2023-2024学年北京市西城区铁路某中学九年级（上）期中数学试卷【含解析】

2023・2024学年北京市西城区铁路二中九年级（上）期中数学试卷

一、选择题・（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.

I.（2分）抛物线），=（x-1）2+1的顶点坐标是（）

A.（1,1）B.（-1,1）C.（1,-1）D.（-1,-1）

2.（2分）平面直角坐标系内一点P（-3,4）关于原点对称点的坐标是（）

A.（3,4）B.（-3,-4）C.（3,-4）D.（4,-3）

3.（2分）一元二次方程0?+云+°=0有一根为零的条件是（）

A.b2,-4ac=0B.b=0C.c=0D.

4.（2分）如图，在00中，直径43_1弦。。于E,连接BD,若NO=30°,BD=2,则AE的长为（）

5.（2分）如图，抛物线与x轴交于点（-1,0）,对称轴为x=1,则下列结论中正确的是（）

B.c<0

C.当时，），随x的增大而增大

D.x=3是一元二次方程cix2^bx+c=0的一个根

6.（2分）关于x的二次函数），=。（x-力）2+左中，若ahkVO,则下列示意图中符合要求的是（）

A.B.

8.（2分）如图，在平面直角坐标系xQv中，A（2,0）,B（0,2）,OC的圆心为点C（・1,0）,半径

为1.若。是OC上的一个动点，线段OA与），轴交于£点，则aABE面积的最小值是（）

二、填空题.（本题共16分，每小题2分）

9.（2分）请写出一个常数c•的值，使得关于x的方程/+2r+c=0有两个不相等的实数根，则c•的值可以

是.

10.（2分）二次函数），=（.”1）2+2,当・3<rV2时，y的取值范围是.

II.（2分）如图，在。0中，48切。0于点A,连接OB交OO于点C,过点4作4。〃08交0。于点

连接CD.若NB=50°,则/OCD的度数等于.

D.O

12.（2分）如图，将矩形A8CQ绕点4顺时针旋转到矩形AB'CD'的位置，旋转角为a（00<a<90°）,

若Nl=110°,则Na=

13.（2分）为响应国家号召打赢脱贫攻坚战，小明利用信息技术开了一家网络商店，将家乡的土特产销往

全国.今年6月份盈利12000元，8月份盈利27000元，求6月份到8月份盈利的月平均增长率.设6

月份到8月份盈利的月平均增长率为-根据题意，可列方程为.

14.（2分）如图，抛物线），=/+/>+c的对称轴为x=l,点P,点。是抛物线与x轴的两个交点，若点P

的坐标为（-1,0）,则点。的坐标为.

15.（2分）如图，CO是00的直径，CO=8,N4CQ=20°,点8为弧AQ的中点，点尸是直径C加上

的一个动点，则以+P8的最小值为.

16.（2分）我们给出如下定义：在平面内，点到图形的距离是指这个点到图形上所有点的距离的最小值.在

平面内有一个矩形A4CQ,A8=4,40=2,中心为。，在矩形外有一点P,OP=3,当矩形绕着点O

旋转时，则点P到矩形的距离d的取值范围为.

三、解答题：（本题共68分，第17题8分，第21、24题各4分，第18、20、22、23题各5分，第19、

25、26题各6分，第27、28题各7分）

17.（8分）解方程：

（1）/+6x+7=0；

⑵X2+2X—^----=1-

X2+2X

18.（5分）已知关于x的方程入2・2什2&-3=0有两个不相等的实数根.

（1）求4的取值范围；

（2）若女为符合条件的最大整数，求此时方程的根.

19.（6分）对于抛物线y=f-4x+3.

（1）它与x轴交点的坐标为，与y轴交点的坐标为,顶点坐标

为:

（2）在坐标系中利用描点法而出此抛物线；

¥•♦•♦•♦

（3）利用以上信息解答下列问题：若关于x的一元二次方程4x+37=0（f为实数）£-1<x<l

2

的范围内有解，则，的取值范围是.

20,（5分）如图，点。在以A3为直径的上，CO平分N4C8交。0于点。，交A3于点£,过点。

作DF//AB交CO的延长线于点F.

（1）求证：直线。户是。。的切线;

(2)若NA=30°,AC=2V3>求。产的长.

21.（4分）如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点小。均为格点（每个小正

方形的顶点叫做格点）.

