2026年（北师大版）高中数学选修2-2第3讲-函数的单调性与导数 含解析

/导数与函数的单调性____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________一、函数的单调性与导数：1．函数的导数与函数的单调性的关系：我们已经知道，曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数．从函数的图像可以看到：在区间（2，）内，切线的斜率为正，函数y=f(x)的值随着x的增大而增大，即>0时，函数y=f(x)在区间（2，）内为增函数；在区间（，2）内，切线的斜率为负，函数y=f(x)的值随着x的增大而减小，即0时，函数y=f(x)在区间（，2）内为减函数y=f(x)=x2－4x+3切线的斜率f′(x)(2，+∞)增函数正＞0(－∞，2)减函数负＜0定义：一般地，设函数y=f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内>0，那么函数y=f(x)在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内<0，那么函数y=f(x)在为这个区间内的减函数2．利用导数确定函数的单调性的步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求出函数的导数；(3)解不等式f¢(x)＞0，得函数的单调递增区间；解不等式f¢(x)＜0，得函数的单调递减区间．类型一：函数的单调性与导数：例1确定函数f(x)=x2－2x+4在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数。例2确定函数f(x)=2x3－6x2+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数例3证明函数f(x)=在(0，+∞)上是减函数．例4求函数y=x2(1－x)3的单调区间．练习：1．确定下列函数的单调区间(1)y=x3－9x2+24x (2)y=x－x3例5当x＞0时，证明不等式：1+2x＜e2x．例6已知函数y=x+，试讨论出此函数的单调区间。练习：1．求下列函数的单调区间(1)y=(2)y=(3)y=+x1.函数f(x)=在区间（-2，+∞）上为增函数，那么实数a的取值范围为（）A.0<a< B.a<-1或a> C.a> D.a>-22．已知函数f(x)＝x2＋2x＋alnx，若函数f(x)在(0,1)上单调，则实数a的取值范围是()A．a≥0 B．a<－4 C．a≥0或a≤－4 D．a>0或a<－43．函数f(x)＝x＋eq\f(9,x)的单调区间为________．4函数的单调增区间为，单调减区间为___________________5．确定下列函数的单调区间:(1)y=x3－9x2+24x(2)y=3x－x36．函数y＝ln(x2－x－2)的单调递减区间为__________．7．已知y＝eq\f(1,3)x3＋bx2＋(b＋2)x＋3在R上不是单调增函数，则b的范围为________．8.已知x∈R,求证：ex≥x+1．已知函数y=x+，试讨论出此函数的单调区间.10．已知函数的图象过点P（0，2），且在点M（－1，f（－1））处的切线方程为．（Ⅰ）求函数y=f(x)的解析式；（Ⅱ）求函数y=f(x)的单调区间． 11.已知函数f(x)=x3-x2+bx+c.(1)若f(x)在（-∞，+∞）上是增函数，求b的取值范围;12.已知函数f(x)=x(x-1)(x-a)在（2，+∞）上是增函数，试确定实数a的取值范围.13．已知函数在区间上是增函数，求实数的取值范围．14.已知函数的图象过点P（0，2），且在点M（－1，）处的切线方程，（1）求函数的解析式；（2）求函数的单调区间。15．已知函数f(x)＝eq\f(2x－b,(x－1)2)，求导函数f′(x)，并确定f(x)的单调区间．__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固一、选择题1．函数y＝x4－2x2＋5的单调递减区间为()A．(－∞，－1]和[0,1] B．[－1,0]和[1，＋∞)C．[－1,1] D．(－∞，－1]和[1，＋∞)2．函数f(x)＝ax3－x在R上为减函数，则()A．a≤0 B．a<1C．a<2 D．a≤eq\f(1,3)3．