高中数学人教A版（2019）选择性必修第三册8.2一元线性回归模型及其应用梯度式分层训练（含解析）

第八章成对数据的统计分析8.2一元线性回归模型及其应用基础过关练题组一经验回归方程及其应用1.如果发现散点图中所有的样本点都落在一条斜率为非零实数的直线上,则下列说法错误的是 ()A.解释变量和响应变量之间是一次函数关系B.样本相关系数r=1C.决定系数R2=1D.残差平方和为02.(2022江西新余一中开学考试)有一组样本点(xi,yi)(其中i=1,2,…,300),根据最小二乘法求得y关于x的经验回归方程是y^=b^x+a^,则下列说法正确的是 A.至少有一个样本点落在经验回归直线y=bx+a上B.若所有样本点都在经验回归直线y=bx+a上,则变量间的样本相关系数为1C.对所有的解释变量xi(i=1,2,…,300),b^xi+a^的值一定与yD.若经验回归直线y=bx+a的斜率b>0,则变量x与y正相关3.(2022广东信宜二中开学考试)色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标,现抽检一批该产品,测得如下数据:色差x212325272931色度y151617212223已知该产品的色差和色度之间满足线性相关关系,且y^=0.25x+a^,现有一对测量数据(32,21.25),则该组数据的随机误差为 (A.0.65 B.0.75 C.-0.75 D.0.954.(2021安徽皖北名校联考)蟋蟀鸣叫声可以说是大自然优美、和谐的音乐,殊不知蟋蟀鸣叫的频率x(每分钟鸣叫的次数)与气温y(单位:℃)存在着较强的线性相关关系.某地观测人员根据下表的观测数据,建立了y关于x的经验回归方程y^=0.25x+k^,则下列说法不正确的是 (x(次/分)2030405060y(℃)2527.52932.536A.k^B.变量x和y正相关C.若x的值增加1,则y的值约增加0.25D.当蟋蟀鸣叫的频率为52次/分时,该地当时的气温预报值为33.5℃5.某学校为了解学生中男生的体重y(单位:kg)与身高x(单位:cm)是否存在线性相关关系,搜集了7位男生的数据,得到如下表格:序号1234567身高x(cm)166173174178180183185体重y(kg)57625971677578根据表中数据计算得到y关于x的经验回归方程为y^=b^x-136.(1)b^=(2)已知R2=1-i=1n(yi−y^i)2i=1n(yi−y)2,且当R2≥0.参考数据:i=17(yi-y^i)26.(2022河南商丘月考)一台还可以用的机器由于使用的时间较长,按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺陷,每小时生产有缺陷零件的数量随机器转速的变化而变化,下表为抽样试验结果:转速x(转/秒)1614128每小时生产有缺陷零件的数量y(个)11985(1)画出散点图;(2)如果变量x和y线性相关,求y关于x的经验回归方程y^=b^x+(3)若实际生产中,允许每小时生产的产品中有缺陷的零件最多有10个,试问机器的转速应控制在什么范围内?附:经验回归方程y^=b^x+a^中,题组二非线性回归分析7.(2022河南郑州期末)2021年9月1日至23日(日期代码分别为1,2,…,23),某餐馆在区域M内投放广告单数量y(万张)与日期代码x的数据满足回归方程y^=e0.38+b^x,则b^参考数据:y1y2y3·…·y23=e89.7,x=12.8.(2021湖北襄阳五中月考)某工厂每日生产一种产品x(x≥1)吨,每日生产的该产品当日销售完毕,日销售额为y万元,产品价格随着产量的变化而有所变化,经过一段时间的产销,得到了x,y的一组统计数据,如下表:日产量x(吨)12345日销售额y(万元)512161921(1)请判断y=bx+a与y=dlnx+c中哪个模型更适合刻画x,y之间的关系,并从函数增长趋势方面给出简单的理由;(2)根据你的判断及下面的公式和数据,求出y关于x的回归方程,并估计当日产量为6吨时,日销售额是多少.(结果保留整数)参考公式:经验回归方程y^=b^x+a^中,b^=i=1nx参考数据:ln1+ln2+ln3+ln4+ln55≈0.96,5ln1+12ln2+16ln3+19ln4+21ln5≈86ln6≈1.8,(ln1)2+(ln2)2+(ln3)2+(ln4)2+(ln5)2≈6.2.能力提升练题组一经验回归方程及其应用1.(2021福建莆田三模)2021年受疫情影响,国家鼓励员工在工作地过年.某机构统计了某市5个地区的外来务工人员数与他们选择留在当地过年的人数占比,得到如下的表格:A区B区C区D区E区外来务工人员数50004000350030002500留在当地过年的人数占比80%90%80%80%84%根据这5个地区的数据求得留在当地过年人员数y与外来务工人员数x的经验回归方程为y^=0.8135x+a^.该市对外来务工人员中选择留在当地过年的人员每人补贴1000元,该市F区有10000名外来务工人员,根据经验回归方程估计F区需要给外来务工人员中选择留在当地过年的人员的补贴总额为万元.(参考数据:0.8135×36≈29.2.