2025-2026学年山东省济宁市兖州区高二下册期中质量检测数学试题 含答案

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.设随机变量的分布列为，则（）A. B. C. D.2.已知函数的导函数的图象如图所示，则该函数的图象可能是（）A. B.C. D.3.将个不同的小球放入个不同的盒子，每个盒子内至多放个小球，共有（）种放法，A. B. C. D.4.一个知识问答竞赛每题有3个选项．甲参加该竞赛有以下情况：若甲掌握该知识，则一定回答正确；若甲未掌握该知识，则从3个选项中随机选择一个作答．已知甲回答正确的概率为，则甲掌握该知识的概率为（）A. B. C. D.5.已知函数的图象关于坐标原点对称，则的值为（）A.20 B.50 C.70 D.906.若，则（）A. B. C. D.7.从标有0，1，2，3，4的五张卡片中随机选取4张放入如图所示的空格处组成一个四位数的偶数，则这个数小于2026的概率为（）A. B. C. D.8.若函数有两个零点，则a的取值范围为（）A. B.C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9.若，则n的值可能为（）A.3 B.4 C.6 D.810.设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（）A.是相互独立事件 B.事件，互斥C. D.11.设函数，则（）A.存在实数，使函数为单调函数B.当时，是函数的极小值点C.若函数有一个零点，则D.已知是函数的极大值点，若，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.一批产品根据质量指标分为正品和次品，且次品率为，随机抽取1件，定义则随机变量的方差_____.13.的展开式中项的系数是______．14.有红、黄、蓝卡片各张，分别写有数字.从中选取张，要求三色俱全，且数字各一张，则不同的选法数目有________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知的展开式中，第6项为常数项．（1）求n；（2）求展开式中所有的有理项．16.某外卖平台订单集中在早高峰、午高峰、晚高峰三个时段，三个时段订单占比依次为30%、40%、30%.统计发现，不同时段受接单压力影响，出现送餐延迟的概率不同，早高峰订单，发生延迟的概率为2%；午高峰订单，发生延迟的概率为3%；晚高峰订单，发生延迟的概率为4%.现随机抽取一笔外卖订单.（1）该订单来自午高峰时段且发生延迟的概率；（2）该订单发生延迟的概率；（3）若已知订单出现延迟，求它来自晚高峰时段的概率.17.设函数，已知是函数的极值点．（1）求的值；（2）设函数，证明：．18.甲、乙两名选手进行象棋比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，平局双方均得0分，比赛一直到一方比另一方多2分为止，多得2分的一方赢得比赛．已知每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，双方平局的概率为，且每局比赛结果相互独立．（1）若，求甲选手恰好在第4局比赛后赢得比赛的概率．（2）若，且比赛最多进行5局，比赛结束时的比赛局数为，（ⅰ）求的分布列（用字母表示）；（ⅱ）求的最大值．19.设函数．（1）若，求的图象在处的切线方程；（2）若在上恒成立，求a的取值范围；（3）当时，若满足，求证：．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.设随机变量的分布列为，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：由随机变量的分布列的性质得到答案.解答过程：由题意知，解得.故选：B.2.已知函数的导函数的图象如图所示，则该函数的图象可能是（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：根据导函数的正负确定原函数的单调性，即可结合图形求解.解答过程：由的图象可知：当和时，，故在单调递减，当和时，，故在，单调递增，故B正确，故选：B3.将个不同的小球放入个不同的盒子，每个盒子内至多放个小球，共有（）种放法，A. B. C. D.答案：B解析：思路：解法1：以小球为研究对象，分三步完成，即可得解；解法2：以盒子为研究对象，当3个小球放入后还剩2个空盒，通过列举法可知空盒有10种情况，且每种情况下小球均有种放法，即可得解/解答过程：解法1：以小球为研究对象，分三步完成.（1）第一个小球有种放法；（2）第二个小球有种放法；（3）第三个小球有种放法.