广东省东莞市2024-2025学年高二下学期期末考试 数学

东莞市2024-2025学年度第二学期教学质量检查

高二数学

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．

π

f

1.已知函数fxsinx，则6（）

1133

A.B.C.D.

2222

【答案】D

ππ3

【详解】因为fxsinx，则fxcosx，所以fcos，

662

故选：D

2.已知随机变量XN,2，且PX2PX8，则PX5（）

A.0.3B.0.4C.0.5D.0.6

【答案】C

【详解】因为PX2PX8，

28

所以5，

2

所以PX50.5.

故选：C

3.树人中学高二年级举办古诗词比赛，所有同学均可自愿报名参加．某学习小组有6名同学，其中甲、乙

两位同学决定要么都去，要么都不去，则该学习小组不同的报名情况总数是（）

A.64B.32C.31D.16

【答案】B

【详解】若甲、乙都去，则小组内另外4名同学报名参加的情况有：

012344

C4C4C4C4C4216种；

若甲、乙都不去，则小组内另外4名同学报名参加的情况有：

012344

C4C4C4C4C4216种.

所以该学习小组不同的报名情况总数是：161632种.

故选：B

4.记试验的样本空间Ω1,2,3,4,5,6，事件A1,2,4，B1,3,5，则PAB（）

2131

A.B.C.D.

3344

【答案】A

3121

【详解】由题意有B2,4,6，AB2,4，PA,PAB，

6263

1

PAB2

所有PAB3，

PA13

2

故选：A.

5.如图，直线ykxm与曲线yfx相切于点P，则函数gxfxkx在1,1上的极值点的个

数为（）

A.3B.2C.1D.0

【答案】B

【详解】由gxfxkx有gxfxk，由ykxm与ykx平行，

作出ykx与fx的交点，设横坐标为a,b且ab，由gxfxk0，解得xa或b，

由图可知：gx在1,a,0,b单调递减，在a,0,b,1，gx单调递增，

所以gx在1,1的极值点个数为2.

故选：B.

6.如图，一质点在随机外力的作用下，从原点O出发，每次向左或向右移动一个单位长度，向左移动的概

31

率为，向右移动的概率为，共移动4次，则该质点位于原点右侧的概率为（）

44

138127189

A.B.C.D.

25625664256

【答案】A

4

【详解】第一种情况：一直向右移动，11；

P1

4256

3

第二种情况：向左移动一步，向右移动三步：1313，

P2C4

4464

13

所以该质点位于原点右侧的概率为PP.

12256

故选：A.

210

7.12xx1x的展开式中x4的系数为（）

A.495B.375C.135D.15

【答案】D

【详解】展开式中，x4的系数为：

443322.

1C1012C1011C1012102404515

故选：D

8.已知函数fxexlnxm，若fx0恒成立，则正整数m的最大值为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【详解】原不等式等价于ex>lnxm，由图可知

若满足题意，只需m小于ylnxm与yex两个函数相切时的m的值即可，

1

设公切点为x,y，因为y，yex，

00xm

x0

elnxm

0mex0x1

0

所以x1，所以，所以mx0，

0x0x

eex00

x0m

令gxexx，所以gxex10，所以gx单调递增，

13

1133

因为ge20，ge40，

2244

31

所以存在，使得x0，

x0,ex0

42

13113

所以x0,，令tx0，则mt,t,，

24t24

113

根据对勾函数的性质知mt,t,单调递减，

t24

255

所以m,，所以正整数m的最大值为2.

122

故选：B.

二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有

多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．请把正确

选项在答题卡中的相应位置涂黑．

6

1

9.x的展开式中，下列说法正确的是（）

x

A.展开式共有7项B.常数项为20

C.第二项与第四项的二项式系数相等D.各项系数之和为0

【答案】AD

【详解】对A，展开式一共有617项，故正确；

3

对B，常数项为3631，故错误；

C6x20

x

对C，第二项的二项式系数为1，第四项的二项式系数为3，不相等，故错误；

C66C620

对D，令x1，所以各项系数之和为0，故正确.