（I）作点A关于点O的对称点4；

（2）连接4A,将线段AiB绕点Ai顺时针旋转90°得到线段4B1,点B的对应点为小，画出旋转后

的线段4Bi；

（3）连接A8i,求出△A88i的面积（直接写出结果即可）.

22.（5分）如图，A3为。。的直径，CB,C。分别切。0于点4,。，CO交4A的延长线于点E,CO的

延长线交OO于点G,EF上OG于点、F.若BC=6,DE=4.

（1）求证：NFEB=/ECF;

（2）求。。的半径长.

（3）求线段E尸的长.

23.（5分）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为

13机），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1：2的矩形，已知栅栏的总长度为24〃?,

设较小矩形的宽为工机（如图）.

（1）若矩形养殖场的总面积为36〃巳求此时x的值；

（2）当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？

24.（4分）下面是小元设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程.

已知：如图1,。。及0。上一点匕

求作：过点P的。。的切线.

作法：如图2,

①作射线0P；

②在直线0P外任取一点A,以点A为圆心，AP为半径作CA,与射线。。交于另一点以

③连接并延长BA与OA交于点C；

④作直线PC；

则直线PC即为所求.

根据小元设计的尺规作图过程，

（I）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明：

证明：・・・BC是OA的直径，

：,ZBPC=90a（）（填推理的依据）.

・•・0P工PC.

又•••OP是。。的半径，

•••PC是。0的切线（）（填推理的依据）.

图1图2

25.（6分）已知函数y=/+6x+c（x22）的图象过点A（2,I）,B（5,4）.

（1）直接写出），=7+阮+c（在2）的解析式；

-x2+2x+1（x2）

（2）如图，请补全分段函数丫二*“的图象（不要求列表）.

x2+bx+c（x）2）

并回答以下问题：

①写出此分段函数的一条性质：

②若此分段函数的图象与直线），=〃?有三个公共点，请结合函数图象直接写出实数机的取值范围;

（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记（2）中函数的图象与直线yJx-］围成的封闭区域（不含

2

边界）为“卬区域”，请直接写出区域内所有整点的坐标.

26.（6分）在平面直角坐标系xOy中，点。〃-2,产），（〃?，”），（2-w,*）在抛物线y=7-2at+l

上，其中机且加H2.

（1）直接写出该抛物线的对称轴的表达式（用含〃的式子表示）;

（2）当机=0时，若户=”，比较yi与”的大小关系，并说明理由;

（3）若存在大于1的实数机，使求a的取值范围.

27.（7分）已知NM4N=45°,点8为射线AN上一定点，点C为射线4M上一动点（不与点A重合）,

点。在线段8C的延长线上，且CO=C从过点。作。于点£

(1)当点C运动到如图1的位置时，点E恰好与点C重合,此时AC与DE的数量关系是

(2)当点C运动到如图2的位置时，依题意补全图形，并证明：2AC=AE+DE：

(3)在点。运动的过程中，点石能否在射线4M的反向延长线上？若能，直接用等式表示线段AC,

AE,OE之间的数量关系；若不能，请说明理由.

28,(7分)在平面直角坐标系M))，中，对于点R和线段PQ,给出如下定义：M为线段。。上任意一点，

如果R,M两点间的距离的最小值恰好等于线段PQ的长，则称点R为线段PQ的“等距点”.

(1)己知点A(5,0).

①在点Bi(-3,4),氏(1,5),以(4,-3),由(3,6)中，线段OA的“等距点”是；

②若点C在直线y=2x+5上，并且点。是线段04的“等距点”，求点。的坐标；

(2)已知点。(1,0),点E(0,-1),图形W是以点71,0)为圆心，1为半径的0T位于％轴及

x轴上方的部分.若图形W上存在线段。£的“等距点”，直接写出/的取值范围.

2023・2024学年北京市西城区铁路二中九年级（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题.（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.

I.（2分）抛物线y=（x-1）2+1的顶点坐标是（）

A.（1,I）B.（-I,I）C.（1,-1）D.（-I,-1）

【分析】二次函数的顶点式是：y="（x-h）MQW0,且a,h,k是常数），顶点坐标为（〃，&）；

直接写出顶点坐标.

【解答】解：因为），=（A-I）2+1是抛物线解析式的顶点式，

根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标是（1,1）.

故选:A.

【点评】本题主要是对一次函数中对称轴，顶点坐标的考查.

