2027届新高三数学热点突破复习 随机抽样、统计图表

数学体系构建

命题报告命题趋势基础(50%):样本的数字特征(均值、方差、百分位数)、经验回归方程直接应用;中档(30%):统计图表分析(扇形图、条形图、折线图)、相关系数计算与应用;压轴(20%):统计推断(独立性检验)、非线性回归分析与残差分析高频考点描述统计:样本的数字特征的计算与比较;成对数据分析:线性回归方程求解与应用、相关系数解释;统计推断:独立性检验(2×2列联表)命题规律结合近几年高考数学真题及备考分析,该模块命题规律清晰,聚焦基础、贴合实际且注重综合能力,具体如下:(1)题型题量稳定.全国卷多以“一小一大”或“两小一大”形式考查、小题多为容易题,出现在选择、填空靠前位置;解答题属中档及以上难度,是数据综合应用的核心题型,偶与概率等模块结合.(2)背景贴近实际.试题背景多取材于生活实际与社会热点,比如经济生产、环境监测、教育教学等领域,既体现统计知识的实用性,也考查学生将实际问题转化为数学问题的能力.(3)侧重核心素养.重点考查数据分析素养,要求学生提取、处理数据并推断结论;同时兼顾逻辑推理与数学运算,像回归方程计算、卡方值求解等环节,既需准确运算,也需理解统计量的实际意义备考建议1.关于统计基础(1)通过生活案例理解统计量意义;(2)掌握“识图→提取→结论”的图表分析流程;(3)强化百分位数在实际决策中的应用.2.关于回归分析(1)建立“数据收集→建模→预测”完整流程认知;(2)重点解析回归系数的实际含义.3.关于统计推断独立性检验假设思维4.综合应用(1)设计跨学科题目(如经济预测);(2)训练开放题“条件补充→方法选择→结论论证”作答逻辑2027届新高三数学热点突破复习随机抽样、统计图表目录123基础满分练课前

自检自测·夯基固本能力高分练课中关键能力·可视思维素养提升练课中高考定向·捕捉热点基础

满分练

课前

自检自测·夯基固本三个高考关键点关键点1简单随机抽样1.某工厂利用随机数表对生产的50个零件进行抽样测试,先将50个零件进行编号,编号分别为01,02,…,50,从中抽取6个样本,下面提供随机数表的第1行到第2行:66674037146405711105650995866876832037905716031163149084452175738805905223594310若从表中第1行第6列开始向右依次读取数据,则得到的第6个样本编号是(

)[命题点❶]A.57 B.50

C.40

D.10B解析:从随机数表第1行的第6列数字开始由左向右每次连续读取2个数字,删除超出范围及重复的编号,符合条件的编号有03,46,40,11,10,50,所以选出来的第6个个体的编号为50.故选B.关键点2分层随机抽样2.(2025·山东烟台模拟)某市开展“全民阅读”实施效果的调查研究,按区域划分为核心区、开发区、远郊区,各区的人口比例为2∶3∶4.现采用分层随机抽样的方法从各区中抽取人员进行调研.已知从开发区抽取的人数为300,则从核心区抽取的人数为(

)[命题点❷]A.90 B.120

C.180

D.200D

C

4.(2024·福建泉州模拟)从一个含有N个个体的总体中抽取一容量为n的样本,当选取抽签法、随机数法和分层随机抽样三种不同方法时,总体中每个个体被抽中的概率分别为p1,p2,p3,三者关系是(

)[命题点❶❷]A.p1=p2<p3 B.p1=p2=p3C.p1=p3<p2 D.p2=p3<p1B

关键点3统计图表5.为了研究某市甲、乙两个旅游景点的游客情况,文旅局统计了今年4月到9月甲、乙两个旅游景点的游客人数(单位:万人),得到如图所示的折线图.根据两个景点的游客人数的折线图,下列说法错误的是(

)[命题点❻]A.7,8,9月份的总游客人数甲景点比乙景点少B.乙景点4月到9月的游客人数总体呈上升趋势C.甲景点4月到9月游客人数的平均值在[31,32]内D.甲、乙两景点4月到9月中游客量的最高峰都在8月答案:D

6.某市教育局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查,随机抽取了200名学生,他们的身高分成A,B,C,D,E五个组,根据抽样结果得到统计图表,则样本中(

)[命题点❹❺]

