数字特性和特值法

数字特性和特值法

一、数字特性法速解数量关系

数字特性法是指不直接求得最终结果，而只需要考虑最终计算结果的某种“数字特性”，从而到达排

除错误选项的方法。掌握数字特性法的关键，是掌握一些最根本的数字特性规律。（以下规律仅限自然

数内讨论）

（一）奇偶运算根本法则：

【根底】奇数土奇数=偶数；偎数土偶数=偶数；偶数土奇数二奇数；奇数土偶数=奇数。

【推论】1.任意两个数的和如果是奇数，那么差也是奇数；如果和是偶数，那么差也是偶数。

2.任意两个数的和或差是奇数，那么两数奇偶相反：和或差是偶数，那么两数奇偶相同。

（二）整除判定根本法则

1.能被2、4、8、5、25、125整除的数的数字特性：

能被2（或5）整除的数，末一位数字能被2（或5）整除；

能被4（或25）整除的数，末两位数字能被4（或25）整除；

能被8（或125）整除的数，末三位数字能被8（或125）整除；

一个数被2（或5）除得的余数，就是其末一位数字被2（或5）除得的余数；

一个数被4（或25）除得的余数，就是其末两位数字被4（或25）除得的余数；

一个数被8（或125）除得的余数，就是其末三位数字被8（或125）除得的余数。

2.能被3、9整除的数的数字特性

能被3（或9）整除的数，各位数字和能被3（或9）整除。

一个数被3（或9）除得的余数，就是其各位相加后被3（或9）除得的余数。

3.能被11整除的数的数字特性

能被11整除的数，奇数位的和与偶数位的和之差，能被II整除。

（三）倍数关系核心判定特征

如果a：b=m：n（m,n互质），那么a是m的倍数；b是n的倍数。

如果x=y（m,n互质），那么x是m的倍数；y是n的倍数。

如果a：b=m:n（m,n互质），那么a±b应该是m±n的倍数。

（四）例题

【例1】学生报考。报考A岗位的男生数与女生数的比为5：3,报考B岗位的男生数与女】（江苏2006B-76）

在招考公务员中，A、B两岗位共有32个男生、18个女生数的比为2：1,报考A岗位的女生数是（）。

A.15B.16C.12D.10

［答案］C

［解析］报考A岗位的男生数与女生数的比为5：3,所以报考A岗位的女生人数是3的倍数，排除选

项B和选项D：代入A,可以发现不符合题意，所以选择C。

【例2】（上海2004-12）以下四个数都是六位数，X是比10小的自然数，Y是零，一定能同时被2、3、5

整除的数是多少？（）

A.XXXYXXD.XYYXYX

［答案］B

［解析］因为这个六位数能被2、5整除，所以末位为0,排除A、D；因为这个六位数能被3整除，

这个六位数各位数字和是3的倍数，排除C,选择B。

【例3】（山东2004/2）某次测验有5（）道判断题，每做对一题得3分，不做或做错一题倒扣I分，某学

生共得82分，问答对题数和答错题数（包括不做）相差多少？（）A.33B.39C.17D.16

［答案］D

［解析］答对的题目+答错的题目二50,是偶数，所以答对的题目与答错的题目的差也应是偶数，但选项

A、B、C都是奇数，所以选择D。

【例4】（国2005一类-44、国2005一类-44）小红把平时节省下来的全部五分硬币先围成一个正三角形.

