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文档简介
湖北省孝感高中2024-2025学年下学期高一期末数学适应卷
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.复数的虚部是
A.0(1+�)(1−�)B.2()C.2iD.
2.设,均为单位向量,则“与夹角为”是“”的−2�
2�
A.充 � 分不�必要条件 � �3B.必|要 � 不+充�|分=条件3()
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
3.已知向量,,若为实数,,则
A. � =(1,2)�=B.(1,0) � =(3,4).C�.1( � +��)//D � .2�=()
11
4.设4m为直线,,为两个2不同的平面,则下列结论中错.误.的是
A.,,�且�B.,()
C.�//�,且�//��⊄�⇒�//�D.�//�,且�/m/�与⇒相�/交/�与相交
5.在�//�中�,⊂角�A⇒,�B/,/�C所对的边分别为a,b�,//c�,若,�⇒�,�,则
�
△𝐴��=4�=42�=4�=()
A.B.或C.D.或
��5���2�
6.已6知一组数据的频率分布直6方6图如图所示,则众3数、中位数、平均数3分3别为
()
A.63、64、66B.65、65、67C.65、64、66D.64、65、64
7.某校高二年级学生举行中国象棋比赛,经过初赛,最后确定甲、乙、丙三位同学进入决赛.决赛规则如下:
累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首先比赛的两人,另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比
赛,负者下一场轮空,直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直至其中一人被淘汰,
最后的胜者获得冠军,比赛结束.若经抽签,已知第一场甲、乙首先比赛,丙轮空.设每场比赛双方获胜的概
率都为则
1
2.()
A.甲获得冠军的概率最大B.甲与乙获得冠军的概率都比丙大
C.丙获得冠军的概率最大D.甲、乙、丙每人获得冠军的概率都一样大
8.在锐角中,角A,B,C所对的边为a,b,c,若,且
sin�sin�cos�cos�222
△𝐴�3sin�=�+�sin�+sin�−sin�=sin�⋅
,则的取值范围是()
2
�
Asin.��+�B.C.D.
二、[多3选,2题3:)本题共3小题,(6共,4183分]。在每小题给[2出3的,6选)项中,有多项[符3,合2)题目要求。全部选对的得6分,
部分选对的得部分分,有选错的得0分。
9.已知中,其内角A,B,C的对边分别为a,b,下列命题正确的有
A.若△�,��,,则的面积为�.()
�1
�=1�=2�=6△𝐴�2
B.若,,,则
�2
C.若�=5�=4sin�=5,则�=22为锐角三角形
222
D.若sin�+s,in�+c,os�>,1则△𝐴�
3
�=10�=2�=3� � ⋅� � =
10.在平行四边形ABCD中,,2,AE与BF交于点O,设,,则()
A.��=2��𝐷=B3.����= � 𝐴=�
55
� � =−3 � + � � � = � −3 �
C.D.
6336
11.�半�正=多11面 � 体+亦11称�“阿基米德多面体”,是由边�数�不=全11相 � 同+的11正�多边形围成的多面体,体现了数学的对称
美.二十四等边体就是一种半正多面体,是由正方体切截而成的,它由八个正三角形和六个正方形围成如
图所示,若它所有棱的长都为2,则()(
)
A.平面ABEB.该二十四等边体的体积为
402
C.��与⊥的夹角为D.该二十四等边体的外接球的3表面积为
∘
三、� 填 � 空� 题 � :本题共630小题,每小题5分,共15分。16�
12.设,则.
2−2�
13.若某�=公司1+从�五位�大=学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人,这五人被录用的机会均等,则甲或乙被录
用的概率为__________.
14.如图,在三棱椎中,底面是边长为2的等边三角形,D,E分别是AC,AB的中点,且
,则点A到平�−面�V�B�C的距离为,四棱锥的外接球的半径为.��=��=
𝐵=1�−��𝐵
四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.本小题13分
在复(平面内,复数)z对应的点的坐标为,且为纯虚数.
