湖北省黄冈市蕲春县2025-2026学年高二数学上学期元月月考试题含解析

一、单选题

1.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷8次，得到的点数分别为1,2,3,x,4,5,5,6，则这8个点数的中位数为

4.5的概率为（）

2111

A.B.C.D.

3263

【答案】D

【解析】

【分析】根据中位数的定义，将得到的点数从小到大排列，讨论不同情况，即可求解.

【详解】由题意，这8个点数的中位数为4.5，只有三种情况：

①将抛掷8次，得到的点数从小到大分别为1,2,3,4,x,5,5,6，

x4

此时中位数为4.5x5；

2

②抛掷8次，得到的点数从小到大分别为1,2,3,4,5,x,5,6，

54

此时中位数为4.5x5；

2

③抛掷8次，得到的点数从小到大分别为1,2,3,4,5,5,x,6，

54

此时中位数为4.5x5或6；

2

21

综上，x的点数只能为5，或者6，故概率为，

63

故选：D.

1

2.已知数列an满足a13，an11，则a2026（）

an

12

A.3B.C.D.3

23

【答案】D

【解析】

【分析】根据数列递推公式，依次计算数列的项，判断数列的周期，进而求出结果.

111

12a1a13

【详解】由题意可得，3，4，

a21221

33

32

所以数列是周期为3的周期数列，即an3an，

则a2026a67531a13.

故选：D.

3.如图，在四面体PABC中，PAa，PBb，PCc.点E在棱PB上，且BE2EP，F为AC中

点，则EF等于（）

111111

A.abcB.abc

232322

121111

C.abcD.abc

232323

【答案】A

【解析】

【分析】利用多边形法则即可求解.

1

【详解】EFEPPCCF，因为E在棱PB上，且BE2EP，所以EPPB，

3

11

又F为AC中点，所以CFCAPAPC，

22

1111111

故EFPBPCPAPCPAPCPBabc，

3223232

故选：A

4.已知an为等比数列，若a3a432，a516，则a1a3a5a99（）

298121001

A.2491B.2501C.D.

33

【答案】D

【解析】

【分析】结合题意先求出基本量，再把目标式转化为等比数列求和，进而利用公式法求解即可.

【详解】由题意得an为等比数列，则设首项为a1，公比为q，

因为，，所以25，

a3a432a516a1q32

a2q532a1

联立方程组1，解得1，

4

a1q16q2

结合题意可得a1a3a5a99是首项为1，公比为4的等比数列的前50项和，

1(1450)450121001

由求和公式得前50项和为，故D正确.

1433

故选：D

y2x2

5.已知抛物线x245y的焦点与双曲线1的一个焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为

4a

（）．

11

A.yxB.yxC.y2xD.y4x

42

【答案】C

【解析】

【分析】先根据抛物线的焦点求出a，进而可求出双曲线的渐近线方程.

【详解】由于抛物线的方程为x245y，所以焦点坐标为0,5.

y2x22

因为抛物线x245y的焦点与双曲线1的一个焦点重合，所以4a5.

4a

2

解得a1，所以双曲线的渐近线方程为yx2x.

1

故选：C.

6.设直线xay20与圆C:x2(y2)216相交于A,B两点，且ABC的面积为8，则a（）

A.2B.1C.1D.2

【答案】C

【解析】

π

【分析】利用三角形的面积公式可得ACB，由圆心C(0,2)到直线xay20的距离d，再利用

2

点线距公式建立方程，解之即可.

1

【详解】由三角形的面积公式可得S42sinACB8，

ABC2

π

得sinACB1，由0ACBπ，得ACB，

2

所以ABC为等腰直角三角形，

π

所以圆心C(0,2)到直线xay20的距离为d4sin22，

4

2a2

由点到直线的距离公式得d22，解得a1.