2.（2分）平面直角坐标系内一点P（-3,4）关于原点对称点的坐标是（）

A.（3,4）B.（-3,-4）C.（3,-4）D.（4,-3）

【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，可以直接

得到答案.

【解答】解：・・・尸（・3,4）,

・•・关于原点对称点的坐标是（3,-4）,

故选：C.

【点评】此题主要考杳了原点对称的点的坐标特点，关键是掌握坐标的变化规律：两个点关「原点对称

时，它们的坐标符号相反.

3.（2分）一元二次方程0?+力户。=0有一根为零的条件是（）

A.//-4〃c=0B.b=0C.c=0D.

【分析】将x=0代入已知方程，求得c=0.

【解答】解：根据题意知，x=0满足关于工的一元二次方程/+法+c=0,则c=0.

故选：C.

【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义：就是能够使方程左右两边相等的未知数的

值.即用这个数代替未知数所得式子仍然成立.

4.（2分）如图，在。。中，直径八8_1弦8于E,连接BZ）,若/。=30°,BD=2,则4E的长为（）

【分析】先根据直角三角形的性质求出BE及。E的长，再连接0D,设。。=「，则。在Rl

△。。月中利用勾股定理求出r的值，进而可得出AE的长.

【解答】解：VAB1CD,ZD=30°,BD=2,

是直角三角形，

・・・8E=』BO=-ix2=l,

22

AD£=7BD2-BE2=722-12=V3»

连接0D,设OD=r,则OE=r・BE=r-1,

在RtZXOQE中，

OD2=OE1+DE1,npr=（r-1）2+（V3）2,解得r=2,

：.AE=OA+OE=2+（2-1）=3.

【点评】本题考查的是圆周角定理及勾股定理、直角三角形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角

三角形是解答此题的关键.

5.（2分）如图，抛物线），=/+以+。与工轴交于点（-1,0）,对称轴为x=l,则下列结论中正确的是（）

B.c<0

C.当x>l时，），随x的增大而增大

D.x=3是一元二次方程av2+/?x+c=0的一个根

【分析】根据抛物线开口方向可判断A；根据图象与），轴交点的位置即可判断B：根据图象从左往右的

趋势即可判断C，根据抛物线的对称性即可判断D.

【解答】解：A、•・•抛物线抛物线开II方向向下，

故本选项结论错误；

B、•・•二次函数图象与轴交于y轴正半轴,

Ac>0,故本选项结论错误；

C、•・•抛物线对称轴为直线x=l，开口向下，

，当x>l时，y随x的增大而减小，

故本选项结论错误；

：抛物线与x轴的一个交点坐标是（-1,（））,对称轴是直线工=1,则另一交点坐标是（3,0）,

，%=3是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根，

故本选项结论正确.

故选：D.

【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的增减性，抛物线与入轴的交点问

题，熟记二次函数的性质以及函数图象与系数的关系是解题的关键.

6.（2分）关于x的二次函数（x-/O2+左中，若ahkVO,则下列示意图中符合要求的是（）

【分析】需要分类讨论求解，当。>0时，若ahk<0,当/?>0,左<0时，当〃VO,k>0时；当

时，若ahk〈0,当力>0,时，当力V0,左<0时.

【解答】解：当。>0时，若ahk<0,分两种情况讨论：

当力>0,ZV0时，此时图象开口向上，与），轴交于负半轴，顶点到第四象限：故A选项的图符合要求：

当/?<0,AAOM,此时图象开「I向上，与y轴交于正半轴，顶点到第二象限；没有符合要求的图；

当aVO时，若ahk＜0,分两种情况讨论:

当力＞0,2＞0时，此时图象开口向下，与），轴交于正半轴，顶点到第一象限；没有符合要求的图;

当。VO,ZVO时，此时图象开口向下，与），轴交于负半轴，顶点到第三象限；没有符合要求的图;

故选:A.

【点评】本题考杳了二次函数的图象问题，解题的关键是利用分类讨论的思想进行讨论求解.

7.（2分）二次函数），=』+公+》的图象可能是（)

【分析】根据题意，点（・1，1）在二次函数的图象上，故选项8、。不符合题意；然后从对称轴与〃

的取值来分析，可知符合题意的选项.