女生身高情况条形图

男生身高情况扇形图A.女生人数和男生人数一样多 B.D组中男生人数多于女生人数C.B组男生人数为24 D.A组人数最少C解析:对于A,女生A组有18人,B组有48人,C组有30人,D组有18人,E组有6人,女生共有18+48+30+18+6=120人,男生有200-120=80人,因此女生人数多于男生人数,A错误;对于B,由扇形图知,男生D组有80×20%=16人,而女生有18人,因此女生人数多于男生人数,B错误;对于C,B组男生人数为80×(1-20%-25%-15%-10%)=80×30%=24,C正确;对于D,A组有18+80×10%=26人,E组有6+80×15%=18人,A组人数不是最少的,D错误.故选C.回归教材•考教衔接1.总体、个体、样本调查对象的全体(或调查对象的某些指标的全体)称为总体,组成总体的每一个调查对象(或每一个调查对象的相应指标)称为个体,在抽样调查中,从总体中抽取的那部分个体称为样本,样本中包含的个体数称为样本容量,简称样本量.2.简单随机抽样[❶]

简单随机抽样是等概率抽样、逐个抽取、不放回抽样抽签法和随机数法是比较常用的两种方法.3.分层随机抽样[❷]

按关键特征(如年龄、性别)将总体分成层,再从每层独立抽样一般地,按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体,每个个体属于且仅属于一个子总体,在每个子总体中独立地进行简单随机抽样,再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本,这样的抽样方法称为分层随机抽样,每一个子总体称为层.4.统计图表(1)常见的统计图表统计图表主要应用扇形图

扇形图中总体为1直观描述各类数据占总数的比例[❹]条形图和直方图直观描述不同类别或分组数据的频数和频率[❺]频率分布直方图中小矩形的面积对应本组的频率,所有矩形面积和为1折线图描述数据随时间的变化趋势[❻](2)作频率分布直方图的步骤

能力高分练课中关键能力•可视思维考点1简单随机抽样命题视角:随机数表法与等概率性.例1(1)(2025·辽宁高三期末)某厂质检员利用随机数表对生产的600个产品进行抽样调查,先将这600个产品进行编号:001,002,003,…,600.从中抽取120个样本,下面是随机数表的第2行到第3行,若从随机数表的第2行第5列开始从左向右读取数据,则得到的第5个编号是(

)32

12

67

12

31

02

37

02

14

72

31

09

81

47

80

25

13

25

46

0871

20

34

51

19

72

01

38

47

18

04

92

51

28

02

31

27

46

51

30A.098 B.147

C.513

D.310C解析:由题意可知得到的编号依次为231,023,147,098,513,…,则得到的第5个编号是513.故选C.

A

对点训练1

我国古代数学名著《九章算术》中有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1534石,验得米内夹谷,随机抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为(

)A.134石 B.169石 C.338石

D.1365石B

解题思维路径考点2分层随机抽样命题视角:样本量计算(比例分配公式及取整)、判断是否适合分层及分层标准.例2(1)为了调研某工业新区的空气质量状况,某课题组对甲、乙、丙三地的空气质量进行调查,按地域特点分别在三地设置空气质量观测点.已知甲、乙、丙三地区内观测点的个数分别为20,y,z,且依次构成等差数列,而20,y-10,z成等比数列,若用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取30个观测点,则丙地应抽取观测点的个数为(

)A.18 B.16

C.10

D.4B

(2)将一个总体分为A,B,C三层,其个体数之比为5∶3∶2.若用分层随机抽样的方法抽取容量为100的样本,则应从C中抽取

个个体;若A,B,C三层的样本的平均数分别为15,30,20,则样本的平均数为

.

2020.5

对点训练2

(2025·黑龙江哈尔滨模拟)在某市2025年第一次市模拟考试中,三所学校高三年级的参考人数分别为500,800,700.现按分层随机抽样的方法从三个学校高三年级中抽取样本,经计算得三所学校高三年级数学成绩的样本平均数分别为92,105,100,则三所学校学生数学成绩的总平均数约为(

)A.101 B.100

C.99 D.98B

解题思维路径方法导引

考点3统计图表角度1扇形图、条形图

命题视角:(1)扇形图:占比转换(部分—总体、圆心角)、类别占比对比.(2)条形图:数值读取、类别大小(含差值)比较、多组趋势分析.

图1图2A.样本B的样本量为60B.样本B中三居室住户共抽取了25户C.根据样本B可估计样本A中对四居室满意的住户有70户D.样本B中对三居室满意的有15户答案:AD

样本A中户型结构为四居室的市民对户型结构满意的比例为40%,所以样本A中户型结构为四居室的市民对户型结构满意的住户大约有200×40%=80户,故C错误;对于D,样本B中户型结构为三居室的住户有30户,所以对三居室满意的住户有30×50%=15户,故D正确.故选AD.对点训练3

(2025·广东东莞模拟)某商场开通三种平台销售商品,五一期间这三种平台的数据如图1所示.该商场为了解消费者对各平台销售方式的满意程度,用分层随机抽样的方法抽取了6%的顾客进行满意度调查,得到的数据如图2所示.图1图2下列说法正确的是(

