广东东莞市第十三高级中学2025-2026学年高二下学期5月月考数学试卷

广东东莞市第十三高级中学2025-2026学年高二下学期5月月考数学试卷一、单选题1．若Cnn−2=15A．4 B．5 C．6 D．72．若x2+12x+1A．−2 B．2 C．2×39 3．疫情期间，某医院召集4位医生，1位护士共5人赶赴A，B，C三个核酸检测点进行核酸采样工作，每个检测点至少派1人，且护士不去A检测点，则不同的安排方法有（）A．76 B．88 C．100 D．1244．设A，B是两个随机事件，且0<PA<1，A．PAB>PB|AC．若A与B互斥，则PA∪B=15．若fx=ex−4−A．−∞,1 B．−78,1 6．子贡曰：“夫子温、良、恭、俭、让以得之”，“温、良、恭、俭、让”指五种品德：温和、善良、恭敬、节俭、谦让．现有分别印有这5个字的卡片各2张（同字卡片颜色不同），同学甲从中抽取4张卡片分给另外4位同学，每人一张卡片，恰有2位同学分到的卡片是相同字的分配方案有（）A．120种 B．210种 C．1440种 D．2880种7．甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以A1，AA．P(B|A2)=4C．P(A3|B)=8．某居委会派小王、小李等6人到甲乙两个路口做引导员，每人去一个路口，每个路口至少有两位引导员，若小王和小李不能去同一路口，则不同的安排方案种数为（）A．40 B．28 C．20 D．14二、多选题9．下列说法正确的是（）A．若随机变量X服从两点分布，且PX=0=B．某实验室有6只小白鼠，其中有3只已经测量过某项指标，若从这6只小白鼠中随机取出3只，则恰好有2只测量过该指标的概率为9C．若随机变量X服从二项分布B8,2D．若随机变量X服从二项分布B8,23，且Y=3X−1，则10．已知函数fx=ex−1+A．b=2a−1>1 B．b=fC．2a−1<b<fa D．11．大衍数列来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．如图示，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和，其前10项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,⋯，此数列记为{an}，其前nA．a20=200 B．a39=760 C．三、填空题12．某中学举办诗词大会选拔赛，选手需要从7道选择题，3道填空题中任选2题作答，每次随机抽取一道题，抽出的题不再放回，甲同学在第1次抽到选择题的条件下，第2次抽到填空题的概率是.13．若三个正整数a, b, c的位数之和为8，且组成a, b, c的8个数码能排列为2, 0, 2, 5, 0, 6 ,0， 7,则称( a, b, c)为“幸运数组”，例如( 7, 6, 202500)是一个幸运数组.则满足10<a<b<c的幸运数组( a, b, c)的个数为14．已知函数fx=ax+cos四、解答题15．设(3x−1)5（1）a1（2）a0（3）a116．已知函数f(x)=（1）讨论f(x)的单调性；（2）若对任意x>0，有f(x)≤0恒成立，求整数m的最小值17．某气象观测网在沿海某干线上部署了nn≥3,n∈Z个自动气象站，按照自南向北依次编号为1，2，…，n.为测试数据回传系统，控制中心下发了两次数据抽取指令.每次指令均从这n个气象站中随机选中一个作为目标（每次指令的目标相互独立）.记第一次指令选中的气象站的编号为X，第二次指令选中的气象站编号为Y（1）若两次指令选中同一个气象站，则会引发“数据重载”；若第一次指令选中的气象站位于第二次指令选中气象站的南侧，则称为“顺向传输”.请分别计算触发“数据重载”与“顺向传输”的概率；（2）为评估两次指令在整条观测线上的空间分布情况，将X与Y中的较大值记为U（即相对偏北的站点编号），将X与Y中的较小值记为V（即相对偏南的站点编号）.（ⅰ）记两次指令的选中编号之和为S，即S=U+V，求ES（ⅱ）定义两次指令的空间跨度D=U−V，证明：ED（参考公式：k=1m18．已知函数fx（1）讨论fx（2）当a<0时，fx≤3b−ln−a19．某地政府为了帮助当地农民提高经济收入，开发了一种新型水果类食品，该食品生产成本为每件8元．当天生产当天销售时，销售价为每件12元，当天未卖出的则只能卖给水果罐头厂，每件只能卖5元．每天的销售量与当天的气温有关，根据市场调查，若气温不低于30℃，则销售量为5000件；若气温在25,30内，则销售量为3500件；若气温低于25℃，则销售量为2000件．为制定今年9月份的生产计划，统计了前三年9月份的气温数据，得到下表：气温/℃15,2020,2525,3030,3535,40天数414362115以气温位于各区间的频率代替气温位于该区间的概率．（1）求今年9月份这种食品一天的销售量X（单位：件）的分布列和均值；（2）设今年9月份一天销售这种食品的利润为Y（单位：元），这种食品一天的生产量为n（单位：件），若3500≤n≤5000，求Y的均值的最大值及对应的n的值．

