考研数学一（解答题）模拟试卷108

考研数学一(解答题)模拟试卷108

一、解答题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)

1、设f(x)在［a,b］上连续，在(a,b)内可导，且F+(a)F—(b)V0.证明：存在

眄a,b),使得P(9=O.

标准答案：不妨设r+(a)>0,f-(b)<0,根据极限的保号性，由r+(a)=

lim/⑺一八一f(z)-fQ)

-J工一。>0,则存在3>0(3Vb-a),当0Vx—aV3时，x-a>

0,即f(x)>f(a),所以存在xiW(a,b),使得f(xi)>f(a).同理由F—(b)V0,存在

x26(a,b),使得f(X2)>f(b).因为f(x)在［a,b］上连续，且f(xi)>f(a),f(x2)>

f(b),所以f(x)的最大值在(a,b)内取到,即存在亚(a,b),使得熊)为f(x)在［a,b］

上的最大值，故『©)=().

知识点解析：暂无解析

2、设3阶实对称矩阵A的各行元素之和都为3,向量四=(一1,2,-1)T,9=

(0,一1,1产都是齐次线性方程组AX=0的解.(1)求A的特征值和特征向

量.(2)求作正交矩阵Q和对角矩阵A,使得Q「AQ=A.(3)求A及［A-(3/

2)E］6.

标准答案：(1)条件说明A(l,1,1)T=(3,3,3)1,即ao=(l,1,是A的特征

向量，特征值为3.又ai，az都是AX=0的解说明它们也都是A的特征向量，特

征值为0.由于a1，az线性无关，特征值0的重数大于1.于是A的特征值为3,

0,0.属于3的特征向量：cao，cr0.属于。的特征向量：ciai+c2a25，C2不都

(叵叵Af

为0.(2)将W)单位化，得no=l3'3'3J对叱(X2作施密特正交化，得

%:(-西但-吗—-,0,-)•

I6'3'6'［2**2/作Q=(no，r)i，r|2)，则Q是正

-30O'

000.

交矩阵，并且QTAQ=Q/AQ=L。00-(3)建立矩阵方程A(a(),a1,a2)=

r\1\1「30O-

111<000

(3ao，0,0),用初等变换法求解：得人=-1।1」由Q/AQ=LO00-

■3OO'■3/200

Qo00Q，Qo-3/2oQ・L

得人=。

L00-于是A—(3/2)E=00-3/2」[A-

(3/2)E]6=(3/2)6E.

知识点解析：暂无解析

3、设A,B是两个n阶实对称矩阵，并且A正定.证明：(1)存在可逆矩阵P,使

得MAP,PTBP都是对角矩阵；(2)当IEI充分小时，A+EB仍是正定矩阵.

标准答案：(1)因为A正定，所以存在实可逆矩阵的，使得P」AP]=E.作为=

P|TBP|,则B仍是实对称矩阵，从而存在正交矩阵Q,使得Q「B|Q是对角矩

阵.☆P=PiQ,则pTAP=Q*PjAPiQ=E,PTBP=QTPITBPIQ=QTBIQ.因此P

即所求.(2)设对⑴中求得的可逆矩阵P,对角矩降PTBP对角线上的元素依次为

入1，Q,…，入n，记乂=11^{I猫I,I入2I，…，IXnI).则当I£IVI/M

时，E+gpTBP仍是实空角矩阵，且对角线上元素1+以i>0,i=l,2,n.于

是E+d^BP正定，PT(A+eB)P=E+£PTBP,因此A+eB也正定.

知识点解析：暂无解析

4、求二重积分其中积分区域D是由直线y=0,y=2,x=—2及曲线

”=一心1所围成的平面图形.

标准答案：利用直角坐标系计

=((2-一—)ydy=4-JyJ2y—，dy

y-1=sin/

■=——4—(14-sin/)•|cosz|•coszd/

=4—(1-1-sinz)cos2zd/

J-K/2

"2

cos2zdz

o

=4一三

算.2・

知识点解析：因为被积函数f(x,y尸y,所以应先定变量x的上、下限，然后再定

变量y的上、下限.

ln(sinx),x+5

⑴----dr;(2)dr；

smz.x2-6x+13

(3)J—zdz；

(4)(x3+sin2jr)cos2xcLr；

T

1-InJT

(6)

(x-In

dr

1+sin2x,

标准答案：(1)本题考查的知识点是不定积分的分部积分法，关键是选好u和

令“=Insin=d"则du=c?sJdr=cotxdr,v=—cot于是

sm4xsinx

1=­cotx-Insins+jcoFzdz

=­cotx•Insin%+J(esc21—l)dz

dv.=­cotX-InsinX-cotX—X+C.(2)本题考

查典型的有理函数的不定积分，首先凑微分，然后将分母配方.回(3)因x=-[(l-

x)-l],从而可凑微分法.(4)本题考查定积分的性质和定积分的计算，由于是对称

区间上的定积分，一般利用奇函数，偶函数在对称区间上积分性质简化计算，本题

还用到了华里士公式.(5)此题计算量大些，考虑用分部积分法.这当然是错的，

错在哪里呢?因为当0]时，x=arclanl之值不落在原积分区间上.事实上，补

救的办法是将积分区间齐开，

知识点解析：暂无解析

6、已知球A的半径为R,另一半径为r的球B的中心在球A的表面上

(r<2R).(1)求球B被夹在球A内部的表面积.(2)问r的值为多少

时，该表面积为最大?并求出最大表面积的值.

