文科简单的线性规划

1.已知函数），=〃e'（其中Q0）经过不等式组?4°所表示的平面区

x-y+\>0

域，则实数〃的取值范围是？？??？？.

【答案】（0,1）

【分析】不等式组卜<°.公所表示的平面区域加图,

A-y+I>0

由图得，当过点（0,1）时a最大，此时炉1;当过点（0,0）时，最小,

此时炉0.

由平面区域不包括边界，所以a的取值范围是（0,1）.

V

3•

第1题图

Z1188

3x-y-2W0

2.设x,y满足约束条件：\2x-y^0,若目标函数（d>0,b

x20,y20

>0）的最大值为2,则史2的最小值为__________

ab

【考点】简单线性规划.

【答案】3+2及

【分析】由2=a广"（a>0,Z?>0）得），=-劣+工，

bb

・.・H>0,。>0,・,•直线的斜率-0<0,

作出不等式对应的平面区域如图:

平移直线得），二-q工+三，由图像可知当直线）=-91+三经过点力时，直线

bbbb

y=+±的截距最大，此时Z最大.

bb

由吃茅

即A(2,4),

此时目标函数度a户须（a>0,b>0）的最大值为2,

即2/4"2,・••尹2所1,

—=1+1=(i+i)Xl=(1+1)x(K2b)=1+2+—+£

ababababab

=3+2\/2,，

2+2再

当且仅当殳二q,即4时取等号.

ab

故最小值为3+20.

-1

第2题图

Z1200

2x+3(x”0)

3.函数y=7+3(0<x,,1)的最大值是一

-x+5(x>1)

【测量Fl标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关于函

数的基本知识.

【考点】分段函数的解析式求法及其图像的做法.

【答案】4

【分析】xWO时，尸2户3W3,0VxWl时，产产3W4,才＞1时，片-户5

＜4.

综上所述，y的最大值为4.故答案为4.

x+），22

4.已知实数x、y满足＜x-y,,2,则z=2x—p的取值范围是.

Oiijy3

【考点】二元一次不等式（组）与平面区域.

【答案】［—5,7］

【分析】画出可行域，如图所示

解得8（—1,3）、。（5,3）,

把y变形为产2x—z,则直线经过点5时z取得最小值；经过点C

时z取得最大值.

===

所以3in=2X（—1）—3-5,zrKlx2X5—37.

即z的取值范围是［—5,7］.故答案为［-5,7］.

431-也添伊

4I/=2

zac002第4题图

【点评】本题考查利用线性规划求函数的最值.

5.已知满足条件Y+Vwi的点（x,y）构成的平面区域面积为H，满足

条件㈤2+［才《1的点（%y）构成的平面区域的面积为$2,其中［x］、［y］

分别表示不大于X,7的最大整数，例如：［一］=-1,□=1,则S|与52的

关系是（）

A.、<=

ss2B.S)S2c.s]>s2

D.S］+S2=n+3

【考点】二元一次不等式（组）与平面区域.

【答案】A

【分析】满足条件V+的点（筋7）构成的平面区域为一个圆,

其面积为五.

当OWxVl,OWyV：时，满足条件田2+［训2<i；

当OWxVl,lWyV2时，满足条件32+［4或1；

当OWxVL-IWyVO时，满足条件时+［才0；

当一IWxVO,OWyVl时，满足条件⑶'［yfwi；

当OWy<l,1WXV2时，满足条件⑴2+［讨<1；

，满足条件⑴2+［力2<1的点（筋7）构成的平面区域是五个边长为

1的正方形，其面积为5.

综上得5与S2的关系是5VS?,故选A.

zac008第5题图

【点评】本题类似线性规划，处理两个不等式的形式中，第二个难度较大

［幻2+［训2<1的平面区域不易理解.

2x+y24

6.设x、y满足,工-)21,则z=x+y()

x-2yW2

A.有最小值2,最大值3B.有最小值2,无最大值

C.有最大值3,无最小值D.既无最小值，又无最大值

【答案】B【分析】由交x+y,得广一x+z,令左0,画出产一x的图

像，当它的平行线经过点(2,0)时，z取最小值2,无最大值.