答案解析部分1．【答案】C【知识点】组合数公式；组合数的基本计算【解析】【解答】解：由Cnn−2=15，得n!(n−2)!⋅2!=15故答案为：C.【分析】由Cnn−2=152．【答案】A【知识点】二项式定理的应用【解析】【解答】解：x2+12x+19=a0+a故答案为：A.【分析】由题意，令x+2=1，求展开式中各项系数的和即可.3．【答案】C【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用【解析】【解答】解：首先将护士安排去B、C两个核酸检测点中的一个有C2再将4位医生安排去两个检测点或三个检测点，若安排去两个检测点，则有C4若安排去三个检测点，则有C4综上一共有2×14+36故答案为：C.【分析】利用分组、分配，结合分类、分步计数原理计算求解即可.4．【答案】C【知识点】互斥事件与对立事件；条件概率与独立事件；条件概率乘法公式【解析】【解答】解：A、P(B|A)=PABPA，若B、P(B|A)=P则1−PAB=PAB，所以C、因为A与B互斥，所以A∩B=∅，又A∪A=Ω，所以A⊆B，B⊆A，所以A∪D、PAB≠0，不能说明故答案为：C.【分析】根据条件概率公式即可判断A；根据条件概率，结合对立事件概率公式计算即可判断B；根据互斥事件的定义，结合A⊆B，B⊆A，可得PA5．【答案】B【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；基本不等式在最值问题中的应用【解析】【解答】解：函数fx当x>4时，函数fx=x+10x+2则fx=x+10x+2在4,+当x≤4时，f'x=ex−4即a≤ex−4+e4−x当且仅当ex−4=e4−x，即又因为e4−4−e4−42−4a≤4+102+2=72故答案为：B.【分析】当x>4时，求导，利用导数判断函数的单调性，当x≤4时，求导，由题意可得ex−4+e4−x26．【答案】D【知识点】分步乘法计数原理；排列与组合的综合【解析】【解答】解：先把字相同的卡片看成一组，第一步：从这5组中选出一组有C5第二步：再从余下的4组中选2组，这2组中，每组各选一张卡片有C4第三步：把选出的4张卡片，分给4位同学有A4所以不同的分配方案有5×24×24=2880种.

故答案为：D.

【分析】利用分步乘法计数原理求解即可.7．【答案】D【知识点】条件概率与独立事件；全概率公式【解析】【解答】由题意得P(B|A因为P(B|AP(B)=P(A1)P(B|A1故事件事件A1P(A故答案为：D