正好用完，后来又改围成一个正方形，也正好用完。如果正方形的每条边比三角形的每条边少用5枚硬

币，那么小红所有五分硬币的总价值是多少元？（）

A.1元B.2元C.3元D.4元

［答案］C

［解析］因为所有的硬币可以组成三角形，所以硬币的总数是3的倍数，所以硬币的总价值也应该是3

的倍数，结合选项，选择C。

［注一］很多考生还会这样思考：“因为所有的硬币可以组成正方形，所以硬币的总数是4的倍数，所

以硬币的总价值也应该是4的倍数”，从而觉得答案应该选D。事实上，硬币的总数是4的倍数，一个

硬币是五分，所以只能推出硬币的总价值是4个五分即两角的倍数。［注二］此题中所指的三角

形和正方形都是空心的。

【例5】（国2002A-6）1998年，甲的年龄是乙的年龄的4倍。2002年，甲的年龄是乙的年龄的3倍。问

甲、乙二人2000年的年龄分别是多少岁?（）

A.34岁，12岁B.32岁，8岁C.36岁，12岁D.34岁，10岁

［答案］D

［解析］由随着年龄的增长，年龄倍数递减，因此甲、乙二人的年龄比在3-4之间，选择De

【例6】（国2002B-8）假设干学生住假设干房间，如果每间住4人那么有20人没地方住，如果每间住8

人那么有一间只有4人住，问共有多少名学生？（）。

A.30人B.34人C.40人D.44人

［答案］D

［解析］由每间住4人，有20人没地方住，所以总人数是4的倍数，排除A、B：由每间住8人，那么

有一间只有4人住，所以总人数不是8的倍数，排除C,选择D。

【例28】（国2000-29）一块金与很的合金重250克，放在水中减轻16克。现知金在水中重量减轻1/19,

银在水中重量减轻I/10,那么这块合金中金、银各占的克数为多少克？（）A.I00克，150克B.I50

克，100克C.170克，80克D.190克，60克

［答案］D

［解析］现知金在水中重量减轻1/19,所以金的质量应该是19的倍数。结合选项，选择D。

【例7】（国1999-35）帅徒二人负责生产一批零件，师傅完成全部工作数量的一半还多30个，徒弟完成

了师傅生产数量的一半，此时还有100个没有完成，师徒二人已经生产多个个？（）

A.320B.160C.480D.580

［答案］C

［解析］徒弟完成了师傅生产数量的一半，因此师徒二人生产的零件总数是3的倍数。结合选项，选择

Co

【例8】（浙江2005-24）一只木箱内有白色乒乓球和黄色乒乓球假设干个。小明一次取出5个黄球、3个

白球，这样操作N次后，白球拿完了，黄球还剩8个；如果换一种取法：每次取出7个黄球、3个白球,

这样操作M次后，黄球拿完了，白球还剩24个。问原木箱内共有乒乓球多少个?（）

A.246个B.258个C.264个D.272个

［答案］C

［解析］每次取出7个黄球、3个白球，这样操作M次后，黄球拿完了，白球还剩24个。因此乒乓球

的总数=IOM+24,个位数为4,选择C。

【例9（浙江2003-17）某城市共有四个区，甲区人口数是全城的4/13,乙区的人口数是甲区的，丙区人

口数是前两区人口数的，丁区比丙区多4000人，全城共有人口多少万？（）A.I8.6T7B.I5.6T3C.2I.8

万D.22.3万

［答案］B

［解析］甲区人口数是全城的（4/13）,因此全城人口是13的倍数。结合选项，选择B。

【例10］（广东2004下-15）小平在骑旋转木马时说：“在我前面骑木马的人数的，加上在我后面骑木马

的人数的,正好是所有骑木马的小朋友的总人数。”请问,一共有多少小朋友在骑旋转木马。（）

A.11B.12C.13D.14［答案］C

［解析］因为坐的是旋转木马，所以小平前面的人、后面的人都是除小平外的所有小朋友。而除小明外

人数既是3的倍数，又是4的倍数。结合选项，选择C。

【例II】（广东2005上-11）甲、乙、丙、丁四人为灾区捐款，甲捐款数是另外三人捐款总数的一半，乙

捐款数是另外三人捐款总数的，丙捐款数是另外三人捐款总数的，丁捐款169元。问四人一共捐了多

少钱？（）

A.780元B.890元C.1183元D.2083元

［答案］A

［解析］甲捐款数是另外三人捐款总数的一半，知捐款总额是3的倍数；乙捐款数是另外三人指

款总数的，知捐款总额是4的倍数；丙捐款数是另外三人捐款总数的，知捐款总额是5的倍数。

捐款总额应该是6（）的倍数。结合选项，选择A。［注释］事实上，通过“捐款总额是3的倍数”

即可得出答案。

【例12］（北京社招2005-11］两个数的差是2345,两数相除的商是8,求这两个数之和？（）

A.2353B.2896C.3015D,3456

［答案］C

［解析］两个数的差是2345,所以这两个数的和应该是奇数，排除B、D。两数相除得8,说明这两个

数之和应该是9的倍数，所以答案选择C。

【例13］（北京社招2005-13）某剧院有25排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有70个座位。

