2025-2026学年上海市长宁区高一（下）期末数学试卷（含解析）

2025-2026学年上海市长宁区高一（下）期末数学试卷考试注意事项：1、考生须诚信考试,遵守考场规则和考试纪律，并自觉服从监考教师和其他考试工作人员

管理；

2、监考教师发卷后，在试卷指定的地方填写本人准考证号、姓名等信息；考试中途考生不准以任何理由离开考场；

3、考生答卷用笔必须使用同一规格同一颜色的笔作答(作图可使用铅笔)，不准用规定以外的笔答卷，不准在答卷上作任何标记。考生书写在答题卡规定区域外的答案无效。4、考试开始信号发出后,考生方可开始作答。一、填空题（每小题3分，共36分）1．已知扇形的弧所对的圆心角为，且半径为，则该扇形的面积是．2．已知向量，，若，则．3．已知为第三象限角，，则．4．在△，已知，，，则．5．已，则．6．函数的定义域是．7．若复数满足，则．8．已知，且，则在方向上的投影是．9．设点是平面直角坐标系内的一个动点，它从初始位置出发，绕原点按逆时针方向转动角后到达点，然后继续绕原点按逆时针方向转动角到达点；若的横坐标是，则的坐标是．10．已知，则的取值范围是．11．如图，已知塔坐落在一座小山上，且垂直于地面；观察者在地面上的点处测得仰角，，在延长线上的点处测得仰角，并测得米，则塔的高大约是米．（精确到0.01米）12．已知平行四边形ABCD中，E，F分别是边BC，DC的中点，且AF＝1，∠EAF＝，则的最大值为．二、选择题（每小题3分，共12分）13．下列函数中，最小正周期是的是（）A． B． C． D．14．若在中，““是““的条件A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要15．已知，，函数的部分图像如图所示，则该函数的表达式是（）A． B． C． D．16．如图，设Ox，Oy是两条射线，，，分别为与Ox，Oy同向的单位向量，称O和，一起构成了“α﹣仿射坐标系”；在α﹣仿射坐标系中，若，则称（m，n）为的坐标，表示为；现有以下几个命题：①在仿射坐标系中，若，则；②在α﹣仿射坐标系中，与平行的充要条件是x1y2＝x2y1；③在α﹣仿射坐标系中，若，且，且；其中，真命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3三、解答题（共52分）17．已知，求和的值．18．已知．（1）若点，，三点共线，求的值；（2）若是钝角，求的取值范围．19．复数和分别对应复平面上的向量和，点在第一象限；已知，的虚部是6．（1）求；（2）若点为复平面内一点，且四边形为平行四边形，求所对应的复数．20．已知是以为圆心，20米为半径的扇形舞台，且；现对舞台进行改造，要在扇形内做一个矩形可升降舞台，现有两种改造方案：方案1：点，在线段上，点在弧上，点在线段上；方案2：点，分别在线段，上，点，在弧上；（1）若，采用方案1，设，求可升降舞台面积的最大值以及此时的大小；（2）若采用方案2，当升降舞台面积最大时，求的面积以及的长度（用表示）．21．已知函数，实数．（1）若该函数的最小正周期为，函数图像经过点，求该函数的表达式；（2）在（1）的条件下，若时，该函数与直线有且仅有一个交点，求实数的取值范围；（3）若存在实数，使得函数在上有且仅有2个零点，求的取值范围．