已知对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x>0时，f′(x)>0，g′(x)>0，则x<0时()A．f′(x)>0，g′(x)>0 B．f′(x)>0，g′(x)<0C．f′(x)<0，g′(x)>0 D．f′(x)<0，g′(x)<04．(2013·武汉市实验中学高二期末)设p：f(x)＝x3＋2x2＋mx＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，q：m>eq\f(4,3)，则p是q的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件5．设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能的是()6．(2014·福建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联考)设函数F(x)＝eq\f(fx,ex)是定义在R上的函数，其中f(x)的导函数f′(x)满足f′(x)<f(x)对于x∈R恒成立，则()A．f(2)>e2f(0)，f(2012)>e2012f(0) B．f(2)<e2f(0)，f(2012)>e2012f(0)C．f(2)<e2f(0)，f(2012)<e2012f(0) D．f(2)>e2f(0)，f(2012)<e2012f(0)二、填空题7．函数y＝ln(x2－x－2)的单调递减区间为________．8．(2014·福建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联考)已知函数f(x)＝x3－ax2－3x在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________．9．(2014·郑州网校期中联考)若f(x)＝－eq\f(1,2)x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是__________________．三、解答题10．(2014·甘肃省金昌市二中期中)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx(a、b∈R)的图象过点P(1,2)，且在点P处的切线斜率为8.(1)求a、b的值；(2)求函数f(x)的单调区间．能力提升一、选择题11．(2012·天津理，4)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是()A．0 B．1C．2 D．312．(2014·北京西城区期末)已知函数f(x)及其导数f′(x)，若存在x0，使得f(x0)＝f′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”，下列函数中，有“巧值点”的函数的个数是()①f(x)＝x2，②f(x)＝e－x，③f(x)＝lnx，④f(x)＝tanx，⑤f(x)＝x＋eq\f(1,x)A．2 B．3C．4 D．513．(2014·天门市调研)已知函数f(x)是定义在R上的可导函数，其导函数记为f′(x)，若对于任意实数x，有f(x)>f′(x)，且y＝f(x)－1为奇函数，则不等式f(x)<ex的解集为()A．(－∞，0) B．(0，＋∞)C．(－∞，e4) D．(e4，＋∞)14．已知函数y＝xf′(x)的图象如图(1)所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，y＝f(x)的图象大致是()二、填空题15．(2014·衡阳六校联考)在区间[－a，a](a>0)内图象不间断的函数f(x)满足f(－x)－f(x)＝0，函数g(x)＝ex·f(x)，且g(0)·g(a)<0，又当0<x<a时，有f′(x)＋f(x)>0，则函数f(x)在区间[－a，a]内零点的个数是________．三、解答题16．设函数f(x)＝x3－3ax2＋3bx的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)．(1)求a、b的值；(2)讨论函数f(x)的单调性．17．(2014·山师附中学分认定考试)已知函数f(x)＝alnx＋eq\f(2a2,x)＋x(a>0)．若函数y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x－2y＝0垂直．