【解答】解：当尸・1时，＞=（-1）2-b+b=\,

.♦.点（-1,I）在二次函数的图象上，

・•・选项小C不符合题意；

•・•二次函数的对称轴为：*二工，

2

对于选项A：当x=（）时，可知ov〃vi,故对称轴x=上＜o在y轴的左侧，故选项A不符合题意；

2

对于选项。：当x=（）时，观察图象可知〃＞2,故对称轴圻力＜一1在直线x=-1的左侧，故选项。

2

符介题意；

故选：D.

【点评】此题考行了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键.

8.（2分）如图，在平面直角坐标系x°y中，4（2,0）,8（0,2）,0C的圆心为点C（・l,0）,半径

为1.若。是。。上的一个动点，线段D4与），轴交于E点，则△ABE面积的最小值是（）

【分析】由于0A的长为定值，若△ABE的面积最小，则BE的长最短，此时AD与。相切；可连接CD,

在RtZLADC中，由勾股定理求得A。的长，即可得到△4DC的面积；易证得△AEOS^ACZ）,根据相

似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出AAOE的面积，进而可得出△AO8和△AOE的面积差，

由此得解.

【解答】解：若的面积最小，则A。与0c相切，连接C。，贝i」C"_LA。：

RtZXACO中，CD=1,AC=OC+OA=3：

由勾股定理，得：AQ=2近；

/.5A4CD=A4D*CD=V2;

2

易证得△AOESAAQC,

:,S^AOE（、0A）2_（2）2—1,

2AADC仙2/22

即SdA0E=XAADC=^-;

22

工S^ABE=S拄OB-SMOE=2X2X2-亚=2-近

222

故选：D.

【点评】此题主要考查了切线的性质、相似三角形的性质、三角形面积的求法等知识；能够正确的判断

出面积最小时A。与。。的位置关系是解答此题的关键.

二、填空题.（本题共16分，每小题2分）

9.（2分）请写出一个常数c的值，使得关于x的方程/+M+c=O有两个不相等的实数根，则c的值可以

是0（答案不唯）.

【分析】根据方程的系数结合根的判别式A=后-4«>0,即可得出关于c的不等式，解之即可求出c

的值.

【解答】解：a=l,b=-2.

•・•△=序-4ac=（-2）2-4XIXC>0,

AC<1.

故答案为：0（答案不唯一）.

【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△>（）时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键.

10.（2分）二次函数了=（X-1）2+2,当-3VxV2时，y的取值范围是2<v<18.

【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向及顶点坐标，进而求解.

【解答】解：•・,尸（X-1）2+2,

・•・抛物线开口向上，对称轴为直线x=l,顶点坐标为（1,2）,

将X=-3代入），=（x-1）2+2得），=16+2=18,

・••当・3VxV2时，2WyV18,

故答案为：2^y<18.

【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与不等

式的关系.

II.（2分）如图，在中，A8切。0于点A,连接OB交0。于点C,过点A作人。〃08交00于点D,

连接CO.若NB=50°,则/OC£>的度数等于20°.

【分析】连接04，由切线的性质得出NQ4B=90°,结合N8=50°,得出N4O8=40°,由圆周角的

性质得出NAOC=20°,再由平行线的性质得出NOCO=/AQC=20。.

【解答】解：连接04,如图，

D.O

TAB切。0于点A,

AZ6AB=90°,

•・・N8=50°,

，NAO8=40°,

AZADC=^-ZAOB=2()°,

2

•:ND"OB,

.•.ZOCD=Z4DC=20o,

故答案为：20°.

【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，掌握切线的性质，直角三角形的性质，圆周角定理，平

行线的性质是解决问题的关键.

12.(2分)如图,将矩形43C。绕点A顺时针旋转到矩形A"CD'的位置，旋转角为a(00<a<90°),

若Nl=110。，则Na=20".

B'

【分析】根据矩形的性质得/8=/。=/84。=90°,根据旋转的性质得/。'=/。=90°,N4=a,

利用对顶角相等得到Nl=N2=110°,再根据四边形的内角和为360。可计算出N3=70°,然后利用

互余即可得到Na的度数.

【解答】解：如图，

•・•四边形ABC。为矩形，

・・・NB=NQ=N84D=90°,

•・•矩形A8C。绕点A顺时针旋转得到矩形4"CD',

=ZD=90c,Z4=«,

VZ1=Z2=11O',

.-.Z3=36O°-90°-90°-110°=70°,

AZ4=90°-70°=20°,

.\Za=200.