标准答案：设球B的中心在点(0,0,R)处，球B被球A所割部分的方程为

z=R--2——,且

J"便)2+-)2=；^三可・

由于球A与球B的交线方程为｛；：：：：二：；二尸即/+y=/一4=/.于

是：

s⑺=J/1+偿y+德)工力=«M；电

=2k(「W)・⑵

(1)所求曲面面积为

令s'(r)=0.得驻点r二易知「二”R为最大值点.这时，最大值为

<5J

SR=

(j)27KR,本题的

关键在于球B的中心位置的设定，亦即坐标系的选取.

知识点解析：首先确定表面积的曲面方程，然后再利用表面积的面积公式，求出相

应的表面积S,其中曲面在坐标平面xOy上的投影区域为D.

7、设总体X〜N3，/)中,我未知，而X],X2，…，Xn是来自总体X的样本.⑴

求使得JaZf(XM『)dx=0.05的点a的最大似然估计，其中f(x；是x的概率密

度；(II)求P｛XX｝的最大似然估计.

标准答案：已知中。的最大似然估计值分别为

(I)Ja+°°f(x;n,o2)dx=F(+oo；口o2)-F(a；o2)=…5其中，F为X的分

要使1-=0.05,即外^±)=0.95=0(1.645).

必须有匕4=1.645,即。=斜+1.645*

布函数.。由

最大似然估计的不变性，得a的最大似然估计为a=；+L645°.(n)

P\X^2\=1

1。，由最大似然估计的不变性，知P{XN2}的最大似然估计为

P|X^2|=I-《^^卜

知识点解析：暂无解析

sX：-

8、若正项级数Wlln收敛，证明：RLM--收敛.

8

标准答案：因为Mun收敛，所以!叫Un=O,当x>0时，ln(l+x)Vx,于是

一业巴2>0,即£h_也旺史匚

人人为正项级数，而ln(l+Un尸Un—2

+0(Un),

所以「f8时，］一」(1+“・)〜】明,再由£收敛故£】一㈣土22］收敛

知识点解析：暂无解析

9、设总体X的概率密度为°，其也，其中。为未知参数且大于

零，Xi，X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本.(I)求0的矩估计量；［II)

求0的最大似然估计量.

标准答案：

(I)£(X)=(xf(x)dx=］-ye'^dx=-e'd(2)=-夕［ezd(l)=8,

令£(X)=取得到矩估计G=X.

(H)对于总体X的样本值/，七，…,乙，其似然函数为

…户・；。)=/(3，8)/(七,。卜,/(4，。)=小(〜/…与尸「(*之),

ln(L(8))=2n\nO-31n(/与…乙)-,

'X,+xj

^=2n.(±+...+L)=0,

Me\ztxj

得到最大似然估计任为。=萼一.

知识点解析：暂无解析

/冷泊，"（0,0）'.

10、设f（x,y）=1°，（“沙）=（°，°），讨论函数f（x,y）在点（0,0）处的连续性与

可偏导性.

标准答案:

因为limfCr.y）=lim/（x,x2）=lim=lim/Gr,—x2）=—4•，所以

用iZz2

不存在，故函数/Cr,y）在点（0,0;点不连续.

n

因为呵A马=o%—与/@。2=0,所以函数人工沙）在点（0,0）处

对工,，都可偏导.•

知识点解析：暂无解析

11、设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*,证明：(IIAI=0,则|A*1=0；

(□)IA*I=IAI叫

标准答案：(I)(反证法)假设IA*I#),则有A*(A')J=E。又因为AA*=IAIE,

且IAI=0.故A=AE=AA*(A*)-1=IAIE(A*)」=O,所以A*=O„这与IA*I知矛

盾，故当IAI=0时，有IA*I=0。(□)由于AA?IAIE,两端同时取行列式

nd

得IAIIA*I=IAI%当IA|翔时，IA*I=IAI;当IAI=0时，I

A*I=0o综.上，有|A*I=IAI“J成立。

知识点解析：暂无解析

12、罐中有N个硬币，其中有8个是普通硬币（掷出正面与反面的概率各为

0.5）,其余N—0个硬币两面都是正面，从罐中随机取出一个硬币，把它连掷两

次，记下结果，但不去查看它属于哪种硬币，如此重复n次，若掷出0次、I次、

2次正面的次数分别为no,n2,利用（1）矩法；（2）最大似然法，求参数。的估计

量.

