湖北省黄冈市部分高中2026届高三数学上学期期中试卷含解析

本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.

★祝考试顺利★

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘

贴在答题卡上的指定位置.

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸

和答题卡上的非答题区域均无效.

3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非

答题区域均无效.

4.考试结束后，请将答题卡上交.

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合A{x|3x10}，B{x|2x7}，则AB（）

A.{x|2x3}B.{x|7x10}C.{x|3x7}D.{x|2x10}

【答案】C

【解析】

【分析】根据交集的定义计算可得.

【详解】因为集合A{x|3x10}，B{x|2x7}，

所以AB{x|3x7}.

故选：C

2.复数z23ii的共轭复数是（）

A.32iB.32iC.23iD.23i

【答案】B

【解析】

【分析】根据复数的乘法运算和共轭复数的概念即可得到答案.

【详解】z23ii32i，

则其共轭复数为32i.

故选：B.

4

3.已知x0，则32x的最大值为（）

x

AB.C.D.

.342322322342

【答案】D

【解析】

【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最大值.

422

【详解】当x0时，32x32(x)322x342，当且仅当x2时取等号，

xxx

4

所以32x的最大值为342.

x

故选：D

4.已知等差数列an的前n项和为Sn，若S918，则a5的值为（）

A.9B.4C.3D.2

【答案】D

【解析】

【分析】根据等差数列前n项和性质即可得到答案.

【详解】由等差数列前n项和性质知S99a518，解得a52.

故选：D.

2π5

5.已知sin，,π，则cos的值是（）

326

A.215B.215C.235D.152

6666

【答案】B

【解析】

5

【分析】先求出cos，再利用两角差的余弦公式即可得到答案.

3

2

2π25

【详解】因为sin，,π，则cos1，

3233

5π5π5π3512215

则coscoscossinsin.

66623236

故选：B.

6.从0,2,4中任取2个数字，从1,3,5中任取2个数字，一共可以组成没有重复数字四位数有（）

A.216个B.162个C.108个D.180个

【答案】D

【解析】

【分析】对首位数字分类讨论并结合组合数的性质求解即可.

【详解】当选的数字包括时，共有12种数字组合，

0C2C36

而不能放在首位，则每个组合的情况数为31个，

0A3A318

可得总情况数共有186108个，

当选的数字不包括时，共有22种数字组合，

0C2C33

4

此时每个组合的情况数为A424个，

可得总情况数共有24372个，

即一共可以组成没有重复数字四位数有10872180个，故D正确.

故选：D

7.已知随机变量XB10,p，YN5,2，且E2X17，若PY91p2，则

P1Y9（）

A.0.09B.0.82C.0.91D.0.21

【答案】B

【解析】

【分析】利用二项分布的性质求出p0.3，再结合正态分布的对称性求解即可.

【详解】由题意得XB10,p，则EX10p，

因为E2X17，所以2EX17，

即20p17，解得p0.3，

由题意得PY91p210.090.91，

由对称性可得PY1PY91PY910.910.09，

则P1Y9PY9PY10.910.090.82，故B正确.

故选：B

8.设向量a，b满足b2a4，对任意xR，xabb3a恒成立，则2abR的最

小值为（）

A.2B.3C.4D.3

【答案】A

【解析】

【分析】对xabb3a两边同平方化简得x24xcos43cos30，再利用判别式法即可

32

得到cos，最后展开计算2ab，利用二次函数性质即可求出最小值.

2

【详解】设a,b，0,π，

22

|xab||b3a|，两边同平方得|xab||b3a|，

化简得x24xcos43cos30，

2

上式对任意xR恒成立，4cos443cos30，

23

即(2cos3)0，则cos，

2

2222

则|2ab|4a4abb

2

23，

16163161644

2

|2ab|2，则2abR的最小值为2.

故选：A.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求.

全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分.

11

9.在工程技术中，常用到双曲正弦函数（sinhxexex）和双曲余弦函数（coshxexex），

22

它们的很多性质与正弦函数和余弦函数类似.记fxsinhx，gxcoshx，下面关于这两支函数的说

法正确的有（）

A.fx，gx在定义域上均为增函数

B.f2x2fxgx

xyxy

C.fxfy2fg

22

D.fgx与gfx均为偶函数

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用导数得到gx在定义域上不是增函数判断A，结合题意与指数运算判断B，C，利用函数奇偶

性的定义判断D即可.

