旧教材适用2024高考数学一轮总复习第五章平面向量第1讲平面向量的概念及其线性运算

第1讲平面对量的概念及其线性运算

从础知识整合I

□知识梳理

1.向量的有关概念

名称定义备注

既有画人小又有园方向的量;向量

向量平面对量是自由向量

的大小叫做向最的长度（或称模）

零向量长度为画0的向量记作0,其方向是随意的

与非零向量a平行的单位向量为

单位

长度等于回1个单位的向量+上

向量~\a\

平行方向相同或画相反的非零向量（乂

0与任一向量平行或共线

向量叫做共线向量）

相等两向量只有相等或不相等，不能比

长度相等且方向圆相同的向量

向量较大小

相反

长度相等且方向㈣相反的向量0的相反向量为0

向量

2.向量的线性运算

向量法则（或几

定义运算律

运算何意义）

交换律：

a+b=

求两个向

a匾|b+a：

加法量和的运三角形法则

结合律।

算

a+b

a(。+b)+c=

平行四边形法则

l09lfl-{-(b-i-c)

求。与》

的相反向a-b=a+

减法

量一》的XaV（~b）

和的运算三角形法则

|Aa|=面|人|•

」也当入>0人（〃。）=

求实数人时，入。与。的（入*）a;

与向量。方向应相同；（久+〃）。=

数乘

的积的运当A<0时.初―2。+必a；

算与。的方向A（a-Fft）==

」相反;当A=困〃t入b

0时.〃=皿

3.共线向量定理

向量a（aWO）与6共线，当且仅当有唯----个实数A,使b=Xa

知识拓展

1.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最终一个向量终点

的向量，即44+4^+44H---F4-4=44.特殊地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和

为零向量.

2.若〃为线段"的中点，。为平面内任一点，则如+M.

乙

3.OA=AOB+〃为实数），若点4B,。共线（0不在直线a1上），则幺+〃

=1.

□双基自测

1.给出下列命题：

①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同;

②若/&/=〃/,则a=b；

③若AB=DC,则四边形力腼为平行四边形;

④在3比。中，肯定有4/=〃G

⑤若m=n,n=p,则o=p.

其中不正确的个数是（：）

A.2B.3C.4D.5

答案B

解析两个向量的起点相同，终点相同，则这两个向量相等，但两个相等向量不肯定有

相同的起点和终点，故①不正确；lai=1引，由于a与b方向不确定，所以a,b不肯定相

-►-A

等，故②不正确；AB=DC,可能有力，B,C,〃在一条直线上的状况，所以③不正确，正确的

是④⑤.故选B.

-A-►-A

2.在△/!应'中，已知"是成、的中点，设CB=a,CA=b,则（）

A.\a-bB.\a-b

乙乙

C.a-，D.a—­b

答案A

-►-A—►—►―►

解析因为C\f—CA=-zCB—CA=^a~b.故选A.

乙乙

3.（2024•安徽亳州模拟）已知向量45=a+34BC=5a+3b,G9=-3a+3b,则（）

A.A,B,6•三点共线B.A,B,〃三点共线

C.A,C,〃三点共线I）.B,C,〃三点共线

答案B

解析'：BD=BC+CD=2a+6b=2AB,:・BD与A联线,〈BD与AB有公共点、B,B,D

三点共线.故选B.

4.设平行四边形46C〃的对角线交于点尺则下列命题中正确的个数是（）

@AC=AB-\-AD,②力片)(/18+/9；

③DB=AB-AD；®PD=PB.

A.1B.2C.3D.4

答案C

—>—>—►—>—>—►

解析由向量加法的平行四边形法则，知①£=,48+加,②加三）（48+力。）是正确的；由

乙

向量减法的三角形法则，知③。6=月4一力废正确的；因为阳，外的大小相同，方向相反，所

以④%是错误的.故选C.

—►—>—►—►—►—►—►

5.（2024•江西省名校联考）在△/砥中，BD=DC,AP=2PD,BP=入AB+MAC,则4十

口等于（）

1111

A.—~B.-C.--I）."

oo/乙

答案A

-►-A►►-A►-►—►->-A—♦►

解析因为〃〃=〃C,AP=2PD,所以力〃=%〃+5所以所以BP=AP

乙乙乙JJ

—►—►—>—►—>—►

21911

—AB=--AB+-AC,因为游=418+C,所以/1=--,〃=鼻，所以4+〃=一看故选

JJJJJ

A.

