,1,2),则平面方程为6x+3y-1()z-7=0

解法2.在平面上任取一点M(x,y,z),则说彳必访和用={6,-2,3}共面，由三向量

x-4y-\z-2

共面的充要条件得6-23=0,整理得所求平面方程

-74-3

7、思路：用平面束。设过直线的平面束方程为x—2y+z—l+/l(2x+)，—z—2)=0

答案：平面方程为1民+3)，—4z—11=0

8、思路：求交点(1,1,一1),过交点(1,1,一1)且垂直于已知直线的平面为X—1=0。

x-l=()

答案：

x+y+z=\

9、思路：重力的方向可看作与向量方向相反

答案：W=F-陷％=0(—2)+0.3+(―100g)•(-6)=600•g=5880J

10、思路：先求投影柱面方程，答案：原曲线在xcy面上的投影曲线方程为

-2：；=0。原曲线是由旋转抛物面)尸+z?-2x=0被z=3平面所截的抛物线。

I———J19

11、思路：S=-\OAxOB\,答案：--

/iOAB22

12、思路：利用平面束方程。答案产+31y-37z-U7=0

4x-y+z=1

C

1、证明：设。4=〃，OB=h,OC=c,根据三角形法则。则=〃一〃，AC=c-af

BC=c-b,根据条件不全为，不妨设7。0,则而=仃一。=一丝3-。

aa+/3b-ya

a+。

即正与初共线。点4,B,C在一条直线上。

2、解：在已知直线上任取两点片(—2,1,0),鸟(0,0,1),则向量

耳玩={3,1,-1},月玩={1,2,-2},则构造直线束方程：=?二2=f±J_,表示

3x+1A+2—Z—2

过点且与已知直线共面的所有直线。根据已知条件：当与成王角时，有

3

(3>l+l)-2+(-l)a+2)+l(-A-2)=cos-,即42—2=1,.•./1=2

328

r4-1v

3、解：设所求直线方程为^—=2=

mn

所求直线与已知平面平行，M3/77-4/74-/7=0(1)

又所求直线与已知直线共面，在已知直线上任取一点(-1,3,0),则

={0,3,-4}在平面上。三向量共面，得2

-4

即1()6一4〃-3〃=()(2)

r+1vz—4

由(1)(2),得m:〃：p=16:19:28所求直线方程：—=^-=--

161928

4、解：已知两直线的方向向量为0={0,-1,一1},52={6,—3,0},故垂直于两方向向量的向

量可取为〃=3xS?=-3/-6./+63又点(1,0,0)在直线上

过直线且平行于的平面为一3。一1)-6y+6z=0,即x+2y-2z-1=0,又点(0,0-2)在

直线上，该点到平面/+2)，-22-1=0的距离

d=/3=i为所求两直线间的最短距