2025-2026学年上海市宝山区高一（下）期末数学试卷（含答案）

2025-2026学年上海市宝山区高一（下）期末数学试卷一、填空题1．已知集合，，0，1，，则等于．2．已知为虚数单位，则复数的虚部是．3．函数的定义域为．4．在菱形中，．5．幂函数的图象过点，则实数．6．已知指数函数在上是严格减函数，则实数的取值范围是．7．若对任意，不等式都成立，则实数的取值范围是．8．已知复数、满足，，则的最大值为．9．方程的实数解为．10．已知△的内角、、的对边分别为、、，且满足，则△中角的大小为．11．对于定义在上的函数，和是，，上任意给定的两个实数，当时，恒有，则实数的取值范围是．12．在平面直角坐标系中，已知点、，动点满足，点满足，则△面积的最大值为．二、选择题13．已知，则“”是“”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件14．下列函数中，最小正周期为且为偶函数的是（）A． B． C． D．15．已知复数和所对应的向量分别是、，则下列结论错误的是（）A．对应的复数是 B．对应的复数是 C．的充要条件是存在唯一实数，使得 D．的充要条件是16．已知函数，有下列两个命题：：有且仅有两个大于8的整数使得在，上恰有3个零点；：有且仅有5个满足条件的整数使得在，上恰有3个零点．则这两个命题中（）A．真真 B．真假 C．假真 D．假假三、解答题17．已知关于的方程．（1）若该方程有一个实根为，求方程的另一个根；（2）若该方程有一个模为1的虚根，求的值．18．已知，函数．（1）当时，解不等式；（2）当时，求函数的值域．19．如图，的半径为1，是的直径上一点（异于、，过作与直径垂直的弦与相交于、两点，连接和，设．（1）求线段的长（用表示）；（2）若为直线上一点，且的最小值为，求的值．20．如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池的池底水平销设污水净化管道（即△的三条边）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口为池底边的中点，、分别落在、上（管道的直径大小忽略不计）．已知米，米，记．现有两种设计方案：方案1：△是以为顶点的等腰三角形；方案2：△是以为直角顶点的直角三角形；（1）若方案1中污水净化管道的总长度恰好是米，求的大小；（2）试对两种设计方案进行比较，要使净化效果最好，应该选择哪种设计方案？21．已知、是常数，函数的定义域为，设满足以下三个条件的所有函数组成集合①；②；③对一切实数、均满足．（1）设函数，若，求、的值；（2）若，求和的值（用表示），并证明是周期函数；（3）若函数，证明的充要条件是：．

参考答案一、填空题1．，．2．2．3．．4．05．．6．．7．．8．3．9．．10．．11．，，，．12．．二、选择题13．．14．．15．．16．．三、解答题17．解：（1）因为关于的方程有一个实根为，所以，解得，所以方程为，解得另一根为；（2）由题意，得△，所以，设方程的两根为和，则，，因为该方程有一个模为1的虚根，所以，解得．18．解：（1）当时，，不等式等价于，因为函数在上单调递增，所以，解得，故原不等式解集为．（2）当时，，由，得，所以函数的定义域为，因为，所以（当且仅当，即时取等号），又函数在上单调递增，所以，故函数的值域为，．19．解：（1）因为是的直径，所以，在△中，，，所以，因为，所以△为直角三角形，在△中，，所以线段的长为；（2）设为圆心，为直线上一点，设，，由垂径定理知，关于对称，则，则，当点与点重合时，取得最小值，此时，且与反向，最小值，又因为，即，所以，所以最小值为，由题意知，解得，在△中，，即，所以，解得，因为，所以，所以，所以或，解得或，所以的值为或．20．解：（1）由题意可得，，由于，所以，所以，所以，，由，解得，所以；（2）对于方案1：由（1）知污水净化管道的总长度，，当时，总长度取得最大值为米；对于方案2：由题意可得，，，由于，，所以