7.已知一lVx+yV4且2Vx—yV3,则z=2x-3y的取值范围是

.(答案用区间表示)

【答案】(3,8)【分析】画出不等式组表示的可行域，在可行

-l<x+y<4

域内平移直线3y,当直线经过x—y=2与x+y=4的交点(3,1)口寸，

目标函数有最小值班2X3—3X1=3；当直线经过x+y=~l与x一片3的交

点(1,—2)时，目标函数有最大值"2X1-3X(-2)=8.

G0

8.不等式组卜+3y24,所表示的平面区域的面积等于()

3x+yW4

4B-ic4

x+3y-4=0

【答案】C【分析］由可得交点坐标为(1,1).即所表示平面

3x+y-4=0

区域面积为(4j)xkl=±

323

y-2xW0

9.满足条件卜+2)，+3>0的可行域中共有整点的个数为()

5工+3)一5<()

.4C

【答案】B【分析】有4个整点，分别是(0,0),(0,-1),(1,-1),⑵

-2).

10.某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用力原料3吨，B

原料2吨；生产每吨乙产品要用/原料1吨，4原料3吨，销售每吨甲产

品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元.该企业在一个生产

周期内消耗/原料不超过13吨，8原料不超过18吨.那么该企.业可获得最

大利润是()万元.

.20C

x>0,y>0

【答案】D【分析】设生产甲产品x吨，生产乙产品y吨，则有3»)忘13.

2x+3)W18

目标函数为£5x+3y.作出可行域后求可行域边界上各端点的坐标，经验

证知，当尸3,尸4时可获得最大利润27万元.

11.在平面直角坐标系中，点(一1,血在直线;r+y—3=0的右上方，则a的

取值范围是()

A.(1,4)B.(-1,4)C.(一8,4)D.(4,+<->)

【答案】D【分析】因为点(一1,4在x+p—3=0的右上方，所以有一1

+H—3>0,解得a>4.

x-y+520

12.已知点"(x,y)满足约束条件.x+yNO，点力(2,4),。为坐标原点，

则班加•西的取值范围是.

【答案】［—6,38］【分析】目标函数为左丽・丽二2x+4y,作出约束条

件的可行域，及直线/。：2x+4户0,平移直线/。经过点(3,8)时，目标函数

取得最大值斤2X3+4X8=38,经过点(3,—3)时目标函数取得最小值

好2X3+4X(—3)二一6.

13.能表示如图阴影部分的二元一次不等式组是.

第13题图

YGZW2

xWO

【答案】＜OW)W1【分析】由图易知阴影部分中，xWO.又

2x-y+2N0

原点在直线2x—y+2=0的右边，则2x—y+220,故阴影部分可用不等式

组,表示.

2x-y+220

14.已知〃是由不等式组尸一2)：°所确定的平面区域，贝ij圆/+产4在区

匕+3后0

域〃内的弧长为()

4

C-TD-T

【答案】B【分析】如图所示，图中两直线的斜率分别玛，g所以

2

圆心角。即为两直线所成的夹角，所以tan”3J1,所以

4

而圆的半径是2,所以弧长喝.

YGZW3

x+y-120

15.在平面直角坐标系中，若不等式组x-WO(a为常数)所表示的平

ar-)叶120

面区域内的面积等于2,则a的值为()

A.-5.1C

【答案】D【分析】如图，阴影部分即为满足x—1W0与x+y—120的

可行域，而ar—y+l=0的直线恒过(0,1),故看作直线绕点(0,1)旋转.当

才一1时，可行域不是一个封闭区域；当时，面积是1；当班2时,

面积是?当有时,

YGZW4

x-3)，+420

16.已知约束条件上—2y-120，若目标函数左x+ay(a20)恰好在点(2,2)

3x+y-8^0

处取得最大值，则a的取值范围为()

<a<->-D.0<^<l

3332

【答案】C【分析】面出已知约束条件的可行域为AABC内部（包括边界），

如图，易知当乐时，不符合题意；当a>0时，由目标函数z=x+ay得

y=-—x+—,则由题意得一3二攵8cV-LVO,故

aaa3

YGZW5

GO

17.当x、y满足约束条件yWx（女为常数）时*,能使"x+3y的最大

2x+y+AW（）

值为12的4的值为（）

A.-12B.-9C.12

【答案】B【分析】当2=x+3y经过直线片x与直线2x+y+/.O的交点

（一£—4）时，z取得最大值12.所以由一人+3X（—^）=12,求得任一

3333

9.