这个剧院共有多少个座位？（）

A.1104B.1150C.1170D.1280

［答案］B

［解析］剧院的总人数，应该是25个相邻偶数的和，必然为25的倍数，结合选项选择B。

【例14］（北京社招2005-17）一架飞机所带的燃料最多可以用6小时，飞机去时顺风,速度为1500千米

/时，回来时逆风，速度为1200千米/时，这架飞机最多飞出多少千米，就需往回飞？（）

A.2000B.3（X）（）C.400（）D.4500

［答案］C

［解析］逆风匕行的时间比顺风匕行的时间长，逆风匕行超过3小时，顺风缺乏3小时。匕机最远"亍

距离少于1500x3=4500千米；飞机最远飞行距离大于1200x3=3600千米。结合选项，选择C。

【例15］（北京社招2005-20）红星小学组织学生排成队步行去郊游，每分钟步行60米，队尾的王老师以

每分钟步行150米的速度赶到排头，然后立即返回队尾，共用10分钟.求队伍的长度？（）

A.630米B.750米C.900米D.1500米

［答案］A

［解析］王老师从队尾赶到队头的相对速度为150+60=210米/分；王老师从队头赶到队尾的

相对速度为150-60=90米/分。因此一般情况下，队伍的长度是210和90的倍数，结合选项，

选择A。（华图教育原创）

16.4731X80X25X10的值为（）。

A.94620000B.9642000C.9662000D.96520000

17、1996+1997+1998+1999+2000+2001等于（）。

A.11986B.11991C.12987D.12989

18、.423X187-423X24-423X63的值是（）。

A.41877B.4230（）C.42323D.42703

19、.一袋白糖，第一次用去0.3斤，第二次用去余下的3/4,这时袋内还有白糖0.2斤，该袋糖原有多

少斤?（）

20、.一车行共有65辆小汽车，其中45辆有空调，3（）辆有高级音响，12辆兼而有之。既没有空调也没

有高级音响的汽车有几辆?()

A.2B.8C.10D.15

【参考答案】16-20题

16.A

先计算25X8()。

17、B

原式二(2000-4)+(2000-3)+(2(X)0-2)+(2000-1)+(200()+1)

=2000x6-4-3-2+1

=12000-9

=11991.