)A.样本中对平台一满意的消费者人数约为700B.样本中对平台二满意的消费者人数为20C.样本中对平台一和平台二满意的消费者总人数为60D.若样本中对平台三满意的消费者人数为120,则m=90%C

角度2折线图

命题视角:趋势分析(升降或波动)、数值差与增速计算、多组趋势对比、拐点识别.例4(多选)某企业2025年12个月的收入与支出数据的折线图如图:已知:利润=收入-支出,根据该折线图,下列说法正确的是(

)A.该企业2025年1月至6月的总利润低于2025年7月至12月的总利润B.该企业2025年1月至6月的平均收入低于2025年7月至12月的平均收入C.该企业2025年8月至12月的支出持续增长D.该企业2025年11月的月利润最大ABC解析:因为图中的实线与虚线的相对高度表示当月利润.由折线统计图可知1月至6月的相对高度的总量要比7月至12月的相对高度总量小,故A正确;由折线统计图可知1月至6月的收入都普遍低于7月至12月的收入,故B正确;由折线统计图可知8月至12月的虚线是上升的,所以支出持续增长,故C正确;由折线统计图可知11月的相对高度比7月、8月都要小,故D错误.故选ABC.角度3频率分布直方图

命题视角:(1)频率计算:某区间频率(矩形面积)、频数(频率×总容量).(2)分布规律:数据集中区间、波动范围分析.例5

某校为了解学生学习的效果,进行了一次摸底考试,从中选取60名学生的成绩,分成[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]六组后,得到不完整的频率分布直方图如图所示.观察图形,回答下列问题:(1)求分数在区间[70,80)内的频率,并补全这个频率分布直方图;(2)根据评奖规则,排名在前10%的学生可以获奖,请你估计获奖的学生至少需要多少分.解:(1)设分数在[70,80)内的频率为x,根据频率分布直方图,可得(0.01+0.015+0.02+0.025+0.005)×10+x=1,解得x=0.25,所以分数在[70,80)内的频率为0.25.补全这个频率分布直方图,如图所示.(2)因为分数在区间[80,90)内的频率为0.25,在区间[90,100]内的频率为0.05,而0.05<10%<0.25+0.05,设排名前10%的分界点为90-a,则0.025a+0.005×10=10%,解得a=2,所以排名前10%的分界点约为88分,即获奖的学生至少需要88分.对点训练4

某市3000名市民参加“美丽城市我建设”相关知识竞赛的成绩如图所示.(1)a=

;

(2)估计该市参加知识竞赛的3000名市民中,成绩在[70,90)内的人数为

.

0.0051950解析:(1)依题意,得(2a+3a+7a+6a+2a)×10=1,故a=0.005.(2)成绩在区间[70,90)内的频率为(7a+6a)×10=130a=130×0.005=0.65,所以所求人数为3

000×0.65=1

950.解题思维路径解题思维路径解题思维路径观要素(组距、区间)→定问题(计算/特征量/规律)→选方法(面积算频率、中点估特征、看集中判趋势)→联实际(背景解读)方法导引1.通过扇形图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系.2.折线图可以显示随时间(根据常用比例放置)而变化的连续数据,因此非常适用于显示在相等时间间隔下数据变化的趋势.3.频率分布直方图的数据特点(1)频率分布直方图中纵轴上的数据是各组的频率除以组距的结果,不要误以为纵轴上的数据是各组的频率,不要和条形图混淆.(2)频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1,这是解题的关键,常利用频率分布直方图估计总体分布.素养提升练课中高考定向•捕捉热点命题趋势1:选择合适的抽样方法,并能根据分层随机抽样的比例分配,计算样本总量、各层总数、总体容量.1.某校有700名高一学生,400名高二学生,400名高三学生,高一数学兴趣小组欲采用按比例分配的分层随机抽样的方法在全校抽取15名学生进行某项调查,则下列说法正确的是(

)A.高一学生被抽到的概率最大B.高三学生被抽到的概率最大C.高三学生被抽到的概率最小D.每名学生被抽到的概率相等D解析:无论采取简单随机抽样,还是分层随机抽样,每个个体被抽取的概率都相同.故选D.2.(多选)某大型企业对改善员工福利的A,B,C三种方案进行了问卷调查,调查结果如下(单位:人):年龄支持A方案支持B方案支持C方案35岁以下20040080035岁及以上100100400则下列说法正确的是(

)A.所有参与调查的有2000人B.按照年龄进行分层随机抽样,则抽取的35岁以下的人数和35岁及以上的人数之比为7∶4C.从所有参与调查的人中,按支持方案进行分层随机抽样的方法抽取n人,已知从支持A方案的人中抽取了6人,则n=40D.