求m的值:(�,−1)(�∈�)�1+3i
(1)
复数求在复平面对应的点在第一象限,求实数a的取值范围.
2025
�+i
1
1(26).本小题�1=5分�
()
如图,在中,,E是的中点,设,
→→
�𝐴���=2��ADA B = � A C = � .
试用,表示;
(1)若 � � ,A D ,且与的夹角为,求
∘
1(27).本 � 小=题115分 � =1 � � 60B E .
()
读书可以增长知识,开拓视野,修身怡情.树人中学为了解本校学生课外阅读情况,按性别进行分层,用分
层随机抽样的方法从全校学生中抽出一个容量为100的样本,其中男生40名,女生60名.经调查统计,分
别得到40名男生一周课外阅读时间单位:小时的频数分布表和60名女生一周课外阅读时间单位:小时
的频率分布直方图.()()
男生一周阅读时间频数分布表
小时频数
9
[0,2)25
[2,4)3
[4,6)3
[6,8)
由以上频率分布直方图估计该校女生一周阅读时间的众数和分位数;
(1)由以上频数分布表和频率分布直方图估计总样本的平均数75%
(2)从一周课外阅读时间为的样本学生中按比例分配抽取�6;人,再从这6人中任意抽取2人,求恰好抽
(到3)一男一女的概率.[4,6)
注:以各组的区间中点值代表该组的各个值
1(8.本小题17分)
()
在锐角中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,设S为的面积,满足
3222
△𝐴�△𝐴��=4�+�−�.
求角B的大小;
(1)
求取值范围;
(2)如图sin所�示sin,�当取得最大值时,在所在平面内取一点D,使得线段,,求
(面3)积的最大值.sin�sin�△𝐴���=2��=1△���
19.本小题17分
中国(古代数学名著)《九章算术》中记载:“刍ú甍é者,下有袤有广,而上有袤无广.刍,草也.甍,
屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形,顶(�部ℎ只)有(长�没�有�)宽为一条线.刍字面意思为茅草屋顶.”现有
一个刍如图所示,四边形ABCD为正方形,四边形ABFE,CDEF为两个全等的等腰梯形,,,
,𝐴=4��//𝐴
𝐴求=二2�面�角��=��=的��大=小�;�=17.
(1)求三棱锥�−��−的�体积;
(2)点N在直�线−A�D�上�,满足,在直线CF上是否存在点M,使平面BDM?若
存(3)在,求出的值;若不存在��,=请�说�明�(理0由<.�<1)𝐷//
��
𝐷
答案和解析
1234567891011
ADBBABCDABACBD
12.【答案】2
13.【答案】
9
10
14.【答案】1;
22
15.【答案】解:由4题意可知,,
故(1)�=�−i�=�+i,
由题�1意+3i=�+,i得1+3i=(�−3)+(3�+1)i
�−3=0
�=3.
由3可�得+1≠0,
(2)(1)�=3−i,
2025
�+i�+i�+i3+i(3�−1)+(�+3)i3�−1�+3
1
�=�=3−i=10=10=10+10i
由题意可得3�−1得,故实数a的取值范围为
10>011
�+3�>33,+∞.
10>0
16.【答案】解:
2
(1)� � =� � +� � =� � +3� �
2
= � +(� � −� � );
3
221
= � +3( � − � )=3 � +3 �
由题意可得,
∘1
(2) � ⋅ � =1×1×cos60=2
� � =� � −� � =1� � −� �
2
121
=⋅( � +, � )− �
233
15
=3 � −6 �
2
∴|� � |=(�−5�)
36
2
2
=�−5 � ⋅ � +25 �
9936
1512519
=9−9×2+36=6.
17.【答案】解:由女生一周阅读时间的频率分布直方图知,阅读时间的众数是
设女生一周阅读时(1间)的分位数为a,则,3.