(1)求实数a的值；(2)求函数f(x)的单调区间．导数与函数的单调性、极值____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________一、函数的单调性与导数：1．函数的导数与函数的单调性的关系：我们已经知道，曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数．从函数的图像可以看到：y=f(x)=x2－4x+3切线的斜率f′(x)(2，+∞)增函数正＞0(－∞，2)减函数负＜0在区间（2，）内，切线的斜率为正，函数y=f(x)的值随着x的增大而增大，即>0时，函数y=f(x)在区间（2，）内为增函数；在区间（，2）内，切线的斜率为负，函数y=f(x)的值随着x的增大而减小，即0时，函数y=f(x)在区间（，2）内为减函数定义：一般地，设函数y=f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内>0，那么函数y=f(x)在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内<0，那么函数y=f(x)在为这个区间内的减函数2．利用导数确定函数的单调性的步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求出函数的导数；(3)解不等式f¢(x)＞0，得函数的单调递增区间；解不等式f¢(x)＜0，得函数的单调递减区间．类型一：函数的单调性与导数：例1确定函数f(x)=x2－2x+4在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数。解：f′(x)=(x2－2x+4)′=2x－2．令2x－2＞0，解得x＞1．∴当x∈(1，+∞)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数．令2x－2＜0，解得x＜1．∴当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0，f(x)是减函数．例2确定函数f(x)=2x3－6x2+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数解：f′(x)=(2x3－6x2+7)′=6x2－12x令6x2－12x＞0，解得x＞2或x＜0∴当x∈(－∞，0)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数．当x∈(2，+∞)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数．令6x2－12x＜0，解得0＜x＜2．∴当x∈(0，2)时，f′(x)＜0，f(x)是减函数．例3证明函数f(x)=在(0，+∞)上是减函数．证法一：（用以前学的方法证）证法二：（用导数方法证）∵f′(x)=()′=(－1)·x－2=－，x＞0，∴x2＞0，∴－＜0．∴f′(x)＜0，∴f(x)=在(0，+∞)上是减函数。点评：比较一下两种方法，用求导证明是不是更简捷一些．如果是更复杂一些的函数，用导数的符号判别函数的增减性更能显示出它的优越性。例4求函数y=x2(1－x)3的单调区间．解：y′=［x2(1－x)3］′=2x(1－x)3+x2·3(1－x)2·(－1)=x(1－x)2［2(1－x)－3x］=x(1－x)2·(2－5x)令x(1－x)2(2－5x)＞0，解得0＜x＜．∴y=x2(1－x)3的单调增区间是(0，)令x(1－x)2(2－5x)＜0，解得x＜0或x＞且x≠1．∵为拐点，∴y=x2(1－x)3的单调减区间是(－∞，0)，(，+∞)例5当x＞0时，证明不等式：1+2x＜e2x．分析：假设令f(x)=e2x－1－2x．∵f(0)=e0－1－0=0,如果能够证明f(x)在(0，+∞)上是增函数，那么f(x)＞0，则不等式就可以证明。证明：令f(x)=e2x－1－2x．∴f′(x)=2e2x－2=2(e2x－1)∵x＞0，∴e2x＞e0=1，∴2(e2x－1)＞0,即f′(x)＞0∴f(x)=e2x－1－2x在(0，+∞)上是增函数。∵f(0)=e0－1－0=0．∴当x＞0时，f(x)＞f(0)=0，即e2x－1－2x＞0．∴1+2x＜e2x点评：所以以后要证明不等式时，可以利用函数的单调性进行证明，把特殊点找出来使函数的值为0。