故选：AD

2

10.根据分类变量x与y的成对样本数据，提出零假设H0，并计算得到2.974，则下列说法正确的是

（）

0.10.050.010.0050.001

x27063.8416.6357.87910.828

2

nadbc

附：2

abcdacbd

A.零假设为H0：分类变量x与y独立

B.根据小概率值0.1的2独立性检验，可以认为x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.1

C.根据小概率值0.01的2独立性检验，可以认为x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.01

D.若所有样本数据都扩大为原来的10倍，根据小概率值0.01的2独立性检验，可以认为x与y不独

立，这个结论犯错误的概率不超过0.01

【答案】ABD

【详解】对A：零假设H0：分类变量x与y独立.是正确的，故A正确；

对B：因为22.9742.706，所以根据小概率值0.1的2独立性检验，可以认为x与y不独立，

这个结论犯错误的概率不超过0.1，故B正确；

22

对C：因为2.9746.635，根据小概率值0.01的独立性检验，我们不能拒绝零假设H0，即

可以认为x与y独立.故C错误；

2

nadbc

对D：根据2，当所有样本数据都扩大为原来的10倍，2的值夜变成原

abcdacbd

来的10倍，且29.746.635，所以根据小概率值0.01的2独立性检验，可以认为x与y不独立，

这个结论犯错误的概率不超过0.01，故D正确.

故选：ABD

11.已知fx为R上的偶函数，f10，fx为fx的导函数，且当x0时，3fxxfx0，

则（）

A.当x1时，fx0B.f10

11

C.f28f4D.ff

24

【答案】ACD

3232

【详解】设gxxfx，则gx3xfxxfxx3fxxfx，

当x0时，3fxxfx0，x20，所以gx0，

所以gxx3fx在,0上单调递减，

3

又fx为R上的偶函数，所以gxxfx为R上的奇函数，

所以gxx3fx在0,上也是单调递减，

又f10，所以g113f10，g1g10；

对A：当x1时，gxg10x3fx0，

因为x30，所以fx0，故A正确；

对B：因为gxx3fx在0,上单调递减，所以g10，

2

即13f11f10f10，故B错误；

对C：因为gxx3fx在0,上单调递减，

所以g2g423f243f4f28f4，故C正确；

311

对D：因为gxxfx在0,上单调递减，所以gg，

24

33

111111

即fff8f，

224442

11111

又ff10，所以8ff，所以ff，故D正确.

22242

故选：ACD

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填在答题卡的相应位置上．

12.已知22，那么______．

CnA3n

【答案】4

nn1

【详解】由22，所有2，解得，

CnA33266nn120n4

2

故答案为：4.

a

13.已知函数fxx2x，若fx在0,上单调递增，则实数a的取值范围为______．

x

1

【答案】,

27

a2x3x2a

【详解】fx2x1，

x2x2

因为fx在0,上单调递增，

2x3x2a

所以fx0在0,上恒成立，

x2

即32在0,上恒成立，即a2x3x2，

a2xxmin

设gx2x3x2，x0,，则gx6x22x2x3x1，

1

令gx2x3x10，则x或x0（舍），

3

1

当0x时，gx0，gx单调递减；

3

1

当x时，gx0，gx单调递增，

3

32

11111

所以当x时，gx有最小值，最小值为g2，

333327

1

所以a，

27

1

故答案为：,.

27

14.有6张卡片，正面分别写有数字1，2，3，4，5，6，背面均写有数字7．先把这些卡片正面朝上排成

一排，且第i个位置上的卡片恰好写有数字ii1,2,3,4,5,6．然后掷一枚质地均匀的骰子，若向上点数

为n，则将第n个位置上的卡片翻面并置于原处．进行上述实验3次，发现卡片朝上的数字之和为偶数，在

这一条件下，计算骰子恰有一次点数为3的概率为______．

1

【答案】

3

【详解】由已知，试验前卡片朝上的数字之和为12345621，数字之和为奇数，

若抛掷骰子所得点数为奇数，则试验后卡片朝上的数字之和仍然为奇数，

若抛掷骰子所得点数为偶数，则试验后卡片朝上的数字之和变为偶数，

所以事件进行3次实验后卡片朝上的数字之和为偶数，等于事件三次试验中抛掷骰子所得点数有一次为偶

数，余下两次为奇数，或三次试验中抛掷骰子所得点数都为偶数，

设事件3次试验后，卡片朝上的数字之和为偶数为A，

设事件三次试验中抛掷骰子所得点数恰有一次为3为B，

1

记A表示第i次试验中抛掷骰子所得点数为偶数，i1,2,3，则PA，

ii2

1

设C表示第i次试验中抛掷骰子所得点数为1或5，i1,2,3，则PC，

ii3

1

设D表示第i次试验中抛掷骰子所得点数为3，i1,2,3，则PD，

ii6

32

所以，所以11111，

AA1A2A3A1A2A3A1A2A3A1A2A3PAC3

2222

事件AB表示三次试验中有一次骰子的点数为3，另两次的点数为一个奇数一个偶数其中奇数为1或5，

所以ABD1A2C3D1C2A3A1D2C3C1D2A3A1C2D3C1A2D3，

1

1111PAB1

所以PAB6，所以PBA6.

