2026年吉林省四平市中考数学二模试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026年吉林省四平市中考数学二模试卷一、选择题1.下列各数中，是无理数的为(

)A.−1 B.2 C.3.3 D.2.如图所示的几何体的俯视图为(

)A.

B.

C.

D.3.一个不等式组的解集在数轴上的表示如图，则这个不等式组的解集是(

)A.−1<x<2 B.−1<x≤2 C.−1≤x<2 D.−1≤x≤24.下列运算正确的是(

)A.2×2=22 B.5.唐朝李白的《行路难》有句诗“长风破浪会有时，直挂云帆济沧海.”如图是小明作的一个帆船模型抽象的几何图形，已知BC//EF，∠A=20°，若∠ADE=70°，则∠C的度数为(

)A.30° B.50° C.45° D.57°6.如图，点A、B、C、D在⊙O上，且AC=BD，若∠BOD=84°，则∠ACO的度数为(

)A.42°

B.44°

C.46°

D.48°二、填空题7.因式分解b2−10b+25=

．8.用四舍五入法将3.818精确到百分位，所得到的结果为

．9.如图，△AOB和△COD是位似图形，点O是位似中心，且CD=2AB.若点C的坐标为(−4,−2)，则点A的坐标为

．10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，AB=10，分别以A，B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过点M，N作直线MN，交AB于点D，连接CD，则S△CDB=

11.如图是一个一面靠墙，另一面用篱笆围成的半圆形花园，这个花园的直径是4m，在这个花园内以A为圆心，AO为半径画弧交半圆于C点，沿着弧OC围篱笆再围成一个小型花园，一共需要篱笆

m.(结果保留π)三、解答题12.先化简，再求值：[(3x−y)2+(x+y)(x−y)]÷5x，其中x=1，y=513.据中国载人航天工程办公室消息，北京时间2026年1月19日9时，神舟二十号飞船返回舱在东风着陆场成功着陆.下面是四张印有中国航天飞行任务标识图案的卡片A，B，C，D，四张卡片除正面图案外其他均相同.将这四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上.从这四张卡片中随机同时抽取两张卡片，用列表或画树状图的方法求出抽到的卡片正面图案恰好是“神舟19”和“神舟21”飞行任务标识的概率．

14.某公司计划购买甲、乙两种机器人进行销售.已知甲种机器人的单价比乙种机器人的单价少5万元，花1200万元购进甲种机器人的数量是花650万元购进乙种机器人数量的2倍.求购买一个甲种机器人、一个乙种机器人各需多少万元．15.已知：如图，点A，D，B，E在同一条直线上，若AD=BE，∠A=∠EDF，∠E=∠ABC，求证：△ACB≌△DFE．16.如图，在7×7的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，A，B，C均在格点上，请用无刻度的直尺作图(保留作图痕迹，不写作法)．

(1)在图①中找一格点D，使得△ACD为等腰三角形(画出一个即可)；

(2)在图②中作出∠BAC的角平分线AJ；

(3)在图③中的线段AC上确定一点M，使得AM：CM=3：2．

17.【项目背景】为提高青少年心理抗压和自我心理疏导能力，某校在开设心理健康课前后，对全校学生进行了两次心理健康知识测试，并随机抽取了50名学生，对他们的两次测试成绩进行对比分析，来检验心理健康课的开设效果．

【数据收集与整理】收集这50名学生在心理健康课前和课后的测试成绩，并按照学生得分(满分100分，用x表示学生的分数)进行分组，分组如下：组别ABCDEx50≤x<6060≤x<7070≤x<8080≤x<9090≤x≤100整理1：学生在心理健康课后的测试成绩在D组的记录如下：