11

【详解】由题意得fxsinhxexex，gxcoshxexex，

22

1

对于A，可得gxexex，且g00，

2

11

令h(x)gxexex，则h(x)exex0，

22

得到h(x)在R上单调递增，即当x(,0)时，gx0，

可得gx在定义域上不是增函数，

则fx，gx在定义域上不可能均为增函数，故A错误，

1

对于B，由题意得f2xe2xe2x，

2

111

2fxgx2exexexexe2xe2x，

222

可得f2x2fxgx，故B正确，

11

对于C，由题意得fxfyexexeyey，

22

xyxyxyxy

xyxy11

2fg2e2e2e2e2

2222

111

(exex)(eyey)exexeyey，

222

xyxy

可得fxfy2fg，故C正确，

22

1

对于D，因为fxexexf(x)，所以fx是奇函数，

2

1

因为gxexexgx，所以gx是偶函数，

2

则fgxfgx，可得fgx是偶函数，

则gfxgfxgfxgfx，

可得gfx是偶函数，故D正确.

故选：BCD

10.下列命题中真命题有（）

n

2

A.在二项式x的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则n8.

x

B.先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子，事件A“两次掷出的点数相同”，事件B“第一次掷出的点数

为偶数”，则事件A和B是相互独立事件.

C.若p:函数ytanx的图象关于x0,0对称，q:tanx00，则p是q的必要不充分条

件.

ˆ

D.对一组数据x1,y1,x2,y2,,xn,yn进行回归分析，利用最小二乘法得到的回归直线yˆbxaˆ至

少要经过其中的一个数据点xi,yii1,2,,n.

【答案】ABC

【解析】

【分析】利用二项式系数性质可判断A正确，根据独立事件的定义验证是否满足PABPAPB即

可得B正确，由正切函数图象性质可判断C正确，根据回归直线特征可知D错误.

【详解】对于A，易知第5项的二项式系数为4，因此只有第5项最大时，可得，即A正确；

Cnn8

对于B，先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子共有36种情况，

61361

因此可知PA,PB，

366362

31

又PAB，满足PABPAPB，所以事件A和B是相互独立事件，即B正确；

3612

kπ

对于C，由“函数ytanx的图象关于x,0对称”可得x,kZ，

002

而tanx00可得x0kπ,kZ，所以p是q的必要不充分条件，即C正确；

对于D，根据回归直线特征可知直线yˆbˆxaˆ可以不经过任意一个数据点，因此D错误.

故选：ABC

11.已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，3tanA13tanB14，且c2，则下列选

项中正确的有（）

π

A.C

3

3

B.ABC面积的最大值为

3

43

C.ab的最大值为

3

3

D.角C的平分线交AB于点D，则CD的最大值为

3

【答案】BCD

【解析】

【分析】结合题意并利用两角和的正切公式判断A，利用余弦定理结合重要不等式判断B，利用余弦定理结

4

合基本不等式判断C，作出符合题意的图形，结合题意并利用换元法得到df(t)t，最后利用导数

t

43

并结合t0,求解最大值即可.

3

【详解】对于A，因为3tanA13tanB14，

所以3tanAtanB3tanA3tanB14，

则3tanAtanB3(tanAtanB)3，

tanAtanB

可得3(tanAtanB)3(1tanAtanB)，得到3，

1tanAtanB

由两角和的正切公式得tan(AB)3，即tan(AB)tan(πC)3，

由诱导公式得tanC3，解得tanC3，

2π

因为C(0,π)，所以C，故A错误，

3

1

对于B，由余弦定理得c2a2b22abcosCa2b22ab()a2b2ab，

2

而c2，可得4a2b2ab，由重要不等式得a2b2ab2abab3ab，

4

当且仅当ab时取等，则3ab4，解得ab，

3

由三角形面积公式得13343，

Sab

ABC22433

3

得到ABC面积的最大值为，故B正确，

3

对于C，由已知得4a2b2ab(ab)2ab，

(ab)2

由基本不等式得ab，当且仅当ab时取等，

4

(ab)2(ab)23(ab)2

得到ab，则(ab)2ab(ab)2，

444

3(ab)243

可得4，解得ab，故C正确，

43

对于D，如图，作出符合题意的图形，设CDd，

π

因为CD是C的角平分线，所以ACDBCD，

3

131313

由等面积公式得abdbda，

222222

ab

化简得abd(ab)，即d，

ab

由已知得4(ab)2ab，即ab(ab)24，

ab(ab)244

可得dab，

ababab

4344

令tab0,，则，而，

df(t)tf(t)120

3tt

43433

则f(t)在0,上单调递增，得到，

f(t)maxf()

333

3

即CD的最大值为，故D正确.

3

故选：BCD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.设向量、不共线，若向量与向量平行，则实数的值为_____.

e1e2e1e22e1e2

【答案】2

【解析】

【分析】利用向量平行的性质建立方程组，求解参数即可.