18.B

原式可化为423X(187-24-63)。

19.A

4-(l-3/4)+0.3=l.lo

20.A

21.有面值为8分、1角和2角的三种纪念邮票假设干张，总价值为1元2角2分，那么邮票至少有()。

A.7张B.8张C.9张D.10张

22.某人用4410元买了一台电脑，其价格是原来定价相继折扣了10%和2%后的价格，那么电脑原来

定价为()。

A.4950元B.4990元C.5000元D.5010元

23.某市现有70万人口，如果5年后城镇人口增加4%,农村人口增加5.4%,那么全市人口将增加4.8%,

那么这个市现有城镇人口()。

A.30万B.31.2万C.40万I).41.6万

24.甲、乙、丙三人沿着400米环形跑道进行800米跑比赛，当甲跑1圈时，乙比甲多跑1/7圈。丙

比甲少跑1/7圈。如果他们各自跑步的速度始终不变，那么，当乙到达终点时，甲在丙前面()。

A.85米B.90米C.10()米I).105米

25.对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。其中58人喜欢看球赛,

38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏

剧的有16人，三种都喜欢看的有12人，那么只喜欢看电影的有()。

A.22人B.28人C.30人D.36人

26.一个快钟每小时比标准时间快1分钟，•个慢钟每小时比标准时间慢3分钟。如将两个钟同时调到

标准时问，结果在24小时内，快钟显示10点整时，慢钟恰好显示9点整。那么此时的标准时间是()。

A.9点15分B.9点3。分C.9点35分D.9点45分

27.某时刻钟表时针在10点到11点之间，此时刻再过6分钟后的分针和此时刻3分钟前的时针正好方

向相反且在一条直线上，那么此时刻为()。

A.10点15分B.10点19分C.10点20分D.10点25分

28.一电信公司在周一到周五的晚上八点到早上八点以及周六、周日全天，实行长途通话的半价收费，

的一周内有几个小时长话是半价收费？()o

A.100B.96C.108D.112

29.某服装厂生产出来的一批衬衫中，大号和小号各占一半。其中，25%是白色的，75%是蓝色的。如

果这批衬衫总共有100件，其中大号白色衬衫有10件，问小号蓝色衬衫有多少件？()。

A.15B.25C.35D.40

30.师徒共同完成一批零件。徒弟4小时完成这批零件的1/6,师傅2小时完成这批零件的1/8,师

徒二人同时合作，多少时间可完成这批零件？(

A.9小时13.9小时C.9小时D.10小时

【参考答案】21-30题

21.C【解析】要使邮票最少，那么要尽量多的使用大面额邮票，所以要到达总价值，2角的邮票

要使用4张，1角的邮票要使用1张，8分的邮票要4张，这样使总价值正好为1元2角2分，所以要

用9张。

22.C【解析】此题可简便分为两步，用心算即可。先计算折扣2%前的价格，44104-(100%-

2%)=4500,再找出折扣10%前的原价格,45004-(100%-10%)=5000o故此题的正确答案为C。

23.A【解析】此题可用方程法求解。设现有城镇人口为x万，那么农村人口为(70—x)万，得

出等式4%Xx+5.4%X(70—x)=70X4.8%,解得x：30。

24.C【解析】当甲跑一圈时，乙比甲多跑1/7|卷|,丙比甲少跑1/7圈，由此可知乙、甲、丙

的速度比为8/7：7/7：6/7即为8：7：6。根据路程公式，在时间相等的情况下，路程比等于速度比，

所以当乙跑800米时，甲跑700米，丙跑600米。所以，甲在内前100米。

25.A【解析】此题可以使用阴影覆盖法，即100-(40+：8+20)=22(人)，故远A项。

26.D【解析】使用代入法，设经历了x个小时，标准时间为y,那么10-x=y,9+3x=y,解得y=9+3

/4,即此时的标准时间为9点45分。

27.A【解析】此题可先看时针，时针在10点与11点之间，那么此时分针与时针方向相反且在

一条直线上时应在4点到5点之间，分针6分钟之前应在3点，即10点15分。故此题的正确答案为A。

28.C【解析】早晚八点之间相差12小时，冏一至周五的半费时间为12X5=60,周六周日两天共

48小时，故一周之中共有108小时实行半价收费。

29.C【解析】此题可设小号蓝色衬衫为x件，在100件衬衫中，蓝色为100X75%=75(件)。

75-x+lO=50,x=35o故此题的正确答案为C。

30.C【解析】根据题干可知徒弟每小时能完成零件总数的1/24,师傅每小时能完成零件总数的

1/16,故师徒合作所需时间为1/(1/24+1/16)=9+3/5

二、特值法

所谓特值法，就是在某一范围内取一个特殊值，将繁杂的问题简单化，这对于解有关不需整个解题

思维过程的客观题十分有效。我们常常会用到特殊值、特殊数列、特殊函数、特殊点、特殊方程等方法

来找到特殊值，直接带入，或者考察特例、检验特例、举反例等等，总之就是把这个题目用特殊的问题

遂行检验，然后进行猜测，这是特殊化猜测。

【例题1】：2009年行测真题

某村的一块试验田，去年种植普通水稻，今年该试验田的1/3种上超级水稻，收割时发现该试验田

的水稻总产量是去年总产量的L5倍。如果普通水稻的产量不变，那么超级水稻的平均产量与普通水稻

的平均产量之比是：

A.5：2B.4：3C.3：1D.2：1

【答案】A.

解析：取特殊值。设普通水稻的产量是I，那么去年的总产量是1,今年的总产量就是1.5,今年普

通水稻产量为2/3,超级水稻产量为L5-2/3,而超级水稻只占1/3,所以如果都种超级水稻的产量就是3

X(1.5-2/3),那么超级水稻的平均产量与普通水稻的平均产量之比是3X(I.5-2/3)：1=2.5：1=5：2.

所以选A.

【例题2］：有一堆苹果，如果分给甲乙两个班，每人可以分到6个；如果只分给甲班，每人可以分

到10个。请问如果只分给乙班，每人可以分到几个？()

【答案】：选D.设有30个苹果，那么甲乙两班有5人，甲班3人，乙班2人。乙班每人可以分到

304-2=15人。

数学归纳法也是解决数学运算问题的一个根本的方法，它是一种从条件入手，通过分析简单情况，

归纳出解决此类题的规律的一种方法，对于解决那些不容易入手或表述复杂的问题十分有效。注意，这

种方法只是猜测而不是证明，有时候可能会得出不正确的答案，需要大家注意多加验证。

【例题3】：2008年真题

一对成熟的兔子每月繁埴一对小兔子，而每对小兔子一个月后就变成一对成熟的兔子，那么从

一对刚出生的兔子开始，一年后可变成()对兔子？

【答案】C.

解析：先列举出经过六个月第子的对数是1,1,2,3,5,8.很容易发现这个数列的特点：即从

第三项起，每一项都等于前两项之和。所以按这个规律写下去，便可得出一年内兔子繁殖的对数：1,1,

2,3,5,8,13,21,34,55,89,144.可见一年内兔子共有144对。

数学思想剖析：以上两种方法数学思想依据是猜证结合思想。很多时候，有些题目好似可以直

接得到答案，可是写出解题过程却不那么容易，这时候我们可以对问题做出大胆的猜测，然后根据来证

明猜测的正确性，这就是猜证结合思想。在行测考试中，我们常常用特值法、归纳法这两种方法来提出

猜测，然后用综合法、分析法、穷举法、反证法等四种方法来证明我们提出的猜测。

递推法是利用问题本身所具有的一种避椎关系求解问题的一种方法.用避推法解题，首先是要列出

符合题意的递归关系式一一递归方程，再解方程。通常方法是按某一元素（或位置）或某一方式进行分

类讨论，从而得出问题间的递推关系。

【例题4】：2009年真题

一个边长为80厘米的正方形，依次连接四边中点得到第二个正方形，这样继续下去可得到第三

个、第四个、第五个、第六个正方形，问第六个正方形的面积是多少平方厘米？

【答案】C.