—►—►—>—►

6.已知口/筋的对角线力。，8〃相交于点。,且〃=a,08=b,则〃C=,BC=

（用a,b表示）.

答案b-a—a-b

—►—►—►—►—►—►—►—►-►

解析如图，DC=AB=OB-OA=b-a,BC=OC~OB=-OA~OB=-a-b.

B

核心若向突破|

考向一平面对量的概念

例1给出下列命题：

①若a与6共线，。与。共线，则a与。也共线；

—>—►

②若/I,B,C,〃是不共线的四点，且/心="7,则四边形/!四为平行四边形；

③a=6的充要条件是|a=|引且a〃Z>；

④己知4,〃为实数，若la=ub,则8与6共线.

其中真命题的序号是.

答案②

解析对于①，若8=0,则a与c不肯定共线，①是假命题.对于②，因为密所

-►-►-►-A

以I力冽=|〃。且又儿B,C,〃是不共线的四点，所以四边形力比力为平行四边形，

②是真命题.对于③，当a〃入且方向相反时，即使|a|=|引，也不能得到a=b,所以|a|

=|同且a〃b不是a=b的充要条件，而是必要不充分条件，③是假命题.对于④，当4=

〃=()时，a与6可以为随意向量，满意但w与。不肯定共线，④是假命题.

触类旁通.

(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.

(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.

(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的

移动混淆.

(4)非零向量a与产的关系：告■是与a同方向的单位向量.

Ia\a\

■即时训练1.设国为单位向量，有卜列命题:①若a为平面内的某个向量，则a=|a|a,：

②若非零向量a与&平行，则a=|a|&；③若a与平行且|a=1,则a=8.其中假命题的

个数是()

A.0B.1C.2D.3

答案D

解析向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a)的模相同，但方向不肯定相同，故①是

假命题；若非零向量a与&平行，则a与a.的方向有两种状况：一是同向，二是反向，反向

时a=一|a|a，,故②③也是假命题.综上所述，假命题的个数是3.故选D.

2.下列五个命题：

①温度有零上和零下之分，所以温度是向量；

②向量aWb,则a与b的方向必不相同；

③|a|>|引，则a>bt

④向量力的遮共线向量，则力，B,C,〃四点共线；

⑤方向为北偏西50°的向量与方向为东偏南40°的向量肯定是平行向量.

其中正确的是()

A.①©B.@C.⑤D.②④

答案C

解析温度虽有大小却无方向，故不是向量，①错误；aWb，a与6的方向可以相同,

②错误：向量的长度可以比较大小，但向量不能比较大小，③错误；正方形46⑦中力8与以成

线，但儿B,Q〃四点不共线，④错误；作图易得⑤正确.故选C.

精准设计考向，多角度探究突破

考向二平面对量的线性运算

角度1向量加减法的几何意义

例2（1）（2024•江西南昌模拟）己知两个非零向量「方满意|a+b|=|a一引,则下列

结论正确的是（）

A.a//bB.a_b

C.|a|=|b|D.a—b—a—b

答案B

—►—►-►

解析由已知a,b不共线，在口力伙力中，设力4=a,A!）=b,由|a+b|=|3一引，知|力

=1〃例，从而四边形力比力为矩形，即1儿1_力〃，故a_L6.故选B.

—>—►—>—>

（2）（2024•广西柳州模拟）若点。是△/1回所在平面内的一点，且满意|加一%|=|阳++

-2OA\,则△/砥的形态为.

答案直角三角形

—―►——►—>—►—―►—>—―►—>—►—>—►­*

解析因为g+OC-2OA=OB-OA+OC-OA=AB^-AC,OB-OC=CB=AB-ACt所以|AB+AC

-►-A—A—►

\=\AB-AC\f即力〃・力仁0,故力员L”；△力比、为直角三角形.

角度2平面对量线性运算

例3（1）（2024•安徽芜湖质量检测）如图所示，下列结论正确的是（）

3333313

①叱⑶+»；②PT=_》_jb；®PS=^a--b-,®PR=^b.

乙乙乙乙乙乙乙

A.①@B.③®C.①®I).②®

答案C

233233

解析由b=-PQ>知图=5a+沙，①正确；由a—b=-PT,知〃片岸一沙，②错误;

3131

PS=PT+b,故尸S=5«a—5儿③正确：PR=PT-\-2b=~a+-b,④错误.故选C.