【详解】若向量与向量平行，则，

e1e22e1e2e1e2k(2e1e2)

k1

即ee2keke，又因为向量e、e不共线，所以，解得2.

1212122k

故答案为：2

π

13.函数fxcosxcosx在0,π上的单调递减区间为_____.

3

π2π

【答案】,

63

【解析】

【分析】利用积化和差公式并结合整体代入法求解单调递减区间即可.

π

【详解】由积化和差公式得fxcosxcosx

3

1ππ

cos(xx)cos(x(x))

233

1ππ1π1

cos(2x)coscos(2x)，

233234

ππ2π

令2x2kπ,2kππ,kZ，解得xkπ,kπ,kZ，

363

π2ππ2π

当k0时，x,，则fx在0,π上的单调递减区间为,.

6363

π2π

故答案为：,

63

xlnaalnx

14.对于任意x0,1，不等式恒成立，则正数a的取值范围是_____.

exx

1

【答案】,

e

【解析】

【分析】对原不等式合理变形，结合同构思想得到f(aex)f(x)，再构造函数并利用导数判断其单调性，

得到aexx，最后利用分离参数法求解参数范围即可.

xlnaalnx

【详解】因为不等式恒成立，a0，

exx

xlnalnxlnexlnalnx

所以恒成立，则恒成立，

aexxaexx

x

lnaelnxlnxx

即恒成立，令f(x)，可得f(ae)f(x)恒成立，

aexxx

1lnx

而f(x)，令f(x)0，x(e,)，令f(x)0，x0,e，

x2

得到f(x)在0,e上单调递增，在(e,)上单调递减，

而x0,1，ex1,e，则aexa,ae，

当a1时，满足f(aex)f(x)，符合题意，

当a1时，可得aexx恒成立，

xx1x

则a恒成立，令g(x)，而g(x)，

exexex

当x0,1时，g(x)0，则g(x)在0,1上单调递增，

111

可得g(x)g(1)，得到a，故a,1.

eee

1

综上，正数a的取值范围是,,

e

1

故答案为：,

e

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.某公司销售的3D卡通纪念章很受欢迎，国庆长假第一天每件售价为20元，卖出了100百件.为了缓解

进货压力，同时保证销售额不下降，决定从第二天起开始涨价.根据往年的市场调研得出的规律，该种商品

涨价会导致销量下降，具体数据如下：

每件涨价x

12345

元

销量下降y

1281415

百件

（1）由统计表看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，试建立y与x的回归方程.

（2）由（1）中的回归方程预测，当售价为多少元时，该款商品的日销售额最大，最大销售额是多少百元?

ˆ

参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据xi,yii1,2,,n，其经验回归直线yˆbxaˆ的斜率和

n

xixyiy

截距的最小二乘估计公式分别为ˆi1，ˆ.

bnaˆybx

2

xix

i1

【答案】（1）yˆ4x4；

（2）售价为23元时，日销售额最大，为2116百元．

【解析】

【分析】（1）计算出x，y，再代入线性回归方程公式即可；

（2）设涨价x元，再写出w4x224x2080，最后利用二次函数性质即可求出最值.

【小问1详解】

123451281415

x3，y8，

55

5

xixyiy131823283388431485315840

i1

5

222222

，

xix132333435310

i1

n

xxyy

ii40

ˆi1，

bn4,aˆ8434

210

xix

i1

则yˆ4x4.

【小问2详解】

设涨价x元时，每日的销售额为w百元，

则w(20x)(1004x4)4x224x2080

24

x0,1044x0,0x26，则当x3时，销售额最大为2116百元，

24

此时售价为23元，日销售额最大，为2116百元．

16.在ABC中，角A,B,C满足sinC3sinBsinAB，且ABC的外接圆的周长为4π.

（1）求角A；

31

（2）若AD为BC边上的高，且ADABAC，求ABC的面积.

22

π

【答案】（1）A

6

（2）3

【解析】

π

【分析】（1）根据三角恒等变换化简计算可得A；

6

1

（2）利用平面向量共线定理可知BDCB，再利用勾股定理以及余弦定理计算求出高，即可求

2AD3

出ABC的面积.

【小问1详解】

易知在ABC中ABπC，所以sinABsinπCsinC,

因此由sinC3sinBsinAB可得sinAB3sinBsinAB，

整理可得2cosAsinB3sinB，又B0,π，可知sinB0，

3

所以cosA，

2

π

因为A0,π，可得A.