解析：由题意我们可以得到一个递推关系，每一个正方形的面积都是其前一个正方形面

11LCL

积的】因此第六个正方形的面积是原正方形面积的（&）5,即8（）2彳25=200。

数学思想剖析：推导法数学思想依据是化归思想。所谓“化归”，就是转化和归结。在解决数

学问题时，人们常常将待解决的问题甲，通过某种转化过程，归结为•个已经解决或者比拟容易解决的

问题乙，然后通过问题乙的解答返回去求得原问题甲的解答，这就是化归方法的根本思想。总而言之，

化归就是要化复杂为简单，化陌生为熟悉。推导法是最常用的化归方法。化归方法还有分解与组合、构

造法、定义回归法和升降维（立体化归）等。

设“1”思想解决比例相关问题。

一.设“1”思想

题目中没有涉及到某个具体量的大小，并且这个量大小并不影响最终结果的时候，我们可以利用设

力”思想，进而简化计算。这里考生一定要注意，设力”思想并入等同于所有题目都设成“1”这个数，而是

可以根据题目的实际需要，选取最有利于快速计算的任何数值。

二.适用题型

从题型上看：

设力”思想广泛应用于浓度问题、工程问题、价格问题、加权平均等问题。

从题Fl特点来看,符合以下特点之一的可用设力”思想

特点一、题目中出现比例关系，但没有出现具体值

特点二、题目中出现不变量或相同量，该不变量或相同量设为何值最终不影响结果

三.真题讲解

【例1】李森在一次村委会选举中，需2/3的选票才能中选，当统计完3/5的选票时，他得到的选

票数己到达中选票数的3/4,它还需要得到剩下选票的儿分之儿才能中选？（）【山东2（）07-59】

【答案】C

【解析】该题涉及到所有的数据都是分数，属于特点一，因此用设力”思想解决。设所有选票数为

几个分数分母的最小公倍数60,那么李森中选所需要的票数为2/3x60=40；统计完的票数为3/5x60=36；

尚未统计的为24；己统计的选票中李森已获票数：3/4x40=30；因此李森要中选还需要40-30=10；那么

还需要得到剩下选票的10+24=5/12,选C

【例2】矩形一边增加10%,与它相邻的一边减少10%,那么矩形面积0

A.增加10%B.减少10%C.不变D.减少1%

【答案】D

【解析】该题涉及到所有的数据都是百分数，属于特点一。因此用设“1”思想解决。设两边长为都

为10,初始面积为10x10=100；那么一边增加10%后变为11,一边减少10%后变为9,面积变为11X9=99,

因此矩形面积减少了1%。选D

上述两题属于特点一，题目中出现的全是比例关系，因此用设“1”思想

【例3】王处长从东北捎来一袋苹果分给甲乙两个科室的人员，每人可分得6个，如果只分给甲科,

每人可分得10个。如果只分给乙科，每人可分得多少个？（〕【天津2007-68】

A.8个B.12个C.15个D.16个

【答案】C

【解析】苹果进行两次分配时苹果总数没有改变，属于不变量。因此川设力''思想解决c假设苹果

总数为6和5的最小公倍数30（个），那么甲乙两科室一共30:6=5（人）,甲科室30口0=3（人）,

因此乙科室5-3=2（人），所以银设只分给乙，每人可得30・2=15（个）。选C

【例4】甲、乙两人卖数量相同的萝卜，甲打算卖1元2个，乙打算卖1元3个。如果甲、乙两人

一起按2元5个的价格卖掠全部的萝卜，总收入会比预想的少4元钱。问两人共有多少个萝卜（[【国

2009-111]

A.120B.240C.360D.420

【答案】B

【解析】该题属于“价格问题”，因甲乙萝卜数相同，属于相同量。因此用设“1”思想解决。假设甲、

乙的萝卜数是2、3和5的最小公倍数30。那么甲卖30个萝卜，可以卖15元，乙卖30个萝卜，可以卖

10元，两人总共卖25元：假设甲乙以2元5个合卖60个萝卜，那么可以卖24元。因此，每60个萝卜

少买25-24=1元，总共少收入了4元，一共有60x4=240个萝卜。

【例5】一条隧道，甲单独挖要20天完成，乙单独挖要10天完成。如果甲先挖I天，然后乙接替

甲挖1天，再由甲接替乙挖1天……两人如此交替工作。那么挖完这条隧道共用多少天（）【国2009-1101

A.13B.14C.I5D.16

【答案】B

【解析】该题属于“工程问题”，因工程总量不变，属于不变量。因此用设“1”思想解决。设工程总

量为20,那么甲效率是1,乙效率是2,甲和乙各挖一天看做一个周期。经过六个周期，完成（1+2）x6:18,

还剩2个单位，由甲挖1,再由乙挖1。因此总共为6x2+1+1=14天，选B

【例6】一个容器内有假设干克盐水。往容器内参加一些水，溶液的浓度变为3%,再参加同样多

的水，溶液的浓度为2%,问第三次再参加同样多的水后，溶液的浓度是多少?（）[广东2006-15】

A.1.8%B.1.5%C.l%D.0.5%

【答案】B

【解析】该题属于溶液问题，因加水前后溶质不变，溶质属于不变量。因此用设T”思想解决。设

溶质为612和3的最小公倍数），那么第二次加水前的溶液为200,第二次加水后的溶液为300,因此

加水量为100；第三次参加同样多的水，即100,溶液变为400,而溶质不变，因此浓度变为6X00=1.5%；

选B

【例7】两个相同的瓶子装满某种化学溶液，一个瓶子中溶质与水的体积比是3：I,另一个瓶子中

溶质与水的体积比是4：1,假设把两瓶化学溶液混合，那么混合后的溶质和水的体积之比是（）【山东

2008-48]

