24.1.3 弧、弦、圆心角·2025-2026学年初中数学人教版九年级上册

24.1.3弧、弦、圆心角一、情境导入展示自行车车轮、钟表表盘等图片，引导学生观察。提问：“自行车车轮能平稳滚动，钟表指针能准确计时，这和圆的哪些特性有关？”接着指出车轮辐条所对的角、钟表表盘上刻度间的夹角等，与圆中的圆心角相关，而不同圆心角所对应的弧和弦也存在特殊联系，从而引出本节课“弧、弦、圆心角”的学习内容，激发学生探究兴趣

。二、圆心角的概念（一）定义顶点在圆心的角叫做圆心角。例如在\(\odotO\)中，\(\angleAOB\)，其顶点\(O\)为圆心，\(\angleAOB\)就是一个圆心角。通过在圆中多画出几个不同的圆心角，让学生直观认识圆心角的特征，明确其顶点位置的特殊性。（二）圆心角的度量圆心角的度数等于它所对弧的度数。在同圆或等圆中，我们可以通过圆心角的大小来衡量其所对弧的相对长度。比如一个圆心角是\(60^{\circ}\)，那么它所对的弧的度数也是\(60^{\circ}\)，帮助学生建立圆心角与弧度数之间的联系。三、弧、弦、圆心角的关系（一）定理探究操作与猜想：在同圆\(\odotO\)中，画出两个相等的圆心角\(\angleAOB\)和\(\angleCOD\)，让学生观察它们所对的弧\(\overset{\frown}{AB}\)与\(\overset{\frown}{CD}\)、弦\(AB\)与\(CD\)的长度关系，鼓励学生大胆猜想。理论推导已知：在\(\odotO\)中，\(\angleAOB=\angleCOD\)。求证：\(\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}\)，\(AB=CD\)。证明：将\(\angleAOB\)连同\(\overset{\frown}{AB}\)、弦\(AB\)绕圆心\(O\)旋转，使\(OA\)与\(OC\)重合。因为\(\angleAOB=\angleCOD\)，所以\(OB\)与\(OD\)重合。又因为圆上的点到圆心的距离都等于半径，所以点\(A\)与点\(C\)重合，点\(B\)与点\(D\)重合，那么\(\overset{\frown}{AB}\)与\(\overset{\frown}{CD}\)重合，弦\(AB\)与弦\(CD\)重合，即\(\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}\)，\(AB=CD\)。定理内容：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。（二）推论推论内容在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等。在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等。证明思路：可通过将弧或弦绕圆心旋转，利用圆的旋转不变性以及同圆或等圆中半径相等的性质进行证明，与定理证明思路类似，引导学生自主思考推导过程，加深对推论的理解。四、典型例题（一）例1：定理的直接应用题目：在\(\odotO\)中，\(\angleAOB=\angleCOD\)，\(\overset{\frown}{AB}\)的度数为\(50^{\circ}\)，弦\(CD=8cm\)，求\(\overset{\frown}{CD}\)的度数和弦\(AB\)的长度。解答：根据“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”，因为\(\angleAOB=\angleCOD\)，所以\(\overset{\frown}{CD}\)的度数等于\(\overset{\frown}{AB}\)的度数，即\(\overset{\frown}{CD}\)的度数为\(50^{\circ}\)，弦\(AB\)的长度等于弦\(CD\)的长度，为\(8cm\)。（二）例2：推论的综合应用题目：在等圆\(\odotO_1\)和\(\odotO_2\)中，弦\(AB=CD\)，\(\angleAOB=70^{\circ}\)，求\(\angleCOD\)的度数，以及\(\overset{\frown}{AB}\)与\(\overset{\frown}{CD}\)的关系。解答：因为在等圆中，两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所以\(\angleCOD=\angleAOB=70^{\circ}\)。又因为在等圆中，相等的弦所对的弧相等，所以\(\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}\)。五、课堂练习在同圆中，若\(\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}\)，则下列结论错误的是（