【分析】A选项，根据题意求出P(B|A2)=33+3+4+1=311，判断A选项；

B选项，利用全概率公式求出8．【答案】B【知识点】排列、组合的实际应用【解析】【解答】解：若小王在甲路口，小李在乙路口，则剩余4个人分到两个路口，两个路口为1+3人分布，共有C4两个路口为2+2人分布，共有C4此时共有8+6=14种方案；同理若小王在乙路口，小李在甲路口，也共有8+6=14种方案；所以一共有28种不同的安排方案种数．故答案为：B．【分析】由小王和小李不能去同一路口，先分配特殊的小王和小李两个人，再将剩余4个人分到两个路口，根据分组、分配相关知识计算即可．9．【答案】A,B,D【知识点】超几何分布；二项分布；两点分布【解析】【解答】解：A、因为随机变量X服从两点分布，且PX=0=23，所以B、恰好有2只测量过该指标的概率为P=CC、随机变量X服从二项分布B8,23，则PX=5=D、随机变量X服从二项分布B8,23，则EX=8×23=16故答案为：ABD.【分析】根据两点分布的定义，期望公式求解即可判断A；根据超几何分布求概率即可判断B；根据二项分布求解即可判断C；根据二项分布的期望和方差公式以及期望和方差的性质求解即可判断D.10．【答案】A,D【知识点】充分条件；导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【解答】解：函数fx=ex−1+设切点为(x0,切线方程为ex整理可得：ex由题意可知：此方程有且恰有两个解，令g(x)=eg(1)=eg'令F(x)=ex−1−所以F(x)在(0,+∞)上单调递增，因为所以当0<x<1时，F(x)<0；当x>1时，F(x)>0，当−1<2a−1<1，即0<a<1时，当0<x<a时，g'(x)>0，则函数当a<x<1时，g'(x)<0，则函数当x>1时，g'(x)>0，则函数所以只要g(a)=0或g(1)=0，即b=ea−1+当2a−1≤−1，即a≤0时，当0<x<1时，g'(x)<0，则函数当x>1时，g'(x)>0，则函数所以只要g(1)<0，即b<2a−1，而2a−1≤−1；当2a−1>1，即a>1时，当0<x<1时，g'(x)>0，则函数当1<x<a时，g'(x)<0，则函数当x>a时，g'(x)>0，则函数当x=a时，g(a)=b−e所以只要g(1)=0或g(a)=0，由g(1)=0可得：b=2a−1>1，由g(a)=0得b=e当a=1时，g'(x)=(x−1)(ex−1−综上：当a≤0时，b<2a−1≤−1；当0<a<1时，b=ea−1+当a>1时，b=2a−1>1或b=e故答案为：AD.【分析】求函数fx的定义域，再求导，设切点坐标为(x0,e11．【答案】A,B,D【知识点】数列的通项公式；数列的前n项和【解析】【解答】解：由题意可得：当n为奇数时，an=1A、当n=20时，a20B、当n=39时，a39D、当第n项为偶数时，S=1则S38C、当第n项为奇数时，Sn则S19故答案为：ABD.【分析】根据数列的前10项，利用观察法写出数列的通项公式，再利用分类讨论思想的应用求出数列的和逐项判断即可.12．【答案】1【知识点】条件概率乘法公式【解析】【解答】解|：设第1次抽到选择题为事件A，第2次抽到填空题为事件B，则PA=710，故答案为：13【分析】先设事件，利用条件概率公式求解即可.13．