1a2

故选：C

n1nπ

7.数列的前项和为，，则（）

annSnan11ansinnNS2026

4

22

A.B.0C.D.2

22

【答案】C

【解析】

nπ

【分析】由题可知当为奇数时，.易得.

nan1ansinnNa8a7a6a5a4a3a2a10

4

nπ

根据sin的周期性，可求得S.

42026

nπ

【详解】当为奇数时，.

nan1ansinnN

4

2π

nπ8

因为函数ysin,nN的最小正周期为π.

4

4

所以当n为奇数时，an18an8an1an.

π23π2

aasin,aasin，

21424342

5π27π2

aasin,aasin.

65428742

所以a8a7a6a5a4a3a2a10.

2

所以SSaa253aaaaaaaaaa.

202620242025202687654321122

故选：C.

x2y2

8.已知椭圆C:1ab0的上顶点为A，离心率为e，若在C上存在点P，使得PA6b，

a2b2

则e2的最小值是（）

A.526B.33

3612

C.33D.1

62

【答案】C

【解析】

2

c222

【分析】易知A0,b，设Px0,y0，根据PA6b，可得方程x2bx5ba0在区间b,b

b2

c2

上有解，fxx22bx5b2a2,xb,b，由fb0，fb0，可得

b2

2

24c22

Δ4b5ba0

b2

，求解即可.

b3

bb

c2

22

x0y0

【详解】易知A0,b，设Px0,y0，则1.

a2b2

22

22y2c

所以2202222，

PAx0y0ba12y0b2y02by0ab6b

bb

c2

即y22by5b2a20，

b200

c2

即方程x22bx5b2a20在区间b,b上有解.

b2

c2

令fxx22bx5b2a2,xb,b，

b2

c2c2

因为fbb22b25b2a22b20，fbb22b25b2a26b20，

b2b2

4c2

Δ4b25b2a206e46e210

2

所以只需b，即，解得233，

321e

be6

bb2

c2

33

故e2的最小值是.

6

故选:C.

二、多选题

1

9.甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为1和，甲、乙两人各射击一次，下列说法正确的是（）

23

11

A.目标恰好被命中一次的概率为

23

11

B.目标恰好被命中两次的概率为

23

1211

C.目标被命中的概率为

2323

12

D.目标被命中的概率为1

23

【答案】BD

【解析】

【分析】利用独立事件的概率乘法公式和互斥事件、对立事件的概率公式可判断各选项的正误.

1

【详解】甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为1和，甲、乙两人各射击一次，

23

11121

在A中，目标恰好被命中一次的概率为，故A错误；

23232

111

在B中，由相互独立事件概率乘法公式得：目标恰好被命中两次的概率为，故B正确；

236

112

在CD中，目标被命中的概率为111，故C错误，D正确．

233

故选：BD．

10.已知数列的前n项和为2，则（）

{an}Snn8n2

A.an92nB.{an}是递减数列

C.{an}有最大项D.Sn有最大值

【答案】CD

【解析】

【分析】根据前n项和公式求出通项公式，再逐一判断每个选项即可.

【详解】A，当时，22，

n2anSnSn1(n8n2)[(n1)8(n1)2]2n9

当n1时，a1S11825，

5,n1

故an，故A错误，

2n9,n2

B，由于a1a25，故B错误；

C，an2n9(n2)单调递减，故{an}有最大项a1a25，C正确；

D，22，故当时，有最大值，D正确，

Snn8n2(n4)14n4SnS4

故选：CD.

11.在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国

艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看

作由抛物线C:y22pxp0绕其顶点分别逆时针旋转90、180、270后所得三条曲线与C围成的

（如图阴影区域），A，B为C与其中两条曲线的交点，若p1，则（）

1

A.开口向上的抛物线的方程为yx2B.AB4

2

C.直线xyt截第一象限花瓣的弦长最大值为2D.阴影区域的面积小于4

2

【答案】ABC

【解析】

【分析】对于A，利用旋转前后抛物线焦点和对称轴变化，即可确定抛物线方程；对于B，联立抛物线方程，

求出点A,B的坐标，即得；对于C，将直线与抛物线方程联立求出M,N的坐标，由两点间距离公式求得弦

长，利用换元和函数的图象即可求得弦长最大值；对于D，利用以直线近似取代曲线的思想求出三角形面积，

即可对阴影部分面积大小进行判断.