标准答案：设X为连掷两次正面出现的次数，A={取出的硬币为普通硬币},则

P{X=0>=P(A)P{X=0|A)+POP{X=0㈤=告信),=磊，

P{X=1)=P(A)P(X=1IA}+P(A)P{X=1I由=(-Q(1)2=A

P(X=2}=P(A)P(X=2IA}+P(A)P(X=2IA)

=4圈"切=铲，

即X的分布为

X01

04N—韶•

P2N4N

(1)四=岛+琮竺・缘/，解得夕・N(2—小),夕的矩估计为

3=N(2-X)=N12-J(力+2物)]=?(2〃一迎-2n)=F(2%+w).

(2)L(Xi，…,X.；8)=(给侏)(与善),

InL=»o•[In8—ln(4AD]d-n>[ln0—ln(2N)]4-n2[ln(4N—30)—ln(4N)]»

生逞=0+&-----也___±0.

d0604N-38J

解得夕的最大似然估计。=寒(％+小)・

知识点解析：暂无解析

13、♦Jdzdx,其中Z为由曲面丫=*，%2与平面y=l,y=2所围立体表面的

外侧.

I—^=?

标准答案：Z围成区域Q,直接用高斯公式得1=。2石V*+xdV作柱坐标变换

D(y)：0<r<,O<0<2n,

知识点解析：暂无解析

Acosxt|x晟

14、设随机变量X的密度函数为f(x)=l0'修，⑴求常数A；(2)求X

_K

在(0，4，)内的概率；(3)求X的分布函数F(x).

(1)因为厂/Cr)dr=1,所以1=AJ^co&zdz=2A,解得A=去

(2)P(0<X<£)=J；/Cc)dr=yj*cosxdr=4.

(3)F(x)=P[X4幻=力，

当nV-伊时,FG)=0,

4

当一卷＜aV仔时，FCar)coszdz=-1-(14-sinx)।

当z》费时,FGr)=1,于是X的分布函数为

o,

F(x)=--1-(14-sinx)，一｝&zV

1,x^f

标准答案：

知识点解析：暂无解析

15、设空间中有三个平面aix+b]y+ciz+di=O,a2x+b2y+c2z+d2=0,

a3x+b3y+c3z+d3=0,求r(4).

a\'

®2

标准答案：记3=(%,bj,Ci)(i=l,2,3)是平面的法向量，A」5」是方程组的系

冈

数矩阵，」是增广矩阵，作=(川，hi，Ci，di)是Ci的延伸向量.(I)平面两两不平

行，有且仅有一个公共点的充要条件是r(A尸厂3.这可从方程组有唯一解来推

导，亦可从法向量来看，这时的三个法向量不共面，因而ai，a2,a3线性无关，

即r(A)=3,3延伸后我仍线性无关.故r=3.(口)三个平面两两相交，围成一个三

棱柱的充要条件是四，S，。3线性相关，但任两个线性无关，且r=3.法向量在

与三棱柱的棱垂直的平面上，因而ai，a2,。3共面，但不共线，因此⑴，a2,a3

线性相关，但任两个线性无关，从而r(A)=2,此时方程组无解，r=3.(HI)三个平

面两两不平行，并有一条公共直线的充要条件是ai，a2,a3线性相关，但任两个

线性无关，且r=2.(W)有两个平面平行(不重合)，第三个平面与它们相交的充要

条件是四，az线性相关，但。3不能用ai，a2线性表出，且r=3.(V)有两个平面

重合，第三个平面与它们相交的充要条件是向，恒线性相关，但a3不能用ou，a2

线性表出，且r=2.

知识点解析：暂无解析

设有大小相同、标号分别为1,2,3,4,5的五个球，同时有标号为1,2,

10的十个空盒.将五个球随机放入这十个空盒中，设每个球放人任何一个盒子的

可能性都是一样的，并且每个空盒可以放五个以上的球，计算下列事件的概率：

16、A=｛某指定的五个盒子中各有一个球｝;

标准答案：每个球都有10种放法，所以，基本事件总数（放法总数）n=l（）5.5个球

放入指定的5个盒子中，事件A包含的基本事件数为5!个，所以

P（A）=耨=0.0012；

知识点解析：暂无解析

17、B=｛每个盒子中最多只有一个球｝;

标准答案：事件B是从10个盒子中任选5个（共有G。种选法），然后将选定的5个

盒子中各放入一个球（共有5!种放法），由乘法法则，事件B包含凶个基本事件，

所以

知识点解析：暂无解析

18、C=｛某个指定的盒子不空｝.

标准答案：事件C的逆事件己表示“某个指定的盒子内无球”，即“5个球都放人其