中国石油大学090107概率论与数理统计期末考试复习题及参考答案

《概率论与数理统计》课程综合复习资料

一、单选题

1.设某人进行射击，每次击中的概率为1/3,今独立重复射击10次，则恰好击

中3次的概率为（）。

B,咏

p.”八弋4冷

答案：B

2.盲为来自总体的一个样本，为样本均值，未知，则总体方差的无偏

估计量为Oo

六1n加工,

A/TZ

B.皿

1«）

1V（A；-£AT

C.K

々1工n⑶一口丁）

D."T1・l

答案:A

3*S为来自总体的一个样本，为样本均值，已知，记，，则服从自

由度为的分布统计量是（）。

B.炖S小《二n

答案：D

4.设总体为未知参数，为X的一个样本，为两个统计量，的置信度为

的置信区间，则应有()V

A..史痛＜：曰=沁

B，斜而•＜峭，-：1-花

C.尸边＜8=a

DP[6＜e＜§]=l-a

答案：D

5.某人射击中靶的概率为3/5,如果射击直到中靶为止，则射击次数为3的概率

()O

答案：c

6.设和均服从正态分布，记,则()。

A.对任何实数4都有P：

B.对任何实数〃都有P：

C.仅对〃的个别值有2=2

D.对任何实数”都有P.二区

答案：D

7.设和为任意两个事件，且，，则必有()。

A.♦•黑宅长盟划|领

B.胤:麟理中怫

C.观知》既翔阙

我房典济舞浏|部

答案：D

8.已知事件相互独立，，则下列说法不正确的是()o

A.9(题=P(4)P(8)

B.P(AB)=P(4)P(8)

C.45互不相容

D.P“|8)=P(4)

答案：C

9.甲、乙两人独立的对同一目标各射击一次，其命中率分别为0.6和0.5,现己

知目标被命中，则它是甲射中的概率是Oo

A.0.6

B.5/11

C.75%

D.6/11

答案：C

10.已知，，，求二()。

A.1/4

B.3/5

C.2/5

D.1/3

答案：C

11.甲、乙两人独立的对同一目标各射击一次，其命中率分别为0.5和0.6,则

目标被命中的概率是()O

A.0.9

B.0.7

C.0.55

D.0.8

答案：D

二、填空题

1/4,14x45“f,>>0

i.设r的概率分布分别为10*具匕；、°，则

逗答一皆独（）。

答案：

2.一批产品共有10个正品2个次品，从中任取两次，每次取一个（有放回）。

则恰有一次取到次品的概率为Oo

答案：10/36

3.一批产品共有10个正品2个次品，从中任取两次，每次取一个（不放回）。

则至少取到一个正品的概率为Oo

答案:65/66

4.设的概率分布为，则的分布函数（）。

答案：

5.已知随机变量工的分布列为

X|012

0^0502

则：随机变量的期望二（）。

答案：0.9

6.已知随机变量X的分布列为

X|T02

/>0.40.2p

则：=（）o

答案：1.84

7.一个盒子中有10个球，其中有3个红球，2个黑球，5个白球，从中取球两次,

每次取一个（无放回），则取到的两只球至少有一个黑球的概率为（）o

答案：17/45

8.设对于事件、有，，，则、都不发生的概率为（）。

答案：13/24

9.设随机变量，则常数=（）o

答案：1

10.已知事件，B满足，，则（）0

答案：

11.已知随机变量A'的分布列为

X|702

A0.40.2/

则：二（）。

答案：0.4

12.已知随机变量X的分布列为

012

0~3050?2

则：随机变量的方差二（）。

答案：0.49

13.一个盒子中有10个球，其中有3个红球，2个黑球，5个白球,从中取球两

次，每次取一个（无放回），则第二次取到黑球的概率为OV

答案：1/5

14.一批产品共有10个正品2个次品，从中任取两次，每次取一个（有放回）。

则两次都取到次品的概率为（）。

答案：1/36

15.设随机变量嶷川岬£%：则=（）。

答案：5

三、解答题

1.设的分布函数为，求：

（1）工的概率分布；

0

P[X<-｝舒如走<力线•1二*七r

(2)-、+1

答案：（1）的概率分布列为

-¥012

~P1/3~1/6~1/2

=F(A)=；

(2)223

*21

P（l£X<-}=P{X<-}-P{X<l}=-

工工0

刊】4万£彳}=「。£》<；}+尸{》=不}=7

▲■40

2.设随机向量（X"的概率密度为

[C0<X<L0<J<2X

其他

求：

（1）常数C；

（2）关于的边缘概率密度，并判断与是否相互独立。

答案：（1）利用归一性知:

（2）,

当时，有

其他情况时，

f2x,0<x<1

&（幻=0苴他

综合知1°，具他

9其他

由于/（"）工人（X）/⑴知X与y不相互独立。

3.已知、分别服从正态分布和，且与的相关系数，设，求:

（1）数学期望，方差；

（2）X与Z的相关系数夕工。

答案：（1）由数学期望、方差的性质及相关系数的定义得

“=岭+与=衅+畤=卜。+卜2=1

〜X1~八、cX八

="万一不）=力（T）+D（5）+*av（石，5）

=与。*++2x1/0»辰辰

3*）32取

=4-x3：+Xx42+2xlxlx（-l）x3x4=l+4-2=3

3*2*322

Cov（KZ）=Cov（其Lx+Lr）=lcov（无笛-LC5（X.F）

（2）J2，2

=+?夕月，磔、百=0

Cov(X'Z)

Pxz~~'J

从而有工与z的相关系数4DX4DZ

4.设为的一个样本，其中为未知参数，求的极大似然估计量。

答案：设为观测值，则构造似然函数

lUWD-II砧"

hZ=nln(z+l)+z^hx1

解的/的极大似然估计量为

5.设是来自正态总体的简单随机样本，

试确定、使统计量服从分布，并指出其自由度。

答案：依题意，要使统计量服从分布，则必需使及服从标准正态分布。

由于为简单随机样本，故相互独立，所以由正态随机变量的性质知，从而

解得1/45

同理，从而解得1,117

由分布定义知，当、时，服从分布，且自由度为2

6.己知工厂生产产品的次品率分别为1%和2%,现从由的产品分别占60%和

40%的一批产品中随机油取一件，求：

(1)该产品是次品的概率；

(2)若取到的是次品，那么该产品是工厂的概率。

答案：设表示“取到的产品是次品”；“取到的产品是工厂的”；

B”取到的产品是万工厂的“。则

(1)取到的产品是次品的概率为

—V

P(C)^P(A)P(CA)+F(mc|5)100100100100500

(2)若取到的是次品，那么该产品是工厂的概率为

402

-----x------

1001004

KBG,川？C)一尸⑶尸(C⑶--——7

_KO-P(.4)P(C|-4)+P(fi)P(C|5)500

7.一批产品共有10件正品2件次品，从中任取两件，求：

(1)两件都是正品的概率；

(2)恰有一件次品的概率；

(3)至少取到一件次品的概率。

答案：设表示：”取出的两件都是正品是正品"表示：”取出的两件恰有

一件次品”；表示：“取出的两件至少取到一件次品”；则

(1)两件都是正品的概率

.Go_15

PC4)一氓一五

（2）恰有一件次品的概率

,c|oclio

/万广飞"二方

（3）至少取到一件次品的概率

=1-汽4=1-渔=1-丝=工

P（C）Cf22222

8.一批产品共有10个正品2个次品，从中任取两次，每次取一个（不放回）u

求：

（1）至少取到一个正品的概率；

（2）第二次取到次品的概率；

（3）恰有一次取到次品的概率。

答案：设表示：“第次取出的是正品”（=1,2）,则

（1）至少取到一个正品的概率

_____T二二殳

:-於d点期=1-P（4小）-1211-66

（2）第二次取到次品的概率为

10221_1

.超段再触=汽％）汽彳214）+?（4次才2|^）=12XTi+12XlT=6

（3）恰有一次取到次品的概率为

102210_10

=X+=

M再U.期=尸（.*）外丕iA｝）+P（AX）PiAZi^i）1211HTT33

9.一个盒子中有三只乒乓球，分别标有数字1,2,2o现从袋中任意取球二次,

每次取一只（有放回），以、分别表示第一次、第二次取得球上标有的数字。

求：

（1）》和厂的联合概率分布；

（2）关于工和，边缘分布；

（3）和是否相互独立？为什么？

答案：（1）的所有可能取值为（1,1）、（1,2）、（2,1）、（2,2）。

（2）关于X和尸的边缘概率分布分别为

(3)X和，相互独立。因为英J有2'尸/=尸「

10.设为总体的一个样本，且的概率分布为

o为来自总体的一个样本观察值，求的吸大似然估计值。

答案：构造似然函数

5)=npa")=n以1-p)”

Ir»l

InZ=Mlnp+(；x,p)

dlnL"*"

dpp1-p

令，

解得‘，因此的极大似然估计值为

11.已知某种型号的雷管在一定刺激下发火率为4/5,今独立重复地作刺激试验,

直到发火为止，则消耗的雷管数的概率分布。

答案：的可能取值为1,2,o记表示“第次试验雷管发火”则表示

“第次试验雷管不发火”从而得：

0=网》=1}=尸(4)=：

P]=8*=2)=汽%4)=尸(4)&&)=K

P3=P[X=3}=丕由)=尸(%)?(王)尸(右)=4)：Xi

Pk=P{X=%}=尸(4丕—4t-iA)=©zxi

依次类推，得消耗的雷管数的概率分布为

3产黑=123,…)

12.设为来自总体的一个样本，为样本均值，试问是否为总体方差

的无偏估计量？为什么？

答案：不是总体方差的无偏估计量。

设，，因为：

EX=£(-yX.)=iV£rr=u

M：.l,Mi.1

DX=D(-yA：)=XyDX.=—

wS?*不勺n

EO=42工(k-JO]E[^X；-1XX^X)]

〃M=ni-i

=n

-(Z(2>A；+(皿)：)_«(而一位野)]

二〃i・l

[[[(O,+〃•)-*'+〃•)]=哀般，

=1-1〃或：

13.设相互独立随机变量X、『的概率分布分别为

-»1W工W3