1

【详解】由题意，开口向右的抛物线方程为C:y22x，顶点在原点，焦点为F(,0)，

12

112

将其逆时针旋转90后得到的抛物线开口向上，焦点为F(0,)，则其方程为x22y，即yx，故A

222

正确；

y22x

对于B，根据A项分析，由可解得，或，即，代入可得，

2x0x2xA2yA2

x2y

由图象对称性，可得A(2,2),B(2,2)，故AB4，即B正确；

对于C，

如图，设直线xyt与第一象限花瓣分别交于点M,N，

yxtxt12t1yxtxN2t11

由解得M，由解得，，

y22xx22y

yM2t11yNt12t1

即得M(t12t1,2t11),N(2t11,t12t1)，

则弦长为：|MN|2(t222t1)22|t222t1|，

由图知，直线xyt经过点A时t取最大值4，经过点O时t取最小值0，

u21

即在第一象限部分满足0t4，不妨设u2t1，则1u3，且t，

2

u212

代入得，|MN|2|22u||(u2)21|，（1u3）

22

2

由此函数的图象知，当u2时，|MN|取得最大值为，即C正确；

2

1

对于D，根据对称性，每个象限的花瓣形状大小相同，故可以先求部分面积的近似值.

8

如图，

12

在抛物线yx,(x0)上取一点P，使过点P的切线与直线OA平行，

2

201

因k1，由yx可得x1，即得P(1,)，

OA20P2

1

因l:xy0，则点P到直线的距离为2，

OAOAd2

24

1211

于是S2222，由图知，半个花瓣的面积必大于，

OPA2422

1

故原图中的阴影部分面积必大于84，故D错误.

2

故选：ABC.

三、填空题

12.已知直线l1:xay10与l2:2xy10平行，则l1与l2的距离为______．

【答案】35

5

【解析】

【分析】先根据两直线平行求出a，然后求出平行直线间的距离即可.

【详解】因为直线l1:xay10与l2:2xy10平行，

1

所以11a20，解得a.

2

1

所以直线l:xay10变为l:xy10，即l:2xy20.

1121

1235

则l1与l2的距离为.

415

故答案为：35.

5

1

13.在数列an中，已知a22，a60，且数列是等差数列，公差为d，则d______．

an1

1

【答案】

6

【解析】

1

b

【分析】设n，根据bn是等差数列，分别求出b2和b6，根据4db6b2即可求解.

an1

1

b

【详解】设n，数列bn是等差数列，

an1

111

则b2，b61，

a213a61

21

4dbb，得d.

6236

1

故答案为：.

6

x2y2

14.已知椭圆T:1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为T上一点，且F1PF260，

a2b2

PF1F2的外接圆面积是其内切圆面积的25倍，则椭圆T的离心率e______.

5

【答案】

7

【解析】

32

【分析】根据椭圆焦点三角形面积公式可得Sb，设PF1F2的外接圆半径为R，内切圆半径为

PF1F23

2

3b23c

r，则r，R，利用外接圆与内切圆的面积关系求解即可.

3ac3

232

【详解】令F1PF260，Sbtanb，设PF1F2的外接圆半径为R，内切圆半径为

PF1F223

r，

2

13b22c43c3b23c

则2a2cr，2R，即r，R，

23sinF1PF233ac3

23c53b2

又PFF的外接圆面积是其内切圆面积的25倍，则R5r，即，

1233ac

22225

即2ac2c5b5ac，即7c22ac5a20，即7e22e50，又e0，即e.

7

5

故答案为：.