）A.\(AB=CD\)B.\(\angleAOB=\angleCOD\)C.\(OA=CD\)D.以上都不对已知在\(\odotO\)中，弦\(AB=AC\)，\(\angleBAC=50^{\circ}\)，求\(\overset{\frown}{AB}\)、\(\overset{\frown}{AC}\)所对圆心角的度数。如图，在\(\odotO\)中，\(\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}\)，\(\angleBOC=40^{\circ}\)，求\(\angleAOD\)的度数。六、课堂小结回顾圆心角的定义和度量方法，强调其顶点在圆心以及与所对弧度数的关系。总结弧、弦、圆心角在同圆或等圆中的关系定理及推论，明确各个条件和结论之间的逻辑联系，让学生牢记“知其一，可推其二”的应用规律。鼓励学生在课后观察生活中更多与圆相关的物体，思考其中弧、弦、圆心角的关系，加深对知识的理解和应用能力。5课堂检测4新知讲解6变式训练7中考考法8小结梳理学习目录1复习引入2新知讲解3典例讲解学习目标1.掌握圆的中心对称性和旋转不变性.2.理解圆心角的概念，探索圆心角、弧、弦之间

关系定理并利用其解决相关问题.（重点）3.理解圆心角关系定理中的“在同圆或等圆中”

条件的意义.（难点）点击抽奖探究剪一个圆形纸片，把它绕圆心旋转180°，所得的图形与原图形重合吗？由此你能得到什么结论？把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？圆是中心对称图形圆心就是它的对称中心把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图形重合.圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.特别提醒：一条弧所对的圆心角只有一个.ABO下列各图中的角是不是圆心角，说明理由.辨一辨不是不是不是是1.优弧所对的圆心角大于平角，2.劣弧所对的圆心角小于平角，3.半圆所对的圆心角等于平角.ABOCD思考

如图，⊙O

中，当圆心角∠AOB=∠A′OB′时，它们所对的弧和、弦AB

和A′B′

相等吗？为什么？ABA′B′∵∠AOB=∠A′OB′，∴射线OB

与OB′

重合.又OA=OA′，OB=OB′，∴点A

与A′重合，点B

与B′重合.因此，与重合，AB

与A′B′重合，即=，AB=A′B′.ABA′B′ABA′B′定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.符号语言：∠AOB=∠A′OB′

=ABA′B′AB=A′B′重要结论1：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等.符号语言：ABA′B′=∠AOB=∠A′OB′AB=A′B′重要结论2：在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等符号语言：AB=A′B′∠AOB=∠A′OB′AOBA′OB′=ABA′B′=思考定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？如图，∠AOB=∠A′OB′，但≠，AB

≠

A′B′.ABA′B′例题3如图，在⊙O中，AB=AC，∠ACB=60°，求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC．AB证明：∵=，∴AB=AC，△ABC

是等腰三角形.又∠ACB=60°，∴△ABC

是等边三角形，AB=BC=CA.∴∠AOB=∠BOC=∠AOC.AC随堂练习【教材P85练习第1题】1.如图，AB、CD

是⊙O

的两条弦.（1）如果AB=CD，那么__________，_____________

.（2）如果

，那么_________，_____________.（3）如果∠AOB=∠COD，那么_________，__________

.（4）如果AB=CD，OE⊥AB，OF⊥CD，OE与OF

相等吗？为什么？∠AOB=∠CODAB=CD∠AOB=∠CODAB=CD相等2.如图，AB是⊙O的直径，，∠COD=35°，

求∠AOE的度数。【教材P85练习第2题】解：∵，∴∠BOC=∠COD=∠DOE.又

∠COD=35°，∴∠BOE=∠BOC+∠COD+∠DOE=105°，则∴∠AOE=180°-∠BOE=75°提升训练1.下列图形中，∠AOB

是圆心角的是（）C2.如图，AB，CD

是⊙O

的直径，.若

∠AOE=32°，则∠COE

的度数是（）AEBD=A.32°B.60°C.64°D.68°CAE=BD∠AOE=∠BOD∠AOC=∠BOD∠COE=2∠AOE=64°3.如图，AB

是⊙O

的直径，点C

在⊙O上，

∠AOC=40°，D

是BC

的中点，则∠OCD

的度数为________.ABCDO∠AOC=40°D

是

BC

的中点求∠COD利用OC=OD，求∠OCD55°返回D返回2．下列说法正确的有(

)①圆心角相等，所对的弧也相等；②圆心角相等，所对的弦也相等；③长度相等的两条弦所对的弧是等弧；④等弧所对的圆心角相等；⑤顶点在圆心的角是圆心角．A．1个

B．2个

C．3个

D．4个A返回3．如图，AB是⊙O的直径，BC，CD，DA是⊙O的弦，且