【答案】591【知识点】分类加法计数原理；排列、组合的实际应用【解析】【解答】解：因为10<a<b<c，所以有两类不同情形：（1）a是两位数，b,c都是三位数：先不考虑b,c的大小，由于a,b,c的首位均不能排0，所以三个0可在五个位置中选择有C53种排法，两个2有其余三个数5，6，7有A33种的排法，共有又因为不可能有b=c，可知b>c与b<c的排法各占一半，所以有300个满足条件的幸运数组；（2）a,b是两位数，c是四位数：先不考虑b,c的大小，由于a,b,c的首位均不能排0，所以三个0可在五个位置中选择有C53种排法，两个2有其余三个数5，6，7有A33种的排法，共有如果a=b，则只有a=b=20，c的四个位置上的数字为0，5，6，7，共有3A3此外，b>c与b<c的排法各占一半，即600−182综上，所求幸运数组的个数为591.故答案为：591.【分析】分a是两位数，b,c都是三位数和a,b是两位数，c是四位数两种情况讨论，利用分类计数原理，结合排列组合知识求解即可.14．【答案】−【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程；两条直线垂直的判定【解析】【解答】解：函数fx=ax+cos2x−π设两个切点为(m,s)，(n,t)，则两切线的斜率分别为k1=a−2sin假设函数fx不妨设在x=m与x=n处的切线互相垂直，可得k1则[a−2sin因为a−2sin又因为[a−2sin(2m−π所以[a−2sin或[a−2sin要有解，则a2−4≤−1，解得−3故答案为：−3【分析】求函数fx的定义域，再求导，设切点分别为(m,s)，(n,t)，问题转化为[a−2sin(2m−15．【答案】解：令x=0，可得a0（1）令x=1，可得25=a（2）令x=−1，可得−45则2a即a0（3）对(3x−1)5得到15(3x−1)将x=1，代入得a1【知识点】二项式定理的应用；基本初等函数导函数公式；二项展开式【解析】【分析】令x=0，求得a0（1）令x=1，结合a0（2）令x=−1，根据（1）的结果，求解即可；（3）对(3x−1)5=a16．【答案】（1）解：函数f(x)=lnx−mx2+(1−2m)x+1当m≤0时，f'(x)>0在(0,+∞)上恒成立，此时当m>0时，f'(x)=0，得x=−1(舍去)，当0<x<12m时，f'(x)>0，则当x>12m时，f'(x)<0，则综上：当m≤0时，f(x)在(0,+∞当m>0时，f(x)在0,12m上单调递增，在（2）解：因为对任意x>0，f(x)≤0恒成立，所以lnx+x+1≤mx2即m≥lnx+x+1x设F(x)=lnx+x+1x设φ(x)=−(x+2lnx)，φ'(x)=−1−2因为φ(1)=−1<0，φ1所以∃x0∈12当x∈0,x0当x∈x0,+∞时，φ(x)<0，所以F(x)在所以F(x)因为x0∈1故整数m的最小值为1.【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值【解析】【分析】（1）求函数的定义域，再求导，分m≤0和m>0两种情况，利用导数讨论函数的单调性即可；（2）分离参数可得m≥lnx+x+1x2+2x（1）因为f'当m≤0时，f'(x)>0在(0,+∞)上恒成立，此时当m>0时，f'(x)=0，得x=−1(舍去)，当0<x<12m时，f'(x)>0，则当x>12m时，f'(x)<0，则综上：当m≤0时，f(x)在(0,+∞当m>0时，f(x)在0,12m上单调递增，在（2）因为对任意x>0，f(x)≤0恒成立，所以lnx+x+1≤mx2即m≥lnx+x+1x设F(x)=lnx+x+1x设φ(x)=−(x+2lnx)，φ'(x)=−1−2因为φ(1)=−1<0，φ1所以∃x0∈12当x∈0,x0当x∈x0,+所以F(x)在0,x0上单调递增，在所以F(x)因为x0∈1故整数m的最小值为1.17．【答案】（1）解：根据题意，X与Y均服从集合1,2,⋅⋅⋅,n上的离散型均匀分布，