7

四、解答题

15.四边形ABCD的四个顶点坐标分别为A2,4,B1,3,C2,7,Dm,n.

（1）求边BC的垂直平分线的方程；

（2）若四边形ABCD为平行四边形，求顶点D的坐标及四边形ABCD的面积.

【答案】（1）2x8y430

（2）D1,8，13

【解析】

3

【分析】（1）由B,C坐标求出BC的中点为,5，又由BC的斜率即可求出与BC垂直的直线的斜率，最

2

后由直线的点斜式即可求解；

（2）由四边形ABCD为平行四边形可得kADkBC,kCDkAB，联立方程组即可求得顶点D的坐标，由点

到直线的距离公式即可求得点A到直线BC的距离，根据面积公式即可求解.

【小问1详解】

3

因为B1,3,C2,7，所以边BC的中点为,5，

2

73

又因为边BC的斜率为k4，

BC21

1

所以边BC的垂直平分线的斜率为，

4

13

所以边BC的垂直平分线的方程为y5x，

42

化简得2x8y430；

【小问2详解】

因为四边形ABCD为平行四边形，顶点Dm,n，

n4n7341

所以kk4，且kk，

ADm2BCCDm2AB123

联立，解得m1,n8，

所以顶点D1,8.

因为边BC的斜率为kBC4，

所以直线BC的方程为y34x1，

化简得4xy10，

24411317

d

所以点A2,4到直线BC的距离为2，

42117

22

又BC123717，

1317

所以平行四边形ABCD的面积为BCd1713

17

16.已知数列an的前n项和为Sn，且满足a118，Sn1Snan2.

（1）求证：数列an是等差数列；

（2）记bnan，求数列bn的前22项和.

【答案】（1）证明见解析

（2）246

【解析】

【分析】（1）由已知等式变形得出an1an2，结合等差数列的定义可证得结论成立；

（2）求出数列an的通项公式，化简an的表达式，结合等差数列的求和公式可求出数列an的前22项

和.

【小问1详解】

因为Sn1Snan2，

所以SSaa2，即aa2

n1nn1nn1n.

又a118，

所以数列an是以18为首项，2为公差的等差数列.

【小问2详解】

由（1）知an18n12202n，

可知，当1n10时，an0，an202n202n，

当n11时，an0，an202n2n20，

所以数列bn的前22项和为1816202424

1001812224

246.

22

17.已知数列的前项和为，且2.

annSnSnnannn

（1）求证：数列an为等差数列；

（2）若a12，是否存在正整数k，使ak，S2k，a9k成等比数列？若存在，求k的值；若不存在，请说

明理由.

【答案】（1）证明见解析；

（2）存在，k1

【解析】

分析】（1）当时，2，由，可得：，

【n2Sn1(n1)an1(n1)(n1)anSnSn1anan12(n2)

即可得证；

（2）假设存在正整数k满足题意，先利用（1）求出Sn，得到S2k2k2k1，ak2k，a9k18k，

利用等比中项的定义得到关于k的方程，解出k的值．

【小问1详解】

已知2，

Snnannn

当时，2，

n2Sn1(n1)an1(n1)(n1)

由anSnSn1，上述两式相减得：

22

annannn[(n1)an1(n2n1)n1]

即22

annannn(n1)an1n2n1n1

即n1ann1an12n10，由n2得：

anan12(n2)，

故数列an是公差为2的等差数列；

【小问2详解】

假设存在正整数k满足题意，

由（1）知an是公差d2的等差数列，且a12，则：

ana1n1d22n12n，

n(aa)n(22n)

故S1nn(n1)，

n22

故S2k2k2k1，

又ak2k，a9k18k，

若，，成等比数列，则2，代入得：

akS2ka9kS2kaka9k

[2k(2k1)]22k18k，因为k为正整数，解得k1，

验证：当时，2，等式成立.

k1a12,S2236,a918,6218

故存在正整数k1，使ak，S2k，a9k成等比数列.