6

【小问2详解】

由AD为BC边上的高可知D,B,C三点共线，设BDCB，

31

因此可得ADABBDABCBABABAC1ABACABAC，

22

11

所以，即BDCB,

22

记角A,B,C所对的边分别为a,b,c，

4π

又ABC的外接圆的周长为4π，所以外接圆的半径为R2，a2RsinA2，

2π

11

因此BDCBa1，CD3，如下图所示：

22

设ADh，由勾股定理计算可知ABch21,ACbh29，

在ABC中由余弦定理可得a2b2c22bccosA4，

2

整理可得h46h290，即h230，解得h3，

1

所以Sah3.

ABC2

17.已知为正项数列的前项和，且满足，数列满足，且.

Snann2Snan1bnbn12bn1b11

（1）求an的通项公式；

1

（2）设Tn为数列的前n项和，证明：Tn2.

bn

【答案】（1）an2n1

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）利用前n项和与通项公式的关系并结合等差数列的定义求解即可.

（2）构造等比数列求解n，再利用放缩法结合等比数列的求和公式证明即可.

bn21

【小问1详解】

当n1时，可得2a1a11，解得a11，

当时，，则2，

n22Snan14Sn(an1)

可得2，两式相减得22，

4Sn1(an11)4Sn4Sn1(an1)(an11)

化简得(anan12)(anan1)0，而anan10，

则anan120，即anan12，

得到an是以1为首项，以2为公差的等差数列，

故an12(n1)2n1.

【小问2详解】

设bn1a2(bna)，则bn12bna，

而bn12bn1，可得a1，即bn112(bn1)，

由题意的b11，则b112，

则bn1是以2为首项，以2为公比的等比数列，

可得n1n，得到n，

bn1222bn21

而2n12n12n112n12n11，

由指数函数性质得y2n11在1,上单调递增，

得到2n1121110，则2n12n10，

11

即2n12n1，故，

2n12n1

1

1()n

111

则T22(1)，

n0n11n

2212

2

111

而0，可得11，即2(1)2，故T2得证.

2n2n2nn

18.某学校心理咨询老师为了对一份心理健康测试卷进行评估，安排了一个实验组参与测试，实验组由已

经确诊为心理异常的青少年患者和心理健康的青少年组成，其中心理异常者占10%.测试结果显示，确诊心

理异常的测试者中有80%的测试卷诊断呈阳性；另一方面，心理健康的测试者中有10%的测试卷诊断也呈阳

性.

（1）从测试卷中随机抽取一份，在该测试卷诊断结果为阴性的条件下，测试者为心理异常的概率是多少?

（2）如果参与本次测试的实验组总人数为100人，那么其中确诊为心理异常者的测试卷中有若干份被误诊

为阴性，在此称之为漏诊卷.专家们要对这几份漏诊卷作进一步的分析.现在采取不放回的方式从这10份确

诊为心理异常者的测试卷中每次随机抽取一份，直到把所有漏诊卷找出来.若已经抽取的5份测试卷均不是

漏诊卷，设还需要抽取份才可以找出所有漏诊卷，写出的分布列并计算E.

2

【答案】（1）

83

（2）E3.5

【解析】

【分析】（1）利用条件概率以及全概率公式直接代入计算可得结果；

（2）计算出样本中漏诊卷为2份，并根据剩余试卷中的漏诊份数写出的所有可能取值，求出对应概率即

可得出分布列和期望值.

【小问1详解】

依题意记“确诊为心理异常”为事件A，则“确诊为心理健康”为A；

“测试卷诊断结果为阳性”为事件B，“测试卷诊断结果为阴性”为事件B，

易知PA10%,PA110%90%,PBA80%,PBA10%；

所以PBPAPBAPAPBA17%，可得PB83%；

在该测试卷诊断结果为阴性的条件下，测试者为心理异常的概率是PA|B；

PABPAPBA10%180%2

所以PAB，

PBPB83%83

2

因此在该测试卷诊断结果为阴性的条件下，测试者为心理异常的概率为；

83

【小问2详解】

由实验组总人数为100人，心理异常者占10%可得心理异常者共10人，

又确诊心理异常的测试者中有80%的测试卷诊断呈阳性，所以诊断卷为阳性的共8人，阴性的2人，即漏诊

卷为2份，

若已经抽取的5份测试卷均不是漏诊卷，则剩下的5份测试卷中还有2份漏诊卷，

设还需要抽取份才可以找出所有漏诊卷，则的所有可能取值为2,3,4；

A21

可得2；

P22

A510

C1C1C1A33

2233；

P333

A5A510

C1C1A23

233；

P43

A55

则的分布列为

234

133

P

10