(2022四川绵阳南山中学开学考试)随着我国经济的发展,人们生活水平的提高,汽车的保有量越来越高.汽车保险费是人们非常关心的话题.保险公司规定:上一年的出险次数决定下一年的保费倍率,具体关系如下表:上一年的出险次数012345次及以上下一年的保费倍率85%100%125%150%175%200%且连续两年没有出险打7折,连续三年没有出险打6折.经验表明新车商业车险保费与购车价格有较强的线性相关关系,下面是随机采集的8组数据(xi,yi)(其中xi(万元)表示购车价格,yi(元)表示商业车险保费,i=1,2,…,8):(8,2150),(11,2400),(18,3140),(25,3750),(25,4000),(31,4560),(37,5500),(45,6500).设由这8组数据得到的经验回归方程为y^=b^1055.(1)求b^的值(2)蔡先生购买了一辆价值20万元的新车.①估计蔡先生购车时的商业车险保费;②若该车今年保险期间内已出过一次险,现在又被刮花了,蔡先生到4S店询价,预计修车费用为800元,保险专员建议蔡先生自费(即不出险),试问蔡先生是否应该接受建议?请说明理由.(假设蔡先生明年继续为该车购买此商业车险)3.(2021湖北随州期末)某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究,2021年12月1日至12月5日的昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽颗数如下表所示:日期12月1日12月2日12月3日12月4日12月5日温差x(℃)101113128发芽颗数y2325302616该农科所确定的研究方案如下:先从这5组数据中选取2组,用剩下的3组数据求经验回归方程,再用被选取的2组数据进行检验.(1)求选取的2组数据恰好是不相邻的2组数据的概率;(2)若选取的是12月1日与12月5日的两组数据,请根据12月2日至12月4日的数据,求y关于x的经验回归方程y^=b^x+(3)若由经验回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差不超过2,则认为得到的经验回归方程是可靠的,试问(2)中所得到的经验回归方程是否可靠?参考公式:经验回归方程y^=b^x+a^中,b^=i=1n(题组二非线性回归分析4.(2022江西赣州二模)近期,某公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动,活动设置了一段时间的推广期,由于推广期内优惠力度较大,越来越多的人开始使用扫码支付.某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每天使用扫码支付的人次,用x表示活动推出的天数,y(单位:十)表示每天使用扫码支付的人次,统计数据如下表所示:x1234567y611213466101196根据以上数据,绘制了如下散点图.(1)根据散点图判断,在推广期内,y=a+bx与y=c·dx(c,d均为大于零的常数)哪一个更适合作为扫码支付的人次y关于活动推出的天数x的回归方程类型(给出判断结果即可,不必说明理由);(2)根据(1)中的判断结果及表中的数据,求y关于x的回归方程,并预测活动推出第8天时使用扫码支付的人次.参考数据:yvi=17xi100.5462.141.5450.123.47其中vi=lgyi,v=17i=1参考公式:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其经验回归方程v^=β^u+α^5.(2022陕西西安高新一中月考)2021年6月17日9时22分,我国酒泉卫星发射中心用长征二号F遥十二运载火箭成功将神舟十二号载人飞船送入预定轨道,顺利将聂海胜、刘伯明、汤洪波3名航天员送入太空,发射取得圆满成功,这标志着中国人首次进入自己的空间站.某公司负责生产的A型材料是神舟十二号的重要零件,该材料应用十分广泛.该公司为了将A型材料更好地投入商用,拟对A型材料进行应用改造.根据市场调研与模拟,得到应用改造的投入x(亿元)与产品的直接收益y(亿元)的数据,统计如下:序号123456x2346810y152227404854序号789101112x132122232425y6068.56867.56665当0<x≤17时,建立了y与x的两个回归模型:模型①y=4.1x+10.9,模型②y=21.3x-14.4;当x>17时,求得y与x之间的经验回归方程为y^=-0.7x+a(1)根据表格中的数据,比较当0<x≤17时模型①,②对应的回归方程的决定系数R2的大小,并用其中拟合精度更高、更可靠的模型预测对A型材料进行应用改造的投入为17亿元时的直接收益;(2)为鼓励科技创新,当应用改造的投入不少于20亿元时,国家给予公司补贴5亿元,以回归方程为预测依据,根据(1)中选择的拟合精度更高、更可靠的模型,比较投入17亿元与投入20亿元时公司收益(直接收益+国家补贴)的大小.附:①刻画模型拟合效果的决定系数R2=1-i=1n(yi−y^②经验回归方程y^=b^x+a^中,a^=③回归模型模型①模型②i=17(yi-y79.1320.217≈4.1.