1113
75%24×2+4×2+8(�−4)=4
解得
16
�=3;
由频数分布表估计男生一周课外阅读时间平均数
1×9+3×25+5×3+7×3
(2)�=40=3;
由频率分布直方图估计女生一周课外阅读时间的平均数
1111
�=24×2×1+4×2×3+8×2×5+12×2×
所7=以4估.计总样本的平均数
3×40+4×60
由频数分布表,频率分�布=直方1图00知,一=周3.6课;外阅读时间为的学生中男生有3人,
女(3)生有人[4,6)
1
若从中按8×比2例×分60配=抽1取5(6人).,则男生有1人,记为a,女生有5人,记为,,,,,
则样本空间�1�2�3�4�5,共有15个样
本点.�={��1,��2,��3,��4,��5,�1�2,�1�3,�1�4,�1�5,�2�3,�2�4,�2�5,�3�4,�3�5,�4�5}
记事件“恰好一男一女”,则,共有5个样本点,
12345
故所求概�=率�={��,��,��,��,��}
51
�(�)=15=3.
18.【答案】解:中,面积为,
3222
(1)△𝐴��=4�+�−�
又,,
222
1�+�−�
�=2��sin�cos�=2��
所以,
31
所以4⋅2��cos�,=2��sin�
又B为ta三n�角=形内3角,
所以;
∘
由�=得60,,又是锐角三角形,得,
∘∘∘
(所2)以(1)�+�=12030<�<90
∘∘∘
sin�sin�=sin�sin120−�=sin�sin120,cos�−cos120sin�
311∘1
=sin2�+(1−cos2�)=sin2�−30+
由44,所以24,所以,
∘∘∘1∘11∘1
30<2�−30<1502<sin2�−30≤14<2sin2�−30≤2
所以的取值范围是;
13
sin�sin�2,4
当取得最大值时,,解得;
∘∘∘
(令3)sin�sin,�,2�−30=90,�=60
则∠���=�,∠���=�𝐴;=��=��=�
�1
又sin�=sin�∴sin�=�sin�,
222
�=2+1−2×2×1×cos�,
2222222
∴�cos�=�−�sin�=5−4cos�−sin�=cos�−4cos�+4
1�3131
∴�cos�=2−cos�.∴�△���=×�×2sin+�=�cos�+�sin�=(2−cos�)+sin�=3+
,232222
�
sin�−3≤3+1
当时等号成立;
5�
�=6面积的最大值为
∴△���3+1.
19.【答案】解:过点E分别作,,分别交AB,CD于G,H,连接GH,
(1)��⊥����⊥��
则为二面角的平面角,
因为∠�四��边形ABCD�为−正�方�−形�,,
所以,,��//𝐴
由已知��得⊥𝐴��⊥��,
所以��=��=��=4
∘
过∠点��E�作=60.,垂足为
(2)��⊥���.
因为,平面ABCD,平面ABCD,
所以��//�平�面��⊄𝐴⊂
因为��//,𝐴��.,
𝐴//����⊥��
所以
因为𝐴⊥��.,EG,平面EGH,
所以��∩平��面=���⊂
因为𝐴⊥平面�E�G�H.,
所以��⊂
因为𝐴⊥��.,AB,平面ABCD,
所以𝐴∩平��面=A�BCD,��⊂
所以�E�O⊥为三棱锥的高,
因为,�−𝐴���=23.
△𝐴�
所以�=8
11163
�−�𝐷�−𝐴�△𝐴�
方�法一:=�=3�⋅��=3×8×23=3.
(假3)设存在点
①当点N在�线.段AD上时,连接CN交BD于R,
则∽,
所以△���△���
����1
因为��=平��面=B1D−M�,.平面CFN,
平面��//平面��⊂,
所以𝐷�∩,���=��
所以��//��
����1
②当点𝐷N=在��D=A1延−长�.线上时,连接CN交BD于S,
则∽,
所以△���△���
����1
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