2366PA13

2

1

故答案为：.

3

四、解答题：本大题共5小题，第15题13分，16、17题15分，18、19题17分，共77分．解

答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域

内，超出指定区域的答案无效．

15.已知函数fxx32ax2a2x4．

（1）当a1时，求曲线yfx在1,f1处的切线方程；

（2）若2是fx的极小值点，求a及函数fx的极值．

【答案】（1）y4

140

（2）a2，fx的极小值为4，极大值为.

27

【小问1详解】

当a1时，fxx32x2x4，则f14，

又fx3x24x1，则f10，

即曲线yfx在1,f1处的切线斜率k0，

故yfx在1,f1处的切线方程为y4.

【小问2详解】

法一：fx3x24axa2xa3xa，

a

令fx0，得x或a.

3

a

因为x2是函数fx的极小值点，所以必有a0，则a，

3

aa

当x或xa时，fx0，当xa时，fx0.

33

aa

所以函数在,和a,上单调递增，在,a上单调递减.

33

则xa时fx取极小值，即a2，此时fxx34x24x4，

a2140

则fx的极大值为ff，极小值为faf24．

3327

法二：fx3x24axa2，

2是fx的极小值点，则f2128aa20，得a2或6，

若a6时，fxx312x236x4，fx3x224x363x2x6．

则当x2或x6时，fx0，当2x6时，fx0，

所以函数在,2和6,上单调递增，在2,6上单调递减.

此时2是fx的极大值点，不符合题意，舍去．

若a2时，fxx34x24x4，fx3x28x43x2x2，

22

则当x或x2时，fx0，当x2时，fx0，

33

22

所以函数在,和2,上单调递增，在,2上单调递减.