根据分步乘法计数原理，共有种不同的放法.解法2：以盒子为研究对象，盒子序号记为，，，，.当个小球放入后还剩个空盒，通过列举法可知空盒有种情况：，，，，，，，，，.每种情况下小球均有种放法，所以共有种放法，故选：B.4.一个知识问答竞赛每题有3个选项．甲参加该竞赛有以下情况：若甲掌握该知识，则一定回答正确；若甲未掌握该知识，则从3个选项中随机选择一个作答．已知甲回答正确的概率为，则甲掌握该知识的概率为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据题干可列出，，结合全概率公式列出等式即可求解.解答过程：设甲掌握该知识的概率为，记“甲回答正确”为事件，根据题意，，，.根据全概率公式，，代入已知，得：，解得.5.已知函数的图象关于坐标原点对称，则的值为（）A.20 B.50 C.70 D.90答案：D解析：思路：先利用二项式定理化简，再根据函数奇偶性的定义求解即得.解答过程：依题意，可知函数为奇函数，满足.因，，则，由，因不恒为0，故得，即.6.若，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：先通过求导判断函数的单调性，再利用单调性比较和的大小．解答过程：因为．当时，，所以，所以在上为单调递减函数．故．故选：A.7.从标有0，1，2，3，4的五张卡片中随机选取4张放入如图所示的空格处组成一个四位数的偶数，则这个数小于2026的概率为（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：首先，组成的四位数的偶数中，若在个位，这样的四位数的偶数有个；若个位不为，则个位为2或4，有2种情况，首位有3种情况，中间两位数有种情况，所以这样的四位数的偶数有个.故可组成四位数的偶数共个.其中小于2026的偶数可分为两类：第一类：千位数为1的有：个；第二类：千位数为2的只有2014这1个.所以小于2026的四位数的偶数有个.所以组成的四位数的偶数中，小于2026的概率为.8.若函数有两个零点，则a的取值范围为（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：分类讨论的值，再根据导数分析的单调性，结合函数有两个零点，即可求解范围．解答过程：函数的定义域为.当时，令，在只有一个零点，不合题意；当时，，当时，，则在单调递增，，所以在只有一个零点，不合题意；当时，令，当时，，在单调递减，当时，，在单调递增，又时，，若有两个零点，则，设，令，解得，当时，，则在上单调递增，当时，，则在上单调递减，所以，所以，故选：C．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9.若，则n的值可能为（）A.3 B.4 C.6 D.8答案：BC解析：思路：利用组合数公式化简，再利用组合数性质求出n的值.解答过程：依题意，，因此，所以或.故选：BC10.设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（）A.是相互独立事件 B.事件，互斥C. D.答案：AC解析：思路：根据题意，利用相互独立事件的判定方法，互斥事件的概率加法公式，以及条件概率的计算公式，结合选项，逐项求解，即可得到答案.解答过程：对于A，由，解得，所以，所以是相互独立事件，所以A正确；对于B，若互斥，则，由A项知，所以不互斥，所以B错误；对于C，因为，且与互斥，根据互斥事件的概率加法公式，可得，所以，所以C正确；对于D，根据条件概率的公式，可得，因为，，可得，所以，所以D错误.11.设函数，则（）A.存在实数，使函数为单调函数B.当时，是函数的极小值点C.若函数有一个零点，则D.已知是函数的极大值点，若，则答案：ACD解析：思路：当时，，为单调递增函数，故A正确；对于B，利用导数研究函数的单调性即可求解；对于C，令，将原问题化为只有一个交点.画出两个函数的图象，求出相切时切线的斜率即可求解.对于D，易得，是函数的极大值点，计算得,结合函数的单调性知：解答过程：，当时，，为单调递增函数，故A正确；当时，，当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增，故是函数的极大值点，故B错误；若函数有一个零点,则有一个根，令，即只有一个交点.如图所示：当与相切时，两个函数图象有两个交点，当直线的斜率小于切线的斜率时，它们有一个交点.下面求出切线的斜率.设切点为，则，解得，，，故时，函数有一个零点，故C正确.对于D，，当时，，单调递增，无极值点.