乙乙乙乙

⑵在等腰梯形力比〃中，力笈=一25，W为比的中点，则儿仁（）

1,13.1

A.-AB+-AI)4B.-ABA--M)

乙乙f乙

—►—►—►—►

答案B

—►—►—►—►—►—♦>—►—►

解析因为力//=一2微所以羽=2"：乂因为"是戊’的中点，所以4仁打4+的=打"

乙乙

+力。+〃0=?[/，+力〃+/0=取8+，〃故选B.

角度3利用线性运算求参数

14

例4⑴设〃为△4％'所在平面内一点，Al)=--AB+-AC,若比三儿〃。(X£R),则A

oJ

=()

A.2B.3C.-2D.-3

答案D

—>—►—►—>—►—>—>—►—►—►—►

解析由8C=ADM^AC-AB=A(AC-AD),AAD=f1-y\AC+-^AB,又力〃=—$8+g

f±=.l

_厂3，

AC,AS解得八=一3.故选1).

（2）（2024•四川南充诊断考试）如图所示，矩形力田》的对角线相交于点。少为力。的中

点，若DE=4/出+"AD（大,〃为实数），则42+

H

答案A

—►—>—►—►—>—>—►—>—>—►

解析所以八=；,〃=一;,

比=乙幼+；乙。0=为乙+；什阳为乙+^；。+砌4归一法,

5

故>+//"=-故选A.

O

触类旁通,向量线性运算的解题策略

(1)向量加减的常用法则是平行四边形法则和三角形法则，i般共起点的向量求和用平行

四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和月三角形法则.

(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形

或三角形中求解.

即时训练3.已知四边形4腼是平行四边形，0为平面上随意一点，设a=a,OB=b,

0C=c,0D=d,则()

A.a+b+c+d=OB.a—b+c—</=()

C.a+6—c-d=0D.a—b—c+d=O

答案B

解析如图所示，a-b=BA,c—：四边形力8⑦是平行四边形，且

-►-A-►-►

以与比反向，即以+〃0=0,也就是3—〃+。一"=0.故选区

4.如图所示，在正方形力颇中，£为/唐的中点，尸为四的中点，则/1/=()

31

A.-AB-]r-AD

44

B.、8+前

C-AB^rAD

乙

3,1

D.-AB+-AD

乙

答案D

解析依据题意得/、=：（/1。+力£'）,又因为力。="+/1〃，AE=\tAB,所以

乙乙乙

3

=7力4+5月〃.故选D.

乙

5.（2024.河南洛阳模拟）在△［胸中,点6满意〃+=+GC=。.若存在点。，使得第=（

BC,且0A=mOB+nOC,则.力一〃等于（）

A.2B.-2C.1D.-1

答案D

GA+GB+G(7=0,JOA-0G+0B~0G+0C~0G=0,：,%=：(%+0B+00=\：BC=

解析

ob

1331

,可得0A=—3OC—5O8,/.m=-〃=—5,.w—〃=—1.故选D.

乙乙乙乙

考向三共线向量定理的应用

—>—>>—>

例5⑴设e与质是两个不共线向量，力8=3&+2仇，CB=ka+色,CD=3e\—2k&,若

月，B,〃三点共线，则A的值为（）

94

A.FB--9

3

C.D.不存在

—OQ

答案A

-►—>—>

解析由题意，力，员〃三点共线，故必存在一个实数4，使得加=ABD.又因为4=3&

+2a,CB=kex+e>CD=3e\-2km,而以BD=CD-CB=3e\-2ke「（keTe）=居一46一Qk

[3=A3—k,

+l)e”所以3ei+2a=4(3—4)e—/I(24+1)a,所以j解得4=一

\2=~A24+1,

9

故选A.

—►—►-►

(2)已知平面内的三点4B,。不共线，且力々入0A+〃0B,则4P,夕三点共线的一个

必要不充分条件是()

A.A=pB.|4|=|〃|

C.X=—JJD.X=\—JJ

答案B

解析A,P,8三点共线，即存在一个实数例《变得AP=〃MB,\FP=入@+〃OB,：・m48

—►—►—►—►—>—►-►-►

=A0A+nOB,即疯仍一处)=/的+〃%，・・・(m-〃)四=(m+4)的，•・•力，B,。三点不共

线，・•・/»—〃=(),勿+4=0,即/I=—〃=—勿，，儿5,夕三点共线的充要条件为X=一

〃，结合各选项知力，B,『三点共线的一个必要不充分条件为|4=|〃|.故选民

触类旁通,

(1)三点共线问题可转化为向量共线问题来解决，但应留意向量共线与三点共线的区分与

联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.依据儿B,。三点共线求参数问题,

—►—>

只需将问题转化为力4/I/伊，再利用对应系数相等列出方程组，进而解出系数.

