统计小结与复习

必修三第二章:统计复习

一、才由样方法：

(一)简单随机抽样(适用范围：总体个数较少)

1、抽签法：

(1)将总体中得所有个体编号(号码可以从1到N)；

(2)羽M到N这N个号码写在形状、大小相同得号签上(号签可用小球、卡片、纸条

等)；(3)将号签放在同一箱中，并搅拌均匀；

(4)从箱中每次抽出1个号签，并记录其编号，连续抽取k次；

(5)从总体中将与抽到得签得编号相一致得个体取出、

2、随机数表法：

(1)对总体中得个体进行编号(每个号码位数一致)；

(2)在随机数表中任选一个数作为开始；

(3)从选定得数开始按一定得方向读下去，得到得数码若不在编号中，则跳过；若在编

号中，则取出；如果得到得号码前面已经取出，也跳过;如此继续下去，直到取满为止

(4)根据选定得号码抽取样本、

(二)系统抽样(等距抽样)：(适用范围：总体个数较多)

(1)采用随机得方式将总体中得个体编号;

(2)将整个得编号按一定得间隔(设为k)分段，当冬(N为总体中得个体数，n为样本容

n

量)就就是整数时，％=四；当W不就就是整数时，从总体中剔除一些个体，使剩下得总体

nn

中个体得个数N1能被n整除,这时左二竺，并将剩下得总体重新编号；

n

(3)在第一段中用简单随机抽样确定起始得个体编号/；

(4)将编号为IJ+七/+2k,....，/+(n-i)k得个体抽出、

(三)、分层抽样：(适用范围：总体中由差异明显得几部分构成)

(1)将总体按一定标准分层；

⑵计算各层得个体数与总体得个数得比；抽取比例:抽既'瞥个数〃

总体个数N

(3)按各层个体数占总体得个体数得比确定各层应抽取得样本容量；

每层抽取个数=每层得总数X抽取比例

(4)在每一层进行抽样(可用简单随机抽样或系统抽样)、

注意：不管哪种抽样方法,在N个个体得总体中抽取出n个个体组成样本,每个个体被

抽到得机会(概率)均为2°

......................N•

二、1、众数:在一组数据中，出现次数最多得数据叫做这组数据得众数、

2、中位数:将一组数据按大小依次排列，

⑴数据个数为奇数时,处在最中间位置得一个数据叫这组数据得中位数;

⑵数据个数为偶数时，处在最中间两个数据得平均数叫这组数据得中位数、

3、平均数：宇=~+*+・门+•••+/

II

三、频率分布直方图、折线图与茎叶图

（一）须率分布直方图

1、编制频率分布表得步骤如下：（1）求极差，决定组数和组距，组距=舞;

（2）分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间；

（3）登记频数，计算频率，列出频率分布表、

作频率分布直方图得方法为：（1）把横轴分成若干段，每一线段对应一个组得组

距；（2）以此线段为底作矩形，她得高等于该组得禁，这样得出一系列得矩形；

组距

频率分布直方图如下图

频率

.碓

(、08

(706

(704

0、02

口Eb

150、5153、5156、5159、5162、5165、5168、5171、5174、

5177、5180、8

注意：⑴每个小矩形得面积二该组上得频率、

(2)各个小矩形得面积和为1

2、在频率分布直方图中

1、众数在样本数据得频率分布直方图中，就就就是最高矩形得中点得横坐标。

2中位数左边和右边得直方图得面积应该相等，由此可以估计中位数得值。

3、平均数就就是频率分布直方图得“重心”、就就是直方图得平衡点、

平均数等于频率分布直方图中每一个小长方形得面积乘以小长方形底边中点得横

坐标之和。

(二)、频率折线图：

1、如果将频率分布直方图中各相邻得矩形得上底边得中点顺次连接起，就得到一条

折线，称这条折线为本组数据得频率折线图、

2、①频率分布表——数据详实

②频率分布直方图——分布直观

③频率分布折线图——便于观察总体分布趋势

（三）茎叶图

1、制作茎叶图得方法就就是:将所有两位数得十位数字作为“茎”，个位数字作为“叶”,

茎按从小到大得顺序从上向下列出，共茎得叶一般按从大到小（或从小到大）得顺序同行

列出、相同得数重复写。

2、在茎叶图中，茎也可以放两位，

3、茎叶图适用于数据较少得情况，从中便于看出数据得分布，以及中位数、众位数等。

茎叶图做法：

甲茎乙

04

259

97678

92713

41084578

198

从茎叶图可以看出，乙组数据分布相对集中，因此稳定性比甲组好；同时，乙组得数据

平均值也大于甲，故乙组实力高于甲组实力。

四、总体特征数得估计:

一组样本数据M,3，…,X”

1、平均数：…+"2+"3+…+”〃

n

2、标准差:

S=\-X）=J-[U|-%）2+（工2-X）2+（%3-X）2+…・+（x“一1）2]

V〃/=1Vn

3、方差：J-X）=;[（Xi-工）2+（工2-+（当-X）?+…•+（当-％）2]

i=l

注：方差与标准差越小，说明样本数据越稳定。

平均数反映数据总体水平；方差与标准差反映数据得稳定水平。

4、平均数和方差得运算性质：如果数据王……,x〃得平均数为3方差为$2,则

（1）新数据.+6,%+，，…,得平均数为x+b,方差仍为S?;

（2）新数据时，畛，…,也得平均数为ax,方差为a2s2;

22

（3）新数据a》1+A,ax2+b,…,%+b得平均数为ax+b9方差为as、

1、平均数，中位数和众数都就就是总体得数字特征，从不同角度反映了分布得集中

趋势，平均数就就是最常用得指标，也就就是数据点得“重心”位置，她易受极端值（特别

大或特别小得值）得影响，中位数位于数据序列得中间位置，不受极端值得影响，在一组数

据中，可能没有众数，也可能有多个众数、

2、方差和标准差就就是总体得数字特征，反映了分布得分散程序（波动大小），标准

差也会受极端值（特别大或特别小得值）得影响、

⑶线性回归方程

①变量之间得两类关系：函数关系与相关关系;

②制作散点图，判断线性相关关系

Zw-阿__

③线性回归方程：口（最小二乘法）＜

y=bx+222—2

*+X)+••JC—HX

i=ln

a=y-bx

3、已知x与歹之间得一组数据为

X0123

y1357

+

aa

则y与x得回归直线方程?二队+〃必过定点注意：线性回归直线经过定点

（2）。

［例2］从有甲乙两台机器生产得零件中各随机抽取15个进行检脸，相关指标得检验

结果为：甲:534,517,528,522,513,516,527,526,520,508,533,52

4,518,522,512

乙:512,520,523,516,530,510,518,521,528,532,507,516,524,5

26,514

画出上述数据得茎叶图

正解：用前两位数作为茎，茎叶图为

甲乙

8507

8763251024668

876422052013468

435302

54

从图中可以看出，甲机床生产得零件得指标分布大致对称，平均分在520左右，中位数

和众教都就就是522,乙机床生产得零件得指标分布也大致对称，平均分也在520左右，

中位数和众数分别就就是520和516,总得看，甲得指标略大一些、

19、（本题12分）某校从参加高一年级期末考试得学生中抽出60名学生，将其成绩

（均为整数）分成六段

[40,50）,[50,60），…，[90[00]后画出如下部分

频率分布直方图、观察图形得信息，回答下列

问题：

⑴求第四小组得频率，并补全这个频率分

布直方图；

⑵估计这次考试得及格率（60分及以上

为及格）和平均分；（要写出必要得过程，否则

不得分）；

19、（I）因为各组得频率和等于1,

故第四组得

率：/；=1-(0.025+0.015x2+0.01+0.005)x10=0.3,

焉频率-=金03=0.03,直-方图如右图所示

组距10

(II)依题意,60及以上得分数所在得第三、四、五、

六组频率和为(0.015+0.03+0.025+0.005)x10=0.75

所以,抽样学生成绩得合格率就就是75%、

利用组中值估算抽样学生得平均分：

45,/+55/+65,/3+75・/4+851+95/

=45x0.1+55x0.15+65x0.15+75x0.3+85x0.25+95x0.05=71,

注意：平均数等于频率分布直方图中每一个小长方形得面积乘以小长方形底边中点

得横坐标之和。

例2、下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录得产量x(吨)与相

应得生产能耗y(吨标准煤)得几组对照数据

X3456

y2.5344.5

(1)请画