A.3I：9B.7：2C.31：40D.20：II

【答案】A

【解析】该题属于溶液问题，因两个相同的瓶子，所以溶液属于相同量。因此用设“1”思想解决。

一个瓶子溶液：溶质：水=4：3：1；另一个溶液：溶质：水=5：4：I；因此设溶液为20（4和5的最小

公倍数），那么第一个瓶子溶质为15,水为5；第二个瓶子溶质为16,水为4：混合后，溶质：水=115+16）：

（5+4）=31：9,选A

2-7题属于特点二，题目中存在不变量或相同量，将不变量或相同量设为一个易于计算的特值（最

好设成最小公倍数）

四总结

设“1”思想公考解题的一个重要思想。第一需要把握住该思想适用于何种题型，第二

需要掌握“1”是什么数字可以最大程度简化计算。训练出这种机械思维，比例相关问题就

会迎刃而解。

三、整除特性

【例1】100个馒头给100个和尚吃，大和尚每人吃3个，小和尚每3人吃1个，大和尚有多少人?（）

A.15B.25C.50D.75

答案：B

解法一：假设有x个大和岩，y个小和尚，

fx+y=10025

则k……解得<—故本题选B。

|3x+y/3=100[y=75

解法二：数字特性法：小和尚每3人吃•个馒头，所以小和尚人数是3的倍数，代入选择，排除A、

C、D,选择B。

【例2】（2009年江苏）甲乙两家商店购进同种商品，甲店进价比乙店廉价10%。甲店按20%的利润定

价，乙店按15%的利润定价，乙店定价比甲店高28元，那么甲店进价是（）。

A.320元B.360元C.370元D.400元

答案；B

解法一：设甲店的进价为x元，乙店的进价为y元，那么

卜=（1一10%）»领出b=360

|（1+15%）J/-（1+20%>=28[y=400

解法二：根据题怠，甲店进价比乙廉价1U%,可以断定甲店进价应该是9的倍数，直接选B。

【例3】（国2007-55）一名外国游客到北京旅游，他要么上午出去游玩，卜午在旅馆休息，要么上午

休息，下午出去游玩，而下雨天他只能一天都呆在屋里。期间，不下雨的天数是12天，他上午呆在旅

馆的天数为8天，下午呆在旅馆的天数为12天，他在北京共吴了多少天？（〕

A.16天B.20天C.22天D,24天

［答案］A

［解析］这名外国游客或者上午休息或者下午休息，休息了8+12=20个半天，因此他在北京呆的

时间肯定不超过20天，排除C、Do如果他在北京正好呆20天，却也只休息了20个半天，说明这些天

一直都没有下雨，那么总天数应该为12天，矛盾。所以选择

【例4】（国2002A-10）一根长18米的钢筋被锯成两段。短的一段是长的一段的45,问短的一段有多

少米长？（）

A.7.5米B.8米C.8.5米D.9米

［答案］B

［解析］短的一段是长的一段的，因此短的一段的长度一般情况下是4的倍数，选择B。

【例5】（国2002B-14）一个长方形，它的周长是32米，长是宽的3倍，问这个长方形的面枳是多少？

（〕

A.64平方米B.56平方米C.52平方米D.48平方米

［答案］D

［解析］因为长方形的长是宽的3倍，因此一般情况下，长方形的长是3的倍数，所以面积也应该

是3的倍数。但A、B、C三个选项都不是3的倍数。结合选项，选择D。

【例题6】.（2007年中央第60题）

有一食品店某天购进了6箱食品，分别装着饼干和面包，重量分别为8、9、16、20、22、27公斤。

该店当天只卖出一箱面包，在我下的5箱中饼干的重量是面包的两倍，那么当天食品店购进了（）公

斤面包。

【解析】此题是整除运算题目。由题意可知，6箱食品共重102公斤，设卖出的•箱面包为x公斤,

又由于剩下的5箱中饼干的重量是面包的两倍，所以（102-x）应是3的倍数，并且（102-x）；3应是其余5

箱中一箱的重量或几箱重量的和。只有当x=27时符合条件，此时共有面包27+（102-27）+3=52公斤。应

选D。

【例题7】.（2006年中央（一类）第50题,（二类）第34题）

一个三位数除以9余7,除以5余2,除以4余3,这样的三位数共有（）。

【解析】此题要运用整除运算。根据“除以5余2”，可知该数的尾数为2或7;而根据“除以4余3”,

可知其尾数只能为7根据“除以9余7”,该数可以表示为9x+7,其中x的范只为11至110：其中尾数为