参考答案一、填空题（每小题3分，共36分）1．已知扇形的弧所对的圆心角为，且半径为，则该扇形的面积是．解：因为扇形的弧所对的圆心角为，且半径为，则该扇形的面积．故答案为：．2．已知向量，，若，则3．解：向量，，若，则解得．故答案为：3．3．已知为第三象限角，，则．解：因为为第三象限角，，所以，则．故答案为：．4．在△，已知，，，则1或2．解：根据正弦定理得，即，可得，结合，可得或，当时，，可得△是直角三角形，；当时，，可得，故．综上所述，或2．故答案为：1或2．5．已，则．解：，，即，则．故答案为：6．函数的定义域是，．解：由的定义域为，，令，则，则定义域为，，故答案为：，．7．若复数满足，则．解：复数满足，则，故．故答案为：．8．已知，且，则在方向上的投影是．解：已知，且，则在方向上的投影是．故答案为：．9．设点是平面直角坐标系内的一个动点，它从初始位置出发，绕原点按逆时针方向转动角后到达点，然后继续绕原点按逆时针方向转动角到达点；若的横坐标是，则的坐标是，．解：初始位置对应的角为，，则，，，由可得，，因为的横坐标是，则，则，则的坐标是，所以，故．故答案为：，．10．已知，则的取值范围是，．解：由，可得，，解得，，根据，可得，由二次函数的性质，可知时，取得最小值，当或1时，取得最大值0，所以的取值范围是，．故答案为：，．11．如图，已知塔坐落在一座小山上，且垂直于地面；观察者在地面上的点处测得仰角，，在延长线上的点处测得仰角，并测得米，则塔的高大约是11.79米．（精确到0.01米）解：由题意，易知，，，在△中，由正弦定理得，即，在△中，，所以米．故答案为：11.79．12．已知平行四边形ABCD中，E，F分别是边BC，DC的中点，且AF＝1，∠EAF＝，则的最大值为．解：建立以A为原点，直线AF为x轴的直角坐标系，设AE＝t，由，则，设B（xB，yB），D（xD，yD），则C（xB+xD，yB+yD），又E，F分别是边BC，DC的中点，则，解得，则，所以，故的最大值为．故答案为：．二、选择题（每小题3分，共12分）13．下列函数中，最小正周期是的是（）A． B． C． D．解：对于，，不满足题意；对于，，不满足题意；对于，，不满足题意；对于，因为的最小正周期为，作出函数的部分图象，如图所示：所以的最小正周期为．故选：．14．若在中，““是““的条件A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要解：在三角形中，若，根据大角对大边可得边，由正弦定理，得，若，则正弦定理，得，根据大边对大角，可知，所以“”是“”的充要条件．故选：．15．已知，，函数的部分图像如图所示，则该函数的表达式是（）A． B． C． D．解：由题意可得，，，则，，由五点作图法可得，，，，所以，．故选：．16．如图，设Ox，Oy是两条射线，，，分别为与Ox，Oy同向的单位向量，称O和，一起构成了“α﹣仿射坐标系”；在α﹣仿射坐标系中，若，则称（m，n）为的坐标，表示为；现有以下几个命题：①在仿射坐标系中，若，则；②在α﹣仿射坐标系中，与平行的充要条件是x1y2＝x2y1；③在α﹣仿射坐标系中，若，且，且；其中，真命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3解：对于①，在仿射坐标系中，可知，即，则，若，则，所以，故①错误；对于②，若时，显然有与平行，可得x1y2＝x2y1成立，反之显然成立；当，与平行的充要条件是存在λ，使得，所以，所以，所以x1y2＝x2y1，综上，在α﹣仿射坐标系中，与平行的充要条件是x1y2＝x2y1，故②正确；对于③，在α﹣仿射坐标系中，若，，则，所，，，又因为，所以，所以，解得，又因为0＜α＜π，所以，故③正确．故真命题有2个．故选：C．三、解答题（共52分）17．已知，求和的值．解：因为，则；又，则，所以；．18．已知．（1）若点，，三点共线，求的值；（2）若是钝角，求的取值范围．解：（1）点，，三点共线，则，即，解得或；（2）因为是钝角，所以，解得或，又当和时三点共线，不满足题意，故的取值范围是，，，．19．复数和分别对应复平面上的向量和，点在第一象限；已知，的虚部是6．（1）求；（2）若点为复平面内一点，且四边形为平行四边形，求所对应的复数．解：（1）设，则，由，的虚部是6，得，因为复数对应的点在第一象限，所以，，解得或，即或；（2）当时，，此时，，因为四边形为平行四边形，所以，则所对应的复数为；当时，，此时，，因为四边形为平行四边形，所以，则所对应的复数为．因此，所对应的复数为或．20．已知是以为圆心，20米为半径的扇形舞台，且；现对舞台进行改造，要在扇形内做一个矩形可升降舞台，现有两种改造方案：方案1：点，在线段上，点在弧上，点在线段上；方案2：点，分别在线段，上，点，在弧上；（1）若，采用方案1，设，求可升降舞台面积的最大值以及此时的大小；（2）若采用方案2，当升降舞台面积最大时，求的面积以及的长度（用表示）．解：（1）因为扇形半径，圆心角，，所以，，，所以，设矩形的面积为，，因为，所以，所以，当，即时，面积有最大值；（2）由对称性可知，矩形面积最大时关于角平分线对称，设，所以，设，所以，因为，所以，即，，所以矩形面积所以，当，即时，面积有最大值，，此时米．21．已知函数，实数．（1）若该函数的最小正周期为，函数图像经过点，求该函数的表达式；（2）在（1）的条件下，若时，该函数与直线有且仅有一个交点，求实数的取值范围；（3）若存在实数，使得函数在上有且仅有2个零点，求的取值范围．解：（1）由函数的最小正周期，可得，则得，将点代入，得，即，则，，又，则得，故；（2）令，当时，，问题转化为：与直线在上有且仅有一个交点，当时，函数单调递增，；当时，函数单调递减，；当时，仅在处有1个交点，符合条件；当时，仅在递减段有1个交点，符合