80，81，82，83，84，85，85，85，85，85，89，89，89，89，89，89．

整理2：将心理健康课前测试成绩绘制成如图①所示的频数分布直方图，将心理健康课后测试成绩绘制成如图②所示的扇形统计图．

整理3：这50名学生在心理健康课前测试成绩优良率(测试成绩大于或等于80分为优良)为20%．

【数据处理和应用】

任务1：心理健康课前测试成绩在C组的有______

人，并补全频数分布直方图；

任务2：心理健康课后这50名同学测试成绩的中位数是______

分，B组对应扇形的圆心角是______

；

任务3：若心理健康课后测试成绩不低于80分为优秀，试估计该校2000名学生在心理健康课后测试成绩为优秀的人数．18.某综合与实践活动小组对其自制的桥梁模型的承重开展了项目化学习活动，如表是此活动的设计方案．项目主题桥梁模型的承重试验活动目标经历项目化学习的过程，引导学生在实际情境中发现问题，并将其转化为数学问题驱动问题当桥梁模型发生不同程度的形变时，水桶下降的高度方案设计工具桥梁模型、量角器、卷尺、水桶、水杯、绳子、挂钩等示意图状态一(空水桶)状态二(水桶内加一定量的水)说明：C为AB的中点，CD⊥AB请你参与该项目化学习活动，并完成下列问题：

(1)该综合与实践活动小组在设计桥梁模型时，选用了三角形结构作为设计单元，这样设计依据的数学原理是______；

A.三角形具有稳定性

B.两点确定一条直线

C.两点之间线段最短

(2)在水桶内加入一定量的水后，桥梁发生了如图②所示的形变.若其他因素忽略不计，测得CD=32cm，∠C′AC=12°，∠C′AD=45°，请计算此时水桶下降的高度CC′(参考数据：sin12°≈0.2，cos12°≈1.0，tan12°≈0.2)．19.如图，在△ABC中，AB=AC=45cm，BC=16cm，AD⊥BC于D，点E从B点出发，沿着射线BC运动，速度为4cm/s，点F从C同时出发，沿CA、AB向终点B运动，速度为5cm/s，设它们运动的时间为t(s)，当F点到达B点时，E点也停止运动，设运动时间为t．

(1)求t为何值时，△EFC和△ACD相似；

(2)设△EFC的面积为S，求S与t的函数关系式；

(3)是否存在某一时刻，使得△EFD被AD分得的两部分面积之比为1：3，若存在，求出t20.秤是我国传统的计重工具，方便了人们的生活.如图1，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量.称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为x(厘米)时，秤钩所挂物重为y(斤)，则y是x的一次函数.下表中为若干次称重时所记录的一些数据．x(厘米)12471112y(斤)0.751.002.002.253.253.50

(1)在上表x、y的数据中，发现有一对数据记录错误.在图2中，通过描点的方法，观察判断错误的一对是______

(用坐标表示)．

(2)求y与x之间的函数关系式．

(3)求当秤钩所挂物重为4.50斤时，秤杆上秤砣到秤纽的水平距离是多少厘米．21.在四边形ABCD中，点G，E分别是线段AB，AD上的点，且AG=AE，连接GE、BE，将线段EB绕点E旋转得到EF，连接DF．

(1)如图①，若四边形ABCD是正方形，∠BEF=90°，猜想DF与AE的数量关系是______，∠CDF=______°；

(2)如图②，若四边形ABCD是菱形，且∠BAD=∠BEF=120°，猜想DF与AE的数量关系及∠CDF的度数，并说明理由；

(3)如图③，在(2)的条件下，若AB=5，DE=2，连接BF交DC于点H，直接写出BHHF的值．22.如图，已知抛物线y=−34x2+bx+c与x轴交于点A(−4,0)和点B，与y轴交于点C(0,3)．

(1)求该抛物线的表达式；

(2)设点P(m,n)是直线AC上方抛物线上一点，过点P作PG⊥x轴，垂足为点G，PG与直线AC交于点H．

①连接AP、CP，求四边形AOCP的面积S与m的函数关系式，并求出S的最大值；

②连接OH，在①的条件下，试判断四边形PHOC的形状，并说明理由；

③是否存在点P，使得以P、H、C为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的m的值；若不存在，请说明理由．1.【答案】B

2.【答案】C

3.【答案】B

4.【答案】C

5.【答案】B

6.【答案】D

7.【答案】(b−5)8.【答案】3.82

9.【答案】(2,1)

10.【答案】12

11.【答案】8312.【答案】解：[(3x−y)2+(x+y)(x−y)]÷5x

=(9x2−6xy+y2+x2−y2)÷5x

=(10x2−6xy)÷5x

13.【答案】抽到的卡片正面图案恰好是“神舟19”和“神舟21”飞行任务标识的概率为16．14.【答案】解：设购买一个甲种机器人需要x万元，则购买一个乙种机器人需要(x+5)万元，

