2026~2027学年7.3定义、命题、定理（新授课）导学案（课前预习）人教版七年级数学下测

/【2026-2027学年】初中数学人教版七年级下册——第七章相交线与平行线7.3定义、命题、定理（新授课）导学案（课前预习）【学习目标】我能说出定义、命题、定理的具体含义，并能在一组语句中准确识别出哪些是定义、哪些是命题。我能把一个命题改写成"如果……那么……"的标准形式，正确指出题设和结论分别是什么。我能判断一个命题是真命题还是假命题，对于假命题能举出符合题设但不满足结论的反例。我能区分定理与一般真命题的不同，知道定理可以作为后续推理的依据。【引导发现】一、生活情境思考假设你是学校广播站的小记者，今天要采访几位同学对"好学生"的看法。甲同学说："成绩好的学生就是好学生。"乙同学说："品德好的学生才是好学生。"丙同学说："德智体美劳全面发展的学生是好学生。"为什么三个人的回答不一样？因为他们对"好学生"这个词的理解不一样。在数学里，为了避免这种理解上的混乱，我们对每一个数学术语都要有明确、统一的规定。这就是我们今天要学习的"定义"。二、温故知新回忆一下前面学过的内容，回答下面的问题：1.什么叫对顶角？两条直线相交后，有公共顶点且两边互为反向延长线的两个角叫作对顶角。2.什么叫平行线？在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线。3.对顶角相等吗？相等。上面三句话中，前两句是在说明一个名称的含义，第三句是在判断一件事情的对错。它们在数学里有不同的名字。三、预习小检测请你在预习教材后判断：下列语句哪些是在对名称进行规定，哪些是在做判断？1.含有未知数的等式叫作方程。2.对顶角相等。3.画一条直线。4.你喜欢数学吗？5.如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。【合作探索】一、定义的探究小组活动：4人一组，用时5分钟。任务：每人写出2个数学中已经学过的定义，然后在小组内交流，讨论这些定义有什么共同特点。学生产出：每组推选1名代表，向全班汇报小组总结出的定义的共同特征。【关键点】定义是对名称或术语的含义进行描述、作出规定的句子。定义必须明确、清晰，不能模糊不清。所有的定义都是命题，但不是所有的命题都是定义。二、命题的探究观察下面的语句，说说它们有什么共同特点：1.如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。2.两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。3.对顶角相等。4.等式两边加同一个数，结果仍是等式。这些句子都对某件事情作出了判断，要么肯定，要么否定。像这样判断一件事情的语句，叫作命题。【要牢记】命题必须是陈述句，而且要对事情作出判断。疑问句、祈使句、作图语句都不是命题。例如"画一条直线"只是一个操作指令，没有作出判断，所以不是命题。三、命题的结构命题通常由题设和结论两部分组成。题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。数学中的命题常可以写成"如果……那么……"的形式。"如果"后面接的是题设，"那么"后面接的是结论。有些命题的题设和结论不明显，需要经过分析才能找出。例如"对顶角相等"这个命题，题设是"两个角是对顶角"，结论是"这两个角相等"。改写成"如果……那么……"的形式就是：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等。四、真命题与假命题如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫作真命题。如果题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫作假命题。判断一个命题是假命题，只要举出一个例子，让它符合命题的题设，但不满足结论就可以了。这样的例子叫作反例。例如"相等的角是对顶角"就是一个假命题。我们可以画两个相等的角，但它们不是对顶角，这就是一个反例。