例6已知函数y=x+，试讨论出此函数的单调区间。解：y′=(x+)′=1－1·x－2=令＞0．解得x＞1或x＜－1．∴y=x+的单调增区间是(－∞，－1)和(1，+∞)．令＜0，解得－1＜x＜0或0＜x＜1．∴y=x+的单调减区间是(－1，0)和(0，1)．四、课堂练习1．确定下列函数的单调区间(1)y=x3－9x2+24x(2)y=x－x3(1)解：y′=(x3－9x2+24x)′=3x2－18x+24=3(x－2)(x－4)令3(x－2)(x－4)＞0，解得x＞4或x＜2．∴y=x3－9x2+24x的单调增区间是(4，+∞)和(－∞，2)令3(x－2)(x－4)＜0，解得2＜x＜4．∴y=x3－9x2+24x的单调减区间是(2，4)(2)解：y′=(x－x3)′=1－3x2=－3(x2－)=－3(x+)(x－)令－3(x+)(x－)＞0，解得－＜x＜．∴y=x－x3的单调增区间是(－，)．令－3(x+)(x－)＜0，解得x＞或x＜－．∴y=x－x3的单调减区间是(－∞，－)和(，+∞)2．讨论二次函数y=ax2+bx+c(a＞0)的单调区间．解：y′=(ax2+bx+c)′=2ax+b,令2ax+b＞0，解得x＞－∴y=ax2+bx+c(a＞0)的单调增区间是(－，+∞)令2ax+b＜0，解得x＜－．∴y=ax2+bx+c(a＞0)的单调减区间是(－∞，－)3．求下列函数的单调区间(1)y=(2)y=(3)y=+x(1)解：y′=()′=∵当x≠0时，－＜0，∴y′＜0．∴y=的单调减区间是(－∞，0)与(0，+∞)(2)解：y′=()′当x≠±3时，－＜0，∴y′＜0．∴y=的单调减区间是(－∞，－3)，(－3，3)与(3，+∞)．(3)解：y′=(+x)′．当x＞0时+1＞0，∴y′＞0．∴y=+x的单调增区间是(0，+∞)．1.函数f(x)=在区间（-2，+∞）上为增函数，那么实数a的取值范围为（）A.0<a< B.a<-1或a> C.a> D.a>-2答案：C解析：∵f(x)=a+在(-2,+∞)递增，∴1-2a<0,即a>.2．已知函数f(x)＝x2＋2x＋alnx，若函数f(x)在(0,1)上单调，则实数a的取值范围是()A．a≥0 B．a<－4 C．a≥0或a≤－4 D．a>0或a<－4答案：C解析：∵f′(x)＝2x＋2＋eq\f(a,x)，f(x)在(0,1)上单调，∴f′(x)≥0或f′(x)≤0在(0,1)上恒成立，即2x2＋2x＋a≥0或2x2＋2x＋a≤0在(0,1)上恒成立，所以a≥－(2x2＋2x)或a≤－(2x2＋2x)在(0,1)上恒成立．记g(x)＝－(2x2＋2x),0<x<1，可知－4<g(x)<0，∴a≥0或a≤－4，故选C.3．函数f(x)＝x＋eq\f(9,x)的单调区间为________．答案：(－3,0)，(0,3)解析：f′(x)＝1－eq\f(9,x2)＝eq\f(x2－9,x2)，令f′(x)<0，解得－3<x<0或0<x<3，故单调减区间为(－3,0)和(0,3)．4.函数的单调增区间为__________________，单调减区间为___________________答案：；解析：5．确定下列函数的单调区间:(1)y=x3－9x2+24x(2)y=3x－x3[答案](1)解：y′=(x3－9x2+24x)′=3x2－18x+24=3(x－2)(x－4)令3(x－2)(x－4)＞0，解得x＞4或x＜2.∴y=x3－9x2+24x的单调增区间是(4，+∞)和(－∞，2)令3(x－2)(x－4)＜0，解得2＜x＜4∴y=x3－9x2+24x的单调减区间是(2，4)(2)解：y′=(3x－x3)′=3－3x2=－3(x2－1)=－3(x+1)(x－1)令－3(x+1)(x－1)＞0，解得－1＜x＜1.∴y=3x－x3的单调增区间是(－1，1).令－3(x+1)(x－1)＜0，解得x＞1或x＜－1.∴y=3x－x3的单调减区间是(－∞，－1)和(1，+∞)6．函数y＝ln(x2－x－2)的单调递减区间为__________．[答案](－∞，－1)[解析]函数y＝ln(x2－x－2)的定义域为(2，＋∞)∪(－∞，－1)，令f(x)＝x2－x－2，f′(x)＝2x－1<0，得x<eq\f(1,2)，∴函数y＝ln(x2－x－2)的单调减区间为(－∞，－1)7．已知y＝eq\f(1,3)x3＋bx2＋(b＋2)x＋3在R上不是单调增函数，则b的范围为________．