当时，时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，单调递增，故是函数的极大值点,,结合，知：，D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.一批产品根据质量指标分为正品和次品，且次品率为，随机抽取1件，定义则随机变量的方差_____.答案：解析：思路：先由两点分布求出随机变量的均值，然后利用方差计算公式求出方差即可.解答过程：由题意，则.故答案为.13.的展开式中项的系数是______．答案：60解析：思路：将看作个因式相乘，由分步乘法计数原理求解.解答过程：将看作个因式相乘，则得到需从个因式中先选择个因式取，有种不同的取法；再从剩余个因式中选择个因式取，有种不同的取法，最后从剩下的因式中取，有种不同的取法，根据分步乘法计数原理，可得的系数为，故答案为.14.有红、黄、蓝卡片各张，分别写有数字.从中选取张，要求三色俱全，且数字各一张，则不同的选法数目有________.答案：540解析：思路：求出所有选法数，并求出三色不全的选法数，用间接法即可求得三色俱全的选法数目.解答过程：因为每一个数字均对应张卡片，所以选择数字各一张的选法共有种.其中三色不全的选法有种.所以三色俱全的选法有种.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知的展开式中，第6项为常数项．（1）求n；（2）求展开式中所有的有理项．答案：（1）（2），，解析：思路：（1）先求得展开式的通项为，根据题意，列出方程，即可求解；（2）由（1）得到展开式的通项为，令，得到，根据题意，分类讨论，即可求解.（1）解：由二项式展开式的通项为，因为第6项为常数项，即当时，，解得．（2）解：由（1）知二项展开式的通项为，其中，令，可得，即，因为，所以为偶数，当时，可得，则当时，可得，则当时，可得，则，所以二项展开式中的有理项分别为，，.16.某外卖平台订单集中在早高峰、午高峰、晚高峰三个时段，三个时段订单占比依次为30%、40%、30%.统计发现，不同时段受接单压力影响，出现送餐延迟的概率不同，早高峰订单，发生延迟的概率为2%；午高峰订单，发生延迟的概率为3%；晚高峰订单，发生延迟的概率为4%.现随机抽取一笔外卖订单.（1）该订单来自午高峰时段且发生延迟的概率；（2）该订单发生延迟的概率；（3）若已知订单出现延迟，求它来自晚高峰时段的概率.答案：（1）（2）（3）解析：（1）设订单来自早、午、晚高峰时段分别为事件A，B，；出现延迟事件V，由题意可知，，可得，所以订单来自午高峰时段且发生延迟的概率为．（2）由题意可得，所以该订单发生延迟的总概率．（3）由题意可得，所以订单出现延迟，来自晚高峰时段的概率为．17.设函数，已知是函数的极值点．（1）求的值；（2）设函数，证明：．答案：（1）1（2）证明见解析解析：思路：（1）由极值点处导数为0即可求解出参数，代回检验得解；（2）由（1）得，要证，即证，即证，构造函数，利用导数证明.（1）因为，所以，则，因为是函数的极值点，所以，解得，当时，，，当时，，则，，故，所以函数在上单调递增；当时，，则，，故，所以函数在上单调递减；综上，是函数的极值点，符合题意，故.（2）由（1）得，所以，由（1）可知，是函数的最小值点，所以对任意的，，要证，即证，即证，只需证，令，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，综上，在上恒成立.18.甲、乙两名选手进行象棋比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，平局双方均得0分，比赛一直到一方比另一方多2分为止，多得2分的一方赢得比赛．已知每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，双方平局的概率为，且每局比赛结果相互独立．（1）若，求甲选手恰好在第4局比赛后赢得比赛的概率．（2）若，且比赛最多进行5局，比赛结束时的比赛局数为，（ⅰ）求的分布列（用字母表示）；（ⅱ）求的最大值．答案：（1）（2）（ⅰ）分布列见解析；（ⅱ）解析：思路：(1)分4局中有平局和没有平局进行讨论；(2)(i)若，则比赛结果只有甲乙两种，且．又比赛最多进行5局，则的值可能为2，4，5,计算取每个值的概率,得分布列;(ii)由(i)中的分布列得到．根据题目中的隐含信息，中有式子，，故尝试利用，根据基本不等式得到，再利用函数在上单调递增，即可得到最大值.（1）若比赛中甲胜，记比赛结果为甲；比赛中乙胜，记比赛结果为乙；比赛平局，记比赛结果为平．若4局比赛中没有平局，则比赛结果按比赛顺序分别为：甲乙甲甲，乙甲甲甲，对应概率为；若4局比赛中有平局，则比赛结果按比赛顺序分别为：平平甲甲，平甲平甲，甲平平甲，对应概率为．综上，甲选手恰好在第4局比赛后赢得比赛的概率