33

故2是fx的极小值点，符合题意，

2140

此时极小值为f24，极大值为f．

327

2140

综上所述，a2，且fx的极小值为f24，极大值为f．

327

16.在科技日新月异的今天，无人驾驶网约车正逐渐成为出行领域的新宠，根据统计数据显示，某区域过

去5天的订单数如下：

日期x（天）12345

订单数y（件）1321455566

为了进一步了解订单数的变化情况，甲乙两个数学学习小组分别进行了研究，

（1）甲小组决定用线性回归模型进行拟合，求此时y关于x的经验回归方程yˆbˆxaˆ；

（2）乙小组采用非线性回归模型进行拟合，求得y关于x的经验回归方程为yˆ7.4234lnx，并计算出

决定系数R20.9276，

①根据回归模型的决定系数，说明哪个小组的模型拟合效果更好；

②用①中选择的模型预测该区域第10天的订单数（结果保留整数）．

nnn

2

xixyiyxiyinxyyiyˆi

2

附：bˆi1i1，aˆybˆx；决定系数R1i1．参考数据：

n2nn2

22

xixxinxyiy

i1i1i1

ln102.30

【答案】（1）yˆ14x2

（2）①甲小组的线性回归模型拟合效果更好；②138件

【小问1详解】

由题可知：

123451321455566

x3，y40，

55

5

xxyy

ii140

ˆi1，ˆ，

b514aˆybx401432

210

xix

i1

y关于x的回归方程为yˆ14x2．

【小问2详解】

①由（1）知yˆ14x2，从而有．

x12345

yˆi1226405468

5

222222

，

yiyˆi13122126454055546668125251456

i1

5

222222

yiy13402140454055406640

i1

729361252256762016，

5

2

yyˆ

ii56

2i1，

R15110.02780.9722

22016

yiy

i1

0.97220.9276，从R2来看甲小组的线性回归模型拟合效果更好．

②当x10时，yˆ14102138．预测第10天的订单数为138件．

17.近年来，轻食作为餐饮的一种创新形态，广受消费者青睐．某公司为了获得轻食消费者行为数据，对

一地区消费者进行抽样调查．统计其中300名消费者（表中3个年龄段的人数各100人）食用轻食的频数

与年龄得到如下的频数分布表．

年龄25岁以下25岁到50岁50岁及以上

食用频数（25）25,50（50）

轻食低频消费者（每周1次）153550

轻食中频消费者（每周2-3次）554540

轻食高频消费者（每周4-6次及

302010

以上）

（1）已知该地区25岁以下、25岁到50岁、50岁及以上三个年龄段的人数比例为3:6:1，用频率估计概

率，求从该地区随机抽取一人，其为高频消费者的概率．

（2）从以上样本的轻食高频消费者（每周4-6次及以上）中，采用按比例分配的分层随机抽样抽取6人，

再从这6人中随机抽取3人，记这3人中年龄在25岁以下与25岁到50岁的人数分别为X，Y，记

XY，求的分布列与期望．

11

【答案】（1）

50

（2）分布列见解析；期望为1

【小问1详解】

记从该地区中任抽一人，其年龄在25岁以下、25岁到50岁、50岁及以上分别为事件A1，A2，A3，其为

331

高频消费者为事件B，则PA，PA，PA，

11025310

311

由表中数据估计概率PB∣A，PB∣A，PB∣A，

11025310

33311111

所以PBPAPB∣APAPB∣APAPB∣A，

112233101055101050

11

即从该地区中任抽一人，其为高频消费者的概率为．

50

【小问2详解】

由表知，利用分层抽样的方法抽取的6人中，年龄在25岁以下与25岁到50岁的人数分别为3和2，依题

意，的所有可能取值分别为0、1、2、3．

C1C13

所以32，

P0PX1,Y13

C610

C2C1C1C29

3232，

P1PX2,Y1PX1,Y233

C6C620

C2C21

32，

P2PX2,Y0PX0,Y233

C6C65

C31

3．

P3PX3,Y03

C620

所以的分布列为：

0123

3911

P

1020520

3911

所以的数学期望为E01231．

1020520

eax

18.已知函数fx，x0,．

x

（1）讨论fx的单调性；

（2）若方程fx1有两根，求a的取值范围；

（3）证明：当a1时，fxaexelnx．

【答案】（1）答案见解析

1

（2）0,

e

（3）证明见解析

【小问1详解】

aeaxxeaxax1eax

由题意有fx．

x2x2

当a0时，fx0，fx在0,单调递减；

1

当a0时，令fx0，得x，fx单调递增；

a

1

令fx0，得0x，fx单调递减．

a

综上所述，当a0时，fx在0,单调递减；

11

当a0时，fx在0,单调递减，在,单调递增．

aa

【小问2详解】

由（1）知，当a0时，fx在0,单调递减，所以方程fx1最多一根，故a0．

11

因为当a0时，fx在0,单调递减，在,单调递增，

aa

又因为x0，fx，且x，fx，

1

故要使方程fx1有两根，则f1，

a

11

即ae1，得a，故a的取值范围为0,．

ee

【小问3详解】

eaxeaxeax

法一：要证aexelnx，即elneaxelnxeln，

xxx

eax

令t，则只需证telnt，当0t1时，lnt0，上式显然成立；

x

现证当t1时上式成立：

eax1

由（1）知，fae，取a1，即得exexelnex，

xa

取tex1，即可得telnt，即得证．

eaxeaxeax

法二：要证aexelnx，即elneaxelnxeln，

xxx

eaxe

令t，则只需证telnt，令gttelnt，gt1，

xt

当t0,e时，gt0，gt单调递减；

当te,时，gt0，gt单调递增；

eax1

由（1）知，fae，则taee，

xa

故gtge0，即telnt，得证，

19.现有一批产品，每件产品是否合格相互独立，每件产品合格的概率均为p．在某次抽样中，经统计抽取

的100件产品中，恰有98件合格品．

（1）以频率估计概率，若从该批产品中再抽取10件，记合格品的数量为X，求X的期望EX；

（2）在概率统计中，我们常常通过观测到的实验结果应用极大似然估计法来估计某参数的取值．设X为与

未知参数m有关的离散型随机变量，其中m的取值范围为S．若对已知结果Xk，存在m0S，且对任

|

意m1S，有PXk|mm0PXkmm1成立，则称m0为m的一个极大似然估计值．

①请根据此次抽样，求p的极大似然估计值p0．

②在实际操作中往往采用多次独立抽样来求参数的极大似然估计值，现对该批产品进行m次独立抽样，每

次从中抽取n个产品，记录合格品数分别对应为k1，k2，…，km，请根据这m次独立抽样结果，求p的极

大似然估计值p1．

49

【答案】（1）

5

m

49k

（2）①p；②i

050pi1