答案与分层梯度式解析第八章成对数据的统计分析8.2一元线性回归模型及其应用基础过关练1.B因为散点图中所有的样本点都落在一条斜率为非零实数的直线上,所以解释变量和响应变量之间是一次函数关系,且残差平方和为0,因此A,D中说法正确;由题意可知,|r|=1,若直线的斜率为正,则r=1,若直线的斜率为负,则r=-1,因此B中说法错误;由决定系数R2的计算公式可知R2=1,故C中说法正确.故选B.2.D经验回归直线必过样本点的中心,但样本点可能全部不在经验回归直线上,故A错误;若所有样本点都在经验回归直线y=bx+a上,则变量间的样本相关系数为±1,故B错误;若所有的样本点都在经验回归直线y=bx+a上,则b^xi+a^的值与yi相等,故C样本相关系数r与b符号相同,若经验回归直线y=bx+a的斜率b>0,则r>0,样本点应分布在从左下角到右上角的区域,此时变量x与y正相关,故D正确.故选D.3.B由题表中数据得样本点的中心为(26,19),将(26,19)代入经验回归方程得到a^=12.5,所以y^=0.25x+12.将x=32代入,得到对应的y的估计值为20.5,因而该组数据的随机误差为21.25-20.5=0.75.故选B.方法总结回归直线不一定过样本点,但一定过样本点的中心(x,y),常利用这一结论列方程求经验回归方程中的系数.4.D由题意,得x=15×(20+30+40+50+60)=40,y=15×(25+27.5+29+32.5+36)则k^=y-0.25x=30-0.25×40=20,故A中说法正确由0.25>0,可知变量x和y正相关,故B中说法正确;若x的值增加1,则y的值约增加0.25(x+1)+20-(0.25x+20)=0.25,故C中说法正确;当x=52时,y^=0.25×52+20=33,故D中说法错误故选D.5.答案(1)1.15(2)良好解析(1)由题表中数据可得,x=166+173+174+178+180+183+1857=177y=57+62+59+71+67+75+787=67,于是得67=b^×177-136.55,解得b^=1(2)由(1)知y=67,故i=17(yi-y)2=(-10)2+(-5)2+(-8)2+42+02+82+112则有R2=1-52.36390≈0.87,即0.8<R2<0.9所以该经验回归方程对应模型的拟合效果良好.6.解析(1)画出散点图,如图所示:(2)由题表中数据易得x=12.5,y=8.25,i=14xiyi=438,i∴b^=i=14xiya^=y-b^x=8.25-0.7286×12.5=-0故经验回归方程为y^=0.7286x-0.8575(3)要使y≤10,则0.7286x-0.8575≤10,即x≤1085757286≈14.9故机器的转速应不超过14.9转/秒.7.答案0.29解析对y^=e0.38+b^x的两边取自然对数,得lny^=b^x+0.38,因为ln(y1y2y3·…·y23)=lne89.7=89.7,所以lny1+lny所以3.9=12b^+0.38,所以b^≈0.29.故答案为0.8.解析(1)y=dlnx+c更适合刻画x,y之间的关系.理由:由题表中的数据可知,x的值每增加1,对应的y的增加量分别为7,4,3,2,增加得越来越缓慢,符合对数函数型模型的增长规律,与一元线性回归模型的均匀增长存在较大差异,故y=dlnx+c更适合刻画x,y之间的关系.(2)令z=lnx,由题意得y=5+12+16+19+215=735=14.6,所以d^=i=15ziyi−5zyi=15zi2−5z2≈86−5×0.96×14.66.2−5×0.962=10当x=6时,日销售额为10×ln6+5≈23(万元).能力提升练1.答案818.6解析由题意得,x=5000+4000+3500+3000+25005=3600y=5000×0.8+4000×0.9+3500×0.8+3000×0.8+2500×0.84=2980,因为经验回归直线一定过样本点的中心(x,y),所以2980=0.8135×3600+a^,解得a^≈51,即y^=0.8135当x=10000时,y^=0.8135×10000+51=8186所以估计补贴总额为8186×0.1=818.6(万元).2.解析(1)x=18×(8+11+18+25+25+31+37+45)=2008y=18×(2150+2400+3140+3750+4000+4560+5500+6500)=320008又由经验回归直线必经过样本点的中心(x,y),即过点(25,4000),所以b^=y−1055x=4000−105525(2)①由(1)知y^=117.8x+1055.当x=20时,y^=117.8×20+1055=3411,即估计购车时的商业车险保费为3411②由于该车已出过一次险,若再出一次险,则保费增加25%,即增加3411×25%=852.75(元).因为852.75>800,所以应该接受建议.3.解析(1)设取到不相邻的2组数据为事件A.因为从5组数据中选取2组数据共有10种情况,每种情况是等可能出现的,其中抽到相邻的2组数据的情况有4种,所以P(A)=1-410=35,故选取的2组数据恰好是不相邻的2组数据的概率为(2)利用12月2日至12月4日的数据,求得x=13×(11+13+12)=12,y=13×(25+30+26)i=13(xi-x)(yi-y)=(-1)×(-2)+1×3+0×(-1)i=13(xi-x)2=(-1)2+12+02所以b^=i=13a^=y-b^所以y关