【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转

中心的连线段的夹角等于旋转角.也考查了矩形的性质.

13.（2分）为响应国家号召打赢脱贫攻坚战，小明利用信息技术开了一家网络商店，将家乡的土特产销往

全国.今年6月份盈利12000元，8月份盈利27000元，求6月份到8月份盈利的月平均博长率.设6

月份到8月份盈利的月平均增长率为m根据题意，可列方程为12000（1+工）2=270（X）.

【分析】利用今年8月份的盈利=今年6月份的盈利X（1+6月份到8月份盈利的月平均增长率）2,

即可得出关于x的一元二次方程，此题得解.

【解答】解：依题意得12000（1+x）2=27000,

故答案为：12000（1+x）2=27000.

【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的

关键.

14.（2分）如图，抛物线），=&1+/状+。的对称轴为x=l,点P,点Q是抛物线与x轴的两个交点，若点P

的坐标为（7,0）,则点。的坐标为（3,0）.

【分析】点尸的坐标为（・1,0）,对称轴为x=l,则：PQ之间的距离为2X（1+1）=4,即可求解.

【解答】解:点P的坐标为（-1,0）,对称轴为尸1,

则：PQ之间的距离为2义（1+1）=4,

则：点Q的横坐标为-1+4=3,

故答案为：（3,0）.

【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，涉及到图象上点的性质等函数基本属性，本题是一道基本

题.

15.（2分）如图，CO是。。的直径，CO=8,N4CO=20°,点8为弧A。的中点，点P是直径CO上

的一个动点，则附+PB的最小值为4.

【分析】首先作A关于CQ的对称点Q,连接8Q,然后根据圆周角定理、圆的对称性质和等边三角形

的性质解答.

【解答】解：作A关于CO的对称点Q,连接CQ,BQ,BQ交CD于P,此时AP+PB=QP+P8=QB,

根据两点之间线段最短，以+P4的最小值为QH的长度，

连接OQ,OB,

•・•点8为弧4。的中点，

：,ZBOD=ZACD=20°,

/.ZQOD=2ZQCD=2X20°=40°,

・・・/8。。=200+40°=60°.

OB=OQ,

•••△BOQ是等边三角形，

：,BQ=OB=^CD=4,即PA+PB的最小值为4.

故答案为4.

【点评】本题考查的是轴对称-最短路线问题，解答此题的关键是找到点A的对称点，把题目的问题

转化为两点之间线段最短解答.

16.（2分）我们给出如下定义：在平面内，点到图形的距离是指这个点到图形上所有点的距离的最小值.在

平面内有一个矩形48=4,40=2,中心为。，在矩形外有一点P,OP=3,当矩形绕着点O

旋转时，则点P到矩形的距离d的取值范围为3-，§《辰2

【分析】由题意以及矩形的性质得。尸过矩形48C。各边的中点时，d最大，0P过矩形A8C。的顶点

时，d最小，分别求出d的值即可得出答案.

【解答】解：如图：设A8的中点是石，OP过点七时，点。与边A3上所有点的连线中，。石最小，此

时此时d=PE最大，0P过顶点4时，点。与边AB上所有点的连线中，0A最大，此时4=以最小，

如图①：745=4,4。=2,中心为O,

・・・。£=1,OEA-AB,

・「0P=3,

:.d=PE=2；

如图②：VAB=4,A。=2,中心为O,

：,AE=2,OE=l,OE±AB,

AO4=VAE2-H3E2=V5,

.：OP=3,

.\d=PA=3-V5：

：.d的取值范围为3-屏K.

故答案为：3-^Wd<2.

D

②

B

A

D

①

【点评】本题考查矩形的性质，旋转的性质，根据题意得出4最大、最小时点尸的位置是解题的关键.

三、解答题：（本题共68分，第17题8分，第21、24题各4分，第18、20、22、23题各5分，第19、

25、26题各6分，第27、28题各7分）

17.（8分）解方程:

（1）『+6户7=0；

⑵J+2x-T-=1.

X2+2X

【分析】（1）利用配方法求解即可:

（2）利用换元法求解即可.

【解答】解：（1）•・・）+6x+7=0,

A.r+6x=-7,

贝ij/+6x+9=2,即（x+3）2=2,

:.x+3=±近,

则Xi=-3+^2，xi=-3-V2.

（2）设r=/+2x,则原方程化为=l

整理得P-6」,

解得t=3,t=~2.