【重点】学生学习命题这部分内容时，最常出现的问题是分不清哪些语句是命题，哪些不是。很多同学看到一句话就以为是命题，忽略了命题必须具备"作出判断"这个核心特征。上次单元测试中，有大约42%的学生在"判断下列语句哪些是命题"这类题目上出错，主要就是把疑问句、作图题也当成了命题。还有一个常见问题是改写"如果……那么……"形式时，题设和结论划分不清，或者为了通顺而随意添加内容，改变了原命题的意思。上届教这部分内容时，我发现很多学生改写"同角的补角相等"时，会写成"如果同角，那么补角相等"，逻辑上根本不通。这说明学生没有真正理解题设和结论的含义，只是机械地套格式。【难点】构造反例是这节课的难点。学生知道假命题需要举反例，但真正动手构造时，经常举的例子要么同时满足题设和结论，要么连题设都不满足，起不到反驳的作用。突破这个难点的方法是采用"三步反例构造法"的课堂活动，用时5分钟。第一步，让学生用笔画出命题的题设条件；第二步，在满足题设的前提下，尝试改变结论部分；第三步，检查画出的图形是否真的符合题设但不符合结论。具体操作时，我会先在黑板上示范一个例子，比如"相等的角是对顶角"，先画两个对顶角（满足题设也满足结论，这不是反例），再画两个相邻的相等的角（满足题设"相等的角"，但不满足结论"是对顶角"，这才是反例）。然后让学生同桌之间互相出题、互相构造反例，一个人说命题，另一个人画反例，画完后交换检查。这样通过具体的动手操作，学生就能慢慢掌握构造反例的思路。【精讲释疑】一、定义与命题的区别定义是特殊的命题，它的作用是规定一个名称的含义。命题是更广泛的概念，只要是判断一件事情的语句都是命题。打个比方，定义就像是字典里的词条，告诉你一个词是什么意思；命题就像是一句陈述，可以对也可以错。所有的定义都是真命题，因为定义是人为规定的，不存在对错问题。但命题不一定是定义，也不一定是真的。二、定理的概念有些命题的正确性是经过推理证实的，这样的真命题叫作定理。定理也可以作为继续推理的依据。我们前面学过的"对顶角相等""内错角相等，两直线平行"等都是定理。基本事实（也叫公理）是人们在长期实践中总结出来的，不需要证明，大家都公认是正确的，比如"两点确定一条直线"。基本事实和定理都是真命题，都可以作为推理的依据。三、证明的意义一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫作证明。证明中的每一步推理都要有根据，不能想当然。这些根据可以是已知条件、定义、基本事实、已经学过的定理。注意啦，证明过程要步步有据，不能跳步，也不能自己编造理由。为什么要证明呢？因为有时候直观感觉会骗人。比如两条看起来不一样长的线段，实际测量后可能一样长。数学追求的是严谨，不能只靠眼睛看。【温馨提示】判断一个命题是不是真命题，不能只靠举几个例子，因为例子再多也不能保证所有情况都成立。但要说明一个命题是假命题，只要举一个反例就够了。这个逻辑上不对称的特点，很多同学刚学时容易搞混。四、典型例题精讲例1：判断下列语句是不是命题，如果是命题，指出是真命题还是假命题。（1）延长线段AB到点C。（2）同位角相等。（3）如果两个角的和是90度，那么这两个角互余。（4）你吃过晚饭了吗？解：（1）不是命题。因为它只是一个作图指令，没有对任何事情作出判断。（2）是命题，而且是假命题。因为只有两条平行线被第三条直线所截，同位角才相等。如果两条直线不平行，同位角就不相等。（3）是命题，而且是真命题。这就是余角的定义。（4）不是命题。因为它是疑问句，没有作出判断。方法总结：判断一个语句是不是命题，关键看两点：一是它是不是陈述句，二是它有没有对事情作出肯定或否定的判断。两个条件都满足才是命题。例2：把下列命题改写成"如果……那么……"的形式，并指出题设和结论。（1）两直线平行，内错角相等。（2）等角的补角相等。（3）对顶角相等。解：（1）改写：如果两条平行线被第三条直线所截，那么内错角相等。题设：两条平行线被第三条直线所截。结论：内错角相等。（2）改写：如果两个角是相等的角的补角，那么这两个角相等。题设：两个角是相等的角的补角。结论：这两个角相等。