[答案]b<－1或b>2[解析]若y′＝x2＋2bx＋b＋2≥0恒成立，则Δ＝4b2－4(b＋2)≤0，∴－1≤b≤2，由题意b＜－1或b＞2.8.已知x∈R,求证：ex≥x+1．证明:设f（x）=ex－x－1,则f′（x）=ex－1．∴当x=0时，f′（x）=0,f（x）=0．当x＞0时，f′（x）＞0,∴f（x）在（0,+∞）上是增函数．∴f（x）＞f（0）=0．当x＜0时，f′（x）＜0,f（x）在（－∞,0）上是减函数，∴f（x）＞f（0）=0．9．已知函数y=x+，试讨论出此函数的单调区间.解：y′=(x+)′=1－1·x－2= 令＞0.解得x＞1或x＜－1.∴y=x+的单调增区间;是(－∞，－1)和(1，+∞).令＜0，解得－1＜x＜0或0＜x＜1.∴y=x+的单调减区间是(－1，0)和(0，1)10．已知函数的图象过点P（0，2），且在点M（－1，f（－1））处的切线方程为．（Ⅰ）求函数y=f(x)的解析式；（Ⅱ）求函数y=f(x)的单调区间． [答案]解：（Ⅰ）由f(x)的图象经过P（0，2），知d=2，所以由在M(-1,f(-1))处的切线方程是，知故所求的解析式是（Ⅱ）解得当当故内是增函数，在内是减函数，在内是增函数．点拨：本题考查函数的单调性、导数的应用等知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力．11.已知函数f(x)=x3-x2+bx+c.(1)若f(x)在（-∞，+∞）上是增函数，求b的取值范围;[答案]解:（1）=3x2-x+b,因f(x)在（-∞，+∞）上是增函数，则≥0.即3x2-x+b≥0,∴b≥x-3x2在（-∞，+∞）恒成立.设g(x)=x-3x2.当x=时，g(x)max=,∴b≥.12.已知函数f(x)=x(x-1)(x-a)在（2，+∞）上是增函数，试确定实数a的取值范围.[答案]解:f(x)=x(x-1)(x-a)=x3-(a+1)x2+ax∴=3x2-2(a+1)x+a要使函数f(x)=x(x-1)(x-a)在（2,+∞)上是增函数，只需=3x2-2(a+1)x+a在（2，+∞）上满足≥0即可.∵=3x2-2(a+1)x+a的对称轴是x=,∴a的取值应满足：或解得:a≤.∴a的取值范围是a≤.13．已知函数在区间上是增函数，求实数的取值范围．[答案]解：，因为在区间上是增函数，所以对恒成立，即对恒成立，解之得：所以实数的取值范围为．点拨：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则；若函数单调递减，则”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解．14.已知函数的图象过点P（0，2），且在点M（－1，）处的切线方程，（1）求函数的解析式；（2）求函数的单调区间。[答案]解：（1）由的图象经过P（0，2），知，所以，由在点M（）处的切线方程为∴即∴解得故所求的解析式是（2）令，解得当或时，当时，故在内是增函数，在内是减函数在内是增函数点拨：本题考查函数的单调性、导数的应用等知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力．15．已知函数f(x)＝eq\f(2x－b,(x－1)2)，求导函数f′(x)，并确定f(x)的单调区间．解析：f′(x)＝eq\f(2(x－1)2－(2x－b)·2(x－1),(x－1)4)＝eq\f(－2x＋2b－2,(x－1)3)＝－eq\f(2[x－(b－1)],(x－1)3)令f′(x)＝0，得x＝b－1且x≠1.当b－1＜1，即b＜2时，f′(x)的变化情况如下表：x(－∞，b－1)b－1(b－1,1)(1，＋∞)f′(x)－0＋－当b－1＞1，即b＞2时，f′(x)的变化情况如下表：x(－∞，1)(1，b－1)b－1(b－1，＋∞)f′(x)－＋0－所以，当b＜2时，函数f(x)在(－∞，b－1)上单调递减，在(b－1,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．当b＞2时，函数f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，b－1)上单调递增，在(b－1，＋∞)上单调递减．当b－1＝1，即b＝2时，f(x)＝eq\f(2,x－1)，所以函数f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递减．