经检验，/=3,，=-2是原方程的解.

当/^=3时，/+2t=3解得Xi=-3,xi=1；

当，=・2时，-2此方程无解.

综上，XI=-3,X2=l.

【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、

公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法.

18.（5分）已知关于x的方程』-2t+2k-3=0有两个不相等的实数根.

（1）求A的取值范围;

(2)若k为符合条件的最大整数，求此时方程的根.

【分析】(1)根据关于x的方程，-2x+2k-3=0有两个不相等的实数根，则A>0,列出不等式，即

可求出Z的取值范围.

(2)由(1)中％的取值范围得出符合条件的左的最大整数值，代入原方程，利用求根公式即可求出x

的值.

【解答】解：(1)△=(-2)2-4(2卜3)=8(2-4).

•••该方程有两个不相等的实数根，

A8(27)>0,解得攵V2.

(2)当4为符合条件的最大整数时，2=1.

此时方程化为』-2x-1=0,方程的根为x=2土也«=1土血.

2

即此时方程的根为加=1+血，4=】-V2.

【点评】本题考查的是一元二次方程如2+以+。=0(〃工0)的根与△的关系及求根公式，是•个综合性

的题目，难度适中.

19.(6分)对于抛物线y=7-4x+3.

(1)它与x轴交点的坐标为(3,())(I.()),与)，轴交点的坐标为(0,3),顶点坐标为

(2,-1):

(2)在坐标系中利用描点法画出此抛物线；

X……

(3)利用以上信息解答下列问题：若关于x的一元二次方程『-4x+3-f=0(，为实数)E-1<x<l

2

的范围内有解，则r的取值范围是-1WV8.

【分析［运用二次函数与％轴相交时，>'=0,与)，轴相交时，x=0,即可求出，用公式法可求出顶点坐

标，利用列表，描点，连线可画出图象.

【解答】解：(1)它与X轴交点的坐标为：(1,0)(3,0),与y轴交点的坐标为(0,3),顶点坐标为

(2,-1)；

故答案为：(1,0)(3,0),(0,3)(2,-1)

(2)列表:

(3)•・•关于工的一元二次方程』-4x+3-/=()(/为实数)在-IVxV工的范围内有解，

2

•・•)=f-4.V+3的顶点坐标为(2,-1),

若f・4x+37=0有解，方程有两个根，则：b2-4«c=16-4(3-r)20,解得：・iWf

当x=-l,代入x2-4x+3-1=0,f=8,

当工=工，代入*-4x+3-f=0,r=—,

24

Vx>-1,

••・/的取值范围是：-1W/V8：

故填：-1W/V8

【点评】此题主要考查了二次函数与坐标轴的交点求法，以及用描点法画二次函数图象和结合图象判定

一元二次方程的解的情况.

20.(5分)如图，点。在以A/3为直径的上，CQ平分乙4cB交。0于点。，交AB于点E,过点。

作DF//AB交CO的延长线于点F.

(1)求证：直线。尸是。。的切线；

(2)若N4=30°,AC=2“，求的长.

【分析】（1）连接OQ,证明可得结论：

（2）过点。作CHJLAB于点机利用勾股定理求出A8,得出。0=2,NBOC=2NA=60°,利用

〃欢）得出N尸=60°,再利住三角函数求出即可.

【解答】（1）证明连接OD.

〈CO平分NAC8,

•*-AD=DB，

/.OD1AB,

■:AB//DF：

JOD工DF,

TO。为半径，

尸是OO的切线.

VAZ?是直径，

••・NAC8=90°,

VZ4=30°,4c=2心

/M5=VAC2+BC2=4»

，OD=2,

•・・NB0C=2/4=60°,

'JDF//AB,

:・/COB=/F=60°,

.•.tanF=-5P.=V3»

FD

ADF=2V3

3

【点评】本题属于圆综合题，考查了垂径定理，圆周角定理，平行线的判定，相似三角形的判定和性质，

勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题.

21.（4分）如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点44。均为格点（每个小正

方形的顶点叫做格点）.

（1）作点A关于点。的对称点Ai；

（2）连接44,将线段A山绕点4顺时针旋转90°得到线段4加，点4的对应点为以，画出旋转后

的线段481；

（3）连接ABi,BBi,求出△ABAi的面积（直接写出结果即可）.