根据题意列方程得，1200x=2⋅650x+5

解得x=60，

经检验，x=60时x(x+5)≠0，

∴x=60是原分式方程的解，且符合题意，

则x+5=60+5=65，

答：购买一个甲种机器人需6015.【答案】∵点A，D，B，E在同一条直线上，AD=BE，

∴AD+BD=BE+BD，

∴AB=DE，

在△ACB和△DFE中，

∠A=∠EDFAB=DE∠ABC=∠E，

∴△ACB≌△DFE(ASA)16.【答案】解：(1)使得△ACD为等腰三角形的点D，如图①即为所求(答案不唯一)；

AD=5，AC=42+32=5，

则△ACD为等腰三角形；

(2)∠BAC的角平分线AJ，如图②即为所求；

取CD的中点J，射线AJ即为所求；

(3)使得AM：CM=3：2的点M，如图③17.【答案】任务1：12；根据这50名学生在心理健康课前测试成绩优良率(测试成绩大于或等于80分为优良)为20%.

∴50×20%=10人，

∴D组的人数为10−4=6人，

则C组的人数为：50−10−18−10=12人，

补全频数分布直方图如图.

任务2：80.5，43.2°．

任务3：若心理健康课后测试成绩不低于80分为优秀，

学生在心理健康课后的测试成绩在D组为16人，E组占比20%即50×20%=10人，

估计该校2000名学生在心理健康课后测试成绩为优秀的人数为：2000×16+1050=1040(人)，

答：估计该校2000名学生在心理健康课后测试成绩为优秀的有

18.【答案】A

8cm

19.【答案】解：(1)∵AB=AC=45cm，BC=16cm，AD⊥BC于D

∴BD=CD=12BC=8cm

∴AD=AB2−BD2=(45)2−82=4(cm)

由题意得：BE=4t，

当0≤t≤4时，E在线段BC上，CE=16−4t，F在AC上，CF=5t

当4<t≤8时，E在线段BC外，CE=4t−16，F在AB上，BF=85−5t

①若△ECF∽△ACD，如图1，则CEAC=CFCD

∴16−4t45=5t8

解得：t=3213

②若△FCE∽△ACD，如图2，则FCAC=ECCD

∴5t45=16−4t8

解得：t=83

综上所述，t=3213或83时，△EFC和△ACD相似．

(2)过F作FG⊥BC于G

如图3，当0≤t≤4时，△FCG∽△ACD

∴FGAD=CFAC

∴FG=AD⋅CFAC=4⋅5t45=t

∴S=12CE⋅FG=12(16−4t)⋅t=−2t2+8t

如图4，当4<t≤8时，△BFG∽△BAD

∴FGAD=BFAB

∴FG=AD⋅BFAB=4(85−5t)45=8−t

∴S=12CE⋅FG=12(4t−16)(8−t)=−2t2+24t−64

∴S=−2t2+8t(0≤t≤4)−2t2+24t−64(4<t≤8)

(3)过F作FG⊥BC于G，设EF与AD交点为H

①如图5，当E在BD上，F在AC上时，0<t<2

由△FGC∽△ADC得：FGAC=CGCD=FCAC

∴FG=t，CG=2t

∵BE=4t

∴DE=8−4t，EG=16−4t−2t=16−6t

∵HD//FG

∴△EHD∽△EFG

∴EDEG=HDFG

i)若S△EHD：S△HDF=1：20.【答案】(4,2)

y=14x+121.【答案】DF=2AE;45

DF=3AE，∠CDF=90°；理由如下：

∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，

∴AB=AD，AB/​/CD，

∴∠ABE+∠AEB=180°−120°=60°，∠ADC=180°−∠BAD=60°，

∵∠BEF=120°，

∴∠DEF+∠AEB=60°，

∴∠ABE=∠DEF，

∵AG=AE，

∴BG=DE，∠AGE=∠AEG=180°−120°2=30°，

∴△BEG≌△EFD(SAS)，∠BGE=∠AEG+∠BAD=150°，

∴EG=DF，∠EDF=∠BGE=150°，

∴∠CDF=∠EDF−∠ADC=90°，

如图②，过点A作AK⊥EG于点K，则EG=2EK，

∵∠AEK=30°，

∴AK=12AE，

在直角三角形AEK中，由勾股定理得：EK=22.【答案】解：(1)由题意得：−12