__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固一、选择题1．函数y＝x4－2x2＋5的单调递减区间为()A．(－∞，－1]和[0,1] B．[－1,0]和[1，＋∞)C．[－1,1] D．(－∞，－1]和[1，＋∞)[答案]A[解析]y′＝4x3－4x，令y′<0，即4x3－4x<0，解得x<－1或0<x<1，所以函数的单调减区间为(－∞，－1)和(0,1)，故应选A.2．函数f(x)＝ax3－x在R上为减函数，则()A．a≤0 B．a<1C．a<2 D．a≤eq\f(1,3)[答案]A[解析]f′(x)＝3ax2－1≤0恒成立，∴a≤0.3．已知对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x>0时，f′(x)>0，g′(x)>0，则x<0时()A．f′(x)>0，g′(x)>0 B．f′(x)>0，g′(x)<0C．f′(x)<0，g′(x)>0 D．f′(x)<0，g′(x)<0[答案]B[解析]f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，奇(偶)函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同(反)，∴x<0时，f′(x)>0，g′(x)<0.4．(2013·武汉市实验中学高二期末)设p：f(x)＝x3＋2x2＋mx＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，q：m>eq\f(4,3)，则p是q的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件[答案]B[解析]f′(x)＝3x2＋4x＋m，∵f(x)在R上单调递增，∴f′(x)≥0在R上恒成立，∴Δ＝16－12m≤0，∴m≥eq\f(4,3)，故p是q的必要不充分条件．5．设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能的是()[答案]C[分析]由导函数f′(x)的图象位于x轴上方(下方)，确定f(x)的单调性，对比f(x)的图象，用排除法求解．[解析]由f′(x)的图象知，x∈(－∞，0)时，f′(x)>0，f(x)为增函数，x∈(0,2)时，f′(x)<0，f(x)为减函数，x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数．只有C符合题意，故选C.6．(2014·福建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联考)设函数F(x)＝eq\f(fx,ex)是定义在R上的函数，其中f(x)的导函数f′(x)满足f′(x)<f(x)对于x∈R恒成立，则()A．f(2)>e2f(0)，f(2012)>e2012f(0) B．f(2)<e2f(0)，f(2012)>e2012f(0)C．f(2)<e2f(0)，f(2012)<e2012f(0) D．f(2)>e2f(0)，f(2012)<e2012f(0)[答案]C[解析]∵函数F(x)＝eq\f(fx,ex)的导数F′(x)＝eq\f(f′xex－fxex,ex2)＝eq\f(f′x－fx,ex)<0，∴函数F(x)＝eq\f(fx,ex)是定义在R上的减函数，∴F(2)<F(0)，即eq\f(f2,e2)<eq\f(f0,e0)，故有f(2)<e2f(0)．同理可得f(2012)<e2012f(0)．故选C.二、填空题7．函数y＝ln(x2－x－2)的单调递减区间为________．[答案](－∞，－1)[解析]函数y＝ln(x2－x－2)的定义域为(2，＋∞)∪(－∞，－1)，令f(x)＝x2－x－2，f′(x)＝2x－1<0，得x<eq\f(1,2)，∴函数y＝ln(x2－x－2)的单调减区间为(－∞，－1)．8．(2014·福建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联考)已知函数f(x)＝x3－ax2－3x在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________．