【分析】⑴依据中心对称的性质，即可得到点A关于点。的对称点4；

（2）依据线段4B绕点Ai顺时针旋转90°得点8对应点用，即可得出旋转后的线段4加;

（2）依据三角形的面积公式进行计算即可.

【解答】解:（1）如图所示，点4即为所求；

（2）如图所示，线段441即为所求；

则SAABB.=-1X8X2=8.

12

【点评】本题主要考查了利用旋转变换作图，掌握旋转的性质是解题的关键.

22.(5分)如图，为。。的直径，CB,C。分别切OO于点B,D,CO交84的延长线于点E,CO的

延长线交O。于点G,EF上OG于点F.若8C=6,DE=4.

(1)求证：/FEB=/ECF；

(2)求O。的半径长.

(3)求线段后户的长.

【分析】(1)利用切线的性质得出NOC7)=NOCB,再根据直角三角形两锐角互余，对顶角、等量代

换可得答案；

(2)利用勾股定理求出8b再根据勾股定理列方程可求出半径；

(3)根据勾股定理求出。。，OE,再根据相似三角形的性质求出E尸.

【解答】解：(1)・：CB,CO是。。的切线，

:・CB=CD,NODC=/()BC=90°,

又*：OB=OD,

•••△COQdCOB(SAS),

：.ZOCD=ZOCB,

又〈EFLOG,

AZEFO=90<>,

；・NOEF+NEOF=9()",

•；NBOC+NBCO=90°,NEOF=NBOC,

JZFEB=NECF；

(2)在RlZXBCE中，^=7EC2-BC2=7102-62=8,

在RlZ\OEO中，设。。=达

则OB=x,OE=S-x,DE=EC-CD=\0-6=4,

由勾股定理得，。炉+^^二。^,

即42+^=(8-x)2，

.,.x=3»

：,OD=3,

即OO的半径为3；

(3)由勾股定理得，

0£=VOD2+DE2=732+42=5,

OC=A/OD2-+€D2=A/32+62=3屏,

■:4FEO=4DCO,/EFO=NCDO=90°,

:AEOFSACOD,

.EF=OE

••而OC

即:EF=5

T3^5

:,EF=2版.

c

【点评】本题考查切线的性质和判定，勾股定理、相似三角形等知识，知识的综合应用是本题的显著特

点.

23.（5分）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为

⑶〃），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1:2的矩形，已知栅栏的总长度为24〃?,

设较小矩形的宽为％加（如图）.

（1）若矩形养殖场的总面积为36〃P,求此时x的值；

（2）当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？

【分析】（1）根据题意知：较大矩形的宽为2一〃，长为24r-2x=（8-x）w,可得a+zi）X（8

3

-x）=36,解方程取符合题意的解，即可得x的值为2；

（2）设矩形养殖场的总面积是），〃孔根据墙的长度为13,可得根据题意得出函数解析式,

3

由二次函数性质求最值.

【解答】解：（1）根据题意知：较大矩形的宽为20m长为24-X-2X=（8-X）〃?，

3

J（x+2x）X（8-x）=36,

解得x=2或x=6,

经检验，x=6时，3x=18>13不符合题意，舍去，

・・・%=2,

答：此时x的值为2；

（2）设矩形养殖场的总面积是

•・•墙的长度为⑶"，

，OVxW乌

3

根据题意得：y=（x+2x）X（8-x）=-3X2+24X=-3（x-4）2+48,

-3<0,

，当x=」3时，y取最大值，最大值为-3X（23-4）2+48=^^（〃/）,

333

答：当时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为些加2

33

【点评】本题考查一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程及函数关系式.

24,（4分）下面是小元设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程.

已知：如图1,00及。O上一点P.

求作：过点P的OO的切线.

作法：如图2,

①作射线0P；

②在直线0P外任取一点A,以点A为圆心，AP为半径作CA,与射线0P交于另一点B；

③连接并延长BA与。A交于点C；

④作直线PC；

则直线PC即为所求.

根据小元设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明：

证明：・・・8。是。A的直径，

・・・N8PC=90°（直径所对的圆周角是直角）（填推理的依据）.

：.OPA.PC.

又TOP是O。的半径，

•••PC是OQ的切线（经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线）（填推理的依据）.

图1图2

【分析】（1）根据题意作出图形即可；

（2）根据圆周角定理得到/6PC=90°,根据切线的判定定理即可得到结论.