18.在如图所示的坐标平面的可行域（阴影部分包括边界）内，目标函数

z=2x—ay取得最大值的最优解有*无穷多个，则a为（）

A.—2B.2C.-6

y

C（4,2）

_A（L1）B（5,，

Ox

第18题图

YGZW6

【答案】A【分析】在AABC中，心/0,k=~,即°=一1.而令目标函

AC3

数才2x—a尸0,得所在直线的斜率为心2.因为目标函数取得的最大值的

a

最优解有无穷多个，所以必有目标函数所在的直线与三角形的某一边所在

的直线重合：（1）因为公2不可能等于0,所以目标函数所在直线不可能

a

与直线力一所在直线重合；（2）当目标函数所在直线与边力。重合时，即

k=-=-m得炉6,则目标函数的最小值为z=2Xl—6Xl=-4的解有无

a3f

穷多个；（3）当目标函数所在直线与边比重合时，即公2=—1时，得军

a

一2.则目标函数的最大值"2X5-（-2）Xl=12的最优解有无穷多个.

x+3y-320

19.若实数x、y满足不等式组上x-）」3<0且x+y的最大值为9,则实数

x-my+120

炉（）

A.—2B.—1C.1

【答案】C【分析】将最大值转化为y轴上的截距，将勿等价为斜率的

倒数.

20.下面给出的四个点中，到直线%-7+1=0的距离为正，且位于

2

/+yT<°表示的平面区域内的点是（）

A.(1,1)B.(—1,1)C.(—1,—1)D.(1,—1)

【答案】C【分析】把(1,1)代入x+y—1得1+1—1=1>0,排除A；把

(―1,1)代入x—y+1得一1—1+1=—1V0,排除B；而(1,-1)到直线

戈一)，+1=0的距离为:正，排除D;故选C.

1

21.设定点/(0,1),动点P(x,y)的坐标满足条件,则归川的最小值是

【答案】号【分析】|明最小值即为点力到直线支矛的距离.

x+y-3W0

22.若线性目标函数万x+y在线性约束条件卜・)忘0下取得最大值时的

最优解只有一个，则实数a的取值范围是.

【答案】【分析】作出可行域如图，由图可知直线尸一x与产一x

+3平行，若最大值只有一个，则直线尸a必须在直线尸2x与产一x+3

的交点(1,2)的下方，故a<2.

第22题图

YGZW7

23.由约束条件卜x+y<6确定的平面区域的面积夕.周长6=.

GO,y…0

【答案】-；8+&+26【分析】如图，其四个顶点为。(0,0)、8(3,0)、

2

力(0,5)、2(1,4).过点月做尸轴的垂线，垂足为C.则/G|5-4|二1,

PO|l-0|=1,004,妙3,A六垃，PFJ(4-0)2+(l-3)2=2小，得

S△心二;4c•上;,S梯形c四=1{CP+OB)­g8.所以，夕S"+

S也形山小口，OOA+AP+PB+0^+41+245.

W»Ji>vC/Of2

shwll

第23题图

24.求不等式|x-2|+|尸2户2所表示的平面区域的面积.

【解】原不等式等价于

x+)W6,x22,y22

出以上不等式组表示的平面区域，如图，它是边

1-任一2,启2,)，…2

.v+y，2,x《2,)W2

长为20的正方形,其面积为8.

第24题图

YGZW8

25.如图*、y满足的可行域是图中阴影部分(包括边界).若函数Bax—2y

在点(0,5)取得最小值，求a的取值范围.

YGZW9

x+y-5W0

2；；y-6W0,将目标函数?ax

【解】由图易得，x、y满足的约束条件为

)2()

—2y改为斜截式产州］一人，一人表示直线在y轴上的截距，欲求［的最

22