[答案](－∞，0][解析]∵f(x)＝x3－ax2－3x，∴f′(x)＝3x2－2ax－3，又因为f(x)＝x3－ax2－3x在区间[1，＋∞)上是增函数，f′(x)＝3x2－2ax－3≥0在区间[1，＋∞)上恒成立，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a,3)≤1，,f′1＝3×12－2a－3≥0，))解得a≤0，故答案为(－∞，0]．9．(2014·郑州网校期中联考)若f(x)＝－eq\f(1,2)x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是__________________．[答案]b≤－1[解析]f(x)在(－1，＋∞)上为减函数，∴f′(x)≤0在(－1，＋∞)上恒成立，∵f′(x)＝－x＋eq\f(b,x＋2)，∴－x＋eq\f(b,x＋2)≤0，∵b≤x(x＋2)在(－1，＋∞)上恒成立，∴b≤－1.三、解答题10．(2014·甘肃省金昌市二中期中)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx(a、b∈R)的图象过点P(1,2)，且在点P处的切线斜率为8.(1)求a、b的值；(2)求函数f(x)的单调区间．[解析](1)∵函数f(x)的图象过点P(1,2)，∴f(1)＝2.∴a＋b＝1. ①又函数图象在点P处的切线斜率为8，∴f′(1)＝8，又f′(x)＝3x2＋2ax＋b，∴2a＋b＝5. ②解由①②组成的方程组，可得a＝4，b＝－3.(2)由(1)得f′(x)＝3x2＋8x－3，令f′(x)>0，可得x<－3或x>eq\f(1,3)；令f′(x)<0，可得－3<x<eq\f(1,3).∴函数f(x)的单调增区间为(－∞，－3)，(eq\f(1,3)，＋∞)，单调减区间为(－3，eq\f(1,3))．一、选择题11．(2012·天津理，4)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是()A．0 B．1C．2 D．3[答案]B[解析]本小题考查函数的零点与用导数判断函数的单调性，考查分析问题、解决问题的能力．∵f(x)＝2x＋x3－2,0<x<1，∴f′(x)＝2xln2＋3x2>0在(0,1)上恒成立，∴f(x)在(0,1)上单调递增．又f(0)＝20＋0－2＝－1<0，f(1)＝2＋1－2＝1>0，f(0)f(1)<0，则f(x)在(0,1)内至少有一个零点，又函数y＝f(x)在(0,1)上单调递增，则函数f(x)在(0,1)内有且仅有一个零点．12．(2014·北京西城区期末)已知函数f(x)及其导数f′(x)，若存在x0，使得f(x0)＝f′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”，下列函数中，有“巧值点”的函数的个数是()①f(x)＝x2，②f(x)＝e－x，③f(x)＝lnx，④f(x)＝tanx，⑤f(x)＝x＋eq\f(1,x)A．2 B．3C．4 D．5[答案]B[解析]①中的函数f(x)＝x2，f′(x)＝2x，要使f(x)＝f′(x)，则x2＝2x，解得x＝0或2，可见函数有巧值点；对于②中的函数，要使f(x)＝f′(x)，则e－x＝－e－x，由对任意的x，有e－x>0，可知方程无解，原函数没有巧值点；对于③中的函数，要使f(x)＝f′(x)，则lnx＝eq\f(1,x)，由函数f(x)＝lnx与y＝eq\f(1,x)的图象有交点知方程有解，所以原函数有巧值点；对于④中的函数，要使f(x)＝f′(x)，则tanx＝eq\f(1,cos2x)，即sinxcosx＝1，显然无解，所以原函数没有巧值点；对于⑤中的函数，要使f(x)＝f′(x)，则x＋eq\f(1,x)＝1－eq\f(1,x2)，即x3－x2＋x＋1＝0，设函数g(x)＝x3－x2＋x＋1，g′(x)＝3x2－2x＋1>0且g(－1)<0，g(0)>0，显然函数g(x)在(－1,0)上有零点，原函数有巧值点，故①③⑤正确，选C.13．(2014·天门市调研)已知函数f(x)是定义在R上的可导函数，其导函数记为f′(x)，若对于任意实数x，有f(x)>f′(x)，且y＝f(x)－1为奇函数，则不等式f(x)<ex的解集为()A．(－∞，0) B．(0，＋∞)C．(－∞，e4) D．(e4，＋∞)[答案]B[解析]令g(x)＝eq\f(fx,ex)，则g′(x)＝eq\f(f′x·ex－fx·ex,ex2)＝eq\f(f′x－fx,ex)<0