18.如图，在四棱锥PABCD中，已知PA平面ABCD，平面PAC平面PCD．

（1）证明：ACCD；

（2）若四边形ABCD为直角梯形，BAAD，BC//AD，AD3，AP2，BC1，球O为三棱锥PACD

的外接球．

（i）求直线AO与平面PBC的夹角正弦值；

（ii）求平面PBC截球O的截面面积．

【答案】（1）证明见解析

35

（2）239，π

3912

【解析】

【分析】（1）证明线面垂直即可证明；

（2）（i）由OAOPOCOD，可知点O为PD的中点，易证平面PBC平面PAB，过A作ANPB

于N,则AN平面PBC，易得PD4913，延长BC至E使得BEAD，过P作PF//AD且

PFAD，则直线AO平面PBCAF，所以AFN即为直线AO与平面PBC所成的角，易得

2

PD4913，AFPD13，AN.即可求解直线AO与平面PBC的夹角正弦值；

3

113

（ii）求出点O到面PBC的距离d.设平面PBC截球O的截面圆的半径为r，球O的半径R，

32

35

由d2r2R2，解得r2，即可求解.

12

【小问1详解】

如图：

因为平面PAC平面PCD，面PAC平面PCDPC，

过A作AMPC于M，则AM平面PCD，

CD平面PCD，故AMCD.

又PA平面ABCD,CD平面ABCD,所以PACD，AMPAA，

所以CD平面PAC,AC平面PAC，

所以CDAC.

【小问2详解】

（i）点O为PD的中点，理由如下：

由（1）知CD平面PAC，PC平面PAC，CDPC.

又PA平面ABCD,AD平面ABCD,所以PAAD.

点O为PD的中点时OAOPOCOD，故O为三棱锥PACD的外接球的球心.

因为PA平面ABCD,所以PABC，又BCAB，PAABA，

所以BC平面PAB，BC平面PBC，所以平面PBC平面PAB，

过A作ANPB于N,则AN平面PBC.

延长BC至E使得BEAD，过P作PF//AD且PFAD，

则直线AO平面PBCF，

所以AFN即为直线AO与平面PBC所成的角，

易得PD4913，AFPD13.

过C作CQAD于Q，则AQ1,QD2,

设ABx，则CQx，AC21x2,CD24x2，

由（1）知CDAC，则AC2CD2AD2，即52x29，解得x2.

2

故PBPA2AB26，又ANPBPAAB，解得AN.

3

2

所以直线AO与平面PBC的夹角正弦值AN239；

sinAFN3

AF1339

（ii）点O为PD的中点，故点O到面PBC的距离是点D到面PBC的距离的二分之一，

又AD//BC，所以点D到面PBC的距离等于点A到面PBC的距离，

21

点A到面PBC的距离为AN，故点O到面PBC的距离d.

33

13

设平面PBC截球O的截面圆的半径为r，球O的半径R，

2

11335

由d2r2R2，即r2，解得r2，

3412

35

所以平面PBC截球O的截面圆的面积为Sπr2π.

12

2

19.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线x2pyp0上一点Mx0,4x00到焦点F的距离为

5.过点Q0,4的直线l与抛物线交于不同的两点A、B.

（1）求抛物线的标准方程；

（2）若FAB的面积为20，求直线l的方程；

11

（3）若直线MA交y轴于点S，直线MB交y轴于点T，且QSQO，QTQO，求证：为

定值.

【答案】（1）x24y；

（2）y22x4或y22x4；

（3）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）根据抛物线的定义，点Mx0,4到焦点F的距离等于到准线的距离，求出p2，从而得出

抛物线的标准方程；

x24y

（2）设直线l的方程为ykx4，联立，由韦达定理，得x1x24k，x1x216，

ykx4

1

的面积，结合2，

FABS|SFQBSFQA||FQ