7的有9y+7,其中y的范围为20至110,经检验可知，当y为30、50、70、90、110时，该三位数仍

不能符合“除以4余3”的条件，即只有当y为20、40、60、80、100时，该三位数才满足三人条件，因

此共有5个三位数。应选A。

【例题8］：求一个首位数字为5的最小六位数，使这个数能被9整除，且各位数字均不相同。

分析：由于要求被9整除，可只考虑数字和，又由于要求最小的，故从第二位起应尽量用最小的数

字排，并试验末位数字为哪个数时，六位数为9的倍数。

【解析】一个以5为首位数的六位数，要想使它最小，只可能是501234（各位数字均不相同）。但是

501234的数字和5+0+1+2+3+4=15,并不是9的倍数，故只能将末位数字改为7,这时，5+0+1+2+3+7

=18是9的倍数，故501237是9的倍数。

即501237是以5为首位，且是9的倍数的最小六位数。

【例题9］：从0、1、2、4、7五个数中选出三个组成三位数，其中能被3整除的有几个？

【解析】三位数的数字和字和应被3整除，所以可取的三个数字分别是：

0.1,2;0,2,4;0,2,7;147。

于是有：（2*2*1）*3+3*2*1=181个）

例题5：某个七位数1993□口□能够同时被2、3、4、5、6、7、8、9整除，那么它的最后三字依次

是多少？

【解析】这个七位数能被2、3、4、5、6、7、8、9整除，

所以能被2、3、4、5、6、7、8、9的最小公倍数整除。

这个最小公倍数是5*6*7*8*9=2520。

1993000/2520=790……2200

2520-2200=320

所以最后三位数依次是3、2、0。

例题6：十个连续的自然数，其中的奇数之和为85,在这10个连续的自然数中，是3的倍数的数

字之和最大是多少？

A56B66C54D52

【解析】奇数之和为85,那么这个5个奇数为13、15、17、19、21,由此可知这十个最大为13-2

2.那么3的倍数为：12、15、18、21。

数字的整除特性

1.我们已学过奇数与偶数，我们正是以能否被2整除来区分偶数与奇数的。因此，有下面的结论:

末位数字为0、2、4、6、8的整数都能被2整除。偶数总可表为2k,奇数总可表为2k+l(其中k为整

数)。

2.末位数字为零的整数必被10整除。这种数总可表为10k(其中k为整数)。

3.末位数字为。或5的整数必被5整除，可表为5k1k为整数)。

4.末两位数字组成的两位数能被4(25)整除的整数必被4(25)整除。

如1996=1900+96,因为100是4和25的倍数，所以1900是4和25的倍数，只要考察96是否4

或25的倍数即可。

能被25整除的整数，末两位数只可能是00、25、50、75。能被4整除的整数，末两位数只可能是

00,04,08,12,16,20,24,28,32,36,40,44,48,52,56,60,64,68,72,76,80,84,88,

92,96,不可能是其它的数。

5.末三位数字组成的三位数能被8(125)整除的整数必能被8(125)整除。

由于1000=8X125,因此，1000的倍数当然也是8和125的倍数。

如判断765432是否能被8整除。

因为765432=765000+432

显然8765000,故只要考察8是否整除432即可。由于432=8X54,即432能被8整除，所以765432

能8被整除。

能被8整除的整数，末三位只能是000,008,016,024,…984,992。

由于125X1=125,125X2=250,125X3=375：

125X4=500,125X5=625；125X6=750；

125X7=875；125X8=10000

故能被125整除的整数，末三位数只能是000,125,250,375,500,625,750,875。

6.各个数位上数字之和能被3(9)整除的整数必能被3(9)整除。

如478323是否能被3(9)整除？

由于478323=4X100000+7X100004-8X1000+3X100+2X10+3

=4X(99999+1)4-7(9999+1)+8X(9994-1)+3X(99+1)+2X(9+1)+3=(4X99999

+7X9999+8X999+3X99+2X9)+14+7+8+3+2+3)