(2)三点共线的一个常用结论：力，B,。三点共线=存在实数3〃对平面内随意一点

—*—>—

。(。不在直线应'上)满意〃4=4加+〃%?(4+〃=1).

—►—►

■即时训练6.(2024•山西师大附中模拟)在中，力力片.肥，〃是直线创'上一点,

—>>—>—>

2

若"=-AC,则实数力的值为()

o

A.-4B.-1C.1D.4

答案B

-♦>-A-A-A-♦«-►-A—A-►-►

12

解析,:AN=：NC,・UC=54M又加』〃源6+》心:.AP=mAB+2AN,由8,只N三点共线

4□

可知,m+2=l,・••加=—1.故选B.

7.已知向量a,b不共线，且c=/la+6,d=a+(2A—])/?,若。与d共线反向，则实

数的值为（)

A.1B.——C.~D.-2

乙乙

答案B

解析由于。与〃共线反向，则存在实数*使。=*d（〃<0）,于是4a+6=4[a+（2/一

入=k,

l）b],整理得4a+b=Aa+（2/U-4）b.由于a,。不共线，所以有.整理得

[l=2Ak-k,

2A2-zl-l=O,解得4=1或4=一：.又因为KO,所以4<0,故4=一）故选B.

乙乙

课时作业I

1.如图，。是平行四边形/跳刀的两条对角线的交点，则下列等式正确的是（）

I)

A.DA-I)C=AC

-►—►—>

B.DA+DC=1)0

—>—>—>—>

C.OA-OB+AD=DB

-—>—>—>

D.AO^-OB^BC=AC

答案D

-►-A-A—♦>►►-►-►-A

解析对于A,DA-DC=CA,错误；对于B,DA+DC=2DO,错误；对于C,OA-OB^-AD=

-►-►-A-A—>►►-►-A

BA+AI)=BD,错误；对于3,AZOB+BC=AB+BC=AC,正确.故选I).

—►-

2.已知向量了与J不共线，且小=>+/“；AD=ni+j,若儿B,〃三点共线，则实数

勿，〃应当满意的条件是()

A.m+n=1B.m—n=—1

C.mn=\I).mn=-1

答案C

解析由A,B,〃三点共线，可设力8=于是有i+mj=Mni+J)=入放+入上

又i,J.不共线，因此［即有即=1.故选C.

/I=m.

3.（2024•河南焦作高三月考）△力砥中，点〃在边力6上，CD平■分4ACB、若==a,CA

=b,|a|=l,Ib\=2,贝!6^9=()

21

B.鼻&+鼻6

JJ

3443

C.ra+rdD.-a+-b

□□□0

答案B

解析•・•切为/力8的角平分线，，由角平分线定理，得器=与£，・：AB=CB-CA=a

AUZICZ

->->—>—>—>

2222221

—b,/.AD=-AB=-a--b,:.CD=CA~\rAD=b~\--a--b=-a-\--b.故选B.

JJJJJJJ

4.设a,b都是非零向量，下列四个选项中，肯定能使号+佚=0成立的是()

A.a=2bB.a/fb

C.a=~\bI).a_b

J

答案c

ob

解析“7幺+--=0,且2b都是非零向量”等价于“非零向量a，6共线且反向”.故

ab

选C.

5.（2024•云南昆明摸底）设〃，E,6分别为砥的三边比；CA,/山的中点，则例■房

=（）

-A

B.3力〃C.BCD.^BC

A.AD

答案A

设NZ?=a.AC=b,则以=—[b+a.FC=-^a4-b,从而用+W=(—Ib+a)+

解析

（―=AD.故选A.

6.--（2024•皖南八校联考）如图，在直角梯形力应〃中，AB=2AD=2DC,E为BC边上一点,

-►—>-A

BC=3EC,尸为力£的中点，则即=（）

H

—>—>

122.1

A.-AB--ADB.--AB+-AD

JJoJ

1,2

C.--AH-\--AD

JJ

答案B

1i2

解析如图，连接力乙依据平面对量的运算法则，得勿*=5砌+5成；BE=qBC,BC=AC-

乙乙O

2

AB.因为AC=AZDC,DC=\AB,所以跖=一枭8+=--AB+-AD.故选B.

乙乙JJ

7.如图所示，己知金是圆。的直径，点£〃是半圆弧的两个三等分点，AB=a,AC=

b,则()

B.；a-6

A.a-

C.a+^6D.ga+8

答案D

解析如图，连接CD,由点C,〃是半圆弧的三等分点，得CD//AB,且CP=%3=；a,

所以4p="+⑦=6+[a故选D.