【解答】解：（1）补全图形如图所示，则直线PC即为所求；

（2）证明：・.・8C是的直径，

・•・N8PC=90°（直径所对的圆周角是直角）,

，0P1PC.

又・..0P是。。的半径，

•••PC是O。的切线（经过半径的外端，旦垂直于这条半径的直线是圆的切线）.

故答案为：直径所对的圆周角是直角，经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

图2

【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理，正确的作出图形是解题的关键.

25.（6分）已知函数y=/+/zr+cJ22）的图象过点A（2,I）,B（5,4）.

（1）直接写出y=/+/?x+c（x22）的解析式；

-x2+2x+1（x2）

（2）如图，请补全分段函数丫=XNX的图象（不要求列表）.

x2+bx+c（x>2）

并回答以下问题：

①写出此分段函数的一条性质：抛物线关于点（2,1）成中心对称；

②若此分段函数的图象与直线），=〃?有三个公共点，请结合函数图象直接写出实数〃?的取值范围；

（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记（2）中函数的图象与直线yJx-i围成的封闭区域（不含

2

边界）为“卬区域”，请直接写出区域内所有整点的坐标.

【分析】（1）用待定系数法求函数解析式即可；

（2）①根据函数图象写出性质即可；②由图象可求出〃?的取值范围：

（3）根据图象求整点坐标即可.

【解答】解：（1）把A（2,1）,B（5,4）代入解析式得：（4+2b+C=1,

l25+5b+c=4

解得（b=-6,

c=9

y=x2+bx+c（x>2）的解析式;为-6x+9；

①性质：抛物线关于点（2,I）成中心对称，

故答案为：抛物线关于点（2,I）成中心对称;

②由图象可得：实数〃?的取值范围为0V〃?V2；

(3)如图:

【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数的性质，关健是对函数性质的掌握和运用.

26.(6分)在平面直角坐标系xOy中，点(，〃・2,y\),(〃?，”)，(2-in,”)在抛物线-2or+l

上，其中〃且机#2.

(1)直接写出该抛物线的对称轴的表达式(用含。的式子表示)；

(2)当〃1=()时，若户=再，比较yi与*的大小关系，并说明理由；

(3)若存在大于1的实数，小使求〃的取值范围.

【分析】(1)由对称轴为直线x=-也求解.

2a

(2)由抛物线的对称性及机=0可得抛物线关于)，轴对称，从而可得。的值，进而求解.

(3)分别将("7-2,y\),(川，y2)>(2-m>y3)»解不等式组.

【解答】解：(1)•・•)，=f・2奴+1,

・•・抛物线对称轴为直线x=-2=〃.

2

(2)Vm=O,y\=>'3»

J.(-2,yi),(2,>3)关于抛物线对称轴对称，

・•・抛物线关于)，轴对称，即。=0,

••・产/+1,

・•・抛物线开口向上，顶点坐标为(0,1),

.*.)2=1为函数最小值，

•,•y\>y2.

(3)将yi),(m,"),(2-/n,2)代入y=』-2or+l得yi="「-4/〃-2“m+4a+5,

y2=m~-2arn+1,

y3=irr-4m+2am-4a+5,

Vyi>}2>y3»

Am2-4m-2ain+4a+5>nr-2am+\>nr-4m+2am-4a+5,

解得m-1<a<1,

Vm>lf

A0<t7<l.

【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函

数图象与系数的关系.

27.(7分)已知NMAN=45°,点8为射线AN上一定点，点。为射线AM上一动点(不与点A重合)，

点。在线段BC的延长线上，且CD=CB,过点。作。氏L4M于点£

(1)当点。运动到如图1的位置时，点日恰好与点C重合，此时4c与QE的数量关系是AC=0E；

(2)当点。运动到如图2的位置时，依题意补全图形，并证明：2AC=AE+DEx

(3)在点。运动的过程中，点E能否在射线AM的反向延长线上？若能，直接用等式表示线段AC,

AE,QE之间的数量关系；若不能，请说明理由.

【分析】(1)易证△48。是等腰三角形，得AB=A。，由SSS证得△ABC丝△AQC,得出NC4D=/8AC

=45°,则NBAQ=90°,由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案；

(2)依题意即可补全图形，过点8作出」AM于F,则N8FC=NQEC=90°,由AAS证得△BPCg

△DEC,得出3尸=。E，CF=CE,易证△A/3F是等腰直角三角形，再8/=AF,推