由于两次指令独立且等概率随机选择，

因此组合X,Y的所有可能结果共有n×n=n2种，且每种结果发生的概率相同，

设事件A为“数据重载”，即X=Y，

此时X,Y可以是1,1，2,2，…，n,n，共n种情况，则PA=nn2=1n，

设事件B为“顺向传输”，即X<Y，

在n2种总情况中，除去X=Y的n种情况，剩下的n2−n（2）证明：（ⅰ）由于U=maxX,Y且V=minX,Y，对于任意一对实数，其最大值与最小值之和永远等于这两数之和，

因此恒等式U+V=X+Y成立，即S=X+Y，

根据题干中已知随机变量期望的线性可加性，有：ES=EX+Y=EX+EY故EX因此，ES（ⅱ）证明：依题意，D=U−V=X−Y，D所有可能的取值为0，1，2，…，n−1，当k=0时，D=0对应X=Y，

概率为1n，当k∈1,2,⋅⋅⋅,n−1时，满足X−Y第一类X−Y=−k，此时X,Y为1,1+k，2,2+k，…，n−k,n，共n−k种；第二类X−Y=k，此时X,Y为1+k,1，2+k,2，…，n,n−k，共n−k种；即有2n−k种基本事件组合.所以，PEDED而n2−13n=n23n所以ED【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差【解析】【分析】（1）利用列举法，结合古典概型概率公式求解即可；（2）（ⅰ）由题意可得恒等式U+V=X+Y成立，即S=X+Y，

根据公式ES=EX+Y=EX+EY（ⅱ）依题意，D=U−V=X−Y，D所有可能的取值为0，1，2，…，n−1，分k=0和k∈1,2,⋅⋅⋅,n−1时，（1）根据题意，X与Y均服从集合1,2,⋅⋅⋅,n上的离散型均匀分布.由于两次指令独立且等概率随机选择，因此组合X,Y的所有可能结果共有n×n=n2种，且每种结果发生的概率相同.设事件A为“数据重载”，即X=Y.此时X,Y可以是1,1，2,2，…，n,n，共n种情况.故设事件B为“顺向传输”，即X<Y.在n2种总情况中，除去X=Y的n种情况，剩下的n2−n种情况分布在X<Y与X>Y两个对立且对称的事件中.由对称性可知，包含的情况数均为n（2）（ⅰ）由于U=maxX,Y且V=minX,Y，对于任意一对实数，其最大值与最小值之和永远等于这两数之和，因此恒等式U+V=X+Y成立，即S=X+Y.根据题干中已知随机变量期望的线性可加性，有：ES=EX+Y=EX+EY故EX因此，ES（ⅱ）证明：依题意，D=U−V=X−Y.D所有可能的取值为0，1，2，…，n−1.当k=0时，D=0对应X=Y，概率为1n.当k∈1,2,⋅⋅⋅,n−1时，满足X−Y第一类X−Y=−k，此时X,Y为1,1+k，2,2+k，…，n−k,n，共n−k种；第二类X−Y=k，此时X,Y为1+k,1，2+k,2，…，n,n−k，共n−k种；即有2n−k种基本事件组合.所以，PEDE而n2−13n=n23n所以，ED18．【答案】（1）解：函数fx的定义域为0,+∞，求导得当a≤0时，由f'x>0，得0<x<1；由f所以函数fx在0,1上单调递增，在1,+当0<a<1时，由f'x>0，得0<x<1或x>1a所以函数fx在0,1，1a,+当a=1时，f'x≥0恒成立，函数f当a>1时，由f'x>0，得0<x<1a或x>1所以函数fx在0,1a，1,+所以当a≤0时，函数fx在0,1上单调递增，在1,+当0<a<1时，函数fx在0,1，1a,+当a=1时，函数fx在0,+当a>1时，函数fx在0,1a，1,+（2）解：由（1）知当a<0时，函数fx在0,1上单调递增，在1,+则fx依题意，3b−ln−a−a≥−1−令函数ga=ln当a<−2时，g'a>0，当−2<a<0所以函数ga在−∞,−2即gamax=g−2=故以实数b的最小值ln2−2【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值【解析】【分析】（1）先求函数fx的定义域，再求导，分a≤0，0<a<1，a=1，a>1（2）由（1）知当a<0时，函数fx在0,1上单调递增，在1,+∞上单调递减，求出函数fx的最大值，问题转化为3b≥（1）函数fx的定义域为0,+∞，求导得当a≤0时，由f'x>0，得0<x<1；由f所以函数fx在0,1上单调递增，在1,+当0<a<1时，由f'x>0，得0<x<1或x>1a所以函数fx在0,1，1a,+当a=1时，f'x≥0恒成立，函数