前一括号里的各项都是3(9)的倍数，因此，判断478323是否能被319)整除，只要考察第二括

号的各数之和14+7+8+3+2+3)能否被3(9)整除。而第二括号内各数之和，恰好是原数478323

各个数位上数字之和。

•••4+7+8+3+2+3=27是3⑼的倍数，故知478323是3⑼的倍数。

在实际考察4+7+8+3+2+3是否被3(9J整除时，总可将3(9)的倍数划掉不予考虑。

即考虑被3整除时，划去7、2、3、3,只看4+8,考虑被9整除时，由于7+2=9,故可直接划去

7.2,只考虑4+8+3+3即可,

如考察9876543被9除时是否整除，可以只考察数字和19+8+7+6+5+4+3)是否被9整除，

还可划去9、5+4、6+3,即只考察8

如问3是否整除9876543,那么先可将9、6、3划去，再考虑其他数位上数字之和。由于3整除(8

+7+5+4),故有3整除9876543。

实际上，一个整数各个数位上数字之和被3(9)除所得的余数，就是这个整数被319)除所得的

余数。

7.一个整数的奇数位数字和与偶数位数字和的差如果是11的倍数，那么这个整数也是11的倍数“

[一个整数的个位、百位、万位、…称为奇数位，十位、千位、百万位……称为偶数位。)

如判断42559能否被11整除。

42559=4X10000+2X1000+5X100+5X10+9

=4X(9999+1)+2X(1001-1)+5[99+1)

4-5X(11-1)4-9

=(4X9999+2X1001+5X99+5X11)+(4—2+5—5+9)

=11X(4X909+2X91+5X94-5)+(4—2+5—5+9)

前一局部显然是11的倍数c因此判断42559是否11的倍数只要看后一局部4一2+5—5+9是否为

11的倍数。

而4-2+5—5+9=(4+5+9)—(2+5)恰为奇数位上数字之和减去偶数位上数字之和的差。

由于(4+5+9)-(2+5)=11是11的倍数，故42559是11的倍数。

现在要判断7295871是否为11的倍数，只须直接计算(1+8+9+7)—(7+5+2)是否为11的

倍数即可。由25—14=11知(1+8+9+7)-(7+5+2)是1的倍数，故11|7295871。

上面所举的例子，是奇数位数字和大于偶数位数字和的情形。如果奇数位数字和小于偶数位数字和

〔即我们平时认为''不够减")，那么该怎么办呢？

如867493的奇数位数字和为3+4+6,而偶数位数字和为9+7+8。显然3+4+6小于9+7+8,

即13小于24。

遇到这种情况，可在13—21这种式子后面依次加上11,直至“够减”为止。

由于13—24+11=0,恰为11的倍数，所以知道867493必是11的倍数。

又如738292的奇数位数字和与偶数位数字和的差为

(2+2+3)-(9+8+7)=7-24

7-244-11+11=5(加了两次11使“够减”)。由于5不能被11整除，故可立即判断738292不

能被11整除。

实际上，•个整数被11除所得的余数，即是这个整数的奇数位数字和与偶数位数字和的差被11除

所得的余数(不够减时依次加U直至够减为止)。

同学们坏会发现：仟何一个二位数连写两次组成的六位数一定能被11整除.

如186这个三位数，连写两次成为六位数186186。由于这个六位数的奇数位数字和为6+1+8,偶

数位数字和为8+6+1,它们的差恰好为零，故186186是11的倍数。数位数字和为c+a+b,偶数位

数字和为b+c+a,它们的差恰为零，

象这样由三位数连写两次组成的六位数是否能被7整除呢？

如186186被7试除后商为26598,余数为零,即7I186186c能否不做186186+7,而有较简单的

判断方法呢？

由于186186=186000+186

=186X1000+186

=186X1001

而1001=7X11X13,所以186186一定能被7整除。

这就启发我们考虑,由干7X11X13=1001.故假设一个数被1001整除,那么这个数必被7整除.

也被11和13整除。

或将一个数分为两局部的和或差，如果其中一局部为100：的倍数，另一局部为7111或13）的倍

数，那么原数也一定是7（11或13）的倍数。

如判断2839704是否是7的倍数？

由干2839704=2839000+704

=2839X1000+704

=2839X1001-2839+704

=2839X1001-（2839-704）

•••2839—704=2135是7的倍数，所以2839704也是7的倍数：2135不是11（13）的倍数，所以

2839704也不是11（13）的倍数。

实际上，对于283904这样一个七位数，要判断它是否为7（11或13）的倍数，只需将它分为2839

和704两个数，看它们的差是否被7（11或13）整除即可。

又如判断42952是否被13整除，可将42952分为42和952两个数，只要看952—42=910是否被

13整除即可。由于910=13X7。,所以13整除910,

8.一个三位以上的整数能否被7（11或13）整除，只须看这个数的末三位数字表示的三位数与末

三位数字以前的数字所组成的数的差（以大减小）能否被7或13）整除。

另法：将一个多位数从后往前三位一组进行分段。奇数段各三位数之和与偶数段各三位数之和的差

假设被7（11或13）整除，那么原多位数也被7或13）整除。

如3546725可分为3,546,725三段。奇数段的和为725+3=728,偶数段为546,二者的差为

728-546=182=7x26=7x2x13

整除法的分类：

在公务员行测考试中占有非常重要的位置，因为整除法能够快速提高数量关系类题H