专题04 三角形全等的基本模型（期末复习专项训练＋4大题型）（原卷版）

专题04三角形全等的基本模型题型1全等三角形模型之截长补短模型（难点）题型3全等三角形模型之一线三等角模型（难点）题型2全等三角形模型之倍长中线模型（难点）题型4全等三角形模型之手拉手模型（难点）题型一全等三角形模型之截长补短模型（共4小题）1．（25-26八年级上·陕西商洛·期末）【问题探究】（1）如图1，在四边形中，，，点在上，点在的延长线上，连接、，，点在上，且，连接，试说明；【问题解决】（2）如图2，四边形是某小区一块空地，经测量，，，小区物业现计划对这块空地及其周边进行重新规划，在、的延长线上分别取点、，沿、修建两条灌溉水渠，并在内种植某种常绿植物，根据规划要求，满足，请你求出与之间的数量关系，并说明理由．2．（25-26八年级上·陕西延安·期末）“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题，某数学小组借助以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习．如图，在四边形中，，，分别是直线，上的点．(1)如图①，若，，分别在线段，上，且满足，试探究线段，，之间的数量关系；数学小组探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，请你帮该数学小组完成解题过程；(2)如图②，若，点在的延长线上，且，点在的延长线上，若，请探究与之间的数量关系，并说明理由．3．（25-26八年级上·湖北孝感·期末）（1）如图1，在四边形中，，，、分别是、上的点，且，试探究图中与的数量关系．小王同学解决此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是_____；（2）如图2，在四边形中，，．、分别是、上的点，且，试探究、、之间的数量关系，并说明理由（3）如图3，在四边形中，，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，且满足，试求的度数．4．（24-25七年级下·江西抚州·期末）【初步探索】（1）如图1：在四边形中，，，、分别是、上的点，且，探究图中、，之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______．【灵活运用】（2）如图2，若在四边形中，，，、分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由．【拓展延伸】（3）已知在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图3所示，仍然满足，若，请求的度数．题型二全等三角形模型之倍长中线模型（共4小题）5．（25-26八年级上·陕西商洛·期末）（1）问题提出：小明和小华在一次数学学习中遇到了以下问题：如图，是的中线，若，，求长和长的取值范围．他们利用所学知识很快计算出了长的取值范围为______；（2）方法探究：但是他们怎么也算不出长的取值范围，经小组讨论后发现：延长至点．使，连接，如图．可证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到中，进而求出长的取值范围，请写出解答过程；（3）方法应用：如图，在中，点在上，且，过点作，交于点，且．求证：平分．6．（25-26八年级上·山东滨州·期末）【综合与探究】数学兴趣小组在学习全等三角形的过程中，对其中一个问题作如下探究：【历史文献】倍长中线的方法源于早期几何学家对中点性质的研究．古希腊数学家欧几里得《几何原本》虽未直接描述，但其全等三角形公理体系为倍长中线提供了理论基础．数学文献中，倍长中线作为标准术语被确立于世纪，成为初等几何常见技巧．(1)【问题背景】如图，中，，，是中线，则的取值范围是______；(2)【变式思考】如图，中，是中线，分别以，为腰在外作等腰和等腰，，，，连接，求证：；(3)【探究延伸】如图，在四边形中，对角线，相交于点，将沿着翻折，点的对应点为，，点是的中点，，当时，求的长．7．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）【综合与探究】数学兴趣小组在学习全等三角形的过程中，对其中一个问题作如下探究：(1)【问题背景】如图1，中，是中线，则的取值范围是______；(2)【变式思考】如图2，中，是中线，分别以为腰在外作等腰和等腰，，连接．求证：；(3)【探究延伸】如图3，在四边形中，对角线相交于点E，，点F是的中点，，当时，求的长．8．（25-26八年级上·江西赣州·期末）【发现问题】数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图①，，中线的取值范围是多少？【探究方法】（1）第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：①延长到，使得；②连接，通过三角形全等把、、转化在中；③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是；方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形．【问题拓展】（2）如图②，，与互补，连接，，是的中点，求证：（3）如图③，在（2）的条件下，若，延长交于点，，求的面积．题型三全等三角形模型之一线三等角模型（共4小题）9．（25-26八年级上·湖北随州·期末）数学教材中有这样一道习题：“如图1，，垂足分别为，若，，求的长．”在计算时，我们通过证明，得到一些线段之间的数量关系，然后进行求解．【类比探究】（1）如图2，在等腰三角形中，，，为过点的直线，于，于，求证：；【拓展应用】（2）如图3，在中，，分别以和为直角边作等腰和等腰，连交延长线于点．猜想与的数量关系，并说明理由；【知识迁移】（3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图4所示，以的，边向外作等腰和等腰，其中，是边上的高．延长交于点，若，直接写出的面积．10．（24-25八年级上·吉林·期末）在直角三角形中，，直线经过点．(1)当时，①如图1，分别过点，作直线于点，直线于点．求证：；②如图2，过点作直线于点，点与点关于直线对称，连接交直线于点，连接．请写出线段，，三者之间的数量关系，并说明理由．(2)如图3，当，时，点与点关于直线对称，连接，．点从点出发，以每秒的速度沿路径运动到终点；点以每秒的速度沿路径运动到终点．分别过点，作直线于点，直线于点．点，同时开始运动，各自达到相应的终点时停止运动，设运动时间为秒．当与全等时，直接写出的值．11．（24-25七年级下·广东清远·期末）【问题提出】（1）如图1，直线l经过点A，，，分别过点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．求证：；【变式探究】（2）如图2，点A、D、E分别在直线l上，如果，，求证：；【拓展应用】（3）如图3所示，在和中，，，，连接，，作边上的高，延长交DE于点．若，，求的面积．12．（24-25七年级下·四川达州·期末）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：【模型呈现】某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型．【探究问题】（1）如图2，在直角中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，则线段、、之间的数量关系为________．（2）如图3，将（1）中的直线绕点转动到与相交，其余条件不变．请问（1）中结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．【解决问题】（3）如图4，直线经过的直角顶点，的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，，垂足分别为点、，若，，设运动时间为，当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求此时的值．题型四全等三角形模型之手拉手模型（共4小题）13．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）如图，在和中，．点在边上，连接．(1)如图1，若是锐角，，则___________；(2)如图2，若是直角，试说明：；(3)在（2）的条件下，若点到边的距离为18，求点到的距离．14．（24-25七年级下·山东济南·期末）和是两个角都是的等腰直角三角形（，，）的三角板，【问题初探】（1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接、，请证明：；【类比探究】（2）当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由．15．（24-25七年级上·山东济南·期末）在中，，点D是直线上一点（不与B、C重合），E是外一点，连接，已知，，连接(1)如图1，点D在线段上，如果，则______度：(2)如图2，当点D在线段上，试判断与之间的数量关系，并说明理由；(3)当点D在线段的延长线上时，（2）中的结论是否成立？若不成立，请写出新的结论并说明理由．16．（24-25八年级上·甘肃临夏·期