乙

IH

8.设."为平行四边形/仍⑦对角线的交点，。为平行四边形/俗⑦所在平面内随意一点,

则。/+〃夕+%+。博于（）

A.0MB.2曲

C.3〃3D.4aM

答案D

—►—>―►—►—►—►—>—►—►—►—►

解析物+仍+0C+初=（如+优）+（勿+Oil）=2〃J/+2〃JU4〃K故选I）.

—>—>►-A-A

9.（2024・山西太原模拟）已知。为△/出。内一点，且40=宗OB+OO,AD=tAC,若&0,

乙

〃三点共线，则£=（）

1112

A.-B.-C.-D.-

J/J

答案B

—>—>—>—>—>—►—►—>

解析设E是BCi力的中点，则;（OB+OC）=OE,由旗意得46?=OE,所以力<7=：力£=；（，仍+

乙乙T

—>—►—>

〃）=；/应+!/切，又因为8,0、〃三点共线，所以;+1=1，解得£=；.故选B.

AXIVXVJ

-►►­►—♦■

10.△44。所在的平面内有一点只满意以+/^+/T=44,则△月先与△4%的面积之比

是（）

A,3B，2C，3D，4

答案C

-►-A—►-A—►—►—►—►-►—►—►—►

解析因为PA+PB+PC=AB,所以PA+PB+PC=PB-PA,所以尸。=-2%=24尺即夕是

力。边的一个三等分点，且由三角形的面积公式可知，沁=§：=※故选C.

JlaABC/1CO

11.（2024•安徽滁州模拟）古希腊数学家欧多克索斯在深化探讨比例理论时，提出了分

线段的“中末比”问题：将一线段49分为两线段力。，CB,使得其中较长的一段力。是全长与

另一段⑦的比例中项，即满意粤隼=迎三，后人把这个数称为黄金分割数，把点。称为

ADAC/

线段加，的黄金分割点，在△4比'中,若点尺0为线段式的两个黄金分割点，设加&N/切+

XyV\

yMAQ=xM^y^则/*=()

冉

C.小D.^/54-l

答案C

亚目

解析由题意，得力々/出+//=/什1

乙）乙

-3-、后一、后一「3-、后一-一一一后

AB+—^~AC=2L-Z—AB+-^-AC,AQ=AB+BQ=AB^r^BC=AB-\——(AC-AB)=

乙乙乙乙乙

>/5-1._V5-1_3-乖,小乃亚一II3一乖尸

2“'+2然・・时度-2…2-y一2••衰+1-3—4+4—1一4故选

C.

12.如图，48分别是射线加，〃V上的点，给出下列向量：①力+2瞅磅。1+;如:

乙O

313131

0A+9@7"+=微⑤7功一二⑼若这些向量均以。为起点，则终点落在阴影区域内（包

西434540

括边界）的是（）

A.①@B.②®C.①@D.（3）@

答案B

解析如图1,在QV上取点C,使得0C=20B,以0A,3为邻边作平行四边形OCDA,则

—►—>—>

（）D=0A+20B,其终点不在阴影区域内，解除A,C；如图2,取线段如上一点反使〃=；勿,

ii3

悴EF〃OB,交力8于点E则1=彳如，由于即三阳所以彳刃+三施的终点不在阴影区域内,

<5T<5

解除D.故选B.

13.设向量a,6不平行，向量4a+b与a+26平行，则实数4=.

卜…1

答案2

解析:/a+6与a+2b平行，・•・存在实数A,使4a+b=*(a+2b),；•(，-A)a+(1

4—k=0,1

—2A)力=0.〈a与b不平行，・•・…八解得4=.

ll-2A=0,2

14.(2024•甘肃嘉峪关市模拟)如图所示，在△力砥中，点。是回的中点.过点。的直

线分别交直线月8，力。于不同的两点M,N,若AB=mAM,AC=nAN,则相■〃的值为

答案2

-A—►—►—►—►

解析解法一：・・・点。是比的中点，・・・力行1/18+/1。="什?『・・盟0,N三点共线，

乙乙乙

m,n,八

乙乙

解法二：朗¥绕。旋转，当N与C重合时，"与8重合，此时m=〃=l,・,.〃?+〃=2.

—►—►—►—►

15.在平行四边形火及刀中，若|%+而|=|•+初，则四边形力a力的形态是.

答案矩形