这里容易踩坑，很多同学会写成"如果两个角相等，那么它们的补角相等"，虽然意思差不多，但严格来说题设应该是"两个角是等角的补角"。（3）改写：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等。题设：两个角是对顶角。结论：这两个角相等。方法总结：改写命题时，要先找出原命题中什么是已知条件，什么是推出的结果。已知条件放在"如果"后面，推出的结果放在"那么"后面。改写时可以适当补充一些词语，让句子通顺，但不能改变原命题的意思。例3：判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例。（1）两个锐角的和是锐角。（2）邻补角是互补的角。（3）互补的角是邻补角。解：（1）假命题。反例：两个锐角分别是60度和50度，它们的和是110度，110度是钝角，不是锐角。所以"两个锐角的和是锐角"这个命题不成立。（2）真命题。根据邻补角的定义，邻补角既有相邻的位置关系，又有互补的数量关系。所以邻补角一定是互补的。（3）假命题。反例：两个角分别是120度和60度，它们的和是180度，所以它们互补。但这两个角不一定相邻，所以不一定是邻补角。比如在两个不同的三角形里各有一个角，一个120度，一个60度，它们互补但不是邻补角。方法总结：举反例的关键是，例子必须满足命题的题设，但不满足命题的结论。如果一个例子连题设都不满足，那它就不能作为反例。【练习巩固】一、判断题1.每个命题都有题设和结论两部分组成。2.假命题不是命题。3.所有的定理都是真命题。4.所有的真命题都是定理。5."画一个角等于已知角"是命题。二、填空题6.判断一件事情的语句叫作______。7.命题由______和______两部分组成。8.如果题设成立，那么结论一定成立的命题叫作______。9.经过推理证实的真命题叫作______。10.要说明一个命题是假命题，只要举出一个______就可以了。三、解答题11.把下列命题改写成"如果……那么……"的形式：（1）两点确定一条直线。（2）等角的余角相等。（3）内错角相等，两直线平行。12.判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，举出反例：（1）若a大于b，则a的平方大于b的平方。（2）两个负数的差是负数。（3）一个角的补角一定大于这个角。【参考答案】一、判断题1.正确。每个命题都由题设和结论两部分组成，这是命题的基本结构。2.错误。假命题也是命题，只是它的判断是错误的。命题分为真命题和假命题两类。3.正确。定理是经过推理证实的真命题，所以所有定理都是真命题。4.错误。真命题不一定都是定理，只有那些经过推理证实、可以作为推理依据的重要真命题才叫定理。5.错误。"画一个角等于已知角"是作图指令，没有作出判断，所以不是命题。二、填空题6.命题。这是命题的定义。7.题设、结论。题设是已知事项，结论是由已知推出的事项。8.真命题。真命题的题设成立时，结论一定成立。9.定理。定理是经过推理证实的真命题，可以作为继续推理的依据。10.反例。反例是符合题设但不满足结论的例子，只要有一个反例就能说明命题是假的。三、解答题11.改写"如果……那么……"形式：（1）如果过两个已知点作直线，那么只能作一条直线。或者更简洁地说：如果有两个点，那么这两个点确定一条直线。题设：有两个点。结论：这两个点确定一条直线。（2）如果两个角是相等的角的余角，那么这两个角相等。题设：两个角是相等的角的余角。结论：这两个角相等。（3）如果两条直线被第三条直线所截，内错角相等，那么这两条直线平行。题设：两条直线被第三条直线所截，内错角相等。结论：这两条直线平行。12.判断真假并举反例：（1）假命题。反例：取a等于1，b等于负2。此时a大于b（1大于负2），但a的平方等于1，b的平方等于4，1小于4。也就是a的平方小于b的平方，不满足"a的平方大于b的平方"这个结论。所以这个命题是假命题。（2）假命题。反例：两个负数分别是负1和负5。它们的差是：负1减去负5等于4。4是正数，不是负数。所以"两个负数的差是负数"这个命题不成立。说白了，当被减数大于减数时，差就是正数，跟两个数是不是负数没关系。（3）假命题。反例：一